1.1《三角形内角和定理》第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第1节 三角形内角和定理 第3课时 多边形的内角和 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.结合广场五边形等生活情境,能通过分割多边形的方法,推导并掌握n边形内角和公式，会用公式计算任意多边形（n≥3）的内角和. 2.经历从五边形、六边形到n边形的探究过程,体会“转化为三角形”“从特殊到一般”的数学思想,提升归纳推理能力. 3.能运用多边形内角和公式解决几何问题,并能通过多种分割方法验证公式,培养多角度思考的习惯,感受数学与生活的联系,提升用数学知识解决实际问题的意识. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题：如何把多边形转化为我们熟悉的三角形,从而推导出任意n边形（n≥3）的内角和？ 4 问题构建 小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼这个广场中心的边缘是一个五边形. 问题1:我们已经学过三角形的内角和是多少度？你还记得怎么证明这个结论吗？ 180°,通过剪拼角、作平行线证明 5 问题构建 问题2:长方形、平行四边形这些四边形的内角和是多少？你是怎么得到这个结论的？ 图中长方形内角和:4×90°=360° 图中的平行四边形需要借助对角线转化为三角形 如右图所示,连接AC，把平行四边形分割成两个三角形：△ACD和△ABC. 图中的平行四边形内角和：2×180°=360° 问题构建 问题3:小明和小亮锻炼的广场中心是五边形.我们知道三角形内角和 180°、四边形内角360°,那这个五边形的内角和是多少呢？你能尝试自己得出结论吗？请动手试一试. 图① 小明回忆了过去研究过四边形内角和的经验，借助对角线将五边形分割成3个三角形,如图①所示： 所以五边形内角和：3×180°=540°. 问题构建 问题4:小亮用图②的方法,他是怎么计算的？两种方法结果一致吗？ 图② 小亮的解决方法： 1.在五边形内部任取一点O 2.连接OA、OB、OC、OD、OE 3.计算五个△AOB,△COB, △COD,△AOE,△DOE的内角和等于：5×180°=900° 4.减去中间多算的一个周角 900°-360°=540°. 列式表示为：5×180°-360°=540°,与小明的方法结果一致. 问题构建 追问1:你还能想到其他分割五边形的方法吗？试试推导内角和. 如右图所示： 1.在五边形边AE上任取一点M 2.连接BM、CM、DM 3.计算四个△AMB,△CMB, △CMD,△DME的内角和等于：4×180°=720° 4.减去中间多算的一个平角 720°-180°=540°. 列式表示为：4×180°-180°=540°,与小明和小亮的方法结果一致. 协作破冰 追问2:通过以上三种方法的探究，你有什么发现？体现了怎样的数学思想？ 我们发现通过多种分割方法，验证五边形内角和的确定性，这里体现“转化”思想,将五边形的内角和转化为三角形计算. 问题6：用小明的方法（一个顶点引对角线），六边形能分成几个三角形？内角和是多少？七边形呢？ 六边形从一个顶点出发有3条对角线，分成4个三角形,内角和4×180°；七边形从一个顶点出发有4条对角线，分成5个三角形，内角和5×180°. 协作破冰 问题7：观察三角形（n=3）、四边形（n=4）、五边形（n=5）、六边形（n=6）的分割结果，你能总结出n边形（n≥3）从一个顶点引对角线的规律吗？内角和公式是什么？尝试完成老师的表格. n边形 从一个顶点出发的对角线条数 分割的三角形个数 内角和 三角形 四边形 五边形 六边形 n边形 0 1 1×180°=180° 1 2 2×180°=360° 2 3 3×180°=540° 3 4 4×180°=720° n-3 n-2 (n-2)×180° 协作破冰 问题8：用另外两种方法方法验证n边形内角和公式,结果一致吗？ 180°n-360°=180°×n-180°×2=(n-2)×180°； 180°×(n-1)-180°=(n-2)×180°，结果一致. 追问：在研究多边形内角和的过程中，你经历了怎样的过程？你有怎样的思考？ 猜想 验证 归纳 从特殊到一般 转化 协作破冰 定理 n边形的内角和等于 (n−2)⋅180° 例4 在四边形ABCD中∠A+∠C=180°，∠B与∠D有怎样的关系？ 解：∠B+∠D=180°，理由如下： ∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4−2)×180°=360°， ∴ ∠B+∠D =360°−(∠A+∠C) =360°−180° =180° 结论:如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补. 教师示范 问题9：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？你能总结正多边形每个内角的计算公式吗？ 正三角形：60° 正四边形：90° 正五边形：108° 正六边形：120° 正八边形：135° 追问:你是怎样计算正多边形每个内角度数的？ 正多边形各角相等，因此每个内角等于(n−2)×180°除以边数n,代入边数计算： 教师示范 问题10：剪掉长方形的一个角,剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少？请动手画一画,分情况讨论. ①沿对角线剪 → 三角形，内角和180° ②剪在一个角的两边之间（不经过顶点）→ 四边形，内角和360° ③剪在相邻两边（经过一个顶点）→ 五边形，内角和540° 巩固拓展 问题11：除了本节课提到的三种分割方法，你还能想到哪些方法推导n边形内角和？ 尝试根据以上分割方法，解释计算内角和的方法. 巩固拓展 问题13：生活中还有哪些多边形结构？比如蜂巢的六边形、足球的正五边形+正六边形组合,计算它们的内角和,尝试解释这些结构的稳定性. 蜂巢的每个格子受力均匀,材料利用率高,且六边形的刚性结构能有效分散压力,不易变形; 接近密铺的球面设计让球面受力均匀,充气后各块材料之间相互挤压、支撑,不易撕裂或变形. 当堂检测 1.菠萝是夏季的一种时令水果，外披坚硬晶亮的“铠甲”， 铠甲由多个六边形组成，体现无坚不摧的几何之美.如图， ，则 ______. 当堂检测 “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂.”图1窗棂的外边框 为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______. 当堂检测 3.如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形 叫作正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形.如 下图，就是一组正多边形. （1）观察上面每个正多边形中的 ，填写下表： 正多边形边数 3 4 5 6 … 的度数 _____ _____ _____ _____ … _ ______ 当堂检测 （2）根据规律，计算正八边形中的 的度数. 解：正八边形中的 . （3）是否存在正边形使得 ？若存在，请求出 的值；若不 存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下： 设存在正边形使得 ，则 ， 解得 . 是正整数， 不符合题意. 不存在正边形使得 . 反思总结 1.回顾本节课探究多边形内角和的过程,我们用到了哪些关键的数学思想和方法？这些方法对你后续学习几何问题有什么启发？ 2.多边形内角和公式 (n−2)×180°是如何推导的？你能说出至少一种分割多边形的方法，并说明这种方法和公式的联系吗？ 3.运用多边形内角和公式解决问题时,你认为需要注意哪些关键点？请结合一个具体例子说明你的思考. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第8页 第1题 二、素养类作业 自己动手，画出正五边形、正六边形和正十二边形. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $