专题13 任意角和弧度制及三角函数的概念（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版全国通用

专题13 任意角和弧度制及三角函数的概念 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 周期现象 3 考点二 终边相同的角 4 考点三 区域角 4 考点四 n倍角或n分角所在象限的判断 6 考点五 弧度制下各公式的应用 7 考点六 三角函数定义及应用 9 考点七 判断三角函数值的符号 11 考点八 三角函数线的应用 12 考点九 任意角与三角函数定义的综合 12 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题10道） 【归纳重点知识】 知识点01 角的概念的推广 定义 角可以看成一条射线OA绕着它的端点O旋转到终止位置OB所形成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z} 【注意】相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍. 知识点02 弧度制 1.弧度的概念 定义1：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，弧度单位用符号 rad表示.以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制. 定义2：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad． 2.弧度制下的公式 角的弧度数公式 （弧长用表示） 角度与弧度的换算 弧长公式 弧长 扇形面积公式 【注意】利用扇形的弧长和面积公式解题要注意单位必须是弧度制，同一个问题中度量单位要一致，不可弧度与角度混用. 知识点03 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数的定义 定义1：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么． 定义2：设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).其中r＝. 2.三角函数值在各象限内的符号 一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. 【注意】三角函数就是以α为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点Q在α终边上的位置的改变而改变. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.象限角 2.轴线角 3.三角函数不等式 若角α∈，则sin α＜α＜tan α. 4.三角函数线 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．如图中有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线． 考点一 周期现象 1．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支、把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对酉，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戌、乙对亥、…，接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2025年是乙巳年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（   ） A．戊巳年 B．己巳年 C．戊午年 D．己辰年 2．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 3．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是（    ） A．编号① B．编号② C．编号③ D．编号④ 考点二 终边相同的角 4．已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 6．，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 7．“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三 区域角 8．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 10．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 11．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 考点四 n倍角或n分角所在象限的判断 12．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 13．已知是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 14．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 16．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 17．若，，则是第 象限角． 考点五 弧度制下各公式的应用 18．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 19．如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 20．已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是； ②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆； ③完成一个周期，顶点的轨迹长度是； ④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是． 其中说法正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③ 21．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 22．(多选题)已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 23．一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为. (1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长. (2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 24．如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．    (1)求的长． (2)求图中阴影部分的面积． (3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 25．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 考点六 三角函数定义及应用 26．点绕原点按逆时针方向旋转到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 27．如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 28．数学家阿尔·卡西求圆周率的方法是：当正整数n足够大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（    ） A． B． C． D． 29．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 30．已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 31．（1）已知，且是第三象限角，求，的值. （2）已知，求，的值. 32．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．    (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 考点七 判断三角函数值的符号 33．已知点在第三象限，则角在第几象限（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 34．点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 35．“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 37．从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足 的不同取法种数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 38．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 39．设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 考点八 三角函数线的应用 40．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 41．下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 42．设，，，则（   ） A． B． C． D． 考点九 任意角与三角函数定义的综合 43．下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 44．给出下列命题，其中是真命题的有（   ） A． B．若，则是第二或第三象限的角 C．若是锐角三角形的一个内角，则是第一象限角或第二象限角 D．若圆心角为的扇形的弧长，则该扇形面积为 45．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 46．有下列命题中： ①在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°； ②若角的终边过点，则﹔ ③已知是第二象限角﹐则； ④若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为. 正确命题的序号是 .（写出所有正确的序号） 1．（2023·北京市THUSSAT诊断性测试）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（    ）． A． B． C． D． 2．（2023·山东济南竞赛）古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（    ）（） A．km B．km C．km D．km 3．（第十三届“枫叶新希望杯”全国数学竞赛）若条件p：，条件q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(2023·山东济南初赛)中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（   ） A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里 5．（2023·山东师大附中竞赛）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（    ） A．35000古希腊里 B．40000古希腊里 C．45000古希腊里 D．50000古希腊里 6．(第七届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛)已知函数为锐角，设，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东济南初赛）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与圆的交点．则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 8．（“枫叶新希望杯”全国高二竞赛）已知为第二象限角，则的符号为 ． 9．（2024·湖南邵阳竞赛）如图，在菱形ABCD中，已知，以为直径的⊙O与菱形相交，则图中阴影部分的面积为 ． 10．（2023·湖南岳阳高二上竞赛）在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是 . 11．（2023·贵州贵阳祖冲之杯竞赛）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为 ． 12．（“枫叶新希望杯”全国高二数学竞赛）如图，四边形是平行四边形，，，，动直线由轴起向右平移，分别交两边于不同两点､. (1)求点和点的坐标，写出用表示的面积的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值？并求出此时的最大值. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 任意角和弧度制及三角函数的概念 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 周期现象 3 考点二 终边相同的角 4 考点三 区域角 6 考点四 n倍角或n分角所在象限的判断 8 考点五 弧度制下各公式的应用 11 考点六 三角函数定义及应用 17 考点七 判断三角函数值的符号 21 考点八 三角函数线的应用 24 考点九 任意角与三角函数定义的综合 26 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题10道） 【归纳重点知识】 知识点01 角的概念的推广 定义 角可以看成一条射线OA绕着它的端点O旋转到终止位置OB所形成的图形 分类 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边相同的角 给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z} 【注意】相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍. 知识点02 弧度制 1.弧度的概念 定义1：在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，弧度单位用符号 rad表示.以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制. 定义2：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad． 2.弧度制下的公式 角的弧度数公式 （弧长用表示） 角度与弧度的换算 弧长公式 弧长 扇形面积公式 【注意】利用扇形的弧长和面积公式解题要注意单位必须是弧度制，同一个问题中度量单位要一致，不可弧度与角度混用. 知识点03 任意角的三角函数 1.任意角的三角函数的定义 定义1：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么． 定义2：设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).其中r＝. 2.三角函数值在各象限内的符号 一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图. 【注意】三角函数就是以α为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点Q在α终边上的位置的改变而改变. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.象限角 2.轴线角 3.三角函数不等式 若角α∈，则sin α＜α＜tan α. 4.三角函数线 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．如图中有向线段分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线． 考点一 周期现象 1．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支、把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对酉，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戌、乙对亥、…，接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2025年是乙巳年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（   ） A．戊巳年 B．己巳年 C．戊午年 D．己辰年 【答案】B 【解析】由题知天干以10为周期，地支以12为一个周期，2025年是乙巳年， 而， 地支恰好经过两个周期，天干经过两周期多四年， 所以2049年的天干为己，地支为巳. 故选：B. 2．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（   ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解析】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时， 根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内， 因此从1时开始，1时到2时之间重合一次，2时到3时之间重合一次 10时到11时之间重合一次，11时到13时之间重合一次（12时），13时到14时之间重合一次. 每个小时分针与时针会重合1次， 所以一共会重合12次. 故选：B. 3．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①、②、③、④号位置上(如图)，第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位……这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔的位置对应的是（    ） A．编号① B．编号② C．编号③ D．编号④ 【答案】C 【解析】由已知和题图得，小兔自第1次交换位置后座位的编号依次为④→③→①→②→④…，得到每4次一个循环， 因为的余数为2，所以第2026次交换位置后，小兔的位置和第2次交换的位置相同，即编号为③， 故选：C． 考点二 终边相同的角 4．已知角β与α的终边关于y轴对称，则下列关于β，α表达式中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】A表示角β和α的终边相同； B表示角β和α的终边关于原点对称； C表示角β和α的终边关于x轴对称； D表示角β和α的终边关于y轴对称. 故选：D 5．已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】由题意可得， 则. 故选：C. 6．，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当时，， 当时，， 由此可知：是的真子集， 故选：A 7．“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】角与的终边关于直线对称，则，， 又，则，， 所以由角与的终边关于直线对称，可以推出， 由，可以推出角与的终边关于直线对称， 所以角与的终边关于直线对称是的充要条件. 故选：A. 考点三 区域角 8．若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是， 所以角的取值范围是． 故选：D． 9．终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以终边落在边上的角为， 所以终边落在下图阴影区域（含边界）的角的集合为. 故选：C. 10．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 11．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 【解析】（1）由终边相同角的概念可得： ①， ②， ③； （2）. 考点四 n倍角或n分角所在象限的判断 12．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【解析】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 13．已知是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B． C． D．是第三或第四象限角 【答案】C 【解析】∵是第二象限角， ∴，，即，， ∴是第一象限或第三象限角，故A错误； 由是第一象限或第三象限角，或，故B错误； ∵是第二象限角， ∴，， ∴，， ∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误. 故选：C． 14．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 15．已知为第三象限角，那么不可能是（   ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】C 【解析】由题意是第三象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第三象限角； 当时，，是第四象限角； 故不可能是第二象限角. 故选：C 16．已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角， 则，可得 当为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意； 当为偶数时，可得为第一象限角，满足， 综上可得为第一象限角. 故选：A. 17．若，，则是第 象限角． 【答案】二或四 【分析】根据同角三角函数的基本关系及由三角函数值确定角所在象限求解. 【解析】因为，， 所以， 所以是第三象限角，且， 所以， 所以当时，，是第二象限角； 当时，，是第四象限角. 故答案为：二或四 考点五 弧度制下各公式的应用 18．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积， 点到的距离， 故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切， 记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为， 故；等边三角形的面积为， 扇形的面积为，故； 三角形的面积为， 扇形的面积为，故. 故阴影部分面积. 故选：C． 19．如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，所以是等边三角形， 所以，, 所以扇形的面积为，的面积为， 又半圆的面积为， 所以图中阴影部分的面积为. 故选：B. 20．已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是； ②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆； ③完成一个周期，顶点的轨迹长度是； ④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是． 其中说法正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【解析】 如上图，沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下： 第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由原点沿运动至位置； 第二步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期. 对于①，∵，∴一个周期，故①正确； 对于②，如图所示，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，不是半圆，故②错误； 对于③，由已知，，∴， ∴的弧长，的弧长， ∴完成一个周期，顶点的轨迹长度为，故③正确； 对于④，如图，完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的图形为扇形，扇形与的面积和，∵， ∴， ∵等边边长为，∴， ∴完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是，故④错误. ∴正确的说法为：①③. 故选：D. 21．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示，用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦AB围成的弓形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在中，， 即，解得， 故，所以， 因此. 故选：C. 22．(多选题)已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【解析】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 23．一个扇形的半径为，圆心角为，弧长为. (1)若，圆心角等于正五边形的一个内角，求弧长. (2)若扇形的面积，当为多少时，扇形的周长最小？最小值是多少？ 【解析】（1）正五边形的一个内角为， 当时，. （2）由题意知，所以， 周长， 当且仅当，即时等号成立， 因此，当时，扇形的周长最小，最小值为16. 24．如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．    (1)求的长． (2)求图中阴影部分的面积． (3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 【解析】（1）扇形的半径为60，， 则的长为； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，    所以，，，， 扇形的面积， ，， 矩形的面积 所以图中阴影部分的面积为， （3）设，， ，所以，即，则， 所以， ，当且仅当，即时取等， 所以， 所以当时，的面积最小，最小为 25．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 【解析】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 设交于， 则由垂径定理得，， 当时，，所以， 所以， 即点E到弦BC的距离为． （2）由（1）得， 则， ， 当且仅当，即，取得最大值. 考点六 三角函数定义及应用 26．点绕原点按逆时针方向旋转到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以原点为角的顶点，轴的非负半轴为角的始边，令角的终边过点， 则角的终边过点，且， 于是，， ， 所以点的坐标为. 故选：B 27．如图，一质点在半径为1的圆上以点为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，时到达点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设单位圆与轴正半轴的交点为， 因为，则， 由于在第一象限，不妨取， 因为按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为，设经过5后，质点到达点， ， 于是. 故选：B． 28．数学家阿尔·卡西求圆周率的方法是：当正整数n足够大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，为单位圆，是的外切正边形的一边，设， 易知，则，设，分别与交于，两点， 则为的内接正边形的一边，设，则， 依题意， ，即， 将代入整理，可得. 故选：A. 29．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设角与单位圆的交点为，则点关于直线的对称点为， 由题意可知，点为角的终边与单位圆的交点，即，故，则， 因为，故当时，取最大值，此时取最小值. 故选：B. 30．已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知圆的半径为1，点位于第二象限，且，则点的纵坐标为，横坐标为. 故选：A. 31．（1）已知，且是第三象限角，求，的值. （2）已知，求，的值. 【解析】（1）由，得①，又②， 由①②得，即，又是第三象限角， ，. （2），是第二或第三象限的角， 如果是第二象限角，那么，. 如果是第三象限角，同理可得，. 32．如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．    (1)当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； (2)设，当点的横坐标为时，求及的值． 【解析】（1）设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以图中阴影部分的面积为． （2）因为， 的横坐标为， 所以的纵坐标为， 则， 所以，. 考点七 判断三角函数值的符号 33．已知点在第三象限，则角在第几象限（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题意可知，，则角在第二象限. 故选：B 34．点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】根据诱导公式，可得， 又是第三象限角，所以，即， 同理，所以，即， 所以点位于第三象限. 故选：C. 35．“为第三象限角或第四象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角的符号和充分必要条件的定义即可求解. 【解析】若为第三象限角或第四象限角，则，故充分性成立； 若，则为第三象限角或第四象限角或，故必要性不成立； 所以“为第三象限角或第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：A 36．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】B 【解析】由，得， 所以角位于第二象限的角. 故选：B 37．从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数字，分别作为角α，β的弧度数，则满足 的不同取法种数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解析】依题意，是第一象限，是第二象限，是第三象限，是第四象限， 对于函数，当是第一、二象限角时，； 当是第三、四象限角时，； 对于函数，当是第一、四象限角时，； 当是第二、三象限时，. 要使， 则需①且，或②且； 所以当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 共有种不同取法. 故选：B 38．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 【答案】A 【解析】当角的终边在第一象限时，， 又， ，故，不符合题意； 当角的终边在第二象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第三象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第四象限时，， 又， ，故，不符合题意； 综上，角的终边在第二象限或第三象限． 39．设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A项，由已知，的取值集合为. 所以，， 所以，， 所以，可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在轴正半轴上，故A错误； 对于B项，由已知，的取值集合为. 所以，. 当为偶数时，设，则， 此时位于第二象限，； 当为奇数时，设，则， 此时位于第四象限，. 综上所述，恒成立，故B项正确； 对于C项，当位于第二象限时，，故C项错误； 对于D项，当位于第四象限时，，故D项错误. 故选：B. 考点八 三角函数线的应用 40．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，即得， 在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域P与Q， 则区域P的解集为， 区域Q的解集为， 其公共区域为不等式组的解即为， 故函数的定义域为. 故选：B. 41．下列命题不正确的有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】当时，， 在单位圆中，点，设，则， 过点A作直线AT垂直于x轴，交OP所在直线于点T， 由，得， 设扇形的面积为， 由图知，即， 即， 对于AC，由，得，AC正确； 对于B，，得，则，B错误； 对于D，由，则， 则，D正确. 故选：B 42．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由三角函数线可得当时，， 又， 所以，所以. 故选：C. 其中当时的证明如下： 构造单位圆，如图所示：    则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即，即. 考点九 任意角与三角函数定义的综合 43．下列说法正确的是（    ） A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合 B．角的大小是一个与半径大小无关的值 C．终边落在直线上的角的集合是 D．若角是锐角，则一定是钝角 【答案】B 【解析】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误， B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确， C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误. D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误. 故选：B. 故选：A． 44．给出下列命题，其中是真命题的有（   ） A． B．若，则是第二或第三象限的角 C．若是锐角三角形的一个内角，则是第一象限角或第二象限角 D．若圆心角为的扇形的弧长，则该扇形面积为 【答案】A 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，由，可得是第二或第三象限的角或终边在轴非正半轴上的角，故B错误； 对于C，若是锐角三角形的一个内角，则， 所以，所以是第一象限角或第二象限角或终边在轴非负半轴的角，故C错误； 对于D，设扇形的半径为，又圆心角为的扇形的弧长， 所以，所以，所以该扇形面积为，故D错误. 故选：A. 45．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【解析】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误; 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误; 选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此， 当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限; 故C正确; 选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误. 故选：C. 46．有下列命题中： ①在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°； ②若角的终边过点，则﹔ ③已知是第二象限角﹐则； ④若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为. 正确命题的序号是 .（写出所有正确的序号） 【答案】①②④ 【解析】①，由且，可得，故所求的最小正角，正确； ②，由三角函数的定义可得，正确； ③，∵是第二象限角， ∴，， ∴，， ∴，错误﹔ ④，弧长为2，圆心角为90°，则扇形的半径为，所以扇形面积为，正确. 正确命题的序号是①②④. 故答案为：①②④. 1．（2023·北京市THUSSAT诊断性测试）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由以及扇形的面积公式可得: , 故选：D 2．（2023·山东济南竞赛）古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（    ）（） A．km B．km C．km D．km 【答案】C 【解析】设地心为，依题意可得，，， 设地球的周长为，半径为， 则，所以km. 故选：C 3．（第十三届“枫叶新希望杯”全国数学竞赛）若条件p：，条件q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】解：如图所示：    在单位圆中，当时，， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 当，且，，，满足， 但不成立， 所以p是q的充分不必要条件， 故选：A 4．(2023·山东济南初赛)中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”．记“表”的顶部为，太阳光线通过顶部投影到“圭”上的点为．同一日内，甲地日影长是乙地日影长的，记甲地中直线与地面所成的角为，且．则甲、乙两地之间的距离约为（   ） A．10千里 B．12千里 C．14千里 D．16千里 【答案】B 【解析】依题意，甲地中线段AB的长为寸，则甲地的日影长为寸， 于是乙地的日影长为寸，甲、乙两地的日影长相差12寸， 所以甲、乙两地之间的距离是12千里. 故选：B 5．（2023·山东师大附中竞赛）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井时，亚历山大城某处的太阳光线与地面成角，又知某商队旅行时测得与的距离即劣弧的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（    ） A．35000古希腊里 B．40000古希腊里 C．45000古希腊里 D．50000古希腊里 【答案】B 【解析】设圆周长为，半径长为，两地间的弧长为，对应的圆心角为， 的圆心角所对应的弧长就是圆周长， 的圆心角所对应的弧长是，即， 于是在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：， . 当为5000古希腊里，，即时， 古希腊里. 故选：B. 6．(第七届 “枫叶新希望杯”全国数学大赛)已知函数为锐角，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，在单位圆中，显然有， 即，即，因此对成立. 注意到时，，所以， 又由有， 所以，即. 故选：B. 7．（2023·山东济南初赛）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与圆的交点．则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为， 则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 根据周期性可知，其余重合点与上述点重合，故A和D正确，B和C错误. 故选：AD 8．（“枫叶新希望杯”全国高二竞赛）已知为第二象限角，则的符号为 ． 【答案】负号 【解析】因为为第二象限角，所以，为第一象限角，，为第四象限角 故，，，符号为负 9．（2024·湖南邵阳竞赛）如图，在菱形ABCD中，已知，以为直径的⊙O与菱形相交，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【解析】在菱形中，已知，，以为直径的与菱形相交， ，，， ， 阴影部分的面积为：， 故答案为： 10．（2023·湖南岳阳高二上竞赛）在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是 .【答案】 【解析】设扇形的半径为，扇形圆心角为，则扇形弧长为， 故，故， 所以扇形的周长为， 由基本不等式得， 当且仅当，即，此时，满足要求. 11．（2023·贵州贵阳祖冲之杯竞赛）彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若，则所对应的弧长为 ． 【答案】 【解析】由题意，可知圆心角，半径， 所以所对应的弧长为． 12．（“枫叶新希望杯”全国高二数学竞赛）如图，四边形是平行四边形，，，，动直线由轴起向右平移，分别交两边于不同两点､. (1)求点和点的坐标，写出用表示的面积的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值？并求出此时的最大值. 【解析】（1），， 点的坐标为，即， 而，由此可求得点坐标为， 则的方程为，直线的方程为. 当时，点､分别在边和上，两点分别为､， ； 当时，点､分别在边和上， ， 综上所述，； （2）当时，，当时，取最大值为. 当时，， 此时在上单调递减，， 故当时，取最大值为. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $