第六章 平面向量及其应用（复习讲义，20大题型精讲）高一数学人教A版必修第二册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章平面向量及其应用（复习讲义） 单元目标聚焦·明核心 1、掌握向量与数量的区别，掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置. 2、理解向量、零向量、单位向量、向量的长度（模）的意义，了解平行向量（共线向量）和相等向量的意义， 并会判断向量间共线（平行）、相等的关系. 3、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和，掌握向量加法的交换律和结合律，掌 握向量减法的运算. 4、了解向量的数乘的概念，掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算，掌握两向量 共线的性质及其判定方法. 5、掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律，理解其几何意义，会用两个向量的数量积求两个向量的 夹角以及判断两个向量是否垂直 6、理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义，会用这组基底来表示其他向量. 7、掌握两个向量和、差及向量数乘的坐标运算法则，要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 8、理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算，能根据 向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式，能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个 向量垂直. 9、会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理问题. 10、掌握余弦定理及其推论，能够利用余弦定理及推论解三角形.了解利用向量方法推导正弦定理的过程， 掌握正弦定理及其变形，能够利用正弦定理解三角形，并会判断三角形的形状 11、掌握三角形的面积公式及其应用，熟练掌握利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的方法。 12、了解实际测量中的专用名词与术语，能用余弦定理、正弦定理解决简单的距离、高度及角度等实际问 题. 1/155 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识图谱梳理·因基础 向量 平面向量的概念 数量 有向线段 1、平面向量的概念 平面向量的几何表示 字母、几何表示 向量的模、零向量、单位向量 向量的有关概念 相等向量、平行（共线）向量 加法 减法 2、平面向量的运算 向量共线的 数乘 判定与性质 向量夹角的定义 数量积 模长、夹角、垂 直、投影向量 平面向量 平面向量基本定理 平面向量 3、平面向量基本 的坐标表示 定理及坐标表示 平面向量 向量共线 坐标线性运算 的坐标表示 平面向量 垂直、模长、夹角、 数量积的坐标表示 距离的坐标表示 用向量方法解决平 面几何问题 4、平面向量的应用 向量在物理中的应用 2/155 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC cos4=bi+te-a 2bc cos B=a+c2-b2 1、余弦定理 2ac cos C=+b2-c2 2ab 已知两边及一 余弦定理解三角形 角、已知三边 余弦定理判断三角形形状 在△4BC中， 若角A、B及C所对边的边长分别为a,b及C, 其外接圆半径为R,则有a b sinA sin B sin C =2R a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C sin= sin B= sinC= c 2R 2R 2R 解三角形 已知两角及一边 正弦定理解三角形 已知两边及一边对角 2、正弦定理 ①5-分底×高， ②s-absinC=g 21 csin B-bsn 国S=a+6+er(线中r是三角形ABC的内切圆半径)： @S=bc(其中R是三角形ABC的外接圆半径. 三角形面积公式 4R 3、余弦定理、正弦 基线 定理应用举例 仰角与俯角、方向角 测量距离、高度、角度问题 教材要点精析·夯重点 1、向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长 度) (2)向量的表示方法： 3/155 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,b,c,… ①字母表示法：如 等 AB CD ②几何表示法：用一条有向线段表示向量如 ⑧坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量0 的起点O为在坐标原点，终点A坐标为 x,y ,则 (称为1 的坐标，记为 04 (x,y) a b (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移，平移前后的向量相等两向量与相 等，记为 a=b (4)零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. (5)单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量， (6)共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定： 0 与任一向量共线， 注：共线向量又称为平行向量 (7)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2、向量的运算 (1)运算定义 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 OA.OB_OC 记01，w 0B-2,y2） OB-OA AB OA+OB 则 =(x1+x2,y1+y2) OB-OA =(X2-X1,y2-y) OA AB_OB 实数与向量的乘积 → a B=元d 记ax,y) A B AR λ∈R 则2a=(x,元y 4/155 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两个向量的数量积 a-cos a.6) =(x,),b=(x2,y2) 记 则ab=xx2+yy (2)运算律 a+b=b+a 加法：① 交换律)： ②a+b+c=a+(6+ (结合律) 2(a+b)=1a+b (2+m)a=1a+ua。(ua=(2)a 实数与向量的乘积：① ；② ;③ →→→ 两个向量的数量积：① .b_b.a@a)b_a-(1by元(a.b)片③(+b)c_a.c+b.c (3)运算性质及重要结论 ①平面向量基本定理：如果9,6 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量“，有 且只有一对实数 , 2=6+6，帮29+6为9,9 的线性组合 注：其中，？叫做表示这一平面内所有向量的基底：平面内任一向量都可以沿两个不共线向量，的方 向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.当基底，？是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平 面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. ②向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， -- 即若A(x,y),则 OA =(x,y):当向量起点不在原点时，向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即 AB 若A(X1,y),B(x2,y2,则 =(x2-X1,y2-y) ③两个向量平行的充要条件 → a∥b台a=λb(b≠0 符号语言： 坐标语言为：设非零向量 =,.五=y,则“方台yK,网或xy太y0 ④共线向量定理及其推论 1)定义：如果i=b(2eR),则a/B:反之，如果a/16且万≠0，则一定存在唯-的实数元，使a=6 5/155 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·(口诀：数乘即得平行，平行必有数乘)· 2)若4、B、C三点共线°存在唯一的实数，使得 C=AAB ； OC=OA+AB 存在唯一的实数，使得 户存在唯一的实数，使得 入 OC=(1-2)0A+1OB 台 九+4=1 OC=1OA+uOB 存在 使得 ⑤两个向量垂直的充要条件 符号语言： a1b÷ab=0 坐标语言：设非零向量 =(,,6=(无，⅓），则a1b台xx,+yy,=0 ⑥两个向量数量积的重要性质： a-lat ld-Ya 即 (求线段的长度) a⊥b台ab=0 (垂直的判断)： cos= a- (求角度). ⑦向量a在b上的投影向量 1)设a,b是两个非零向量，AB=a,CD=b, 考虑如下变换：过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A,B,得到AB, 我们称上述变换为向量a向向量b投影，A,B,叫做向量a在向量b上的投影向量. a h BD 2)在平面内任取一点O,作OM=a,ON=b,过点M作直线ON的垂线，垂足为M1,则OM,就是向量 a在向量6上的投影向量，且OM=acos0e. 6/155 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b M N 3)注意：数量积a-6等于a的长度后与6在。的方向上的投影向量的“长度”c0s0的乘积，也等于方 的长度与ā在)的方向上的投影向量的“长度” a cos0的乘积 (4)向量在几何中的应用 ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 →→→ a∥b台a=λbb≠0 台K,y九：以 ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 a1b台a-b=0台x1x2+y1y2=0 c0s0= ab xx2+yy2 ③求夹角问题，利用 网++ ④求线段的长度，可以利用 a=证网-x-+0 3、向量的应用 (1)余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 在△ABC中， cosA= 2+c2-a2 cosB=q'+c2-b2 CosC=a'+b2-c2 2bc 2ac 2ab 变形为： 注：应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹 角，求其它： (2)正弦定理 a sin A sin B sin C 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即： a b c 注：①正弦定理适合于任何三角形，且.sin 4-sin Bsin C=2R (R为△ABC的外接圆半径)； 7/155 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它 ③在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大 角”定理及几何作图来帮助理解， (3)三角形的面积公式 1 2 ha,ho,he a,b,c ① ,其中” 为边上的高 S=absinC=bcsinA=-acsin B 2 2 ② S=p(p-a)(p-b)(p-c) p=a+b+c 2 ③ ，其中 ④9Bcse =5(a+b+c)r 4R2 (r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径) (4)三角形形状的判定方法 设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C, 解斜三角形的主要依据是： ①角与角关系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=一cosC;tan(A+B)=一tanC; sin A+B=cosC A+B 2 COs2.Cos- -=sin- 2 ②边与边关系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,a-b<c,b-c<a,c-a>b; ③边与角关系：正弦定理、余弦定理 常用两种途径：由正余弦定理将边转化为角；由正余弦定理将角转化为边 考点题型突破·拓思维 8/155 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型十一：垂直关系及投 题型一：平面向量的概念 影向量运算的坐标表示 题型二：加法、减法、数乘运算 题型十二：平面向量在物理、几何中的应用 题型三：向量共线定理及 题型十三：余弦定理解三角形 其参数问题（含三点共线） 题型十四：正弦定理解三角形 题型四：平面向量的数量积、模、夹角运算 (含边角互化、三角形解的个数判断) 平面向量 题型五：垂直关系应用及投影向量 题型十五：正、余弦定理综合解三角形 及其应用 题型六：用基底表示向量 题型十六：三角形面积公式 题型七：共线向量定理及其推论 题型十七：判断三角形形状 题型八：平面向量基本定理的应用 题型十八：距离、高度、角度的测量问题 题型九：平面向量线性运算的坐标表示 题型十九：中线、角平分线的处理 题型十：平面向量的数量积、 题型二十：边、角、面积的最值问题 模长、夹角运算的坐标表示 题型一平面向量的概念 1.(24-25高一下·陕西·期中)（多选题）下列说法正确的是() A.质量是向量 B.相等向量的起点不一定相同 C.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D.若某质点受到斤，，尽的作用处于平衡状态，则+斤+后=0 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义易判断A；根据相等向量的概念易判断B;根据共线向量的规定易判断C；根据 物理上关于质点受力处于平衡状态的描述易判断D. 【详解】对于A,因质量没有方向，故不是向量，即A错误； 对于B,相等向量只规定了大小相等，方向相同，起点可以不同，故B正确： 对于C,物理学中的作用力与反作用力是两个大小相等，方向相反的两个向量，故是一对共线向量，即C 9/155 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正确： 对于D,根据物理上关于质点受力处于平衡状态的描述，易得+店+万= ,故D正确 故选：BCD 2.(24-25高一下·陕西榆林·期中)（多选题)下列结论中正确的为() A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B.向量8与向量B别 的长度相等 a≠0l,a C.对任意向量 )同是一个单位向量 D.零向量没有方向 【答案】BC 【分析】根据单位向量、共线向量及零向量的定义判断各项的正误即可， 【详解】A:由单位向量的方向不一定相同，故两个有共同起点的单位向量，其终点也不一定相同，错； B:由向量历、向量B1的方向相反、模长相同，即长度相等，对， C:对于任意非零向量a,同表示与a同向的单位向量，对： D:根据零向量的定义，其方向任意，错 故选：BC 3.(2025高一·全国专题练习)（多选题）给出下列命题正确的是() A.海拔、温度、角度都不是向量 B.向量B与向量B 的长度相等 c.若a,5满足l同>，且a,5同向，则a>6 D.若四边形ABC 满足AB=D ，则四边形ABCD 是平行四边形 【答案】ABD 【分析】由向量的定义判断A选项；由向量的模长的定义判断B选项，向量不能比较大小判断C选项，由 相等向量判断D选项 【详解】对于A,海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，故A正确， 10/155 第六章 平面向量及其应用（复习讲义） 1、掌握向量与数量的区别，掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，用向量表示点的位置. 2、理解向量、零向量、单位向量、向量的长度(模)的意义，了解平行向量(共线向量)和相等向量的意义，并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 3、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和，掌握向量加法的交换律和结合律，掌握向量减法的运算. 4、了解向量的数乘的概念，掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算，掌握两向量共线的性质及其判定方法. 5、掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律，理解其几何意义，会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 6、理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义，会用这组基底来表示其他向量. 7、掌握两个向量和、差及向量数乘的坐标运算法则，要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 8、理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算，能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式，能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 9、会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理问题. 10、掌握余弦定理及其推论，能够利用余弦定理及推论解三角形.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理及其变形，能够利用正弦定理解三角形，并会判断三角形的形状. 11、掌握三角形的面积公式及其应用，熟练掌握利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的方法. 12、了解实际测量中的专用名词与术语，能用余弦定理、正弦定理解决简单的距离、高度及角度等实际问题. 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). （2）向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等. ③坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，则称为的坐标，记为=. （3）相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量与相等，记为. （4）零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. （5）单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：与任一向量共线. 注：共线向量又称为平行向量. （7）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. 2、向量的运算 （1）运算定义 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += = 记=(x1，y1)，=(x2，y2) 则=(x1+x2，y1+y2) =(x2-x1，y2-y1) += 实数与向量的乘积 记=(x，y) 则 两个向量的数量积 记 则=x1x2+y1y2 （2）运算律 加法：①(交换律)； ②(结合律) 实数与向量的乘积：①； ②；③ 两个向量的数量积：①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+· （3）运算性质及重要结论 ①平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. 注：其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. ②向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， 即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1) ③两个向量平行的充要条件 符号语言： 坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0. ④共线向量定理及其推论 1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． ⑤两个向量垂直的充要条件 符号语言： 坐标语言：设非零向量，则 ⑥两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度)； (垂直的判断)； (求角度). ⑦向量在上的投影向量 1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 （4）向量在几何中的应用 ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 (x1，y1)=(x2，y2) ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件 ③求夹角问题，利用 ④求线段的长度，可以利用或 3、向量的应用 （1）余弦定理 在△ABC中，，， 变形为：，， 注：应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它； （2）正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即： 注：①正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）； ②应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它． ③在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解. （3）三角形的面积公式 ①，其中为边上的高 ② ③，其中 ④（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） （4）三角形形状的判定方法 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C， 解斜三角形的主要依据是： ①角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；； ②边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； ③边与角关系：正弦定理、余弦定理 常用两种途径：由正余弦定理将边转化为角；由正余弦定理将角转化为边. 题型一 平面向量的概念 1．（24-25高一下·陕西·期中）（多选题）下列说法正确的是（   ） A．质量是向量 B．相等向量的起点不一定相同 C．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D．若某质点受到的作用处于平衡状态，则 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）（多选题）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量是一个单位向量 D．零向量没有方向 3．（2025高一·全国·专题练习）（多选题）给出下列命题正确的是（    ） A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 4．（24-25高一下·贵州黔南·月考）（多选题）对于平面向量，下列命题不正确的是（    ） A．若向量与不相等，则 B．若，则向量 C．若向量与不共线，则与都是非零向量 D．若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 5．（24-25高一下·山东泰安·月考）（多选题）下列命题正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．若，则 C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，则 题型二 加法、减法、数乘运算 1．（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东泰安·期中）下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京·期末）在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 6．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三 向量共线定理及其参数问题（含三点共线） 1．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一下·湖南邵阳·期中），，，且A、C、D三点共线，则k=（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 4．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 5．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型四 平面向量的数量积、模、夹角运算 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）设向量，的夹角为，，，则（   ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高一下·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 6．（24-25高一下·四川自贡·期末）若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北孝感·期中）在中，设，则（   ） A．3 B． C． D． 题型五 垂直关系应用及投影向量 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，且，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·重庆·期末）已知向量，满足，，，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 5．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 题型六 用基底表示向量 1．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽宿州·期中）在正六边形中，点是线段上靠近点的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 题型七 共线向量定理及其推论 1．已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，点满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一下·广东广州·期中）在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型八 平面向量基本定理的应用 1．如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点．设向量，．    (1)用，表示和； (2)证明： 2．（24-25高一下·广东·期末）如图，在中，已知为线段上一点，，． (1)求实数，的值； (2)若，，且与的夹角为，求的值． 3．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 4．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点． (1)令，，用，表示； (2)求线段的长． 5．如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，S关于B的对称点为N.    (1)用，表示向量； (2)已知，连接，交于G点，若，求的余弦值. 题型九 平面向量线性运算的坐标表示 1．（24-25高一下·天津·期末）已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏·期中）与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，若，，对角线的交点为O，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一·全国·假期作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东·期中）已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 9．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型十 平面向量的数量积、模长、夹角运算的坐标表示 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 2．（23-24高一下·天津南开·期末）已知为单位向量，向量，且，则（    ） A．135° B．60° C．45° D．30° 3．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）四边形是正方形，是的中点，是边上的一点，且，连接与交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 6．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则 . 8．（24-25高一下·河北承德·期末）已知向量，，，若，则 ． 9．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知向量的夹角为，满足，则 ． 10．已知向量，若，则 ．（写出一个值即可） 11．如图，在平面凸四边形中，，则 ．    题型十一 垂直关系及投影向量运算的坐标表示 1．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知向量，，若⊥，则与的夹角为（   ） A．45° B．135° C．30° D．60° 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高一下·福建莆田·月考）设x，，向量，，且，，则（    ） A．5 B． C． D．10 5．（24-25高一下·重庆·月考）向量 、满足：，，，则在上的投影向量的模为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·重庆江津·月考）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 题型十二 平面向量在物理、几何中的应用 1．（24-25高一下·陕西榆林·月考）已知一个物体在三个力的作用下处于静止状态，则（    ） A． B． C． D． 2．四边形中，，，则这个四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 4．（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 5．（23-24高一下·重庆·期末）在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 7．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 题型十三 余弦定理解三角形 1．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高一下·河南郑州·期末）在 中，，，，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则C等于（    ） A．90° B．60° C．120° D．150° 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河北唐山·期中）中，内角，，的对边分别是，，，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 题型十四 正弦定理解三角形（含边角互化、三角形解的个数判断） 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一下·北京平谷·期末）在中，角所对的边分别为，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 4．（24-25高一下·河北邢台·期中）在中，角，，所对的边分别为，若，，则（   ） A． B． C． D．2 5．（24-25高一下·浙江宁波·月考）符合下列条件的三角形有且只有一个的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十五 正、余弦定理综合解三角形 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（      ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川·期中）的内角，，的对边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高一下·河南濮阳·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C． D． 题型十六 三角形面积公式 1．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西萍乡·期末）的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（    ） A．2 B．4 C． D．3 4．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ）． A．2 B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 6．的内角的对边分别为，面积为．若且，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·四川·期末）在中，分别是角的对边，的面积为，，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型十七 判断三角形形状 1．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 4．（24-25高一下·湖北·期中）设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 6．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 题型十八 距离、高度、角度的测量问题 1．（24-25高一下·山东淄博·期中）一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 3．一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 4．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南文山·期中）小明和小王周末相约去爬300m高的山，爬到山顶发现山下有一座信号塔，两人通过测量测得塔顶与塔底的俯角分别是，，如图，那么塔高为（   ） A．200m B．m C．m D．100m 6．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 7．（24-25高一下·河南新乡·期末）小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（  ） A．40米 B．米 C．米 D．60米 题型十九 中线、角平分线的处理 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量与平行．若，，则BC边上的中线AD为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高一下·山东济宁·月考）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·海南海口·期末）中，角，，的对边分别为，，，，，边上的中线为，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 4．的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（    ） A． B． C．3 D．或3 5．已知中，，，，是的角平分线，则 ． 6．（23-24高一下·湖南益阳·期末）已知中，，，为边上的中线，若，则 . 7．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则 . 8．已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为 . 题型二十 边、角、面积的最值问题 1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，若为钝角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 4．在中，角，，的对边分别为，，，且，则的最小值为 . 5．锐角中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，且，则周长的取值范围是 . 6．在锐角中，内角所对的边分别为．若，，则的取值范围为 ；的最大值为 ． 基础巩固通关测 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量，为坐标原点，点满足，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，若，则的最大角与最小角之和是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南·期末）在平行四边形中，点G为的重心，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西·期末）在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，根据下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有唯一解 B．，，无解 C．，有两解 D．，有唯一解 8．若非零向量，相互垂直，且，则满足的的值为（   ） A．2 B． C． D． 9．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，，，若，则向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·安徽·月考）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，且，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．18 D．20 12．（24-25高一下·天津·月考）已知平面向量，则下列说法不正确的是（    ） A．与共线的单位向量的坐标为或 B．在方向上的投影向量为 C．若向量与向量垂直，则 D．与垂直的单位向量的坐标为或 13．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 14．在中，内角所对的边分别为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 15．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 17．已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 18．（24-25高一下·江苏连云港·月考）在中，点，在边上，为边上中线，为平分线，若，，的面积等于，则（） A． B． C． D． 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且D是边上的动点(不含端点)，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，在中，点D是的中点，点E在边上，且满足，交于点F，设，则（   ） A． B． C． D．1 21．已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·北京·期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 25．（24-25高一下·广东·期中）在中，分别是内角的对边，若（其中表示的面积），且，则的形状是（    ） A．有一个角是30°的等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是30°的直角三角形 D．等边三角形 26．（24-25高一下·河南郑州·期末）在中，角所对的边分别是．已知，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 27．（24-25高一下·山东·月考）如图，P是以AB为直径的半圆和△ABC围成的区域内一动点（含边界），若，，且，则的最大值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 28．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）（多选题）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·陕西西安·期末）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 30．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选题）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 31．（24-25高一下·湖北十堰·期中）（多选题）等腰三角形中，，，，，下列说法不正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量与在上的投影向量是相反向量 32．（多选题）锐角三角形中，角所对的边分别是，已知，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 33．（多选题）已知的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4 34．（24-25高一下·广东东莞·月考）已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则 . 35．（24-25高一下·北京顺义·月考）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则 . . 36．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，则 ． 37．（24-25高一下·河北·期末）在中，角的对边分别是，记的面积为，若，，，则的面积为 . 38．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 39．（24-25高一下·上海·月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角B为钝角，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为 ． 40．（23-24高一下·重庆·期中）如图所示，在平行四边形中，，记. (1)用向量表示向量和； (2)若，且，求. 41．（23-24高一下·广东江门·期末）如图，已知、均为等边三角形，的边长为，、、分别为、、的中点． (1)用基底表示向量 (2)延长与交于点，延长与交于点，求 42．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求a； (2)若为钝角三角形，求面积的取值范围． 43．（24-25高一下·贵州遵义·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求A； (2)在AB边上存在一点E，使得，连接CE，若的面积为，∠BAC的平分线交CE于F点，求的值． 44．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若的面积为. ①已知E为BC的中点，且，求中线AE的长； ②求内角A的角平分线AD长的最大值. 45．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 46．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 47．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，在平面四边形中，，，，.    (1)若，，求的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 48．（24-25高一下·新疆·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角； (2)若，且边的中线的长为，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围． 49．（24-25高一下·山东济南·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形． （ⅰ）求角A的取值范围； （ⅱ）设，求面积的取值范围． 能力提升进阶练 1．（24-25高一下·重庆·期末）已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州遵义·月考）（多选题）已知的内角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）（多选题）已知的内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东深圳·月考）（多选题）已知点P在所在的平面内，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则下列命题正确的是（     ） A．若P为的垂心，，则 B．若，则O为的内心 C．若为锐角三角形且外心为P，且，则 D．若，则点P在边BC 的垂直平分线上 7．（25-26高一上·四川绵阳·期中）（多选题）在中，角的对应边分别为，则（   ） A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，为的中点，且，则 C．若是锐角三角形且，，则的最小值为 D．若角的内角平分线交于，且，，则面积的最大值为3 8．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，若，则的最大值为 ． 9．（24-25高一下·贵州·月考）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高m，该同学眼高1.6m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当 m时，观测基站的视角∠ACB最大？（参考数据：，，，，.） 10．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是 . 11．（23-24高一下·福建厦门·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且. (1)求； (2)若为锐角三角形. （i）当，求周长的取值范围； （ii）求的取值范围. 12．（25-26高一上·四川成都·月考）在中，角的对边分别为，，点为边上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 13．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $