14.2.5第5课时　用“HL”判定两个直角三角形全等 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

14.2（第5课时） 第十四章 全等三角形 斜边直角边 回顾：4个基本事实 （即判定全等的方法） 复习巩固 问题1：如图，已知在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中,∠C = ∠C’=90°, AC = A’C’，请添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF 。 并说明你的依据。 条件① BC = B’C’ （SAS） ， ② ∠A = ∠A’ （ASA） ， ③ ∠B = ∠B （AAS） ， 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 4. 两个直角三角形中，直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，已知 AC = A’C’，AB= A’B’，∠C = ∠C’=90°，△ABC≌△DEF 吗？ 我们知道，证明一般的三角形全等不存在 “ SSA”定理. 我们可以通过画图试试看. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 探究 已知两条线段(这两条线段长不相等) ,试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 2cm 3cm 步骤: 1.画一条线段AB,使它等于2cm ; 2.画∠MAB =90°(用量角器或三角尺); 3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C; 4.连结BC.△ABC即为所求. A B C M 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 思考 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系. 如图,由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C'B'与射线CB重合.再由B'C′=BC,可知点B′与点B重合.为了判断点A′与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C,A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM,则∠BMA>∠C, ∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M',则有AB>BM′ >BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN,同理可得BN>AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A′在射线CA上，A'B′=AB,可知点A′与点A重合.这样，△A'B'C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B′C′与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， (简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： 在做题时往往在相等的边或角上作相同的标记，方便辨别和判定全等三角形. 注 意 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， A B C A′ B′ C′ 格式要求： 第一个三角形的名称和对应的判定条件 第二个三角形的名称和对应的判定条件 指明范围 说明依据 得出结论 全等三角形的对应字母要写在对应的位置，顺序不能错 三个条件必须按照 斜边 直角边 的顺序进行书写 范围和结论中 必须写明Rt△ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， 新知探究 例 如图， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD. AC⊥BC，BD⊥AD，公共边AB ，AC = BD Rt△ABD≌Rt△BAC. C D B A 典例分析 探究新知 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C =∠D = 90°. ∴Rt△ACD ≌Rt△ABE （HL） AB = BA， AC = BD， ∴ BC = AD . C D B A 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， 典例分析 探究新知 （第1题） 1. 如图，，， ，根据“ ”证明 ，则还要添 加的条件是( ) B A. B. C. D. 返回 巩固训练 考试考法 12 （第2题） 2. ［2025江门月考］如图， 于点 ，于点，若 ，且 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 返回 巩固训练 考试考法 13 （第3题） 3. 两个同样大小的直角三角尺按如图所 示的方式摆放，其中两条一样长的直角 边交于点，另一直角边， 分别落 在的边和上，且 ， 作射线，则在说明为 的平分 线的过程中，证全等的依据是( ) C A. B. C. D. 巩固训练 考试考法 14 D 巩固训练 D 巩固训练 3或6 巩固训练 AF＝CE 巩固训练 巩固训练 9.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF , ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF. ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 能力提升 巩固训练 10.如图，已知 AD，AF分别是钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴CD＝EF. 在Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， AB＝AB， AD＝AF， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. ∴BD＝BF. 能力提升 巩固训练 11.如图，已知，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB=CD，AC=CE. 求证：AC⊥CE. 证明：AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△CDE中, ∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL)， ∴∠A=∠ECD， ∵∠A+∠ACB=90°， ∴∠ECD+∠ACB=90°， ∴∠ACE=90°， 即AC⊥CE. 课后作业 巩固训练 “斜边、直角边” 内 容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 课堂小结 4.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( ) A.斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等 C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等 解析：A选项，利用HL可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；B选项，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；C选项，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；D选项，利用AAA不能判定两个直角三角形全等，符合题意.故选D. 5.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角和之间的关系是( ) A. B. C. D. 解析：由题意可知，，，， 与均为直角三角形. 在与中，，.，.故选D. 6.如图，于点C，，，连接AB，射线于点A，点P在线段AC上移动，点Q在射线AX上随着点P移动，且始终保持，当___________时，才能使与全等. 解析：，，. ，当或时， 可以根据HL证明与全等.故答案为3或6. 7.如图，于点B，于点D，.若要直接用“HL”判定，则需要添加的条件为___________. 解析：需要添加的条件为.， ，即.，，. 又，.故答案为. 8.如图，在中，.点D在外，连接AD，作于点E，延长DE交BC于点F，，. （1）求证：； （2）若，，求DF的长. 解析：（1）证明：，，. 在和中， ，. $