专题14多边形与平行四边形（知识清单）（4大考点+12大题型+5大易错+3大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统梳理了“多边形与平行四边形”专题，涵盖4大核心考点、12大重难题型、5大易混易错点、3大方法技巧及24题实战演练，构建了从基础到应用的完整复习体系。 清单以思维导图呈现知识结构关系，知识梳理兼顾主干与细节，重难题型深度剖析重点难点，易混易错点警示常见误区，方法技巧精炼突破策略，培养学生的几何直观和推理意识。实战演练分层设计，助力学生高效复习，为教师教学提供清晰框架。

专题14多边形与平行四边形 （4大考点+12大题型+5大易错+3大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01多边形 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04三角形的中位线 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01多边形的对角线 题型02多边形的内角与外角 题型03平行四边形的性质 题型04利用平行四边形的性质进行证明与计算 题型05平行四边形的判定条件 题型06证明一个四边形是平行四边形 题型07三角形在中位线 题型08平行四边形与基本作图问题 题型09利用平行四边形的性质和判定进行求解 题型10平行四边形与实际应用问题 题型11平行四边形的性质与判定综合问题 题型12平行四边形与新定义问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（5个易混易错点） 易错点01平行四边形与没给图形的应用 易错点02误用三角形中位线的性质 易错点03平行四边形中的多结论判断问题 易错点04平行四边形与最值问题 易错点05平行四边形与最值问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（3大方法技巧） 技巧01：平行四边形性质和判定的综合运用 技巧02：利用三角形的中位线定理进行证明 技巧03：平行四边形中的动点问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线，理解并掌握多边形的内角和及外角和 2.探索并证明平行四边形的性质，会用平行四边形的性质计算线段、周长和面积，和有关线段关系的证明 3.探索并证明平行四边形的判定定理，会证明一个四边形是平行四边形 4.探索并证明三角形中位线定理. 考点01多边形 1.多边形的有关概念： 多边形：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这些对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，一个n边形共有条对角线 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 正n边形有n条对称轴 2.多边形的内角和、外角和： 多边形内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180°. 多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°，与边数的多少没有关系. 考点02平行四边形的性质 1. 平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2.平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． 几何语音：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC ②角：平行四边形的对角相等． 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 3.平行线间的距离： 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：（1）两条平行线间的距离处处相等. （2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 4.平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 考点03平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC ∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB=DC，AD=BC ∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB=DC ∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB ∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言：∵OA=OC，OB=OD ∴四边行ABCD是平行四边形． 考点04三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线 （2）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （3）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点   ∴DE∥BC， 【解题方法】 三角形的中位线定理的两个结论及四个应用 (1)两个结论： ①中位线与第三边的位置关系—互相平行： ②中位线与第三边的数量关系一中位线等于第三边的一半， (2)四个应用： ①求线段的长度：②证明线段相等或平行：③求角的度数：④证明线段的倍分关系， 题型01多边形的对角线 【典例1】（2024·四川巴中·中考真题）经过五边形的一个顶点最多可以画出 条对角线． 【变式练习】 1．（2025·北京·三模）若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）关于多边形，下列说法中正确的是（　　） A．过七边形一个顶点可以将其分割为6个三角形 B．凸多边形的外角和随着边数增加而增加 C．凸多边形若各边相等则为一个正多边形 D．凸多边形的内角和不一定大于它的外角和 3．（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 题型02多边形的内角与外角 【典例2】（2024·广东·模拟预测）一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的内角和为 ． 【变式练习】 4．（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·宁夏·中考真题）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步． 6．（2025·吉林长春·中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为 度． 题型03平行四边形的性质 【典例3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 【变式练习】 7．（2018·河北邯郸·一模）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北唐山·三模）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ． 题型04利用平行四边形的性质进行证明与计算 【典例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，的平分线交延长线于E，交于 (1)求证：； (2)若，，求与的面积之比． 【变式练习】 10．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 11．（2025·贵州黔东南·二模）在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 12．（2025·江苏常州·三模）如图，中，E、F为对角线上两点，且，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点O，求证：与互相平分． 题型05平行四边形的判定条件 【典例5】（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件 ．使四边形是平行四边形． 【变式练习】 13．（2025·四川达州·一模）如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，连接，添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 15．（2025·湖北恩施·一模）如图，在四边形中，，点在边上，_____．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再求证：四边形为平行四边形． 题型06证明一个四边形是平行四边形 【典例6】（2025·浙江杭州·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【变式练习】 16．（2025·四川遂宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E，F分别是，中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 17．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：E为线段的黄金分割点． 18．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，D，E分别为，的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，，，求的长 题型07三角形的中位线 【典例7】（2026·陕西·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 ． 【变式练习】 19．（2025·湖南长沙·模拟预测）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 20．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形中，，点，分别为边，的中点．若四边形的面积为，，则的长为（     ）      A． B． C． D． 21．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 题型08平行四边形与基本作图问题 【典例8】（2025·甘肃武威·一模）如图，是平行四边形的对角线． (1)请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）： ①分别以为圆心，以大于长为半径画弧，弧在两侧的交点分别为、． ②连接、，分别与交于点； (2)求证：． 【变式练习】 22．（2024·广东·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交的延长线于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求证：． 23．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线分别交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 24．（2025·河南南阳·三模）如图，为的边上的中线． (1)在的下方作，使，交的延长线于点（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，标注字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为平行四边形． 题型09利用平行四边形的性质和判定进行求解 【典例9】（2026九年级·海南·专题练习）如图，线段，在线段上，，点为平面内一点，且满足，以、为邻边构造，连接，则对角线的取值范围为 ． 【变式练习】 25．（2025·安徽淮南·二模）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 26．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 27．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在平行四边形中，点E为的中点，点F为延长线上一点，交于点G，若，则 ． 题型10平行四边形与实际应用问题 【典例10】（2025·浙江嘉兴·二模）综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的度数． (2)求点B，D之间的距离．（结果精确到） (3)求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 【变式练习】 28．（2023·山东德州·二模）如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，， ．    29．（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 30．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】 （3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 题型11平行四边形的性质与判定综合问题 【典例11】（2026·甘肃·模拟预测）平行四边形中，是对角线，过点B作、的垂线，垂足点E在边上，垂足点F在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点G是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为P，，的两边，分别与，所在直线交于点M，N，绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段中点H的运动路径长． 【变式练习】 31．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 32．（25-26九年级上·山东淄博·月考）中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 33．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上）过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)若点与点重合，，请直接写出此时线段的长度是_____． 题型12平行四边形与新定义问题 【典例12】（25-26九年级上·广东深圳·月考）综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图1四边形中，，则四边形为邻等角四边形． 【理解】（1）以下平面图形中，是邻等角四边形的有______．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【应用】（2）如图2，中，点为对角线上一点，连接并延长，交边于点，若，求证：． 【延伸】（3）如图3，矩形中，，，，过点作直线交对角线于点，交边所在直线于点，若四边形为“邻等角四边形”，则的长为______． 【变式练习】 34．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：___________； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，则_____________； (3)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 35．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 易错点01平行四边形与没给图形的应用 【错因】根据所给的条件没法正确的画出图形 【典例】 1．已知为边延长线上一点，为的中点，联结并延长交于点，则 ． 2．已知：在中，，，，D、E分别是的中点，点F为上一点，且满足，则 ． 易错点02误用三角形中位线的性质 【错因】在比较复杂的几何图形中，找不到中位线或不能灵活应用中位线的性质 【典例】 3．如图，四边形中，，，，点E、F分别为边、的中点．则长为（    ） A． B． C． D．5 4．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为 ． 5．如图，在中，，，，，分别是边，的中点，F为边上一动点，于G，交于H． （1） ； （2）当与相似时， ． 易错点03平行四边形中的多结论判断问题 【错因】对于所给的结论不能全部判断出对错 【典例】 6．如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连结、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数共有 个 7．如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在边上．下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 易错点04平行四边形与动点问题 8．如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为 ．    9．如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为 ． 易错点05平行四边形与最值问题 10．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    11．如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，． （Ⅰ）平行四边形的面积为 ； （Ⅱ）若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，的最小值为 ． 12．如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．    13．如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为 ． 14．如图，中，，点从点出发，向终点运动，与此同时，点从点出发，沿着运动，点在边上运动的速度为，在边上运动的速度为，且点同时到达点．过点作的垂线交于点，以为邻边作平行四边形，设点运动的时间为与重叠部分的面积为． (1)点运动的速度为____________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 技巧01：平行四边形性质和判定的综合运用 《方法技巧》 性质、判定综合用，仔细分辨勿混清 (1)利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题： ①求线段的长、证明线段相等或平行、证明线段的倍分关系。 ②求角的度数、证明角相等或互补等， (2)利用平行四边形的性质与判定解决问题时，有时需要先证明一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质去解题， 【典例】 1．在平行四边形中，对角线交于点O，E为线段上一个动点． (1)尺规作图：在图1中，作平行四边形，其中点F和点G分别在边和上； (2)在（1）的条件下，延长交于点H，连接，若，求证： ； (3)如图2，在（1）的条件下，延长交于点H，连接，若，且与相似，请补全图形，求的值． 2．【初步尝试】如图①．点E、G分别是的边的中点，点F为对角线上一点，以点F为直角顶点作，过点E作交于点H，连接，求证：四边形为矩形； 【深入探究】如图②，将图①中的改为菱形．其他条件不变．若，且，直接写出四边形的面积； 【拓展延伸】如图③，将图①中的改为矩形，其他条件不变．若，，直接写出四边形的面积． 3．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 技巧02：利用三角形的中位线定理进行证明 《方法技巧》 图形中出现三角形的中位线是应用中位线定理的前提，构造三角形的中位线一般有两种方法：一是在三角形中连接两边中点；二是分制多边形为三角形 【典例】 4．在中，，为平面内一点． (1)如图1，若在边上，且． 求证：； 若，延长至点，使，求证：； (2)如图2，，，延长至点，使，直接写出的最小值． 5．（1）如图1，在和中，，，求证：； （2）如图2 是等腰三角形，，是直角三角形，，，点是的中点，连接，．求证：； （3）如图1，，在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，若旋转，请直接写出旋转过程中线段的中点的运动路径长． 6．已知：如图1，在 中，D 为斜边的中点，在边外存在一点E 使 ，连接，，，与交于点F，与交于点G，且平分 (1)求 的度数． (2)若 ①如图2，当 时，求 的值； ②如图3，连接，并延长交于点 H，求证：． 技巧03：平行四边形中的动点问题 《方法技巧》 解决动点问题的基本思路就是化“动”为“静”，要用“静”去理解“动”.在动点问题中，若运动的时间为t,将相关的线段用含t的代数式表示出来，利用平行四边形的性质列方程求得t的值 【典例】 7．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动时间为，过点D作于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①当 时，四边形为菱形； ②当 时，四边形为矩形． 8．在等边三角形中，，点D、E、F分别是、、边上的中点，连接、，动点P从点B出发，沿方向以的速度运动，到点运动停止．过点作，垂足为点，过点作交于点．设点运动时间为，与四边形重叠面积为． (1)当点H与点E重合时，x的值为_____． (2)求y与x的函数解析式； (3)当y的值为时，直接写出此时x的值． 9．如图，在平行四边形中，，，点P从点A出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点M为的中点，作点A关于直线的对称点，连结、、．设点P的运动时间为t秒． (1)求点D到的距离； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)当最短时，求的面积； (4)当M、、C三点共线时，求t的值． 一、单选题 1．（2025·北京·模拟预测）若一个多边形的每个外角等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（2024·广东·模拟预测）八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进15米后左转，再前进15米后左转，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（   ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 3．（2025·上海·一模）在中，点，分别是边，的中点．下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·三模）如下图，在平行四边形中，点在上，连结并延长与的延长线交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（10-11九年级·全国·期末）如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，点E在边上，若，交于点F，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川广元·一模）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，是的中点，连接交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023·广东珠海·一模）已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ． 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为 13．（2024·湖南·模拟预测）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是线段，的中点，若，的周长是，则的长为 ． 14．（2022·江西·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为 ． 15．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（2025·浙江台州·三模）如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为 ． 17．（2025·宁夏吴忠·三模）如图， 直线， A， B为直线上的两个定点， C是直线上一动点， E， F分别为的中点， 对于下列各值： ①线段的长； ②的周长； ③的面积； ④的度数， 其中不随点C的移动而改变的是 ． 18．（2025·山东济南·一模）如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则 ． 三、解答题 19．（2025·云南·模拟预测）如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 20．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 21．（2025·江西赣州·一模）（1）计算：． （2）如图，在中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．求证：四边形是平行四边形． 22．（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 23．（2025·云南·一模）如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 24．（2025·吉林辽源·三模）如图，在平行四边形中，，点是上一点，且，点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，__________，当点在边上运动时，长的最小值为__________； (2)求点到的距离（用含的代数式表示）； (3)当点在上运动时，设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式； (4)当射线恰好经过点时，直接写出此时的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14多边形与平行四边形 （4大考点+12大题型+5大易错+3大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01多边形 考点02平行四边形的性质 考点03平行四边形的判定 考点04三角形的中位线 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01多边形的对角线 题型02多边形的内角与外角 题型03平行四边形的性质 题型04利用平行四边形的性质进行证明与计算 题型05平行四边形的判定条件 题型06证明一个四边形是平行四边形 题型07三角形在中位线 题型08平行四边形与基本作图问题 题型09利用平行四边形的性质和判定进行求解 题型10平行四边形与实际应用问题 题型11平行四边形的性质与判定综合问题 题型12平行四边形与新定义问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（5个易混易错点） 易错点01平行四边形与没给图形的应用 易错点02误用三角形中位线的性质 易错点03平行四边形中的多结论判断问题 易错点04平行四边形与最值问题 易错点05平行四边形与最值问题 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（3大方法技巧） 技巧01：平行四边形性质和判定的综合运用 技巧02：利用三角形的中位线定理进行证明 技巧03：平行四边形中的动点问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线，理解并掌握多边形的内角和及外角和 2.探索并证明平行四边形的性质，会用平行四边形的性质计算线段、周长和面积，和有关线段关系的证明 3.探索并证明平行四边形的判定定理，会证明一个四边形是平行四边形 4.探索并证明三角形中位线定理. 考点01多边形 1.多边形的有关概念： 多边形：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. 多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这些对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，一个n边形共有条对角线 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形. 正n边形有n条对称轴 2.多边形的内角和、外角和： 多边形内角和定理：n边形的内角和为（n-2）×180°. 多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°，与边数的多少没有关系. 考点02平行四边形的性质 1. 平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 2.平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． 几何语音：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD,AD=BC, AB∥CD,AD∥BC ②角：平行四边形的对角相等． 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC,BO=DO=BD 3.平行线间的距离： 定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离 性质：（1）两条平行线间的距离处处相等. （2）两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 4.平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 考点03平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC ∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB=DC，AD=BC ∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB=DC ∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB ∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 符号语言：∵OA=OC，OB=OD ∴四边行ABCD是平行四边形． 考点04三角形的中位线 （1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线 （2）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （3）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点   ∴DE∥BC， 【解题方法】 三角形的中位线定理的两个结论及四个应用 (1)两个结论： ①中位线与第三边的位置关系—互相平行： ②中位线与第三边的数量关系一中位线等于第三边的一半， (2)四个应用： ①求线段的长度：②证明线段相等或平行：③求角的度数：④证明线段的倍分关系， 题型01多边形的对角线 【典例1】（2024·四川巴中·中考真题）经过五边形的一个顶点最多可以画出 条对角线． 【答案】2 【分析】本题考查多边形的对角线问题，熟知过n多边形的一个顶点最多可以画条对角线是解答的关键．据此求解即可． 【详解】解：经过五边形的一个顶点最多可以画出条对角线， 故答案为：2． 【变式练习】 1．（2025·北京·三模）若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，解题关键是掌握多边形对角线的条数求法． 根据正多边形的一个顶点出发有15条对角线，列出方程求解． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴，解得：， 故选：D． 2．（2025·上海·模拟预测）关于多边形，下列说法中正确的是（　　） A．过七边形一个顶点可以将其分割为6个三角形 B．凸多边形的外角和随着边数增加而增加 C．凸多边形若各边相等则为一个正多边形 D．凸多边形的内角和不一定大于它的外角和 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角与外角、正多边形的概念，熟练掌握有关定理是解题的关键． 根据各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，多边形的内角和等于，外角和等于逐一判断即可． 【详解】解：A，过七边形一个顶点可以作4条对角线，将其分割为5个三角形，故此选项说法错误，不符合题意； B，凸多边形的外角和是360°，与边数无关，故此选项说法错误，不符合题意； C，凸多边形若各边相等，但各内角不相等，这个凸多边形不是正多边形，故此选项说法错误，不符合题意； D，三角形的内角和小于它的外角和，四边形内角和等于它的外角和，其他多边形内角和大于它的外角和，故此选项说法正确，符合题意． 故选：D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个，即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； ， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个． 故答案为：． 题型02多边形的内角与外角 【典例2】（2024·广东·模拟预测）一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角与外角． 由每个内角度数可得每个外角的度数，从而可得边数，再乘以每个内角的度数即可． 【详解】解： ， ∴这个多边形的内角和为． 故答案为：． 【变式练习】 4．（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，根据多边形的外角求出边数是解此题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个外角为， ∴正多边形的边数为， ∴这个正多边形的内角和为， 故选：B． 5．（2025·宁夏·中考真题）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可． 由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形， ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：， 则第一次回到出发点时，该机器人共走了步， 故答案为：． 6．（2025·吉林长春·中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为：， ∴， 故答案为： 题型03平行四边形的性质 【典例3】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．先利用平行四边形的性质得，，证明，得出，结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式练习】 7．（2018·河北邯郸·一模）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．平行四边形的性质．利用基本作图可对A选项直接进行判断；再根据平行四边形的性质得到，，所以，则可对B选项进行判断；同时得到，所以，则可对C、D选项进行判断． 【详解】解：由作图得平分， ∴，所以A选项不符合题意， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即，所以B选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，所以C选项不符合题意， 与不能确定相等，所以D选项符合题意． 故选：D． 8．（2025·河北唐山·三模）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，在平行四边形中，，，得出，结合平分，证明，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】考查平行四边形性质、全等三角形、面积公式及勾股定理，用面积分割与对称性思想．关键是借对称性证全等、用面积求线段，再构直角三角形计算；易错点是漏用对称性或误判直角边． 首先通过构造垂线得到直角三角形，利用的锐角三角函数求得，接着计算得到平行四边形总面积，得每部分面积为． 然后借对称性证，得、． 由平行四边形的对称性与面积平衡再设，用与的面积列方程，解得，推得、． 最后过作构直角三角形，用勾股定理得． 【详解】解：过A作于点H， ， 在中，． ， ∵，将分成面积相等的四部分， ∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O， 在中，，， ∴，．，， 连接， ∴经过中心点O， ∴， ∵ ． 同理得：， ∴，． 设，过作于点Q， 在中， 在中，由三角形面积公式：   ． 过E作于延长线上点G， 又，， 且． 在中， 又平行四边形的对称性与面积平衡可得， ， 解得， ． 过M作交于P，过A作于点H， 则． ，． ． 在中，由勾股定理：   ． 故答案为：． 题型04利用平行四边形的性质进行证明与计算 【典例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，的平分线交延长线于E，交于 (1)求证：； (2)若，，求与的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，得到根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ∽， 【变式练习】 10．（2025·四川雅安·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质结合已知条件可以得到 ，利用即可证明； （2）利用平行四边形对角线互相平分可求，因为，由勾股定理可求，则平行四边形的面积可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 11．（2025·贵州黔东南·二模）在平行四边形中，E是中点，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质，推出，进一步可得，，再由E是中点，可证明； （2）过点A作于点G，利用直角三角形的性质求出的长，进一步可得平行四边形的面积，再结合（1）中结论推出的面积等于平行四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ，即， ，， 又E是中点， ， ． （2）如图，过点A作于点G，则， 又，， ， 平行四边形的面积， 由（1）知，， ， 的面积等于平行四边形的面积，即． 12．（2025·江苏常州·三模）如图，中，E、F为对角线上两点，且，连接，． (1)求证：； (2)连接交于点O，求证：与互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质得到，，， 根据得到，进而得到，即可得到结论； （2）连接、、，根据得到，，即可得到，进而证明为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接、、． 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴、互相平分． 题型05平行四边形的判定条件 【典例5】（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四边形中，点，在上，，，请你添加一个条件 ．使四边形是平行四边形． 【答案】（符合题意即可） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先判定四边形是平行四边形，求得，，当添加时，得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：添加， 如图，连接，，，与交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 当添加时， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 【变式练习】 13．（2025·四川达州·一模）如图，在平行四边形中，E为延长线上一点，连接，添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，无法证明四边形 是平行四边形，故不符合题意； B、当时，根据一组对边平行另一组对边相等无法证明四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当时，∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，故符合题意； D、当时，可知，一组对边平行无法证明四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：C. 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理．根据尺规作图找一点P使得四边形是平行四边形，结合各选项所涉及的判定定理进行分析． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．由尺规作图可知，所作的四边形两组对边分别平行，根据此判定定理可直接判定其为平行四边形，故该选项符合题意； B、题干中未明确体现所作四边形两组对边分别相等这一判定条件，故该选项不符合题意； C、题干中未提及所作四边形的对角线情况，故该选项不符合题意； D、题干中未明确体现所作四边形一组对边平行且相等这一判定条件，故该选项不符合题意； 故选：A． 15．（2025·湖北恩施·一模）如图，在四边形中，，点在边上，_____．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再求证：四边形为平行四边形． 【答案】①或② 【分析】任选一组，后根据平行四边形的判定证明即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：当选择时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 当选择，时， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：①或②． 题型06证明一个四边形是平行四边形 【典例6】（2025·浙江杭州·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 【变式练习】 16．（2025·四川遂宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，点E，F分别是，中点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线，掌握平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线是解题的关键； （1）根据对边平行且相等即可得证； （2）连接，根据勾股定理求出，再根据三角形的中位线即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ， E是中点， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ， ， ，， ∴， ∵点E，F分别是，中点， ∴​​​​​​​． 17．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：E为线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先由，得，再由证，可得，即可得出结论； （2）先证明，根据相似三角形的性质得，再由已知，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E为线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定及性质，黄金分割点的定义． 18．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，D，E分别为，的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据三角形的中位线定理得，结合，即可求证； （2）证明是等边三角形，，再由勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：点，分别为边，的中点， 是的中位线，， ，. 又， 四边形是平行四边形； （2）解：如解图，连接， ，， . ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ， . 是的中点， ， 即的长为． 题型07三角形在中位线 【典例7】（2026·陕西·模拟预测）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点，分别是，的中点，则线段的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理； 连接，判定是等边三角形，得到，由平行四边形的性质推出，得到，由三角形中位线定理得到． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：2． 【变式练习】 19．（2025·湖南长沙·模拟预测）在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（    ） A．68 B．48 C．72 D．36 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，利用三角形中位线等于第三边的一半即可解答． 【详解】解：∵D，E是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 20．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形中，，点，分别为边，的中点．若四边形的面积为，，则的长为（     ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质以及勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键． 取边的中点，连接，，根据已知数量关系求出、的长度，结合中位线的性质，得出，，，再利用勾股定理解得的长． 【详解】如图，取边的中点，连接，， 四边形面积为，， ， 又， ，， ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，． 又，，， ，，， 在直角中，由勾股定理，得， 即的长度是． 21．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 故答案为：. 题型08平行四边形与基本作图问题 【典例8】（2025·甘肃武威·一模）如图，是平行四边形的对角线． (1)请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）： ①分别以为圆心，以大于长为半径画弧，弧在两侧的交点分别为、． ②连接、，分别与交于点； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作垂直平分线、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照题干要求，进行作图即可； （2）先根据作图过程得是线段的垂直平分线，则，结合平行四边形的性质得，即，证明，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解： 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ． 在与中， ， ， ∴． 【变式练习】 22．（2024·广东·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作的角平分线交的延长线于E点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握用直尺和圆规作角平分线及平行四边形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的作法可得答案； （2）由平行四边形的性质可知，，所以，再结合已知可推出，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ． 23．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平行四边形中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线分别交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图画出线段垂直平分线，平行四边形的性质，等边三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别以B，C为圆心，以大于的长度为半径画弧，连接两圆弧的交点，直线即为所求； （2）由（1）可证明，由平行四边形性质可知，，所以是等边三角形，则． 【详解】（1）解：如解图①，分别以B，C为圆心，以大于的长度为半径画弧，连接两圆弧的交点，直线即为所求； （2）解：证明：如解图②， 由（1）可知点为的中点， ． ， ． 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ． 24．（2025·河南南阳·三模）如图，为的边上的中线． (1)在的下方作，使，交的延长线于点（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，标注字母）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作相等角的步骤进行作图即可； （2）根据中线得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：即为所求； （2）证明：∵为的边上的中线， ∴， ∵ ，，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形． 题型09利用平行四边形的性质和判定进行求解 【典例9】（2026九年级·海南·专题练习）如图，线段，在线段上，，点为平面内一点，且满足，以、为邻边构造，连接，则对角线的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点，可证明，得，，作的外接圆，圆心为，连接、、，作于点，由，，得，则，由勾股定理求得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 作的外接圆，圆心为，连接、、，作于点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、两点之间线段最短、三角形的三边关系等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式练习】 25．（2025·安徽淮南·二模）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，取的中点构建平行四边形是解题的关键．取的中点，则，连接，根据三角形中位线的性质可证得四边形是平行四边形，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，则，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 26．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，过点作，交于，连接，则四边形为平行四边形，，由平行四边形的性质可得，，，结合题意可得，由直角三角形的性质得出，从而得出，由平行线的性质并结合等边对等角得出，进而可得，求出，再由等边对等角即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴，，， ∵F为的中点．， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 27．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在平行四边形中，点E为的中点，点F为延长线上一点，交于点G，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，由平行四边形的性质可推出，则可得到；证明四边形是平行四边形，可推出；证明，可推出，则． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型10平行四边形与实际应用问题 【典例10】 （2025·浙江嘉兴·二模）综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的度数． (2)求点B，D之间的距离．（结果精确到） (3)求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，平行四边形的判定与性质，熟悉掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到的值，然后根据角的和差解答即可； （2）利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差解题； （3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：在中，， ∴， 在中，， ， 故点B，D之间的距离约为． （3）解：设直线交于点H． ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ，， ∴四边形是平行四边形， ． 【变式练习】 28．（2023·山东德州·二模）如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，， ．    【答案】3.6 【分析】利用相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，列出比例式，即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，，． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.6． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 29．（24-25九年级下·广东深圳·月考）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点P处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点Q，在处的法线交于点N，处的法线为．若，，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用． 先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】 （3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 【答案】（1），；（2）D、E分别为的中点，，图见解析（3）见解析 【分析】本题考查了任意四边形拼接矩形，涉及到三角形中位线定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论； （2）从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法； （3）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【详解】解：（1）如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ，， 为的中位线． ， 又四边形是矩形． ，， 和的位置关系为， 故答案为：；； （2）如图，D、E分别为的中点，，，再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和处． 故答案为：D、E分别为的中点，，； （3）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形，把、、和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 题型11平行四边形的性质与判定综合问题 【典例11】（2026·甘肃·模拟预测）平行四边形中，是对角线，过点B作、的垂线，垂足点E在边上，垂足点F在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点G是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为P，，的两边，分别与，所在直线交于点M，N，绕点B逆时针旋转，当点M从点A运动到点P时，求线段中点H的运动路径长． 【答案】(1)8 (2) (3)中点H的运动路径长为8 【分析】（1）分别求出和长，利用面积公式计算即可； （2）过F作的垂线，垂足为M，交于N，与的延长线交于H，由等腰直角三角形的性质，求出，，，．证明出，则，，在直角中利用勾股定理计算即可； （3），延长、，交于点G，取、中点S、T，连接，当点M位于点A处时，点N与点G重合，中点H与中点S重合；当点M运动到点P处时，点N与点C重合，中点H与中点T重合，即中点H的运动路径长为的长，再利用中位线定理求即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）（2）如图，过F作的垂线，垂足为M，交于N，与的延长线交于H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理，也是等腰直角三角形，， ∵，， 又∵， ∴， ∴，， ∵点G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 在直角中，， ∴； （3）如图3，延长、，交于点G，取、中点S、T，连接， 当点M于点A处时， ∵， ∴点N与点G重合，中点H与中点S重合， 当点M运动到点P处时， ∵， ∴点N与点C重合，中点H与中点T重合， ∴当点M在从点A运动到点P时，点N从点G运动到点C， ∵点S是中点，点T是中点， ∴为的中位线， ∴，且， 同理，是的中位线， ∴，即， ∴点H在上运动， ∴中点H的运动路径长为的长， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得，， ∴， 故中点H的运动路径长为8． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的性质和勾股定理，作出准确的辅助线，利用平行四边形的性质构造全等三角形并进行准确的计算是解题关键． 【变式练习】 31．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图，求的度数； (2)如图，在上取点使得，求证：； (3)如图，在问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论； （2）在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，， ，证明，再证明为等腰直角三角形，得，从而可得出结论； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接，； ， ，即． ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即 设， ∴， ∴， 在中，， ∵， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． 32．（25-26九年级上·山东淄博·月考）中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． (1)如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点O恰为和交点，求证：，； (3)如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）取，中点G，F，连接，，，，根据平行四边形的性质即可即可求证； （3）在射线上截取，连接，，对边互相平行的四边形是平行四边形即可判定． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：取，中点G，F，连接，，，， ∴，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （3）证明：在射线上截取，连接，， ∵D，O分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴即， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴． 33．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上）过点作，交直线于点． (1)如图1，，点与点重合，求证：； (2)如图2，点都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明； (3)若点与点重合，，请直接写出此时线段的长度是_____． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知可得，然后由旋转的性质可得，，进而得到，结合，可得四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质即可证得结论； （2）在上取点G，使得，连接，易证，得到，，，然后由旋转的性质可证得，得到，，进而求得，结合，推出，得到，最后由等腰三角形的性质可知，结合线段的和差关系即可得到结论； （3）连接，过点A作于点，由已知可得，，结合旋转的性质，先证明，得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后结合，证得，最后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵点与点重合，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上取点G，使得，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点A作于点， ∵，，，， ∴，， ∵点与点重合，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线证明三角形全等是解题的关键． 题型12平行四边形与新定义问题 【典例12】（25-26九年级上·广东深圳·月考）综合与探究 【定义】有一组邻角相等的四边形叫做“邻等角四边形”．如：图1四边形中，，则四边形为邻等角四边形． 【理解】（1）以下平面图形中，是邻等角四边形的有______．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【应用】（2）如图2，中，点为对角线上一点，连接并延长，交边于点，若，求证：． 【延伸】（3）如图3，矩形中，，，，过点作直线交对角线于点，交边所在直线于点，若四边形为“邻等角四边形”，则的长为______． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或 【分析】本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形及特殊平行四边形性质，再结合邻等角四边形定义即可得解； （2）过作交于点，易证，可得，再通过，结合平行四边形性质导角可得，即可得证； （3）分三种情况讨论，当时，当时，当时，画出符合题意的图形，结合（2）中思路求解即可． 【详解】（1）解：平行四边形和菱形都是邻角互补，矩形和正方形都是邻角相等， 故矩形和正方形是邻等角四边形， 故答案为：； （2）证明：如图，过作于交于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； （3）解：当时，此时，如图， ，， ， ，， ， ，即， ， ， 四边形为矩形， ， ； 当时，如图，过作交于点，过作于点， 则， ， 在中，，， ， 由等面积可知， 在中，， ，， ， ， ， ， ，即， 解得，， ， ， ， ，即， 解得； 当时，如图，过作于点， 则，即， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ，即， 解得，， ， ； 综上，的长为或或． 【变式练习】 34．（2025九年级上·广东深圳·专题练习）定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． (1)下面的图形中是“字平行四边形”的有：___________； A．正方形    B．矩形    C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形    E．有一个角是的平行四边形 (2)在“字平行四边形”中，，则_____________； (3)如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 【答案】(1)C (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“字平行四边形”的定义逐一判断即可； （2）由平行四边形是“字平行四边形”， ，可得，推出，得到，推出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【详解】（1）解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足； B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足； C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足； D、有一个角是的平行四边形的对角线，不一定等于其中一条边的长，故不满足； E．有一个角是的平行四边形，不一定等于其中一条边的长，故不满足； 故答案为：C； （2）解：当时，如图所示： 平行四边形是“字平行四边形”， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： 平行四边形是“字平行四边形”， ，， ， ， ， ； 综上，或． （3）解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 即． 四边形为字平行四边形， 又，． 有以下两种情况： ①当时， ， 为的中点， ． 在矩形中，， 又， ， ， ， ；                                    ②当时， ， 为的中点， ， 设， 则，，． ， ． ， ， ， ， 由可得． ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并分类讨论． 35．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． (1)如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为____________； (2)如图3，当，时，则长为____________； (3)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和中线倍长的辅助线作法是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，得到，证得是顶角为的等腰三角形，由等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）证，得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． （3）结论，延长到点M，使得，连接，，先证四边形是平行四边形，得到，，再由，得到，即，可证，即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， ，， ， ， 又是的中线， ， ， ． （2）解：，， ， 又， ， ， 是斜边上的中线， ． （3）解：结论，， 证明：如图，延长到点M，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 易错点01平行四边形与没给图形的应用 【错因】根据所给的条件没法正确的画出图形 【典例】 1．已知为边延长线上一点，为的中点，联结并延长交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答的关键是添加合适的辅助线解决问题． 根据题意画出图形，取的中点H，连接，由三角形的中位线定理得到，再证明得到，则，进而可求解． 【详解】解：如图，取的中点H，连接， 则， 又， ∴为的中位线， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 2．已知：在中，，，，D、E分别是的中点，点F为上一点，且满足，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质、轴对称的性质、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．分两种情况讨论，一是F是AC的中点，由D、E分别是AB、BC的中点，得，且，，可证明四边形是平行四边形，则，因为，所以；二是连接DE、BF，点F与点B关于直线DE对称，则DE垂直平分BF，因为，所以，可证明，由，，，根据勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，F是的中点， 、E分别是的中点， ，且，， ，且， 四边形是平行四边形， ， ， ； 如图2，连接，点F与点B关于直线对称，则垂直平分，设交点为L， 、E分别是的中点， ， ， ，， ，， ， ，且，，， ， 解得， 综上所述，的长为3或， 故答案为：3或 易错点02误用三角形中位线的性质 【错因】在比较复杂的几何图形中，找不到中位线或不能灵活应用中位线的性质 【典例】 3．如图，四边形中，，，，点E、F分别为边、的中点．则长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理，解题的关键是构造中位线，将转化为直角三角形的斜边计算． 取中点，连接，利用中位线定理得的长度与位置关系，再用勾股定理求． 【详解】解：取的中点，连接， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且， 是中点，是中点， 是的中位线， ，且， 又， ，即． 在中，由勾股定理得： ． 故选：B． 4．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 延长、相交于点F，利用平分得到，结合得出，再根据公共边，通过判定定理证明；由全等三角形的性质可得、，结合已知、，计算出；因为D是的中点且，所以符合三角形中位线的定义，即是的中位线，最后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，求出． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，，，，分别是边，的中点，F为边上一动点，于G，交于H． （1） ； （2）当与相似时， ． 【答案】 或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于交于，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理得到，，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； 根据相似三角形的性质分类讨论即可得到结论． 【详解】解：过作于交于， 在中，，，， ， ，分别是边，的中点， ，， ，∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，当和相似时， ∽， ， ． ∽， ， ， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 易错点03平行四边形中的多结论判断问题 【错因】对于所给的结论不能全部判断出对错 【典例】 6．如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点，连结、，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数共有 个 【答案】4 【分析】如图延长交的延长线于，取的中点连接．想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题； 【详解】 如图，延长 交的延长线于点，取的中点，连接． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．故②正确． ∵， ∵ ∴ ， ∵， ∴， ，故③正确； ∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，     ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形判定和性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质，是一道四边形综合题型，解题关键是熟练掌握四边形和三角形相关知识点． 7．如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在边上．下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③④ 【分析】①先求出点旋转的角度为，半径为1，即可求出路径长；②，所以；③，所以；④，所以． 【详解】解：，， ，， 由旋转的性质得，，，， ， ， ， ， 由旋转的性质得， ， ①点在旋转过程中经过的路径长是，①说法正确； ②，，②说法正确； ③， ， ，③说法正确； ④，， ， ，④说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质等，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 易错点04平行四边形与动点问题 8．如图，在中，，，M、N分别是、边上的点，且，连接，P是的中点，则最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，可得四边形是平行四边形，进而有，，则是等边三角形，．过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小．在中，，则的最小值为． 【详解】解：如图，连接，并延长至点Q，使，连接，，，并延长交于点D，    ∵，点P是的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则点Q运动到点时，取得最小值，即最小． ∴在中，， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，等边三角形的判断及性质，解直角三角形，垂线段最短．正确作出辅助线是解题的关键． 9．如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作，使得，作关于对称点，交于点，连接，交于点，过作于点，过作于点，则四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，故有，，，，由等腰三角形的性质和勾股定理得，，则，，当三点共线时最小，即最小值为，再以为原点，所在直线为轴，最后由平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，作关于对称点，交于点，连接，，交于点，过作于点，过作于点， ∴四边形是平行四边形，，四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∵， ∴当三点共线时最小，即最小值为， 如图，以为原点，所在直线为轴， ∴，， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，平行四边形与矩形的判定与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，两点之间线段最短，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 易错点05平行四边形与最值问题 10．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    【答案】②③④ 【分析】①延长交于M，过P作直线，由和是等边三角形，可得四边形是平行四边形，而P为中点，知P为中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可判断①是否正确；②由，即可得：当共线时，最小，最小值为的长度，求出即可判断②是否正确；③过D作于K，过C作于T，由和是等边三角形，得，有，得到周长，即可判断③是否正确；④设，用m表示，再配方，即可知四边形面积的最小值，从而可判断④是否正确． 【详解】解：①如图，延长交于M，过P作直线，   和是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， 为中点， 在线段上运动， 在直线l上运动， 由知等边三角形的高为， 到直线l的距离，P到直线的距离都为， 作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小， 此时最小值，故①错误； ②， ， 当共线时，最小，最小值为的长度， 为的中点， ， 为等边三角形的高， 的最小值为，故②正确； 过D作于K，过C作于T，如图，   和是等边三角形， ， ， ，即， ， 周长的最小值为6，故③正确； ④设，则， ，，，， ， 当时，四边形面积的最小值为，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查轴对称-最短路径问题，涉及轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，等边三角形的性质，三角形面积计算等知识，解题的关键是判断出点P的运动轨迹是直线l 11．如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，． （Ⅰ）平行四边形的面积为 ； （Ⅱ）若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，的最小值为 ． 【答案】 【分析】（Ⅰ）过点D作于点G． 则，求出，由直角三角形的性质可得出，由勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式计算即可． （Ⅱ）作E关于的对称点，连接，，把平移到处，连接，，过点作的延长线与点H，则四边形为平行四边形，，，，证明四边形为平行四边形，则，由四边形为平行四边形，得出，，，由勾股定理求出，，由，可得出，最后由当三点共线时，可求出的最小值． 【详解】解：（Ⅰ）过点D作于点G， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：6． （Ⅱ）作E关于的对称点，连接，，把平移到处，连接，，过点作的延长线与点H，如图， 则四边形为平行四边形，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴ ∵，， ∴， 当三点不共线时，， 当三点共线时，， ∴故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含直角三角形的性质，平行四边形的判定以及性质，利用轴对称求最小值以及勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离． 【详解】解：作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ， ， 为等边三角形， ， ， ， 四边形为平行四边形，   同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，， ， 中，，， 中，， ， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题的关键是需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置． 13．如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为 ． 【答案】3或6或9 【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及平行四边形的判定与性质、两个直角三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用，根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时，画出图形，数形结合，列方程求解即可得到答案．解题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】解：由已知可得，从需，从（或从）需， 设点的运动时间为， ①当时， 过作于，过作于，如图所示： ， ， 由点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动， 则， 在平行四边形中，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ∴， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（不是整数，舍去）； 当四边形是平行四边形时，如图所示： 此时， ∴， 解得， ∴为3时，； ②当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∴， 解得； 由①知，若四边形中，，，时，则， 这种情况在时不存在； ∴为6时，； ③当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时， ∴， 解得， ∴为9时，； 综上所述，为3或6或9时，， 故答案为：3或6或9． 14．如图，中，，点从点出发，向终点运动，与此同时，点从点出发，沿着运动，点在边上运动的速度为，在边上运动的速度为，且点同时到达点．过点作的垂线交于点，以为邻边作平行四边形，设点运动的时间为与重叠部分的面积为． (1)点运动的速度为____________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出，并可求出到达点用时，利用点同时到达点即可求出点速度； （2）可证，则，因为，，据此列方程即可求解； （3）分类讨论：当在内部时，当在上且在外部时，当在上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，点在边上运动的速度为，在边上运动的速度为， ∴到达点用时， ∵， ∴， ∵点同时到达点， ∴的速度为． 故答案为：； （2）解：当点在边上时，如图， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得； （3）解：①当时，如答图①，作于点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ； ②当时，如答图②， ∵， ∴，     ∴， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ； ③当时，如答图③ ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，． 技巧01：平行四边形性质和判定的综合运用 《方法技巧》 性质、判定综合用，仔细分辨勿混清 (1)利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题： ①求线段的长、证明线段相等或平行、证明线段的倍分关系。 ②求角的度数、证明角相等或互补等， (2)利用平行四边形的性质与判定解决问题时，有时需要先证明一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质去解题， 【典例】 1．在平行四边形中，对角线交于点O，E为线段上一个动点． (1)尺规作图：在图1中，作平行四边形，其中点F和点G分别在边和上； (2)在（1）的条件下，延长交于点H，连接，若，求证： ； (3)如图2，在（1）的条件下，延长交于点H，连接，若，且与相似，请补全图形，求的值． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）在线段上取点E，作交于F，作交于G，则即为所求； （2）由，得，再利用平行四边形性质及相似三角形判定与性质得出，即可求得答案； （3）按照题意补全图形，由于，则只能，推出，可得，设，则，即可求得答案． 【详解】（1）解：如下图，在线段上取点E，作，交于F，作，交于G ∴，， 则即为所求； （2）证明：如下图， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图2，补全图形如图所示， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是矩形，， ∴， 又∵，且，与相似， ∴只能，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．【初步尝试】如图①．点E、G分别是的边的中点，点F为对角线上一点，以点F为直角顶点作，过点E作交于点H，连接，求证：四边形为矩形； 【深入探究】如图②，将图①中的改为菱形．其他条件不变．若，且，直接写出四边形的面积； 【拓展延伸】如图③，将图①中的改为矩形，其他条件不变．若，，直接写出四边形的面积． 【答案】初步尝试：见解析；深入探究：4；拓展延伸： 【分析】初步尝试：证明，则，根据，易证四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； 深入探究：连接，交于点O，连接，过点作于点T，求出，，，同理初步尝试得：，四边形为矩形，推出点共线，进而得到，求出，，再解直角三角形求出，，，，即可求解； 拓展延伸：连接，作于N，同理深入探究可知，，证明，得到，求出，进而求出，根据即可求解． 【详解】初步尝试： 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、G分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； 深入探究： 解：连接交于点O，连接，过点作于点T， 四边形是菱形， ∴，， ∵，点E、G分别是边的中点， ∴， 在中， ∴， 同理， 同理初步尝试得：，四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴点共线， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 拓展延伸：连接，作于N， 同理深入探究可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，由（2）知，，，则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点，使，连接，如图2， ，是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：延长到点，使，连接，如图3， 由（2）知，，， 则取最小值时，最小，故时，最小， 是的中线， ， ， 在中， 技巧02：利用三角形的中位线定理进行证明 《方法技巧》 图形中出现三角形的中位线是应用中位线定理的前提，构造三角形的中位线一般有两种方法：一是在三角形中连接两边中点；二是分制多边形为三角形 【典例】 4．在中，，为平面内一点． (1)如图1，若在边上，且． 求证：； 若，延长至点，使，求证：； (2)如图2，，，延长至点，使，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析；见解析 (2) 【分析】（1）①证明，得出，即可得证； ②延长，交于点，证得，设，求得、，证明，求得，得到，从而推出是的中位线，即可求证； （2）延长至点，使，连接，过点作，交的延长线于点，证得和，可得，求得，即可求解的最小值． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ， ， ， ． ②延长，交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ，即点为的中点， 设，则，， 由①得：， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 解得：， ，即点是的中点， 是的中位线， ． （2）解：的最小值为． 如图，延长至点，使，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，则， ，， ， ，则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的定理，勾股定理，平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识点是解题关键． 5．（1）如图1，在和中，，，求证：； （2）如图2 是等腰三角形，，是直角三角形，，，点是的中点，连接，．求证：； （3）如图1，，在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，若旋转，请直接写出旋转过程中线段的中点的运动路径长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）可证得，进而证得，从而，进而得出，从而； （2）延长至，使，连接，，可证得，进而证得，从而，根据三角形中位线的性质得出，进而得出； （3）取的中点，连接，根据三角形中位线的性质得出，从而点是以为圆心，为半径的圆上运动，设，则，，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，求得，进而求得的长，根据弧长公式得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图1， 延长至，使，连接，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ； （3）解：如图2， 取的中点，连接， 是的中点， ， 点是以为圆心，为半径的圆上运动， 设，则，，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ，， 运动的路径长为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，锐角三角函数的定义，弧长公式等知识，解决问题的关键作辅助线，构造相似三角形． 6．已知：如图1，在 中，D 为斜边的中点，在边外存在一点E 使 ，连接，，，与交于点F，与交于点G，且平分 (1)求 的度数． (2)若 ①如图2，当 时，求 的值； ②如图3，连接，并延长交于点 H，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出，结合得出是的垂直平分线，进而可证明，根据平行线的性质，角平分线定义可得出，根据等角对等边得出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理可求出； （2）①证明，得出，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理可，设，则，代入得，求出，则，，根据余角的性质、对顶角的性质可得出，根据等角对等边得出，即可求解； ②延长，，交于点 P．根据等边对等角，余角的性质，对顶角的性质等可得出，根据三线合一的性质可得出垂直平分，则，根据证明，得出，则，根据平行线分线段成比例得出，根据证明，得出，进而求出，然后根据三角形中位线定理即可得证． 【详解】（1）解∶∵D为斜边的中点， ∴， ， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①解∶由（1）及题意可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴，， 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②证明∶如图，延长，，交于点 P． ∵， ∴． ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 技巧03：平行四边形中的动点问题 《方法技巧》 解决动点问题的基本思路就是化“动”为“静”，要用“静”去理解“动”.在动点问题中，若运动的时间为t,将相关的线段用含t的代数式表示出来，利用平行四边形的性质列方程求得t的值 【典例】 7．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以4cm/s的速度向点A运动，同时点E从点A出发沿方向以2cm/s的速度向点B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动时间为，过点D作于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①当 时，四边形为菱形； ②当 时，四边形为矩形． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行四边形的存在性问题，结合矩形和菱形的判定条件进行求解是解题的关键． （1）根据已知条件证明，再证明，即可得证； （2）①先证明四边形是平行四边形，根据菱形的判定条件得出，计算即可得解；②根据矩形的性质得出，代入求解即可； 【详解】（1）由题意可得：，， ，， ， ， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2），， ， ，， 四边形为平行四边形， 要使平行四边形为菱形，则需，即， 解得：， 当时，四边形是菱形； 故答案是：． 要使四边形为矩形，则， ， ， ， ， ，即， 解得：； 即当时，四边形为矩形； 故答案是：． 8．在等边三角形中，，点D、E、F分别是、、边上的中点，连接、，动点P从点B出发，沿方向以的速度运动，到点运动停止．过点作，垂足为点，过点作交于点．设点运动时间为，与四边形重叠面积为． (1)当点H与点E重合时，x的值为_____． (2)求y与x的函数解析式； (3)当y的值为时，直接写出此时x的值． 【答案】(1)3 (2) (3)x的值为或． 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、三角形的面积、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形性质，二次函数与四边形，解一元二次方程，解题关键是学会利用分类讨论和数形结合思想解决问题． （1）当点与点重合时，由可得点与点重合，于是； （2）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，．分别画出不同情况下的图形，利用等边三角形的性质和含度角的直角三角形性质计算即可解答； （3）当时，分三种情况： ①，②，③，分别求解即可． 【详解】（1）解：当点与点重合时，如图，    ∵点D、E、F分别是、、边上的中点， ∴， ，点与点重合，点为的中点， 点与点重合， ， ∴； 故答案为：； （2）①当时，点P在线段上，点H在线段上，如图，   为等边三角形， ， ， ，， 为等边三角形， 动点从点出发，沿方向以的速度运动，点运动时间为， ， ，， 在中，， ， ②当时，如图，设与交于点，连接，过点作于点， 点、、分别是、、边上的中点， ，，，，，， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 在中，，， ， ，， ，， 为等边三角形， ③当时，如图，设与交于点，过点作于点，   ， ， ， 为等边三角形，， ，， ，，， 为等边三角形， 在中，， ， ∴． （3）当时， ①， 解得（不符合题意，舍去）； ∴ ②， 即， 解得（不符合题意，舍去）； ∴ ③， 即， 解得（都不符合题意，舍去）； ∴该方程无解． 综上所述，x的值为或． 9．如图，在平行四边形中，，，点P从点A出发沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点M为的中点，作点A关于直线的对称点，连结、、．设点P的运动时间为t秒． (1)求点D到的距离； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)当最短时，求的面积； (4)当M、、C三点共线时，求t的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时， (3) (4)或 【分析】（1）过点作于点，分别解，即可求解； （2）分点在上，分别讨论即可求解； （3）过点P作于点E，推出点A的运动轨迹为以点M为圆心，长为半径的圆，当点D、、M三点共线时，线段最短，此时点P在上，进而根据点到圆上一点的距离求最值即可求解； （4）分当在上时，当在的延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，点M为边的中点， ，， ， 即点D到边的距离为3． （2）解：根据题意，得当时，点P在边上，； 当时，点P在边上，． 综上所述，当时，；当时，． （3）解：如图，过点P作于点E， 作点A关于直线的对称点， ， 点A的运动轨迹为以点M为圆心，长为半径的圆， 当点D、、M三点共线时，线段最短，此时点P在上， ． 根据题意，得，， 由（1）得， ， ， ， ， ， 解得，， ． 在中，， ，解得， ， ． （4）解：如图， 当点在上时， 此时，点M、、C三点共线，且点位于M、C之间时，此时点P在上， 连接、，过点P作于点F，过点作于点G，则， 为直径， ，即， ， ． 过点C作交延长线于点N． 在中，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ． ， ， ， ， ， ， ，即． ，， ， ，即． ， ， ， 解得； 如图，当点位于的延长线上时，此时点P在上，， 过点作于点，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作于点K，过点P作于点T， 同理，，， ，， ， ． 点H是的中点， ， ，， ， ， ，即． ，， ， ． ， ， ， 解得． 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，点到圆上一点距离，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·北京·模拟预测）若一个多边形的每个外角等于，则这个多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理. 根据多边形的外角和定理，即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为， ∴边数． 故选：B． 2．（2024·广东·模拟预测）八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进15米后左转，再前进15米后左转，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（   ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角和． 根据正多边形的外角和为即可解答． 【详解】解：由多边形的外角和为可知，， ∴小李同学的路径围成一个边长为15米的正八边形， 故小李共走了(米)， 故选：B． 3．（2025·上海·一模）在中，点，分别是边，的中点．下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质；点D、E分别为，的中点，则为的中位线，具有平行于且等于一半的性质，同时推导出相似关系及面积比，即可得解． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点，如图， ∴是的中位线， ∴，且，故选项C和D正确； ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵，且相似比， ∴， ∴，故选项B错误． 故选：B． 4．（2024·广东深圳·三模）如下图，在平行四边形中，点在上，连结并延长与的延长线交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 5．（10-11九年级·全国·期末）如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 6．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，点E在边上，若，交于点F，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，得到平行线，再证明三角形相似，利用相似的性质解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴①，②； 由， 故， 由②可得； 由①知：， ∴． 故选：D． 7．（2025·四川广元·一模）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，是的中点，连接交于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确理解和运用相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，由平行线的性质及角平分线的性质得出，得出，由中点的定义得出，进而求出；根据，，则，根据相似三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 8．（2025·天津·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点作交的延长线于点，首先证明是等边三角形，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 由作图可知，平分， ． ∵四边形是平行四边形， ． ． 是等边三角形． ． ， ． ． ，． ． ． ， ． ． 故选：A． 9．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，动点坐标的规律探索，解题的关键是掌握动点的运动规律． 根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第2025次后点坐标即可． 【详解】解：根据旋转可得，点的运动规律是周期性的，循环周期为4， 第2025次旋转，循环次数为， ∴此时，点位于第四象限， ∵四边形为平行四边形，且点，的坐标分别为，， ∴轴，， ∴， ∴当点位于第四象限时，坐标为， 故选：B． 10．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质、三角形中位线的性质及三角形的三边关系即可求出结果． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，，， ∴． ∵将绕点B旋转得到， ∴． ∵分别是的中点， ∴线段为的中位线，线段为的中位线， ∴，， ∴， ∴的最小值为，的最大值为． 故选：D． 二、填空题 11．（2023·广东珠海·一模）已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为：． 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（2024·湖南·模拟预测）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，分别是线段，的中点，若，的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，进而得到，最后根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 的周长是，即， ， 、分别是线段、的中点， ， 故答案为：． 14．（2022·江西·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及含角直角三角形的性质．过点作于点E， 由四边形为平行四边形和平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，得出，可得，由含角直角边等于斜边一半来求解点到AB的距离． 【详解】解：如解图，过点作于点E， ∵四边形为平行四边形， ． 平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ，，，． ， ． ． ． ，， ． 15．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和相似三角形的性质以及平移的性质，属于中等难度题型．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 根据三角形中位线定理得到，得到，根据相似三角形的性质和平移的性质计算即可． 【详解】解：∵分别是的边和的中点， ， ， ∴，相似比为， ∵的面积为 7 ， ，则， 由平移的性质可知，的面积的面积， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：14． 16．（2025·浙江台州·三模）如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 根据条件可得反比例函数解析式，利用解析式求出当时值即可． 【详解】解：∵在中，轴，点， ∴， ∴点的坐标， ∵反比例函数的图象在第一象限内经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴点的横坐标为3． 故答案为：3． 17．（2025·宁夏吴忠·三模）如图， 直线， A， B为直线上的两个定点， C是直线上一动点， E， F分别为的中点， 对于下列各值： ①线段的长； ②的周长； ③的面积； ④的度数， 其中不随点C的移动而改变的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识．判断出长为定值，到的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出不断发生变化、的大小不断发生变化，即可判断②④． 【详解】解：、为定点， 长为定值， 点，分别为，的中点， 是的中位线， 为定值，故①正确； 点，为直线上定点，直线， 到的距离为定值， 是的中位线， ， 到的距离为定值， 又为定值， 的面积为定值，故③正确； 当点移动时，的长发生变化， 则的长发生变化， 的周长发生变化，故②错误； 当点移动时，发生变化，则发生变化，故④错误； 故答案为：①③． 18．（2025·山东济南·一模）如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，其中涉及勾股定理与折叠问题以及相似三角形相关，考查学生的综合应用能力，有一定难度．连接，延长交于点，得出和，由勾股定理得出，同时过作，交于点，结合平行四边形的性质以及相似三角形的性质得出，列方程得出，进一步即可得出． 【详解】解：连接，延长交于点， 为中点， ， 沿翻折得到， ， ， ∵， ， 沿翻折得到， ， 在中，由勾股定理可得：， ， ， 过作，交于点， ∵四边形是平行四边形，， ， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， 设，则， ∴，即， 在中，，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（2025·云南·模拟预测）如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 20．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图和平行四边形的性质，熟练掌握“等边对等角”是解题的关键． （1）利用尺规作图作的平分线，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E即可； （2）由（1）可得，根据得到，进而得到，根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点， 再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E，如图所示： （2）证明：平分 四边形是平行四边形 ． 21．（2025·江西赣州·一模）（1）计算：． （2）如图，在中，对角线相交于点O，点E，F在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）2；（2）见解析 【分析】本题考查了实数的混合运算，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算法则和平行四边形的判定与性质． （1）分别计算算术平方根和零指数幂，再进行减法计算； （2）先由得到，然后根据线段和差证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22．（2025·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将向下平移，当点C落在图象上时，求平移的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ，解得， 平移的距离为． 23．（2025·云南·一模）如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（2025·吉林辽源·三模）如图，在平行四边形中，，点是上一点，且，点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为． (1)当点恰好落在边上时，__________，当点在边上运动时，长的最小值为__________； (2)求点到的距离（用含的代数式表示）； (3)当点在上运动时，设与重叠部分图形的面积为，求关于的函数关系式； (4)当射线恰好经过点时，直接写出此时的值． 【答案】(1)4； (2)当时，点到的距离为；当时，点到的距离为 (3) (4) 【分析】（1）过点D作于点，解直角三角形可得 ，由旋转得：，而，故当点在上时，，此时；②当时，最小，即最小，解直角三角形即可求解； （2）①当时，，而，则点到的距离为；②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则，由题意得，此时，解直角三角形得到，，则，可证明，则； （3）先求得点在上时，，进而根据题意画出图形，分两种情况求得； （4）过点作交延长线于点，显然，那么，而，则，得到，，设，而，求出，最后再由勾股定理求解． 【详解】（1）解：①过点D作于点， ∴， ∴设， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 由旋转得：， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴当点在上时，， ∴； ②∵， ∴当时，最小，即最小，如图： ∵， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：4，； （2）解：①当时，，而 ∴点到的距离为； ②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则， 由题意得，此时， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 综上所述，当时，点到的距离为；当时，点到的距离为； （3）解：如图， 过点D作于点， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， 如图，当在上时， ， 又∵ ∴当时， 当时，如图，设交于点，交于点 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴，即 又∵ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴ ， ∴ （4）解：过点作交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， 而， ∴， 由上得：， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， 解得：， ∴， ∴由勾股定理得：； 【点睛】本题是以平行四边形为背景的动点压轴题，化动为静，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $