5.2 导数的运算（思维导图+3大知识点+10大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

5．2 导数的运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：基本初等函数的导数公式 4 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 4 知识点三：复合函数的求导法则 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：运用导数基本公式求解函数导数 7 题型二：计算函数和、差、积、商形式的导数 7 题型三：求解复合函数的导数 9 题型四：借助导数确定函数表达式中的参数值 11 题型五：利用导数探究曲线的切线方程（含在点P处、过点P处两种情况） 11 题型六：依据导数公式求解切线的切点坐标 13 题型七：与切线相关的综合类问题 13 题型八：切线的平行与垂直判定问题 14 题型九：利用导数解决函数的最值问题 15 题型十：函数图像的公切线求解问题 15 知识点一：基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），，这样的形式． 要点诠释： 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即． 4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，． 6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 要点诠释： 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 知识点三：复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 要点诠释： 1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量． 2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数． 题型一：运用导数基本公式求解函数导数 【例题1】（多选题）（2025·高二·福建漳州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【例题2】（多选题）（2025·高二·安徽阜阳·月考）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导． 【变式1】（多选题）（2025·高二·江西南昌·期中）下列选项正确的是（   ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【变式2】（多选题）（2025·高二·江西赣州·月考）下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选题）（2025·高二·辽宁大连·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：计算函数和、差、积、商形式的导数 【例题3】分别求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【例题4】（2025·高二·海南省直辖县级单位·月考）求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 【方法技巧与总结】 利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【变式4】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5】（2025·高二·新疆阿克苏·月考）求下列函数的导数. (1) (2). 【变式6】（2025·高二·四川雅安·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)． 题型三：求解复合函数的导数 【例题5】（2025·高二·吉林白山·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【例题6】（2025·高二·河南·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【方法技巧与总结】 （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 【变式7】（2025·高二·江西南昌·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【变式8】（2025·高二·新疆喀什·期中）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) 【变式9】（2025·高二·广西河池·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 题型四：借助导数确定函数表达式中的参数值 【例题7】（2025·高二·河南许昌·期末）已知函数满足，则 . 【例题8】（2025·高三·湖北黄冈·月考）已知函数，则 . 【方法技巧与总结】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可． 【变式10】（2025·高二·陕西咸阳·月考）已知函数的导函数为，且满足，则 ． 【变式11】（2025·高二·四川成都·月考）已知函数，则在处的导数是 ． 【变式12】（2025·高二·天津·月考）已知函数满足，则 . 题型五：利用导数探究曲线的切线方程（含在点P处、过点P处两种情况） 【例题9】（2025·高二·吉林白山·月考）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【例题10】（2025·高二·陕西西安·月考）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 【方法技巧与总结】 （1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． （2）求过点与曲线相切的直线方程的三个步骤 【变式13】已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【变式14】（2025·高二·福建泉州·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【变式15】（2025·高二·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 题型六：依据导数公式求解切线的切点坐标 【例题11】（2025·高二·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题12】（2025·高二·北京·期中）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A．（，-1） B．（e，1） C．（，） D．（0，1） 【方法技巧与总结】 （1）利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． （2）结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养． 【变式16】（2025·高二·福建莆田·期末）如果曲线的一条切线与直线平行，则切点坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式17】（2025·高二·浙江·期中）已知的切线斜率等于，则切点坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式18】（2025·高二·北京·期末）过点P（0，2）作曲线y＝的切线，则切点坐标为（    ） A．（1，1） B．（2，） C．（3，） D．（0，1） 题型七：与切线相关的综合类问题 【例题13】（多选题）（2025·高三·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【例题14】（多选题）（2025·高二·全国·单元测试）若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． （2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内． 【变式19】（多选题）（2025·高二·广东佛山·期中）已知函数，若的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的可能取值是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【变式20】（多选题）（2025·高二·河北石家庄·月考）若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【变式21】（多选题）（2025·高二·江苏南通·期末）过轴上一点作函数的图象的切线，则切线的条数可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型八：切线的平行与垂直判定问题 【例题15】（2025·高三·江西吉安·期末）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是 ． 【例题16】（2025·高二·北京·期中）已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数： . 【方法技巧与总结】 切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为． 【变式22】（2025·高三·湖南·月考）已知曲线：，曲线：， （1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数 ； （2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 . 【变式23】（2025·高三·江西赣州·期末）设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为 . 【变式24】（2025·高三·全国·月考）设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则 ；的取值范围是 . 题型九：利用导数解决函数的最值问题 【例题17】（2025·高二·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【例题18】（2025·高二·广东清远·月考）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 转化为切点到直线距离 【变式25】（2025·高二·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式26】（2025·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式27】（2025·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十：函数图像的公切线求解问题 【例题19】（2025·高三·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【例题20】（2025·高二·安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．2 【方法技巧与总结】 （1）设两函数、 上切点分别为。 （2）求导得切线斜率、，斜率相等即。 （3）写出两切线方程，利用切线重合，截距相等列方程。 （4）联立方程求解，，代入得公切线方程。 【变式28】（2025·高三·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式29】（2025·陕西渭南·一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 【变式30】（2025·高三·江苏·月考）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．2 导数的运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：基本初等函数的导数公式 4 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 4 知识点三：复合函数的求导法则 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：运用导数基本公式求解函数导数 7 题型二：计算函数和、差、积、商形式的导数 8 题型三：求解复合函数的导数 11 题型四：借助导数确定函数表达式中的参数值 13 题型五：利用导数探究曲线的切线方程（含在点P处、过点P处两种情况） 14 题型六：依据导数公式求解切线的切点坐标 17 题型七：与切线相关的综合类问题 19 题型八：切线的平行与垂直判定问题 21 题型九：利用导数解决函数的最值问题 24 题型十：函数图像的公切线求解问题 26 知识点一：基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8），，这样的形式． 要点诠释： 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即． 4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，． 6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 知识点二：函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 要点诠释： 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：， 推广：． （ⅱ）积的导数：， 特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时，． 这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 知识点三：复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 要点诠释： 1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量． 2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数． 题型一：运用导数基本公式求解函数导数 【例题1】（多选题）（2025·高二·福建漳州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】AB 【解析】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，C错误； 对于D，由可知，则，D错误 故选：AB 【例题2】（多选题）（2025·高二·安徽阜阳·月考）下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】，A错误；，B错误； ，C正确；，D正确. 故选：CD. 【方法技巧与总结】 （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导． 【变式1】（多选题）（2025·高二·江西南昌·期中）下列选项正确的是（   ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】CD 【解析】对于A，由，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：CD 【变式2】（多选题）（2025·高二·江西赣州·月考）下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为；；． 故A正确，BCD错误. 故选：BCD 【变式3】（多选题）（2025·高二·辽宁大连·期中）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，故A对； ，故B错； ，故C错； ，故D对； 故选：AD 题型二：计算函数和、差、积、商形式的导数 【例题3】分别求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1） （2）因为，所以． （3）. 【例题4】（2025·高二·海南省直辖县级单位·月考）求下列函数的导函数 (1) (2)； (3) (4) 【解析】（1） （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； （4）因为， 所以. 【方法技巧与总结】 利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【变式4】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）． （2） ． （3）． （4）． 【变式5】（2025·高二·新疆阿克苏·月考）求下列函数的导数. (1) (2). 【解析】（1）整理可得， . （2）. 【变式6】（2025·高二·四川雅安·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【解析】（1） （2） 题型三：求解复合函数的导数 【例题5】（2025·高二·吉林白山·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【解析】（1）； （2）； （3） （4）， ． 【例题6】（2025·高二·河南·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【解析】（1） （2） （3） 【方法技巧与总结】 （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 【变式7】（2025·高二·江西南昌·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1），； （2）， （3），. 【变式8】（2025·高二·新疆喀什·期中）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) (5) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 【变式9】（2025·高二·广西河池·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）由题意可知：. （2）由题意可知：， 所以. （3）由题意可知：. （4）由题意可知：. 题型四：借助导数确定函数表达式中的参数值 【例题7】（2025·高二·河南许昌·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由函数，可得， 令，可得，即，解得. 故答案为：. 【例题8】（2025·高三·湖北黄冈·月考）已知函数，则 . 【答案】 【解析】因为， 求导得， 将代入上式得， 可得， 则函数解析式为， 所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可． 【变式10】（2025·高二·陕西咸阳·月考）已知函数的导函数为，且满足，则 ． 【答案】8 【解析】因， 故， 令得，解得， 所以，故， 当时得 故答案为： 【变式11】（2025·高二·四川成都·月考）已知函数，则在处的导数是 ． 【答案】/ 【解析】由题意知，， 令，得，解得， 所以在的导数为. 故答案为： 【变式12】（2025·高二·天津·月考）已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由， 则， 则，即， 则， 则. 故答案为：. 题型五：利用导数探究曲线的切线方程（含在点P处、过点P处两种情况） 【例题9】（2025·高二·吉林白山·月考）（1）求曲线在处的切线； （2）求过点与曲线相切的直线方程. 【解析】（1）， ， 切线方程为， 即； （2）设切点为， 则， 切线方程为， 切线过点， ， ， ， 或， 切线方程为或． 【例题10】（2025·高二·陕西西安·月考）（1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程． 【解析】（1）由得， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）设切点为，， 则，切线方程为， 将代入上式得，， 由于，故上式可整理为， ，解得或， 所以切线方程为或， 即或. 【方法技巧与总结】 （1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． （2）求过点与曲线相切的直线方程的三个步骤 【变式13】已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【解析】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 【变式14】（2025·高二·福建泉州·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【解析】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 【变式15】（2025·高二·河北·开学考试）已知函数（，）的图象过点，且． (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程． 【解析】（1）因为函数的图象过点，所以①． 又，，所以②， 由①②解得，． （2）由（1）知， 设所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 可得， ， ，解得， 所以切点为，切线方程为． 故曲线过点的切线方程为． 题型六：依据导数公式求解切线的切点坐标 【例题11】（2025·高二·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 【例题12】（2025·高二·北京·期中）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A．（，-1） B．（e，1） C．（，） D．（0，1） 【答案】B 【解析】直线过原点， 设是曲线上任意一点， ，所以在点的曲线的斜率为， 所以在点的曲线的切线方程为， 即，将代入上式得， 所以切点为. 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． （2）结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养． 【变式16】（2025·高二·福建莆田·期末）如果曲线的一条切线与直线平行，则切点坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】由已知，． 设切点坐标为， 因为曲线的一条切线与直线平行， 所以曲线在处的切线斜率为5， 即，所以，此时． 所以切点坐标为． 故选：B． 【变式17】（2025·高二·浙江·期中）已知的切线斜率等于，则切点坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】，则，由可得， 因此，，，故所求切点的坐标为或. 故选：B. 【变式18】（2025·高二·北京·期末）过点P（0，2）作曲线y＝的切线，则切点坐标为（    ） A．（1，1） B．（2，） C．（3，） D．（0，1） 【答案】A 【解析】设切点, ,即切点 故选：A 题型七：与切线相关的综合类问题 【例题13】（多选题）（2025·高三·湖北·期末）设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】BC 【解析】设为直线上任意一点， 过点作的切线，切点为， 则函数图象在点B处的切线方程为， 即，   整理得，， 解得1或 当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条； 当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条. 故选：. 【例题14】（多选题）（2025·高二·全国·单元测试）若直线是曲线的切线，则曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为直线是曲线的切线，所以在某点处的导数值为． 对于A，由，可得， 令，即， 因为，所以有解，故A正确． 对于B，由，可得， 令，可得，无解，故B不正确． 对于C，，故有解，故C正确． 对于D，的定义域为， 令，可得，不符合， 所以无解，故D不正确． 故选：AC 【方法技巧与总结】 （1）求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． （2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内． 【变式19】（多选题）（2025·高二·广东佛山·期中）已知函数，若的图象上存在与直线垂直的切线，则实数的可能取值是（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】ACD 【解析】由题意得，与直线垂直的直线的斜率为， 而， 所以在上有解， 整理得在上有解， 因为 ，所以 ， 故大于-1的数有： ， 故选：． 【变式20】（多选题）（2025·高二·河北石家庄·月考）若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】函数的图象上存在与直线垂直的切线，即有解， ∴，即在内有解， 令，则，设，则，当且仅当，即时取等. 故，所以时，方程在内有解． 故选：CD． 【变式21】（多选题）（2025·高二·江苏南通·期末）过轴上一点作函数的图象的切线，则切线的条数可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【解析】由题意知，， 设切点为， 则切线方程为， 设轴上一点，代入切线方程， 得，即， 该方程有可能有一个，两个或三个零点，所以可作切线的条数为1,2或3条， 故选：BCD. 题型八：切线的平行与垂直判定问题 【例题15】（2025·高三·江西吉安·期末）已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，则 不妨设，点和点，两切线的斜率分别为， ∴，∴， ∴等价于， 等价于或 解得，或．故a的范围是． 故答案为：. 【例题16】（2025·高二·北京·期中）已知曲线y＝存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数： . 【答案】（答案不唯一） 【解析】两条切线互相平行应先满足在切点处的导数值相等， 例如，，，， 此时，， 函数在处的切线方程为：； 函数在处的切线方程为：；合乎题意， 故答案为：（答案不唯一） 【方法技巧与总结】 切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为． 【变式22】（2025·高三·湖南·月考）已知曲线：，曲线：， （1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数 ； （2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 －2 【解析】(1)由已知分别求出曲线在处的切线的斜率及曲线在处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得的值; (2)曲线上任意一点处的切线的斜率,则与垂直的直线斜率为,再求出过曲线上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案.(1),则曲线在处的切线的斜率, 在处的切线的斜率, 依题意有,即; (2)曲线上任意一点处的切线的斜率, 则与垂直的直线的斜率为, 而过上一点处的切线的斜率, 依题意必有,解得, 故答案为:. 【变式23】（2025·高三·江西赣州·期末）设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为 . 【答案】 【解析】设，因为的导数为， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为的导数为，曲线在点处的切线斜率为， 所以，解得，代入可得，故. 故答案为：. 【变式24】（2025·高三·全国·月考）设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则 ；的取值范围是 . 【答案】 2 【解析】当时，；当时，， 依题意可知，且， 切线分别是， ， 故， 由两切线垂直知， ； 由两点间的距离公式得，， . 故答案为：； 题型九：利用导数解决函数的最值问题 【例题17】（2025·高二·广东深圳·期末）若点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值，则a的值为（   ） A．0 B．4 C．-6 D．4或-6 【答案】B 【解析】由，求导得，其中直线的斜率为2， 令，解得： 当时，则，故到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式得最小值为，解得或， 且时，曲线与直线有交点，距离最小值为0，舍去． 故选：B. 【例题18】（2025·高二·广东清远·月考）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与直线平行的直线l的方程为， ∴当直线l与曲线相切，且点Q为切点时，两点间的距离最小， 设切点，所以， ， 点直线l的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为． 故选：B 【方法技巧与总结】 转化为切点到直线距离 【变式25】（2025·高二·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 【变式26】（2025·广东·一模）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得，代入曲线， 所以的最小值即为点到直线的距离. 故选：B. 【变式27】（2025·高三·安徽合肥·期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当函数在点处的切线与平行时，最小. ，令得或（舍），所以切点为， 所以的最小值为切点到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：D. 题型十：函数图像的公切线求解问题 【例题19】（2025·高三·陕西西安·月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【解析】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 【例题20】（2025·高二·安徽合肥·期中）函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．2 【答案】C 【解析】，则，则在点处的切线的斜率为， ，则，则在点处的切线的斜率为， 函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线， 则，即， 故选：C. 【方法技巧与总结】 （1）设两函数、 上切点分别为。 （2）求导得切线斜率、，斜率相等即。 （3）写出两切线方程，利用切线重合，截距相等列方程。 （4）联立方程求解，，代入得公切线方程。 【变式28】（2025·高三·内蒙古阿拉善盟·期末）已知函数.若曲线和在公共点处有相同的切线，则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由题意，解得 故选:A. 【变式29】（2025·陕西渭南·一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故选：D 【变式30】（2025·高三·江苏·月考）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【解析】如图所示 设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率； 所以，，即在点处的斜率为， ，即在点处的斜率为， 得； 又因为，所以斜率 由得，或； 由得，； 因此，存在，和，使得， 即此时直线即为两条曲线的公切线； 同时，存在，和，使得，且； 所以，直线即为异于直线的第二条曲线的公切线； 综上可知，直线的条数有2条. 故选：B. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $