5．2 导数的运算（10大题型）训练-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

5．2 导数的运算 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：运用导数基本公式求解函数导数 2 题型二：计算函数和、差、积、商形式的导数 3 题型三：求解复合函数的导数 4 题型四：借助导数确定函数表达式中的参数值 5 题型五：利用导数探究曲线的切线方程（含在点P处、过点P处两种情况） 6 题型六：依据导数公式求解切线的切点坐标 8 题型七：与切线相关的综合类问题 9 题型八：切线的平行与垂直判定问题 12 题型九：利用导数解决函数的最值问题 13 题型十：函数图像的公切线求解问题 14 02 重难点拓展 17 题型一：运用导数基本公式求解函数导数 1．（多选题）（2025·高二·陕西·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】直接计算得，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 2．（多选题）（2025·高二·江苏扬州·期中）下列说法中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误. 故选：BC 3．（多选题）（2025·高二·甘肃酒泉·月考）以下求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：AC 题型二：计算函数和、差、积、商形式的导数 4．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1） （2） （3） （4） ． 5．求下列函数的导数： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） ． 6．（2025·高二·新疆喀什·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）； （2）； （3）. 题型三：求解复合函数的导数 7．（2025·高二·江苏·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 【解析】（1）由函数， 可得. （2）由函数， 可得 8．（2025·高二·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 【解析】（1）. （2） . （3），则. 9．（2025·高二·青海海南·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. （4）因为，所以. 题型四：借助导数确定函数表达式中的参数值 10．（2025·高二·广东江门·期中）已知函数，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，所以，解得. 故答案为： 11．（2025·高二·湖北·月考）已知，则 ． 【答案】 【解析】已知，则， 令，则，解得. 则，则. 故答案为：. 12．（2025·高二·北京海淀·期中）函数的导函数为，且，则 . 【答案】 【解析】， 令，则， 解得： 故答案为：. 题型五：利用导数探究曲线的切线方程（含在点P处、过点P处两种情况） 13．（2025·高二·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【解析】（1）由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 14．（2025·高二·湖北武汉·期中）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【解析】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 15．（2025·高一·山西忻州·期末）已知曲线，求 (1)曲线在点处的切线方程； (2)曲线过点的切线方程； (3)曲线平行于直线的切线方程. 【解析】（1）由得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即. （2）因为切点在曲线上，所以可设切点为， 则， 则切线方程为， 因为切线过，代入切向方程得： 化简得， 则或 所以曲线过点的切线方程为： 或. （3）直线的斜率为， 设切点为， 则由（2）知切线方程为， 则由切线与直线平行得， 即或， 所以切线方程为或， 即或 题型六：依据导数公式求解切线的切点坐标 16．（2025·高三·山东·开学考试）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由函数，可得， 设切点坐标为，所以， 所以切线方程为， 所以，即， 因为过点作该曲线的两条切线， 所以关于的方程有两个不同的解， 即关于的方程有两个不同的解，所以. 故选：D. 17．（2025·高三·山西·月考）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题意得，过点作曲线的两条切线， 设切点坐标为，则，即， 由于，故，， 由题意可知，为的两个解，则，， 故. 故选：B 18．（2025·高三·四川成都·月考）若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，所以， 设切点为，则切线方程为：， 将点代入得， 即，解得或， 所以切点横坐标之和为 故选：D. 题型七：与切线相关的综合类问题 19．（多选题）若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数 具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同. 对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在两个不同的使得导数值相等，所以A选项不符合； 对于B选项，，则，令，可得或，当时，所以函数的图象在和处的切线重合，切线方程为，所以B选项符合； 对于C选项，，则，设两切点分别为和，由两切点处的导数值相等得，解得，令，则，两切点处的导数值均为，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合； 对于D选项，，则，设两切点的坐标分别为和，则，所以，取， 则，两切点处的导数值均为1，两切点连线的斜率为，所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合Z性质，所以D选项符合. 故选：BD. 20．（多选题）（2025·高二·江苏苏州·月考）下列函数中，直线（）能作为其切线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A：因为，所以，设切点为， 所以，则或， 所以直线（）能作为其切线，故A正确； B：因为，所以，设切点为，所以，方程无解， 所以直线（）不能作为其切线，故B错误； C：因为，所以，设切点为， 所以，则，所以直线（）能作为其切线，故C正确； D：因为，所以，设切点为，所以，方程无解， 所以直线（）不能作为其切线，故D错误. 故选：AC. 21．（多选题）（2025·高三·江苏南京·月考）设函数，且，下列命题：其中正确的命题是（    ） A．若，则； B．存在，，使得； C．若，，则； D．对任意的，，都有. 【答案】BCD 【解析】结合割线与切线斜率的大小关系即可判断选项A、B、C，根据中位线与函数值的大小比较可判断选项D，进而可得正确选项. 由可得， 如图：对于选项A：表示曲线在点处的切线斜率小于割线的斜率，所以，故选项A不正确； 对于选项B：在点处的切线斜率小于割线的斜率，在点处的切线斜率大于割线的斜率，所以在曲线上必存在某点，使得该点处的切线斜率等于割线的斜率，所以存在，使得； 故选项B正确； 对于选项C： ，由图知割线的斜率，小于在点处的切线的斜率，所以，故选项C正确； 对于选项D：由图知梯形中位线的长为，的长为， 因为，所以，故选项D正确； 故选：BCD 题型八：切线的平行与垂直判定问题 22．（2025·高二·浙江嘉兴·期末）已知函数与的图象在交点处的切线互相垂直，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意，易知与均为偶函数， ∴由对称性，不妨讨论部分的图象交点，此时，， 若交点横坐标为，则，可得，故交点坐标为， 又，则， ∴，又， ∴当时，. 故答案为： 23．（2025·高三·安徽芜湖·期末）曲线上某点处的切线与直线垂直，则该切线方程为 ． 【答案】 【解析】由可求得切点的横坐标，结合函数的解析式可得出切点的坐标，再利用点斜式可得出所求切线的方程.，该函数的定义域为，， 直线的斜率为，故所求切线的斜率为，由，可得， ，故切点为， 所以，所求切线的方程为，即. 故答案为：. 24．（2025·高三·河北·月考）已知曲线在点处的切线平行于直线，则 . 【答案】－1 【解析】的导数为， 即在点处的切线斜率为， 由切线平行于直线， 则，即， 解得或. 若，则切点为，满足直线，不合题意. 若，则切点为，不满足直线，符合题意. 故答案为. 题型九：利用导数解决函数的最值问题 25．（2025·宁夏银川·一模）已知实数满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，又， 表示点与曲线上的点之间的距离； 点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离； 令，则， 令，即，解得：或（舍）， 又， 的最小值即为点到直线的距离，的最小值为. 故选：B. 26．（2025·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C 27．（2025·高三·云南昆明·月考）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点， 令，可得，故切点为， 以为切点平行于的切线为，此时有. 故选：A 题型十：函数图像的公切线求解问题 28．（2025·高三·河南洛阳·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 【答案】A 【解析】由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故选：A． 29．（2025·高三·湖南邵阳·期末）已知直线为曲线在处的切线，若与二次曲线也相切，则（    ） A．0 B． C．4 D．0或4 【答案】C 【解析】因为，所以，所以， 所以曲线在处的切线斜率为， 则曲线在处的切线方程为，即． 由于切线与曲线相切， 由，得， 又，两线相切有一切点， 所以， 解得或（舍去）． 故选：C． 30．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，，所以， 所以切线的方程为， 又，所以， 设切线与的切点为， 可得切线的斜率为，即， ，可得切点为， 所以，解得． 故选：D． 1．（2025·高二·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 2．（2025·高二·江苏·期末）下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，A不正确； ，B不正确； ，C不正确； ，D正确. 故选：D 3．（2025·高二·上海·期中）已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求的值，下列最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为, 则, 当时，则有, 又 , 则 . 故选∶B 4．（2025·高三·广东广州·月考）已知函数满足，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，解得， 即点在函数的图象上，求导得， 令，则， 所以在点处的切线方程为，即. 故选：B 5．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数，直线与函数的图象相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与函数相切于点， 因为，所以， 根据导数的几何意义有， 因为点在直线上，所以， 因为点在曲线上， 所以， 所以有， 所以，即，， 对两边取对数有，，即， 将代入，有，解得， 又因为，所以. 故选：B 6．（2025·高二·广东中山·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 7．（2025·高二·河北秦皇岛·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率， 而曲线，即函数定义域为， 设，对函数求导得， 令，而，解得，此时， 则曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离， 为点到直线的距离 为. 故选：B. 8．（2025·高二·浙江杭州·期末）设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于， 设此时，，，则此时点处的切线斜率， 因为，所以，解得，，， 综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小， 最小距离为. 故选：B. 9．（多选题）（2025·高二·福建莆田·月考）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A中，，则，A正确； 对于B中，，则，B错误； 对于C中，，则，C错误； 对于D中，，则，D正确. 故选：AD 10．（2025·高二·江苏连云港·月考）已知函数，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为， 则， 所以. 故答案为：. 11．（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）若直线与曲线相切，则 . 【答案】 【解析】由得， 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以. 故答案为：. 12．（2025·陕西西安·二模）已知曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】有题意得，所以曲线在点处的切线的斜率为， 又，所以切线方程为，整理得. 故答案为：. 13．（2025·山西晋中·模拟预测）若直线与函数的图象相切，则 ． 【答案】 【解析】设直线与函数图象的切点为， ， ， ，， ， ，又在直线上， ，． 故答案为：． 14．（2025·高三·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】设直线与曲线的切点横坐标为， 由，得，解得 所以切点坐标为，代入直线方程得到. 设直线与曲线的切点横坐标为， 则， 且，联立得， 所以，即. 所以， 故答案为： 15．（2025·高二·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令可得，解得，故， 所以，即切点坐标为， 因此函数在处的切线方程是，即. 故答案为：. 16．（2025·高三·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 【答案】或（写出其中一条即可） 【解析】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 17．（2025·高三·陕西商洛·月考）若直线与函数的图象相切，则 . 【答案】1 【解析】由，可得， 直线与函数的图象相切，设切点为， 则，即； 而点既在直线，又在函数上， 故，，即得， 故，则， 则， 故答案为：1 18．（2025·高二·湖北孝感·月考）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 【答案】 【解析】，设切点为， 故切线方程为， 且切线过点，则， 即，， 由题意可得，方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 故答案为：. 19．（2025·高二·全国·单元测试）已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线． (1)求的表达式； (2)求点处的公切线方程； (3)过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 【解析】（1）由已知可得，得， 则，． 又在点处有公切线，故可得， 即，得，则， 所以． （2）由（1）知，，所以点处的公切线方程为，即． （3）设切点为，则切线的斜率为， 故，解得或， 又点在第三象限，故解得，即． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．2 导数的运算 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：运用导数基本公式求解函数导数 2 题型二：计算函数和、差、积、商形式的导数 2 题型三：求解复合函数的导数 3 题型四：借助导数确定函数表达式中的参数值 4 题型五：利用导数探究曲线的切线方程（含在点P处、过点P处两种情况） 4 题型六：依据导数公式求解切线的切点坐标 5 题型七：与切线相关的综合类问题 5 题型八：切线的平行与垂直判定问题 6 题型九：利用导数解决函数的最值问题 6 题型十：函数图像的公切线求解问题 7 02 重难点拓展 8 题型一：运用导数基本公式求解函数导数 1．（多选题）（2025·高二·陕西·期中）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·高二·江苏扬州·期中）下列说法中正确的有（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）（2025·高二·甘肃酒泉·月考）以下求导正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：计算函数和、差、积、商形式的导数 4．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．求下列函数的导数： (1)； (2)． 6．（2025·高二·新疆喀什·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 题型三：求解复合函数的导数 7．（2025·高二·江苏·期末）求下列函数的导函数. (1)； (2). 8．（2025·高二·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数： (1) (2) (3) 9．（2025·高二·青海海南·期中）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四：借助导数确定函数表达式中的参数值 10．（2025·高二·广东江门·期中）已知函数，则 . 11．（2025·高二·湖北·月考）已知，则 ． 12．（2025·高二·北京海淀·期中）函数的导函数为，且，则 . 题型五：利用导数探究曲线的切线方程（含在点P处、过点P处两种情况） 13．（2025·高二·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 14．（2025·高二·湖北武汉·期中）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 15．（2025·高一·山西忻州·期末）已知曲线，求 (1)曲线在点处的切线方程； (2)曲线过点的切线方程； (3)曲线平行于直线的切线方程. 题型六：依据导数公式求解切线的切点坐标 16．（2025·高三·山东·开学考试）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．3 17．（2025·高三·山西·月考）过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C．1 D．2 18．（2025·高三·四川成都·月考）若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（    ） A． B． C． D． 题型七：与切线相关的综合类问题 19．（多选题）若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数 具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有（    ） A． B． C． D． 20．（多选题）（2025·高二·江苏苏州·月考）下列函数中，直线（）能作为其切线的有（    ） A． B． C． D． 21．（多选题）（2025·高三·江苏南京·月考）设函数，且，下列命题：其中正确的命题是（    ） A．若，则； B．存在，，使得； C．若，，则； D．对任意的，，都有. 题型八：切线的平行与垂直判定问题 22．（2025·高二·浙江嘉兴·期末）已知函数与的图象在交点处的切线互相垂直，则的最小值为 . 23．（2025·高三·安徽芜湖·期末）曲线上某点处的切线与直线垂直，则该切线方程为 ． 24．（2025·高三·河北·月考）已知曲线在点处的切线平行于直线，则 . 题型九：利用导数解决函数的最值问题 25．（2025·宁夏银川·一模）已知实数满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·四川·一模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（2025·高三·云南昆明·月考）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型十：函数图像的公切线求解问题 28．（2025·高三·河南洛阳·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 29．（2025·高三·湖南邵阳·期末）已知直线为曲线在处的切线，若与二次曲线也相切，则（    ） A．0 B． C．4 D．0或4 30．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·高二·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·江苏·期末）下列求导正确的（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·上海·期中）已知泰勒展开式：，如果使用泰勒展开式求的值，下列最接近的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·广东广州·月考）已知函数满足，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数，直线与函数的图象相切，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·广东中山·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·河北秦皇岛·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高二·浙江杭州·期末）设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高二·福建莆田·月考）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2025·高二·江苏连云港·月考）已知函数，则的值为 ． 11．（2025·高二·重庆沙坪坝·期中）若直线与曲线相切，则 . 12．（2025·陕西西安·二模）已知曲线在点处的切线方程为 . 13．（2025·山西晋中·模拟预测）若直线与函数的图象相切，则 ． 14．（2025·高三·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 15．（2025·高二·浙江宁波·期中）已知函数，则函数在处的切线方程是 ． 16．（2025·高三·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 17．（2025·高三·陕西商洛·月考）若直线与函数的图象相切，则 . 18．（2025·高二·湖北孝感·月考）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 19．（2025·高二·全国·单元测试）已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线． (1)求的表达式； (2)求点处的公切线方程； (3)过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $