5.2分式的运算（一）讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本初中数学讲义聚焦分式乘法、除法及乘方运算法则，以分数运算为基础类比迁移，通过课前预习引导构建知识联系，课堂探秘深化法则推导，结合例题与分层检测形成完整学习支架，助力学生掌握运算逻辑与步骤。 该资料以类比培养数学眼光，通过法则推导发展推理意识与运算能力，融入实际问题提升应用意识。课中辅助教师引导探究，课后分层作业帮助学生查漏补缺，强化知识理解与实际应用能力。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第五章分式与分式方程第二节分式的运算（一）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解分式乘法、除法的运算法则，能准确表述法则的推导依据； 2.掌握分式乘除的运算步骤，能熟练进行简单分式的乘除运算； 3.理解分式乘方的意义，掌握分式乘方的运算法则，会进行分式的乘方运算； 4.能综合运用分式的乘、除、乘方运算法则解决实际问题，提升运算能力与逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.分式乘法法则的理解与应用； 2.分式除法法则的理解与应用（转化为乘法运算）； 3.分式乘方运算法则的掌握与运算。 （二）难点 1.分式乘除运算中分子、分母因式分解及约分的灵活运用； 2.分式乘方与乘除混合运算的顺序把握； 3.运算结果化为最简分式或整式的规范要求。 ) 三．课前预习 1.分数乘法法则：两个分数相乘，用______的积做积的分子，用______的积做积的分母，即=______（b、d均不为0）。 2.分数除法法则：两个分数相除，等于被除数乘除数的______，即____=______（b、c、d均不为0）。 3.类比分数乘法法则，分式乘法法则：两个分式相乘，用______的积做积的分子，用______的积做积的分母，即=______（B、D均不为0）。 4.类比分数除法法则，分式除法法则：两个分式相除，等于被除式乘除式的______，即________= ____________.（B、C、D均不为0）。 5.分式乘方的意义：求n个______的积的运算叫做分式的乘方，用式子表示为______（n为正整数，B≠0）。 6.分式乘方法则：分式的乘方，等于把分子、分母分别______，再把所得的幂______，即 =______（n为正整数，B≠0）。 7.计算=________，=______。 8.化简 =_________，=__________。 四．课堂探秘 探究一：分式乘法法则及其推导 1.回顾分数乘法运算： 分数乘法的核心是“分子乘分子，分母乘分母”，再约分。 2.类比迁移：对于分式和（b、d不为0），它们的乘法运算是否可以沿用类似思路？ 推导：，由此得出分式乘法法则。 3.探究关键：运算前需注意分子、分母是否为整式，运算后必须将结果化为最简分式或整式（即约分至分子分母无公因式）。 4.分式的乘法法则 （1）文字表述：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 （2）符号表示：（其中B、D均不为0）。 （3）核心要点：运算前可先对分子、分母因式分解，再约分，最后计算乘积，结果需化为最简分式或整式。 探究二：分式除法法则及其推导 1.回顾分数除法运算： 分数除法核心是“除以一个数等于乘它的倒数”。 2.类比迁移：分式除法中，除式的倒数如何表示？为什么可以这样转化？ 推导：即得出分式除法法则。 3.探究关键：除法转化为乘法时，务必将除式的分子、分母颠倒位置，再按乘法法则运算。 4.分式的除法法则 （1）文字表述：两个分式相除，等于被除式乘除式的倒数，再按乘法法则计算。 （2）符号表示：（其中B、C、D均不为0）。 （3）核心要点：关键是将除法转化为乘法（颠倒除式的分子分母），后续步骤与乘法运算一致，注意分母不能为0的限制条件。 探究三：分式乘方的意义与法则 1.回顾整式乘方：an表示n个a相乘，如23 = 2×2×2 = 8。 2.类比迁移：分式（）3表示什么？如何计算？ 分析： 3.推广归纳：= （n为正整数，B≠0），得出分式乘方法则。 4.探究关键：分式乘方时，分子、分母要分别乘方，不能漏乘任何一项；若分子或分母是多项式，需先将其视为一个整体再乘方。 5.分式的乘方法则： （1）文字表述：分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除（n为正整数，分母不为0）。 （2）符号表示： （B≠0，n为正整数）。 （3）关键注意点： ①分子、分母需分别乘方，不能漏乘任何一项； ②若分子或分母是多项式，要先视为一个整体再乘方（如； ③符号遵循“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”（如，）。 【经典例题】 例1.计算的结果是（　　） A. B. C.2x D.2y 例2.计算·xy等于（　　） A. B. C. D.x3y2 例3.下列计算正确的是（　　） A.＝ B. C. D. 例4.以下四个式子①÷；②·；③÷；④÷.其计算结果仍是分式的是_______(填序号)． 例5. 先化简，再求值：，其中a= - 例6. 已知|a-4|+，计算·的值. 五．课堂检测 （一）．选择题 1.计算等于( ) A B. C. D. 2.计算等于（　　） A. B. C. D. 3.计算分式得（　　） A. B. C. D. 4. 下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式成立的是( ) A. B. C. D. 6. 下列计算结果正确的有（ ） ①；②6a2b3=-4a3；③；④b÷a·=b ⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列各式的计算结果中，是分式的是（ ） ①； ② ③ ④. A. ① B. ①④ C. ②④ D. ①③④ 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 10. 化简的结果是（　　） A. ﹣x﹣1 B. ﹣x+1 C. ﹣ D. （二）．填空题 11.化简：＝     　． 12.计算（）÷6ab=　     　． 13.计算：       　． 14.计算÷＝____________. 15.以下四个式子①÷；②·；③÷；④÷.其计算结果仍是分式的是_______(填序号)． 16.计算分式得____________. 17.化简结果为　       　． 18.计算()3·()3，结果等于　     　． 19.陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下： 整个游戏过程，　     　负责的那一步出现了错误． 20.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地到乙地按V千米/时的速度行驶，可按时到达，若按（V+2）千米/时的速度行驶，可提前　    　小时到达． （三）．解答题 21．计算： (1) (2) (3) (4) 22．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并加以证明． 23. 求下列各式的值. (1)已知xa=2，xb=6，x≠0，求x3a-2b的值； (2)若= -2，求的值. 24.嘉琪准备完成图这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为　　 （1）求被墨水污染的部分； （2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 25．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a＝b时，a的值是 　 　．（2）当a≠b时，代数式的值是 　 　． 六．课后作业 （一）完成知识清单 一、分式的乘法法则 1.文字表述：两个分式相乘，用分子的积作为积的______，用分母的积作为积的______。 2.字母表示：（其中B、D均不为0）。 3.运算关键：相乘前可先对分子、分母进行______，再相乘能简化运算。 二、分式的除法法则 1.文字表述：两个分式相除，把除式的______和______颠倒位置后，与被除式相乘。 2.字母表示：（其中B、C、D均不为0）。 3.本质转化：分式除法的核心是将其转化为______运算。 三、分式的乘方法则 1.文字表述：分式的乘方是把分子、分母各自______。 2.字母表示：（其中n为正整数，B≠0）。 3.延伸结论：的结果符号：当n为正偶数时，结果为______；当n为正奇数时，结果为______。 四、混合运算注意事项 1.运算顺序：先算______，再算乘除，同级运算从______到______依次进行。 2.符号规则：分式运算中，负号的个数决定结果的符号，奇数个负号结果为______，偶数个负号结果为______。 3.结果要求：运算结果需化为______分式或整式（分子与分母没有公因式）。 4.限制条件：所有分母及除式的分子不能为______，否则分式无意义。 五、公式拓展与应用 1.整数指数幂性质适配：（其中n为正整数，A、B均不为0）。 2.连乘运算简化：（其中B1、B2、B3均不为0）。 （二）强化训练 一．选择题 1. 计算的结果为（　　） A. B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 小马在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是( ) A. - B. C. -1 D. 1 5. 化简÷的结果是　(　　) A. -a-1 B. -a+1 C. -ab+1 D. -ab+b 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7．计算a÷×的结果是（　　） A．a B．a2 C． D． 8.下列计算正确的是（　　） A．（﹣2x2y）3•（﹣y）＝10x6y4 B．÷（a+b）＝1 C．＝a+1 D．2a÷＝b 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 10．分式的值可能等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 二．填空题 11.计算：＝　     　． 12.      　； 13.　   　． 14.化简=               . 15.计算（）÷6ab=　     　． 16.计算=　       ． 17.化简1÷=　          ． 18.化简=　        ． 19.计算：          ． 20.若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝　  　． 三．解答题 21．计算： (1) (2) (3) (4) 22．（1）计算：； （2）已知，，先化简再求值：； （3）已知，，先分解因式，再求值：． 23.观察下列各组式子： ①；②；③ （1）请根据上面的规律写出第 个式子； （2）请写出第个式子，并证明你发现的规律． 24. 求下列各式的值. (1)已知xa=2，xb=6，x≠0，求x3a-2b的值； (2)若= -2，求的值. 24．如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形. （1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比. （2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？ （3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第五章分式与分式方程第二节分式的运算（一）》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解分式乘法、除法的运算法则，能准确表述法则的推导依据； 2.掌握分式乘除的运算步骤，能熟练进行简单分式的乘除运算； 3.理解分式乘方的意义，掌握分式乘方的运算法则，会进行分式的乘方运算； 4.能综合运用分式的乘、除、乘方运算法则解决实际问题，提升运算能力与逻辑推理能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.分式乘法法则的理解与应用； 2.分式除法法则的理解与应用（转化为乘法运算）； 3.分式乘方运算法则的掌握与运算。 （二）难点 1.分式乘除运算中分子、分母因式分解及约分的灵活运用； 2.分式乘方与乘除混合运算的顺序把握； 3.运算结果化为最简分式或整式的规范要求。 ) 三．课前预习 1.分数乘法法则：两个分数相乘，用______的积做积的分子，用______的积做积的分母，即=______（b、d均不为0）。 2.分数除法法则：两个分数相除，等于被除数乘除数的______，即____=______（b、c、d均不为0）。 3.类比分数乘法法则，分式乘法法则：两个分式相乘，用______的积做积的分子，用______的积做积的分母，即=______（B、D均不为0）。 4.类比分数除法法则，分式除法法则：两个分式相除，等于被除式乘除式的______，即________= ____________.（B、C、D均不为0）。 5.分式乘方的意义：求n个______的积的运算叫做分式的乘方，用式子表示为______（n为正整数，B≠0）。 6.分式乘方法则：分式的乘方，等于把分子、分母分别______，再把所得的幂______，即 =______（n为正整数，B≠0）。 7.计算=________，=______。 8.化简 =_________，=__________。 【答案】1. 分子；分母； 2.倒数；； 3.分子；分母； 4.倒数；； 5.相同分式； 6.乘方；相除； 7.； 8.1； 四．课堂探秘 探究一：分式乘法法则及其推导 1.回顾分数乘法运算： 分数乘法的核心是“分子乘分子，分母乘分母”，再约分。 2.类比迁移：对于分式和（b、d不为0），它们的乘法运算是否可以沿用类似思路？ 推导：，由此得出分式乘法法则。 3.探究关键：运算前需注意分子、分母是否为整式，运算后必须将结果化为最简分式或整式（即约分至分子分母无公因式）。 4.分式的乘法法则 （1）文字表述：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。 （2）符号表示：（其中B、D均不为0）。 （3）核心要点：运算前可先对分子、分母因式分解，再约分，最后计算乘积，结果需化为最简分式或整式。 探究二：分式除法法则及其推导 1.回顾分数除法运算： 分数除法核心是“除以一个数等于乘它的倒数”。 2.类比迁移：分式除法中，除式的倒数如何表示？为什么可以这样转化？ 推导：即得出分式除法法则。 3.探究关键：除法转化为乘法时，务必将除式的分子、分母颠倒位置，再按乘法法则运算。 4.分式的除法法则 （1）文字表述：两个分式相除，等于被除式乘除式的倒数，再按乘法法则计算。 （2）符号表示：（其中B、C、D均不为0）。 （3）核心要点：关键是将除法转化为乘法（颠倒除式的分子分母），后续步骤与乘法运算一致，注意分母不能为0的限制条件。 探究三：分式乘方的意义与法则 1.回顾整式乘方：an表示n个a相乘，如23 = 2×2×2 = 8。 2.类比迁移：分式（）3表示什么？如何计算？ 分析： 3.推广归纳：= （n为正整数，B≠0），得出分式乘方法则。 4.探究关键：分式乘方时，分子、分母要分别乘方，不能漏乘任何一项；若分子或分母是多项式，需先将其视为一个整体再乘方。 5.分式的乘方法则： （1）文字表述：分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除（n为正整数，分母不为0）。 （2）符号表示： （B≠0，n为正整数）。 （3）关键注意点： ①分子、分母需分别乘方，不能漏乘任何一项； ②若分子或分母是多项式，要先视为一个整体再乘方（如； ③符号遵循“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”（如，）。 【经典例题】 例1.计算的结果是（　　） A. B. C.2x D.2y 【答案】B 【解析】原式=×=.故选：B． 例2.计算·xy等于（　　） A. B. C. D.x3y2 【答案】C 【解析】原式==. 故选：C． 例3.下列计算正确的是（　　） A.＝ B. C. D.【答案】C 【解析】∵＝，∴A选项错误；∵，∴B选项错误； ∵，∴C选项正确；∵，∴D选项错误． 故选：C． 例4.以下四个式子①÷；②·；③÷；④÷.其计算结果仍是分式的是_______(填序号)． 【答案】① 【解析】①÷＝·＝，结果是分式；②·＝，结果不是分式；③÷＝·＝，结果不是分式；④÷＝·＝，结果不是分式． 例5. 先化简，再求值：，其中a= - 解： 当时，原式 例6. 已知|a-4|+，计算·的值. 解： ∴a−4=0且b−9=0，∴a=4，b=9. 原式当a=4,b=9时,原式 五．课堂检测 （一）．选择题 1.计算等于( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】，故答案是B选项 2.计算等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】==.故选：C． 3.计算分式得（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】＝＝.故选：C. 4. 下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A选项分子和分母同时除以最大公因式；B选项的分子和分母互为相反数；C选项分子和分母同时除以最大公因式，D选项正确的变形是所以答案是D选项故选D. 5. 下列各式成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A. 故错误.B. 故错误.C. 故正确.D. 故错误. 故选C. 6. 下列计算结果正确的有（ ） ①；②6a2b3=-4a3；③；④b÷a·=b ⑤ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】①③⑤正确.故选C. 7. 下列各式的计算结果中，是分式的是（ ） ①； ② ③ ④. A. ① B. ①④ C. ②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】①结果是分式. ②结果不是分式.③结果是分式. ④结果分式.故选D. 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】原式故选D. 9. 已知，则M等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】故选A. 10. 化简的结果是（　　） A. ﹣x﹣1 B. ﹣x+1 C. ﹣ D. 【答案】A 【解析】原式故选A. （二）．填空题 11.化简：＝     　． 【答案】 【解析】原式＝． 12.计算（）÷6ab=　     　． 【答案】 【解析】原式=×=. 13.计算：       　． 【答案】 【解析】原式． 14.计算÷＝____________. 【答案】 【解析】÷＝·＝. 15.以下四个式子①÷；②·；③÷；④÷.其计算结果仍是分式的是_______(填序号)． 【答案】① 【解析】①÷＝·＝，结果是分式；②·＝，结果不是分式；③÷＝·＝，结果不是分式；④÷＝·＝，结果不是分式． 16.计算分式得____________. 【答案】 【解析】＝＝. 17.化简结果为　       　． 【答案】4b 【解析】原式=••a(x﹣y)=4b. 18.计算()3·()3，结果等于　     　． 【答案】 【解析】原式==. 19.陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”．过程如下： 整个游戏过程，　     　负责的那一步出现了错误． 【答案】乙、丁 【解析】， 游戏过程中，乙、丁负责的那步出现了错误． 20.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地到乙地按V千米/时的速度行驶，可按时到达，若按（V+2）千米/时的速度行驶，可提前　    　小时到达． 【答案】 【解析】根据题意得：，则可提前小时到达． （三）．解答题 21．计算： (1) (2) (3) (4) 解：（1） ； （2）； （3） ； （4）． 22．观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第7个等式：________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并加以证明． 解：（1）；（2）第个等式：． 23. 求下列各式的值. (1)已知xa=2，xb=6，x≠0，求x3a-2b的值； (2)若= -2，求的值. 解： 原式 24.嘉琪准备完成图这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． 化简：的结果为　　 （1）求被墨水污染的部分； （2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？ 解：（1）设被墨水污染的部分是，则， 解得：. （2）不同意，理由如下：若，则由原题可知，当时，原式，原分式无意义，所以当时，原分式的值不能等于1． 25．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a＝b时，a的值是 　 　．（2）当a≠b时，代数式的值是 　 　． 解：（1）当a＝b时，a2+2a＝a+2，a2+a﹣2＝0，（a+2）（a﹣1）＝0，解得：a＝﹣2或1，故答案为：﹣2或1； （2）联立方程组，将①+②，得：a2+b2+2a+2b＝b+a+4，整理，得：a2+b2+a+b＝4③，将①﹣②，得：a2﹣b2+2a﹣2b＝b﹣a，整理，得：a2﹣b2+3a﹣3b＝0，（a+b）（a﹣b）+3（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a+b+3）＝0，又∵a≠b， ∴a+b+3＝0，即a+b＝﹣3④，将④代入③，得a2+b2﹣3＝4，即a2+b2＝7，又∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9∴ab＝1，∴，故答案为：7． 六．课后作业 （一）完成知识清单 一、分式的乘法法则 1.文字表述：两个分式相乘，用分子的积作为积的______，用分母的积作为积的______。 2.字母表示：（其中B、D均不为0）。 3.运算关键：相乘前可先对分子、分母进行______，再相乘能简化运算。 二、分式的除法法则 1.文字表述：两个分式相除，把除式的______和______颠倒位置后，与被除式相乘。 2.字母表示：（其中B、C、D均不为0）。 3.本质转化：分式除法的核心是将其转化为______运算。 三、分式的乘方法则 1.文字表述：分式的乘方是把分子、分母各自______。 2.字母表示：（其中n为正整数，B≠0）。 3.延伸结论：的结果符号：当n为正偶数时，结果为______；当n为正奇数时，结果为______。 四、混合运算注意事项 1.运算顺序：先算______，再算乘除，同级运算从______到______依次进行。 2.符号规则：分式运算中，负号的个数决定结果的符号，奇数个负号结果为______，偶数个负号结果为______。 3.结果要求：运算结果需化为______分式或整式（分子与分母没有公因式）。 4.限制条件：所有分母及除式的分子不能为______，否则分式无意义。 五、公式拓展与应用 1.整数指数幂性质适配：（其中n为正整数，A、B均不为0）。 2.连乘运算简化：（其中B1、B2、B3均不为0）。 【答案】 一、分式的乘法法则 1.分子；分母 2. 3.因式分解（或约分） 二、分式的除法法则 1.分子；分母 2. 3.乘法 三、分式的乘方法则 1.乘方 2. 3.正数；负数 四、混合运算注意事项 1.乘方；左；右 2.负数；正数 3.最简 4. 0 五、公式拓展与应用 1. 2. （二）强化训练 一．选择题 1. 计算的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原式 ．故选A． 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】原式 故选C. 3. 小马在下面的计算题中只做对了一道题，你认为他做对的题目是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以D选项约分后等于y-x，故答案是D选项.故选D. 4. 计算的结果是( ) A. - B. C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】原式．故选：A． 5. 化简÷的结果是　(　　) A. -a-1 B. -a+1 C. -ab+1 D. -ab+b 【答案】B 【解析】试题解析：原式 故选B. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题解析：原式故选D. 7．计算a÷×的结果是（　　） A．a B．a2 C． D． 【答案】C 【解析】：a÷×＝a××＝．故选：C． 8.下列计算正确的是（　　） A．（﹣2x2y）3•（﹣y）＝10x6y4 B．÷（a+b）＝1 C．＝a+1 D．2a÷＝b 【答案】A 【解析】：A、结果是10x6y4，故本选项符合题意；B、结果是，故本选项不符合题意；C、结果是，故本选项不符合题意；D、结果是，故本选项不符合题意；故选：A． 9．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：，故选：B． 10．分式的值可能等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【答案】D 【解析】：＝×＝，由题意可知，分式的值反映的是分子x﹣1与分母x的倍数关系，由此易得：若x﹣1＝2x，则x＝﹣1，此时原式无意义；当x﹣1＝1•x，则x不存在（无解）；若x﹣1＝0•x，则x＝1，此时原式无意义；若x﹣1＝﹣1•x，则x＝，此时原式有意义．综上分析，应选D．故选：D． 二．填空题 11.计算：＝　     　． 【答案】1 【解析】原式＝＝1． 12.      　； 【答案】； 【解析】原式； 13.　   　． 【答案】 【解析】原式. 14.化简=               . 【答案】 【解析】原式=×=. 15.计算（）÷6ab=　     　． 【答案】 【解析】原式=×=. 16.计算=　       ． 【答案】 【解析】==. 17.化简1÷=　          ． 【答案】 【解析】原式=1÷=1÷=． 18.化简=　        ． 【答案】 【解析】原式===. 19.计算：          ． 【答案】 【解析】原式． 20.若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率．已知b，p，则a＝　  　． 【答案】 【解析】由p＝，变形得：pa＝b﹣a，解得：a＝． 三．解答题 21．计算： (1) (2) (3) (4) 解：（1）， （2）； （3）； （4） ； 22．（1）计算：； （2）已知，，先化简再求值：； （3）已知，，先分解因式，再求值：． 解：（1）； （2） ，把，代入上式，得：； （3），把，代入上式，得： ． 23.观察下列各组式子： ①；②；③ （1）请根据上面的规律写出第 个式子； （2）请写出第个式子，并证明你发现的规律． 解：（1）（2） 证明：等式左边， ∵等式右边为，与等式左边计算出的结果相等， ∴成立. 24. 求下列各式的值. (1)已知xa=2，xb=6，x≠0，求x3a-2b的值； (2)若= -2，求的值. 解： 原式 24．如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形. （1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比. （2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？ （3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式. 解：（1）根据题意得： 种小麦： ， 种小麦： ， 则 ， 两种小麦单位面积产量的比为 ： ； （2）把 代入得： ， ， ， 种小麦单位产量较大； （3）根据题意得： ， 整理得： ， ， ， ，整理得： . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $