第五章 导数及其应用（高效培优单元自测·提升卷）数学沪教版选择性必修第二册

第五章 导数及其应用（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【答案】 【分析】由瞬时变化速度计算公式计算即可得. 【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. 2．已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 3．已知函数，过原点作曲线的切线，则该切线的方程为 . 【答案】 【分析】设所求切线切点为，利用导数几何意义结合两点间斜率公式求得方程，解方程求出即可求解. 【详解】设所求切线切点为，由题， 所以所求切线斜率为，又切线过原点， 所以，故切点为，切线斜率为， 所以切线方程为. 故答案为： 4．过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为 . 【答案】 【分析】设出和的切点，求出切线方程为，再利用导数的几何意义得到，进而得到和的切点为，再代入中，求解即可. 【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为， 且设和的切点为， 因为，所以，由导数的几何意义得， 则切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则切线方程为， 设和的切点为，且， 由斜率的几何意义得，解得，代入中，得到切点为，代入中，得到，解得. 故答案为：. 5．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 6．已知函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的性质与切化弦公式化简函数，根据导数除法运算公式与复合函数求导，从而可得所求. 【详解】因为， 则， 所以. 故答案为：. 7．函数的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】方法一：利用导数，求出函数的单调区间及最值，根据函数的趋势，作出函数的图象，根据图象即可得答案； 方法二：令，得，作出函数的图象，根据图象即可得答案. 【详解】的定义域为， 且， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 又当时，，当时，， 所以函数的零点个数为2． （方法二）的定义域为， 令，得， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知，的图象与的图象有2个公共点， 所以函数的零点个数为2． 故答案为：2 8．已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 【答案】5 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的最小整数是5. 故答案为：5 9．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义可写出切线方程，代入原点坐标化简可得，根据切线条数可知，由此可得的取值范围. 【详解】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 10．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为，求导，得到，从而得到答案. 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为： 11．若不等式对恒成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，将问题转化为，利用导数求出，再转化为，设，利用导数求出即可. 【详解】设，因为对任意的恒成立，则， 求导得 令得，， 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增； 所以，所以， 则， 设，， 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 所以，即的最大值为，的最大值为. 故答案为：. 12．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 . 【答案】 【分析】通过偶函数、奇函数的条件推导函数等式，求导后得到导数的对称与周期性质，利用周期性化简目标值并求和. 【详解】由为偶函数，得， 整理得，两边求导得①. 由为奇函数，得，令， 则， 两边求导得， 即，故. 将代入①，得， 由此得，即周期为4. ，， 由，得. 故答案为：2 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】B 【分析】根据导函数图象得到导数的正负，从而得到函数的增减情况，判断A，根据导数的几何意义判断B，并根据函数的单调性，结合极值的定义判断CD． 【详解】根据的图象可知，在区间上，，则在区间上单调递减，故A错误； ，则的图象在处的切线斜率等于0，故B正确； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故C错误； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故D错误． 故选：B 14．圆锥的母线长为，下面有两个判断： ①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大. ②圆锥的体积可以取到. 则正确的判断是（   ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【分析】设圆锥的高为，求出该圆锥体积的函数关系，利用导数求出最大值，进而判断得解. 【详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，则， 圆锥的体积，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当，时，圆锥的体积取得最大值， 此时圆锥的母线与底面所成角，有，，①正确； 而，则圆锥的体积不能取到，②错误. 故选：B 15．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，由可知是函数的极小值点，则，即可求出的值，即可求出函数解析式，再检验，最后再解不等式. 【详解】函数，则， 由图象可知，是函数的极小值点，则，解得， 此时，所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点，符合题意；， 所以不等式，即，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 16．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理表示出，可得的表达式，由的活动范围可求的范围； （2）利用导数求解，的最小值，进而可得答案. 【详解】（1）因为是弧的中点，所以，， 又，由正弦定理，得， 又，得，， 所以 ， 当在处时，；当在处时，，所以的取值范围是. （2）令，； ，令得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以时，有最小值，所以三条轨道的总长度的最小值为. 18．设，（常数）. (1)若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； (2)若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，结合切线与轴平行（或重合）时斜率为来求解的值； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最小值问题，通过求导分析函数单调性进而求得最小值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）依题意得：， 曲线在点处的切线与轴平行，即切线斜率为，故， 代入得：，解得； （2）依题意得：， 令，则需对成立， 对求导得：， 令，则，当时，，故在上单调递增； ，因此，即在上单调递增； 在上单调递增，故， 因此，，即实数的取值范围为. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不存在，理由如下. 假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，， 则有，即， 化简得. 令，则， 由知函数在上单调递增， 由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. 20．已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性即可； （2）根据，分类讨论结合导函数正负得出单调性及极值点计算求解. 【详解】（1）的定义域为，     ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为. （2）由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意；     下面分析的情形： 当时，在区间上恒成立，不合题意；     当时，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则为函数的极大值点，不合题意；     当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 为函数的极小值点，符合题意；     综上，. 21．设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)答案见解析 (3)或 【分析】（1）根据导数的正负即可求解极值； （2）分类讨论，及时的正负即可得出的单调性； （3）分类讨论，结合零点存在性定理，以及函数的单调性即可求解． 【详解】（1）当时，，令，解得， 当时，，时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，， 所以当时，的极大值为，没有极小值． （2）， ， ①当时，，则在上为增函数； ②当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数； ③当时，在区间及上有，在区间上有， 故当时，在及上为增函数，在上为减函数． （3）由（2）知： ①当时，在上为增函数，且， 则在上只有一个零点； ②当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令， 则， 在上为减函数，， 所以时，，即， ，则只有一个零点， ③当时，在及上为增函数，在上为减函数， 故的极大值为， 且， 令，且， 则，则在上为增函数， 故时有， 即，则只有一个零点； ④当时，在上为增函数，在上为减函数； ， 因为只有一个零点，所以，； 综上所述，当或时，只有一个零点． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 导数及其应用（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 2．已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 . 3．已知函数，过原点作曲线的切线，则该切线的方程为 . 4．过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为 . 5．已知函数，则不等式的解集为 . 6．已知函数，则的值为 ． 7．函数的零点个数为 ． 8．已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 9．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 10．已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 11．若不等式对恒成立，则的最大值为 ． 12．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 14．圆锥的母线长为，下面有两个判断： ①当圆锥的母线与底面所成角为时，圆锥的体积最大. ②圆锥的体积可以取到. 则正确的判断是（   ） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 15．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 16．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤 17．2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 18．设，（常数）. (1)若曲线在点处的切线与轴平行（或重合），求实数的值； (2)若对任意实数，关于的不等式都成立，求实数的取值范围. 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由. 20．已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 21．设函数（）． (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若只有一个零点，求实数的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $