专题13锐角三角函数（知识清单） （4大考点+13大题型+6大易错+6大方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统梳理了“锐角三角函数”专题，涵盖4大核心考点、13大重难题型、6大易混易错点、6大方法技巧及24道实战题，构建从基础定义到实际应用的完整复习框架。 清单通过思维导图呈现知识结构培养几何直观，按“考点-题型-易错-方法”分级设计，如将“解直角三角形的应用”细分为俯角仰角等题型，提炼母抱子模型等解题技巧，搭配典例与变式练习，助力学生发展模型意识和应用意识，既方便学生自主复习，也为教师教学提供精准辅助。

专题13锐角三角函数 （4大考点+13大题型+6大易错+6大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01锐角三角函数 考点02特殊角的三角函数值 考点03解直角三角形： 考点04锐角三角函数的应用 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（13大重难题型） 题型01锐角三角函数的定义 题型02特殊角的三角函数值 题型03求角的三角函数值 题型04利用三角函数求边长 题型05锐角三角函数与网格问题 题型06锐角三角函数与最值问题 题型07锐角三角函数与翻折问题 题型08解直角三角形的相关计算 题型09解直角三角形的应用：俯角仰角问题 题型10解直角三角形的应用：方向角问题 题型11解直角三角形的应用：坡度坡角问题 题型12锐角三角函数与圆综合 题型13锐角三角函数综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点） 易错点01对锐角三角函数的材料题理解不透而出错 易错点02锐角三角函数的尺规作图找不到正确的思路 易错点03利用锐角三角函数求解时没有画出正确的图形 易错点04解三角形时没有正确的分类谈论而出错 易错点05锐角三角函数的多结论判断问题 易错点06锐角三角函数与几何综合的线段计算 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧）技巧01：母抱子模型 技巧02：背靠背模型 技巧03：拥抱模型 技巧04：解非直角三角形或不规则图形的边长或面积 技巧05：解直角三角形的新定义问题 技巧06：解直角三角形与几何综合问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1. 探索并理解锐角三角函数的概念，会求一个角的锐角三角函数值，会利用锐角三角函数求线段的长 2. 掌握30°，45°，60°角的三角函数值 3. 了解使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. 4. 了解解直角三角形的定义和过程，能用锐角三角函数解直角三角形，并能用相关知识解决一些简单的实际问题. 、 考点01锐角三角函数 在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA=∠A的对边除以斜边= （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA=∠A的邻边除以斜边=． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 考点02特殊角的三角函数值 （1）30°、45°、60°角的各种三角函数值 （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 考点03解直角三角形： （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系： ③边、角之间的关系：sinA= =，cosA =，tanA =，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）． （3）解直角三角形的应用： 通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （4）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 考点04锐角三角函数的应用 1.坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 2.俯角、仰角问题： （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 2.方向角 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 题型01锐角三角函数的定义 【典例1】（2025·青海玉树·三模）如图，在中，若，，，则 ． 【变式练习】 1．（2026·上海松江·一模）在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在中，，，，则 ． 题型02特殊角的三角函数值 【典例2】（2024·湖北·一模）计算： ． 【变式练习】 4．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 5．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 6．（2025·陕西西安·一模）计算： 题型03求角的三角函数值 【典例3】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为 ． 【变式练习】 7．（2025·四川南充·二模）如图，在，，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 8．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 9．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 题型04利用三角函数求边长 【典例4】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，，，则线段的长 ．​ 【变式练习】 10．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图是等边三角形，点是边的三等分点，连接．若的周长为9，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，点D为边上的中点．连接，过点B作于点E，延长交于点F，则的长为 ．    题型05锐角三角函数与网格问题 【典例5】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 【变式练习】 13．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1） ，（2）的值为 ． 15．（2025·福建龙岩·模拟预测）在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点都在格点上，则的值是 ． 题型06锐角三角函数与最值问题 【典例6】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，点在外，，若，则的最小值为 【变式练习】 16．（2025·广西·模拟预测）如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为 ． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在矩形中，，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为 ．    18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，已知，D为直线边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ． 题型07锐角三角函数与翻折问题 【典例7】（2025·山东济南·一模）在矩形中，，分别在边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，连接，若折痕，，则的长为 ． 【变式练习】 19．（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 20．（2025·山东青岛·一模）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ． 21．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为 题型08解直角三角形的相关计算 【典例8】（2025·上海·一模）如图，已知在中，，，延长边至点，使，连接．取边的中点，连接并延长交边于点． (1)求的正弦值． (2)求的值． 【变式练习】 22．（2026·上海松江·一模）如图，在中， ，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 23．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 24．（2025·上海徐汇·二模）如图，已知在中，，是边上一点，，，垂足为点，．        (1)求线段的长； (2)如果的平分线交线段的延长线于点，求的正切值； (3)过点作的直角边的平行线，交直线于点，作射线，交直线于点，求的值． 题型09解直角三角形的应用：俯角仰角问题 【典例9】（2024·河南周口·二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 【变式练习】 25．（2025·海南·模拟预测）在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 26．（2025·陕西西安·一模）如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼的高度为，在楼顶端C处测得松树顶端A的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端A的影子落在地面上的点E处，楼顶端C的影子落在地面上的点F处，测得，，已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点B，E，D，F在同一条直线上，求松树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 27．（2026·全国·模拟预测）如图，某景点一古迹建筑的侧面是一个轴对称图形，对称轴为过建筑物顶端的铅垂线所在的直线．小亮在距建筑物墙角点米的处，测得建筑物顶端的仰角为，且（为锐角，且点、建筑物檐点、点在同一直线上）．在建筑物另一侧距建筑物墙角点米的处，测得建筑物檐点的仰角为．已知点，，，，在同一直线上，屋顶横梁． (1)求建筑物檐到地面的距离（即点或点到的距离）； (2)若米，求建筑物顶部支柱的长． 题型10解直角三角形的应用：方向角问题 【典例10】（2025·河南开封·一模）作为历史文化名城的开封依托其丰富的旅游资源，独特的民俗文化，以及精彩纷呈的节庆活动，吸引了来自全国各地的大量游客．2025年开封清明文化节期间，仅万岁山大宋武侠城景区，三天接待的游客约52万人次．如图，A，B，C，D分别是万岁山大宋武侠城景区中的四个景点．B在A的正东方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，千米．求的长度（结果精确到0.1千米，参考数据：，，，） 【变式练习】 28．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 29．（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 30．（18-19九年级下·全国·单元测试）如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 题型11解直角三角形的应用：坡度坡角问题 【典例11】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【变式练习】 31．（2019·重庆·一模）如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 （精确到米，参考数据：，，） ． 32．（2024·海南·三模）如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米． (1)填空：______； (2)点处到水平地面的距离为______米； (3)求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：） 33．（2026·山东临沂·模拟预测）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． 题型12锐角三角函数与圆综合 【典例12】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，是中点，以点为圆心，长为半径在矩形内画半圆，切半圆于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【变式练习】 34．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，的外接圆为圆O，圆心O恰好为三角形一边的中点，点D为圆上一点，且，过点D作直线使． (1)证明：为圆O切线 (2)当圆O的半径为3，时，求的长． 35．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，内接于，是直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与延长线相交于． (1)求证：是切线． (2)若，． ①求的半径． ②求线段的长． 36．（24-25九年级下·浙江·月考）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，经过圆心O，． ①求的值； ②若，求的半径． 题型13锐角三角函数综合问题 【典例13】（2025·四川成都·三模）在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积． 【变式练习】 37．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 38．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，在矩形 中 ，，点M 在线段上，连接．将线段绕点A 逆时针旋转α（）得到线段．线段绕点A 逆时针旋转α得到线段， 连接并延长交于点F，连接． (1)连接， 当时． ①求证：； ②若点M 在线段上，猜想的数量关系为 ；若点M 在线段 上，猜想的数量关系，并证明； ③若，求的面积； (2)如图2，若， 的面积为，请直接写出线段的长． 39．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动．当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边在的下方作正方形．设点运动的时间为秒，正方形与重叠部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当正方形与重叠部分图形为四边形时，求关于的函数关系式． 易错点01对锐角三角函数的材料题理解不透而出错 【典例】 1．我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 2．构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出 ． 3．（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，，则________； （3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值． 4．综合与实践 【阅读材料】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 证明：过点作于点． ， ， ． （1）如图2，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 【初步应用】 （2）在中，a，b，c分别是的对边．已知，则_____________． 【综合应用】 晋阳湖是山西省太原市重要的生态湿地和城市景观水源地，也是华北地区最大的人工湖，兼具生态调节、休闲观光等多重功能．某综合与实践小组计划绘制一幅晋阳湖局部区域平面示意图，在绘图过程中，需要精准获取湖中A，B两岛间的实际距离．由于晋阳湖部分水域芦苇丛生、地形复杂，且两岛间无直接通航路径，无法使用测距仪直接测量两岛距离．针对这一实际难题，该小组展开了测量方案的探究与设计． 【方案设计】 工具：测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图3，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得． （3）请你利用【阅读材料】中的结论，计算A，B两岛间的距离． （参考数据：） 易错点02锐角三角函数的尺规作图找不到正确的思路 【典例】 5．如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点． (1)请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①找出圆心，作出的中点； ②过点画的切线． (2)求的值． 6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使得． 易错点03利用锐角三角函数求解时没有画出正确的图形 【典例】 7．在中，，，，点，分别是，上一动点，且，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 易错点04解三角形时没有正确的分类谈论而出错 【典例】 8．如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为 ． 9．如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 易错点05锐角三角函数的多结论判断问题 【典例】 10．如图，等腰直角中，，顶点，是正方形的边及边的延长线上的动点．交于点，连接并延长，交于，交于点．以下结论：①；②；③；④若，则，其中正确的是 ．（填正确的序号） 11．如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．有下面四个结论：①；②；③；④若，，则．正确结论的序号有 ． 易错点06锐角三角函数与几何综合的线段计算 【典例】 12．已知：正方形，，，经过点，，分别交，于点，，连接，，． （1）若，且，则 （2）若，且，则 13．如图，在赵爽弦图中，正方形是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长，交于点．若正方形的面积为196，正方形的面积为4，则： （1）正方形的面积为 ． （2）的长为 ． 技巧01：锐角三角函数的基本模型：母抱子模型 《方法技巧》 “母抱子”模型是指有公共边，且公共边在同侧的两个直角三角形，其中一个三角形包含在另一个三角形中.解答这类题的关键是构造（或找出）两个直角三角形的共同高（公共边） 1.模型1：如图①，因为AD十DC=AC, 所以AD=- 所以BC=·AD 2.模型2：如图②，因为DC一BC=BD, 所以BD=AC·tan∠2-AC·tan∠1=AC·(tan2-tan∠1). 【典例】 1．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝16米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角是30°，塔顶A的仰角是45°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（结果保留根号）    2．由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1） 3．如图是某工厂货物传送带的平面示意图．为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的43°减小为30°．已知原传送带AB长为5米． （1）求新传送带AC的长度（结果保留小数点后一位）； （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远（结果保留小数点后一位）？ （参考数据：cos30°≈0.866，tan30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．） 技巧02：锐角三角函数的基本模型：背靠背模型 《方法技巧》 “背靠背”模型是指有公共边，且公共边在异侧的两个直角三角形（双直角三角形)，其中一个三角形在另一个三角形的异侧.解答这类题的关键是构造（或找出)两个直角三角形的公共边（共同高)若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，其中恰当利用公共边是解题的关键， 1.模型1：如图①，BC=BD＋CD=AD·(+) 2.模型2：如图②，AE=BD,AB=ED, CE=AE·tan,AB=DE=AE·tan 所以CD=CE十DE=AE·(tan＋tan). 【典例】 4．一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度． （, ，精确到1米）． 5．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 6．【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC； 【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度； 【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值________． 技巧03：锐角三角函数的基本模型：拥抱模型 《方法技巧》 “拥抱”（叠合）模型是指有公共部分，且公共边在同侧的两个直角三角形(双直角三角形)，其中两个三角形有重叠部分.解答这类题的关键是需要分别求出两个直角三角形的相关值，然后利用已知角度的正切值来列式求解 1.模型1：如图①，因为EC一BC=EB, 所以EB=EC一BC=DC·tan∠EDC AC·tanA. 2.模型2：如图②，AC=FG,AF=CG 因为BG=BC十CG,，BC=AC·tan∠BAC,BG=FG·tan∠BFG=AC·tan∠BFG. 所以AF=CG=BG-BC=AC·tan∠BFG-AC·tan∠BAC=AC·(tan∠BFG-tan∠BAC). 【典例】 7．如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 8．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              9．在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1 m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4 m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为．已知教学楼高，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据：，，，） 技巧04：解非直角三角形或不规则图形的边长或面积 《方法技巧》 解非直角三角形或不规则图形，核心是通过作辅助线（如作高、作垂线）将不规则图形分割或补全为直角三角形（或直角三角形+矩形/正方形），再利用勾股定理、锐角三角函数及直角三角形性质求解未知边或角。 常用辅助线方法如下： 1. 作高法：过非直角顶点作垂直于底边的高，分割出直角三角形、矩形。 ​2.补形法：对缺角的图形（如“L”形、含钝角的三角形），延长某边补成完整的直角三角形，利用整体减去部分求解。 3. 连对角线法：对四边形，连接对角线将其拆分为两个三角形，若其中一个为直角三角形，可优先利用直角三角形性质计算。 【典例】 10．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 11．如图是我国“九三”阅兵式上展示的某新型战机机翼的平面设计图，已知，，，，，，求这款战机机翼的面积．（精确到1m2） （参考数据：，，） 12．如图，在中， ， ，点M为的重心， 若 那么的长等于 ． 技巧05：解直角三角形的新定义问题 《方法技巧》 锐角三角函数新定义问题的核心是严格遵循题目给出的新定义规则，结合锐角三角函数的基本性质（如边长关系、角度范围），将新定义转化为熟悉的数学运算（如线段比、方程求解）来解题，解题策略有： 1. 紧扣新定义：不套用课本中sin、cos、tan的原始定义，完全以题目给出的“新定义”（如新的线段比、新的运算规则）为准。 2. 结合直角三角形本质：无论定义如何新，均围绕“锐角所在的直角三角形”展开，需先明确新定义中涉及的两条线段（如“对边与斜边的一半的比”“邻边与对边的平方比”等）。​ 3. 特殊值验证（可选）：若新定义涉及特殊角（30°、45°、60°），可代入含该角的特殊直角三角形（如30°角对边为1、斜边为2）计算，快速验证或求解。 【典例】 13．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 14．在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 15．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 16．【阅读材料】如图1，在中，设的对边分别为a，b，c，过点作于，在中，，， ， 同理可得：， 则的面积公式：， 由面积公式可得：，该结论称之为“正弦定理”． 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的结论——“余弦定理”： ①；②；③； 推理如下：如图2，在中，设的对边分别为a，b，c， 过点作于，在Rt中，， 又∵在Rt和Rt中，， 整理得：， 同理可得． 请借鉴以上的阅读材料，完成下列问题： (1)如图3，在中，，求的值； (2)如图4，E，F，G，H分别在四边形的四边上，且，求的值； (3)如图5，在中，所对的边分别为的面积为，点为的中点，且，求的周长．（参考数据：） 技巧06：解直角三角形与几何综合问题 《方法技巧》 解直角三角形综合问题的核心是利用勾股定理、锐角三角函数（sin、cos、tan）及直角三角形两锐角互余的性质，结合函数或几何图形组合（如与等腰、梯形、圆结合），求解未知边或角，涉及的数学思想方法有数形结合、方程思想、分类讨论等。 【典例】 17．如图，在正方形中，点在边上不与点，重合，交于点，垂足为点． (1)求证： (2)连结，交于点． 若，求的值． 若，设与的面积之差为，的面积为，求的最大值． 18．如图1，在矩形中，． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在图1中，先在边上确定点E，连接使得．再在边上确定点F，使得以F为圆心的圆经过点E和点C； (2)在（1）的条件下，连接．若，且，则的半径为________； (3)在（1）的条件下，连接． ①延长，相交于点G．若点G恰好在上，求的值； ②取的中点M，连接，与相交于点N．当时，求的正弦值． 一、单选题 1．（2025·天津·二模）的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 2．（2025·云南曲靖·二模）在中，，，，则的 值 为 （   ） A． B．2 C． D． 3．（2025·湖南永州·一模）如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·二模）如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2026·全国·模拟预测）如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 10．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．y的最小值为64 二、填空题 11．（2025·宁夏固原·二模） ． 12．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）在中，，，则 ． 13．（2026·上海徐汇·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为 米． 14．（2024·广东·二模）如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为 15．（2025·上海宝山·模拟预测）有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 16．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ．    17．（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 18．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 三、解答题 19．（2025·云南·模拟预测）计算：． 20．（2023·广东清远·二模）如图，在中，，． (1)求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下求的值． 21．（2025·安徽马鞍山·三模）学生深入工厂劳动实践，要利用一块三角形钢板余料加工出一块矩形零件，如图，点，分别在，边上，在边上，，，，，求矩形零件的长和宽（参考数据：，，，，）． 22．（24-25九年级下·甘肃兰州·月考）某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，点在同一水平地面上． (1)求扶梯的高度．（参考数据：） (2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 23．（2025·辽宁葫芦岛·一模）图1是某汽车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：，，，） 24．（2024·广东江门·二模）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)【初步尝试】填空：我们知道：，，发现当是锐角时，____（填“”或“”）． (2)【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小明想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小明的思路求的值． (3)【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13锐角三角函数 （4大考点+13大题型+6大易错+6大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（4个核心考点） 考点01锐角三角函数 考点02特殊角的三角函数值 考点03解直角三角形： 考点04锐角三角函数的应用 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（13大重难题型） 题型01锐角三角函数的定义 题型02特殊角的三角函数值 题型03求角的三角函数值 题型04利用三角函数求边长 题型05锐角三角函数与网格问题 题型06锐角三角函数与最值问题 题型07锐角三角函数与翻折问题 题型08解直角三角形的相关计算 题型09解直角三角形的应用：俯角仰角问题 题型10解直角三角形的应用：方向角问题 题型11解直角三角形的应用：坡度坡角问题 题型12锐角三角函数与圆综合 题型13锐角三角函数综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点） 易错点01对锐角三角函数的材料题理解不透而出错 易错点02锐角三角函数的尺规作图找不到正确的思路 易错点03利用锐角三角函数求解时没有画出正确的图形 易错点04解三角形时没有正确的分类谈论而出错 易错点05锐角三角函数的多结论判断问题 易错点06锐角三角函数与几何综合的线段计算 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（6大方法技巧）技巧01：母抱子模型 技巧02：背靠背模型 技巧03：拥抱模型 技巧04：解非直角三角形或不规则图形的边长或面积 技巧05：解直角三角形的新定义问题 技巧06：解直角三角形与几何综合问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1. 探索并理解锐角三角函数的概念，会求一个角的锐角三角函数值，会利用锐角三角函数求线段的长 2. 掌握30°，45°，60°角的三角函数值 3. 了解使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角. 4. 了解解直角三角形的定义和过程，能用锐角三角函数解直角三角形，并能用相关知识解决一些简单的实际问题. 、 考点01锐角三角函数 在Rt△ABC中，∠C=90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA=∠A的对边除以斜边= （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA=∠A的邻边除以斜边=． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 考点02特殊角的三角函数值 （1）30°、45°、60°角的各种三角函数值 （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 考点03解直角三角形： （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系： ③边、角之间的关系：sinA= =，cosA =，tanA =，（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）． （3）解直角三角形的应用： 通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （4）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 考点04锐角三角函数的应用 1.坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 2.俯角、仰角问题： （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 2.方向角 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 题型01锐角三角函数的定义 【典例1】（2025·青海玉树·三模）如图，在中，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：． 【变式练习】 1．（2026·上海松江·一模）在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个锐角所对的直角边的长与斜边长的比值，余弦值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与斜边长的比值，正切值等于这个锐角所对的直角边的长与另一直角边的长的比值，余切值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与该锐角所对的直角边的长的比值，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，、、分别是、、的对边， ∴，，，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键．根据，得，结合解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 故选C． 3．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．根据余弦函数的应以即可解答．在直角三角形中，余弦为邻边比斜边． 【详解】解：在中， ． 故答案为：． 题型02特殊角的三角函数值 【典例2】（2024·湖北·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 根据绝对值化简，特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，然后根据实数的运算，即可得答案． 【详解】原式， 故答案为：． 【变式练习】 4．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值、零次幂及二次根式，熟悉相关运算是解题的关键． 根据代入计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 6．（2025·陕西西安·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 题型03求角的三角函数值 【典例3】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质及余弦的定义，根据已知条件利用勾股定理求得的值，再由直角三角形斜边中线定理可得，根据等腰三角形的性质得出，进而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式练习】 7．（2025·四川南充·二模）如图，在，，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出的长是解题的关键．设，过点A作于点D，在中，根据，可得，，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设， 如图，过点A作于点D， 在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 8．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 9．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型04利用三角函数求边长 【典例4】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，，，，则线段的长 ．​ 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键；过点B作，垂足为E，交于点F，由题意易得，，然后可根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，垂足为E，交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为：． 【变式练习】 10．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图是等边三角形，点是边的三等分点，连接．若的周长为9，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和正弦的定义，先过点D作于点E，由题意得到，，在中，利用正弦定义求即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∵是等边三角形且周长为9， ∴，， ∵点是边BC的三等分点， ∴， 在中， ， ∴， ∴点到AC的距离为． 故选：A 11．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、余弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据中线的定义、角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义可得，进而可得，；如图：过B作于G，运用勾股定理可得等面积法和勾股定理可得、，再根据等面积法可得，即，据此即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，即，解得：， ∴， ∴， 如图：过B作于G， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高相等， ∴， 如图：过D作， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）如图，在中，，，点D为边上的中点．连接，过点B作于点E，延长交于点F，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】过点D作于点M，根据，，确定，，结合，计算即可． 【详解】过点D作于点M， ∵，，点D为边上的中点，． ∴，，，；    ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，熟练掌握勾股定理，特殊角的三角函数，三角函数的应用是解题的关键． 题型05锐角三角函数与网格问题 【典例5】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格中利用勾股定理求线段长度，结合直角三角形的余弦定义计算角度的余弦值． 根据网格的特征，连接构造，利用勾股定理计算线段和的长度，再通过中，求得的值即可． 【详解】解：连接，由题可知，此时， 在网格中，由勾股定理可得：，， ∴在中，． 故答案为：． 【变式练习】 13．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理， 先画出图形，再根据勾股定理求出，然后根据正弦定义求解. 【详解】解：标注点D，， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 14．（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1） ，（2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握以上性质是解题的关键． 设，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据的面积为3，得到，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，即可求出的值． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都为， ∴， 即， ， ∴， 解得，（舍去）， 即； 在中，， 故， ∴． 故答案为：，． 15．（2025·福建龙岩·模拟预测）在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】2 【分析】解法一：标注正方形，连结．由网格用勾股定理可得，，从而得到，则，． 解法二：标注正方形，连结．由网格可得，，可得，则，进而可得，． 【详解】解：标注正方形，连接．由网格可知： 解法一： 在中，， ． 在中，， ． 在中，， ． ． ，． 解法二： 在与中，，， ． ， ，． 【点睛】网格中，求格点生成的角的三角函数值问题的通解为：先利用勾股定理求出格点线段长，再用割补法求出格点三角形的面积，然后作格点生成角的一边上的高，利用面积法求出格点三角形的高，最后利用锐角三角函数求得结论． 题型06锐角三角函数与最值问题 【典例6】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，点在外，，若，则的最小值为 【答案】 【分析】如图，将绕点顺时针旋转，得到，结合四边形内角和为得，则、、三点共线，继而得到当时，取得最小值，过点作于点，则的最小值为的长，然后在中，根据正弦的定义即可得解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴、、三点共线， ∵，， ∴， ∴当时，取得最小值， 过点作于点，则的最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，解直角三角形，等边对等角，四边形内角和，垂线段最短等知识点，确定的最小值是解题的关键． 【变式练习】 16．（2025·广西·模拟预测）如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题．作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知，的最小值即为的值，再根据解直角三角形求出故可求解． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知， 的最小值即为的值， ，，， ∴， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·月考）如图，在矩形中，，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，四点共圆．如图，过点B作于点H，连接．由，推出E，B，F，H四点共圆，证明定值，推出点E在射线上运动，当时，的值最小，求出，可得结论． 【详解】解：如图，过点B作于点H，连接，    ∵， ∴E，B，F，H四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴定值， ∴点E在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】点睛片段 18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，已知，D为直线边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，先证明，得到点E在直线上运动，过点B作于点G，解答即可． 【详解】解：连接， ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，． 故点E在直线上运动，， 过点B作于点G， 根据垂线段最短，得当点E与点G重合时，取得最小值， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角函数的应用，熟练掌握全等的性质，垂线段最短，三角函数的应用是解题的关键． 题型07锐角三角函数与翻折问题 【典例7】（2025·山东济南·一模）在矩形中，，分别在边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，连接，若折痕，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，正切值的计算，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质，正切值的计算方法是关键． 如图所示，与交于点，过点作与点，，所以，设，，，均为正数，所以在中，，由勾股定理得到（负值舍去），则，，，如图所示，过点作于点，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 如图所示，与交于点，过点作与点， ∴四边形是矩形，，， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴设，，，均为正数， ∴在中，， 在中，， 在中，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，则，， ∴，则，， ∴，， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式练习】 19．（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据折叠的性质可知为的中点，，又因为点是的中点，可知是的中位线，利用中位线的性质，可得：，根据相似三角形的性质结合，可知与的相似比为，设，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据中位线的性质定理可得，从而可得：，利用勾股定理可以求出，根据正弦的定义即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接，交于点， 将沿折叠得到， 为的中点，且， 是斜边的中点， ，， ， ， 与的相似比为， 设，则， ，， 在中，是斜边的中点， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，轴对称，相似三角形，勾股定理的应用，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找边之间的关系，把边长用含的代数式表示出来，再根据正弦的定义求解． 20．（2025·山东青岛·一模）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．由折叠可得：，，，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理得：，即，推出，得到，证明，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，，， 设正方形的边长为，，则，， 在中，由勾股定理得：，即， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 21．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，求一个角的正弦值，三角形的外角定理等知识点，正确理解矩形和折叠的性质是解题的关键．根据矩形和折叠的性质证明，再根据三角函数定义，进行求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：． 题型08解直角三角形的相关计算 【典例8】（2025·上海·一模）如图，已知在中，，，延长边至点，使，连接．取边的中点，连接并延长交边于点． (1)求的正弦值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，通过作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． （1）过点C作于G，根据，可得，得，设，则，可求出，，进而利用勾股定理求得，最后利用正弦定义求解即可； （2）延长至H，使，连接，可得，得，，可得，即得． 【详解】（1）解：过点C作于G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故的正弦值为； （2）解：延长至H，使，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式练习】 22．（2026·上海松江·一模）如图，在中， ，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点作于点，分别解和，进行求解即可． （2）作于点，勾股定理求出的长，进而求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用余弦的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，； ∴； （2）解：如（1）图，作于点， 由（1）知：， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴． 23．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在中，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形、等腰三角形的性质及平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定与性质、面积法及正弦的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定与性质得出，再结合平行四边形的判定（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）即可解决问题． （2）先求出的长，进一步得出的长，再过点C作的垂线，垂足为M，结合面积法求出的长，最后根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 在中， ． 在中， ， 过点C作，垂足为M，如图 ∵， ∴， 在中，． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴． 24．（2025·上海徐汇·二模）如图，已知在中，，是边上一点，，，垂足为点，．        (1)求线段的长； (2)如果的平分线交线段的延长线于点，求的正切值； (3)过点作的直角边的平行线，交直线于点，作射线，交直线于点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，锐角三角函数，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设，在中，，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出； （2）可证明，中，可求出，进而求出长度，则可得结论； （3）分两种情形：当时或者当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 解得（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴∽， ∴， 即， 解得； （2）解：设交线段于点，交边于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）（i）当时， ∵， ∴， 得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （ii）当时，延长交直线于点， ∵， ∴， 得， 即 求得， ∵， ∴， ∴， 得， 即， 求得， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 题型09解直角三角形的应用：俯角仰角问题 【典例9】（2024·河南周口·二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 【答案】广告牌的高约米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角和俯角问题，坡度问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键． 在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，，垂足分别为M、N， 由题意可知，，，，米，米， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， 在中，，米， ∴（米）， ∴（米） 答：广告牌的高约米． 【变式练习】 25．（2025·海南·模拟预测）在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的实际应用——测量高度，根据题意可得，从而求出，再求出即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 故选：C． 26．（2025·陕西西安·一模）如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼的高度为，在楼顶端C处测得松树顶端A的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端A的影子落在地面上的点E处，楼顶端C的影子落在地面上的点F处，测得，，已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点B，E，D，F在同一条直线上，求松树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】松树的高度约为 【分析】题目主要考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解三角形的应用，过点A作于点H，则四边形为矩形，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，利用正切函数求解即可，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：如图，过点A作于点H，则四边形为矩形， ∴， 设，则， 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在C处测得A的俯角为， ∴， 解得：． 答：松树的高度约为． 27．（2026·全国·模拟预测）如图，某景点一古迹建筑的侧面是一个轴对称图形，对称轴为过建筑物顶端的铅垂线所在的直线．小亮在距建筑物墙角点米的处，测得建筑物顶端的仰角为，且（为锐角，且点、建筑物檐点、点在同一直线上）．在建筑物另一侧距建筑物墙角点米的处，测得建筑物檐点的仰角为．已知点，，，，在同一直线上，屋顶横梁． (1)求建筑物檐到地面的距离（即点或点到的距离）； (2)若米，求建筑物顶部支柱的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、锐角三角函数的应用，利用轴对称性转化线段与角度关系是解题的关键． （1）在上截取，根据对称性可知，，过点作，设米，则米，由得米，进而得米，由米得，即可得米； （2）根据对称性可得米，可得米，由得米，由平行线间距离得米，最后由即可得出． 【详解】（1）解：如图，在上截取，根据对称性可知，， 过点作，垂足为，设米，则米， 在中，，， ∴米， ∴米， 又∵米， ∴， ∴米， 即建筑物檐到地面的距离为米； （2）解： 根据对称性可得米， ∴米， 在中，，， ∴米， ∵，，， ∴米， ∴米． 题型10解直角三角形的应用：方向角问题 【典例10】（2025·河南开封·一模）作为历史文化名城的开封依托其丰富的旅游资源，独特的民俗文化，以及精彩纷呈的节庆活动，吸引了来自全国各地的大量游客．2025年开封清明文化节期间，仅万岁山大宋武侠城景区，三天接待的游客约52万人次．如图，A，B，C，D分别是万岁山大宋武侠城景区中的四个景点．B在A的正东方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，千米．求的长度（结果精确到0.1千米，参考数据：，，，） 【答案】3.4千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，过点作于点，由已知可得，，先求出千米，解直角三角形得出千米，千米，由平行线的性质可得，再在中，解直角三角形得出千米，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图：过点作于点，过点作于点， 由已知可得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 千米， 千米， （千米）， （千米）， （千米），（千米）， ， ∴， 在中，， ， ∴米， （千米）． 的长约为3.4千米． 【变式练习】 28．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 29．（2025·安徽滁州·二模）如图，在一次户外探险活动中，探险队在基地A处的正东方向设置了两个相距的补给点B，C．一支探险小队从基地A处出发，沿北偏东方向行进至D处，此时在补给点B，C处分别测得，．求探险小队行进的距离．（结果取整数，参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得，再解求得即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 因此，探险小队行进的距离为． 30．（18-19九年级下·全国·单元测试）如图为某景区五个景点、、、、的平面示意图，点、在的正东方向，点在点的正北方向，、在的北偏西方向上，在的西北方向上，、相距，在的中点处． (1)求景点、之间的距离； (2)求景点、之间的距离(结果保留根号)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决；解直角三角形中，三角函数的概念、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识要熟练掌握． （1）利用角的正弦即可求得的长，从而易得的长； （2）过点作于点，在中利用三角函数可求出、的长，在等腰中即可求得． 【详解】（1）解：由题意得，，，． ， ， ． 点在的中点处， （m）； （2）解：如图，过点作于点． 在中， ． 在中，， (m)． 题型11解直角三角形的应用：坡度坡角问题 【典例11】（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 【变式练习】 31．（2019·重庆·一模）如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 （精确到米，参考数据：，，） ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，需要用到坡度坡角、三角函数、矩形的性质相关知识，解题可先根据斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距离，再结合三角函数求出相关线段长度，进而求出建筑物的高度． 【详解】作于点，作于点，作，如图， 设，， 由勾股定理，得， 解得：， 不合题意，舍去， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（2024·海南·三模）如图，时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设基站．已知斜坡的坡度为（即），点处的通讯塔垂直于水平地面，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，斜坡路段长米． (1)填空：______； (2)点处到水平地面的距离为______米； (3)求通讯塔的高度（结果保留根号）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)13 (3)通讯塔的高度米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）根据在处测得塔顶的仰角为可得； （2）作，由题意得，据此即可求解； （3）作于点，作于点，设，则，，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：∵在处测得塔顶的仰角为， ∴； （2）解：作，如图所示： ∵ ∴ ∴ ∵米 ∴米； （3）解：作于点，作于点， ，即， 则米， 米， 设，则，， 由题意知， ， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ，米， 米， 米， 米， 答：通讯塔的高度米． 33．（2026·山东临沂·模拟预测）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功．为了让学生们感受国家航天事业的伟大，学校组织九年级同学参观航天博物馆，在展览场地展示了长征二号F遥十七运载火箭模型．有数学兴趣小组的同学观察到以下情况：如图，火箭模型后有一个山坡，其坡度．某一时刻太阳光线与水平线的夹角为时，火箭模型在小山坡上的影长为20米，测得坡脚C与楼房的水平距离米，求火箭模型的高． 【答案】火箭模型AB的高度为米 【分析】作辅助线可知四边形是矩形，由坡度可得，从而通过解三角形可得到的值． 本题主要考查了勾股定理，解直角三角形以及矩形的判定及性质，通过作恰当的辅助线，构造直角三角形，将实际问题转化成解直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：过点D分别作，交的延长线于点E，于点F， 则四边形是矩形， ∵斜坡坡度, 在中，米， （米） ∴（米），（米） ∴（米） ∴（米） 在中， （米） （米） ∴火箭模型AB的高度为米． 题型12锐角三角函数与圆综合 【典例12】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，是中点，以点为圆心，长为半径在矩形内画半圆，切半圆于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）结合矩形的性质，以及切线的性质，证明，得， 则同理，得，故，即可作答． （2）先得，结合，故，又因为，则运用勾股定理得，根据矩形的性质得，则，再列式计算求出四边形的面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵切半圆于点， ∴． 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 则同理 ∴， ∵， ∴， 即． （2）解：由（1）得，， ∴，，， 由（1）得， 则，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， 则， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形的相关应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式练习】 34．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，的外接圆为圆O，圆心O恰好为三角形一边的中点，点D为圆上一点，且，过点D作直线使． (1)证明：为圆O切线 (2)当圆O的半径为3，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接、，根据圆心角，弦，弧的关系可得，进而证明，从而得到；再根据平行的性质得到，结合为半径，从而证明结论； （2）连接，根据等弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角，结合锐角三角函数，求出的值；再由（1）问中的条件证明，利用相似比求出的长，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接、，设与交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴在中，， ∴， 由（1）知，， ∴在中，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 即：， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，切线的判定，直径所对的圆周角是度，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，正弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 35．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，内接于，是直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与延长线相交于． (1)求证：是切线． (2)若，． ①求的半径． ②求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①3；② 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）①可证明，得到，利用勾股定理得到，证明，得出，据此求的长即可得到答案；②证明，根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵是的半径， 是的切线； （2）解：①由（1）可知，则，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3； ②， ， ， 36．（24-25九年级下·浙江·月考）如图，是的外接圆，点D位于外一点，连接，，．交于点E，连接．已知． (1)如图1，求证：； (2)如图2，经过圆心O，． ①求的值； ②若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求证； （2）①连接，，由题意易得，，然后可得，，则有，进而根据相似三角形的性质及三角函数可进行求解； ②延长交于点F，由题意易得，，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：是的外接圆， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过圆心O， ∴是的直径， ∴， ∴； ②如图3，延长交于点F， ∴， ∴，， ∵O为的中点， ∴， 由（2）①可得， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查垂径定理、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定，三角函数，熟练掌握垂径定理、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 题型13锐角三角函数综合问题 【典例13】（2025·四川成都·三模）在中，，，点D，E分别在边，上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段． (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明； (3)如图3，若点E为中点，，，连接、，当为直角三角形时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)或或 【分析】（1）证明，从而； （2）以为圆心，长为半径圆弧，交于，取的中点，连接，可证得，从而，从而，进而得出，从而，从而得出结果； （3）作的垂直平分线，交于，连接，可求得，分两种情形：当时，即点在上时，作于，可得出，设，则，可得出，进而根据得方程，求得的值，进一步得出结果；当时，构造＂一线三等角＂得出，从而，，设，则，从而，根据得出的方程，根据勾股定理得方程，从而求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）如图，连接， 由题意得， ； （2） ，理由如下： 以为圆心，长为半径画弧，交于，取的中点，连接， ； （3）如图， 作的垂直平分线，交于，连接， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． （i）如图， 当时，即点在上时，作于， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由得，， ∴， ∴， ； （ii）当时， 作于，作于，作交于，作，交于， ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由得，①， 取的中点，作于， 则，四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，②， 由①②得，， 当时，， 当时，， 综上所述：或或． 【变式练习】 37．（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或 【分析】（1）根据，线段的长度小于线段的长度，可推出若与相似，只有这一种情况；根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：，；分类讨论若，若，若，三种情况，结合等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； ∵，线段的长度小于线段的长度， ∴若与相似，则； ∴，即， 解得：； 即：，与相似； （2）解：由题意得：， （3）解：由题意得：，； 若，则，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 综上所述，当的值为，或时，可使得为等腰三角形； 【点睛】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形、等腰三角形、三角函数等知识点，根据动点作出相应的几何图，找出几何关系是解题关键. 38．（2025·辽宁·模拟预测）如图1，在矩形 中 ，，点M 在线段上，连接．将线段绕点A 逆时针旋转α（）得到线段．线段绕点A 逆时针旋转α得到线段， 连接并延长交于点F，连接． (1)连接， 当时． ①求证：； ②若点M 在线段上，猜想的数量关系为 ；若点M 在线段 上，猜想的数量关系，并证明； ③若，求的面积； (2)如图2，若， 的面积为，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②；；证明见解析；③ (2)5或 【分析】（1）① 根据旋转的性质，等式的性质，边角边全等原理证明即可； ②根据矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质； ③过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G,利用等边三角形的性质，三角函数，解答即可． （2）过点E 作交 于点P,过点N 作交于点R,交 的延长线于点Q,利用三角函数，四点共圆，矩形的性质，分类计算即可． 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数是解题的关键． 【详解】（1）①证明：∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段． ∴, ∴， ∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段， ∴, ∴, ∴， 在和中 ∴; ②解：点M 在线段上时，； ∵线段绕点A 逆时针旋转得到线段， ∴, ∴是等边三角形， ∴, ∵矩形， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 若点M 在线段 上时，， 证明如下：如解图①,由①可知，, ∴, ∴, ∵线段绕点A 逆时针旋转α得到线段, ∴, ∴为等边三角形， ∴, ∴ ∴, ∴; 故答案为：； ③解：如解图②,过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G, 由②得为等边三角形，, ∵, , , 由四边形是矩形， ∴ ∴, 在中， ∵, ． （2）解：如图，过点E 作交 于点I,过点N 作交于点H,交 的延长线于点G, ∵的面积为， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 由四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点A，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）得； 如图，过点E 作交 于点P,过点N 作交于点R,交 的延长线于点Q, ∵的面积为， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， 由四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点A，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）得； 综上所述，线段BM 的长为5或． 39．（2025·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动．当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为边在的下方作正方形．设点运动的时间为秒，正方形与重叠部分图形的面积为． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当正方形与重叠部分图形为四边形时，求关于的函数关系式． 【答案】(1)当点在边上，即时，；当点在边上，即时， (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）分点在边上，点在边上，两种情况，利用三角函数解答即可； （2）证明，列比例式解答即可； （3）根据运动的情况，分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， 设运动时间为，则，当点P在上时，运动时间为：；当点P在上时，运动时间为：； 当点在边上即时，， ∵以为边在的下方作正方形． ∴； 当点在边上，即时，， ∴， ∵以为边在的下方作正方形． ∴． 综上所述，． （2）解：根据题意，此时，点P在上， 设运动时间为，则，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 故当运动时，点落在边上． （3）解：根据（1）（2），当时，正方形与重叠部分图形为正方形，是四边形，符合题意，此时， 故； 当时，如图所示，重叠部分是一个五边形，不符合题意； 当时， 重叠部分是四边形，符合题意； 设与的交点为G，此时， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 解得 根据四边形的面积等于正方形的面积减去三角形的面积，得 ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，分类的思想应用，熟练掌握定理和性质，三角函数的应用是解题的关键． 易错点01对锐角三角函数的材料题理解不透而出错 【典例】 1．（2025·安徽亳州·一模）我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，新定义，根据，得到，进而得到，再根据新定义，代值计算即可． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 由题意，． 故选：D． 2．（2024·吉林·二模）构建几何图形解决代数问题体现的是数形结合思想．如图，在中，，，延长线段到点，使，连接，可得，所以．利用此图形可以得出．通过类比这种方法，可以得出 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正切函数等，能熟练利用勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．在中，，，延长到点，使，连接，结合等腰三角形的性质得，设，由正切函数得，即可求解． 【详解】解：如图，在中，，，延长到点，使，连接， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数． （2）已知，均为锐角，，，则________； （3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）解直角三角形可得，，则可证明，利用勾股定理及其逆定理可证明，，得到，则可证明是等腰直角三角形，则； （2）根据特殊角三角函数值可得的度数，进而可得答案； （3）构造解析图中的，可证明；同理可证明，解直角三角形得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，取格点E、F，连接， 在中，， 在中，， ∴ 由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）∵，均为锐角，，， ∴， ∴； （3）如图所示，， ∴， ∴， ∴； 由网格的特点和勾股定理可得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·山西长治·月考）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 证明：过点作于点． ， ， ． （1）如图2，在中，的对边分别为a，b，c．求证：． 【初步应用】 （2）在中，a，b，c分别是的对边．已知，则_____________． 【综合应用】 晋阳湖是山西省太原市重要的生态湿地和城市景观水源地，也是华北地区最大的人工湖，兼具生态调节、休闲观光等多重功能．某综合与实践小组计划绘制一幅晋阳湖局部区域平面示意图，在绘图过程中，需要精准获取湖中A，B两岛间的实际距离．由于晋阳湖部分水域芦苇丛生、地形复杂，且两岛间无直接通航路径，无法使用测距仪直接测量两岛距离．针对这一实际难题，该小组展开了测量方案的探究与设计． 【方案设计】 工具：测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图3，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值，测得； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值，测得． （3）请你利用【阅读材料】中的结论，计算A，B两岛间的距离． （参考数据：） 【答案】（1）见解析 （2）2 （3）A，B两岛间的距离为 【分析】u本题主要考查三角函数的计算与运用，理解材料提示的计算方法，掌握锐角三角函数值的计算是关键． （1）根据材料提示方法，过点作于点，则，由正弦值的计算即可求解； （2）根据材料题意，运用（1）中的结论，代入计算即可求解； （3）根据三角形内角和定理得到，结合（1）中的结论列式得，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图，过点作于点，则， ， ， ， ； （2）根据（1）的计算得到，， ∴， 解得，， 故答案为：2； （3）， ， 由题意，得， 又， ， 答：A，B两岛间的距离为． 易错点02锐角三角函数的尺规作图找不到正确的思路 【典例】 5．（2025·四川广元·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点． (1)请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①找出圆心，作出的中点； ②过点画的切线． (2)求的值． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】本题考查了找圆的圆心，线段的中点，垂直平分线作法及性质，切线的判定，勾股定理，勾股定理逆定理，正弦的定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）①作线段与线段的垂直平分线，线段与线段的垂直平分线交点即为圆心，线段的垂直平分线与的交点，即为的中点； ②连接，过点作的垂线，即可解题； （2）连接，利用勾股定理分别算出，再结合勾股定理逆定理推出，最后根据正弦的定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：①所作圆心，以及的中点，如图所示： ②所作的切线如图所示： （2）解：连接， ，，， 且， ， ． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连接，使得； (2)在图②中的边上确定一点，连接，使得； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上取点，使，则点即为所求； （2）在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求； （3）在的延长线上取点，使，在点的正上方取点，使，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①所示，则， 此时． （2）解：如图②所示， ，． ． （3）解：如图③所示， ，， ． ． 易错点03利用锐角三角函数求解时没有画出正确的图形 【典例】 7．（2026·江西·模拟预测）在中，，，，点，分别是，上一动点，且，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的存在性问题，三角函数以及分类讨论思想，先根据题意，画出大致图形，并求出图中相关的量，由等腰三角形的腰不确定，分三种情况讨论，求解即可． 【详解】解：如图（1），，，， ， ①当 时，如图（2）， ， ， ； ②当时，如图（3）， 过点作 于点， ， ， ， 即， ； ③当时，如图（4）， 过点作于点， ， ，， ， 即， ， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或 8．（2022·上海浦东新·二模）如图，在中，为边上的中线，，以点为圆心，r为半径作．如果与中线有且只有一个公共点，那么的半径r的取值范围为 ． 【答案】或/或 【分析】根据直线与圆的位置关系，判断出符合题意的的半径r的取值范围的临界值并求解即可； 【详解】解：在中，为边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴边的高， ∵与中线有且只有一个公共点， ∴的半径的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键． 易错点04解三角形时没有正确的分类谈论而出错 【典例】 9．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，，点从点出发，以个单位长度每秒的速度沿射线运动，设运动时间为，当为等腰三角形时，点的运动时间为 s． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，三角函数的比值关系，合理分类讨论和作出相关辅助线是解题的关键． 分类讨论等腰三角形边相等的情况，再结合勾股定理列出方程运算即可． 【详解】解：由题可知是边上的中线，所以不会出现，则可分两种情况讨论： ①当时，如图，过作，交延长线于点， ， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， ∴ 此时； ②当时，且在线段上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 此时； ③当时，且在线段延长线上，如图，过作于点， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得（舍去）或， 即此时与重合， ∴， ∴， 此时； 综上，的值为或或； 故答案为：或或． 易错点05锐角三角函数的多结论判断问题 【典例】 10．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，等腰直角中，，顶点，是正方形的边及边的延长线上的动点．交于点，连接并延长，交于，交于点．以下结论：①；②；③；④若，则，其中正确的是 ．（填正确的序号） 【答案】①②③ 【分析】由正方形及等腰直角三角形的性质，可证得，，可证得，过点作交于点，证明得出，根据三线合一可得，由可证，可得，可得，故①正确；由可证，可得，由勾股定理可得；故②正确；连接，证明得出，进而证明得出，即故③正确；由可得，设正方形的边长为a，可得，，故④不正确，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，是等腰直角三角形， ，，，， ， ， 如图，过点作交于点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵等腰直角中，， ∴，， 又， ， ， ， ，故①正确； 如图：将绕点A顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ， ， ， ， 又，， ， ， ；故②正确； 如图，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴，故③正确； ， ， ， 设正方形的边长为a， ， 解得， ， ，故④不正确， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正切函数的定义，作出辅助线是解决本题的关键． 11．（24-25九年级下·全国·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．有下面四个结论：①；②；③；④若，，则．正确结论的序号有 ． 【答案】①③ 【分析】①利用“等腰三角形对顶角”等量代换进行验证； ②结合“切线性质圆周角定理”进行验证； ③用“切线性质等腰三角形+互余关系”推导垂直； ④通过“设参数 相似列方程”验证结果． 【详解】解：如图，连接． ①， ， ， ． 故①正确； ②与半圆相切于点， ∴，， 若，则在中，， 即，题目无此条件． 故②错误； ③， ， 与半圆相切于点， ， ， ， , ， ． 故③正确； ④， 设， 则，，， 在中，， ， 解得，（舍去）， ，，， ， ， ， ， 故④错误． 综上，正确的结论为①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查圆的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余，掌握利用几何性质列方程的方法是解题关键． 易错点06锐角三角函数与几何综合的线段计算 【典例】 12．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知：正方形，，，经过点，，分别交，于点，，连接，，． （1）若，且，则 （2）若，且，则 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，解直角三角形和相似三角形的判定与性质等知识，熟练灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）先证明，，，从而证明，运用相似三角形的性质可得结论； （2）过点作于点则，证明，可得出，求出，利用勾股定理可得出． 【详解】解：（1）∵，, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即； 在正方形中，，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴； （2）过点作于点，则，如图， 则，， ， 又， ， ， ∵，， 又， ∴， ， ，即， ， ∵， ， ， ． 故答案为：（1）；（2）． 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在赵爽弦图中，正方形是由四个全等的直角三角形，，，和一个小正方形组成的．若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形，连接并延长，交于点．若正方形的面积为196，正方形的面积为4，则： （1）正方形的面积为 ． （2）的长为 ． 【答案】 100 7.9 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）设每个小直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，斜边长为．，则，进而得出{，勾股定理得出，即可求解； （2）设交于点，证明，利用同角的三角函数性质求出，，，即可求解． 【详解】解：（1）设每个小直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，斜边长为． 正方形的面积为196，正方形的面积为4， ． ，， ． 解得：． ． 正方形的面积为：． 故答案为100； （2）设交于点． 由题意得：，， ． ． ． 四边形是正方形， ． ． 由题意得：，． ． 同理． ． 由题意得：，，． ． ． 故答案为：7.9． 技巧01：锐角三角函数的基本模型：母抱子模型 《方法技巧》 “母抱子”模型是指有公共边，且公共边在同侧的两个直角三角形，其中一个三角形包含在另一个三角形中.解答这类题的关键是构造（或找出）两个直角三角形的共同高（公共边） 1.模型1：如图①，因为AD十DC=AC, 所以AD=- 所以BC=·AD 2.模型2：如图②，因为DC一BC=BD, 所以BD=AC·tan∠2-AC·tan∠1=AC·(tan2-tan∠1). 【典例】 1．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝16米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角是30°，塔顶A的仰角是45°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．（结果保留根号）    【答案】 【分析】分别解和，得到、，根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键． 2．由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1） 【答案】生命所在点C的深度为1.7m． 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示： 由图可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°， ∵∠EBC=∠BAC+∠BCA， ∴∠BCA=30°， ∴AB=BC， ∵AB=2m， ∴BC=2m， ∴m， 答：生命所在点C的深度为1.7m． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 3．如图是某工厂货物传送带的平面示意图．为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传送带与地面的夹角，使其由原来的43°减小为30°．已知原传送带AB长为5米． （1）求新传送带AC的长度（结果保留小数点后一位）； （2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距多远（结果保留小数点后一位）？ （参考数据：cos30°≈0.866，tan30°≈0.577，sin43°≈0.682，cos43°≈0.731，tan43°≈0.933．） 【答案】（1）新传送带AC的长约为6.8米；（2）新旧货物传送带着地点B、C之间相距2.3米 【分析】（1）过A作BC的垂线AD．在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长． （2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC的长． 【详解】（1）过点A作AD垂直于CB的延长线于点D． 在Rt△ADB中，AB=5，∠ABD=43°， ∵，， ∴AD=AB•sin∠ABD=5×sin43°≈3.41， BD=AB•cos∠ABD=5×cos43°≈3.66． 在Rt△ADC中， ∵， ∴， 答：新传送带AC的长约为6.8米； （2）在Rt△ACD中，AC≈6.82，∠ACD=30°， ∵， ∴CD=AC•cos∠ACD≈6.82×cos30°≈5.91． ∴BC=CD-BD=5.91-3.66≈2.3． 答：新旧货物传送带着地点B、C之间相距2.3米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用问题，关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路． 技巧02：锐角三角函数的基本模型：背靠背模型 《方法技巧》 “背靠背”模型是指有公共边，且公共边在异侧的两个直角三角形（双直角三角形)，其中一个三角形在另一个三角形的异侧.解答这类题的关键是构造（或找出)两个直角三角形的公共边（共同高)若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形求解，其中恰当利用公共边是解题的关键， 1.模型1：如图①，BC=BD＋CD=AD·(+) 2.模型2：如图②，AE=BD,AB=ED, CE=AE·tan,AB=DE=AE·tan 所以CD=CE十DE=AE·(tan＋tan). 【典例】 4．一滑板运动场斜坡上的点处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点处，米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度． （, ，精确到1米）． 【答案】旗杆的高度约为9米． 【分析】根据题意过点作于点，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案． 【详解】解：过点作于点， ，，，，， 又， ， ，，， 答：旗杆的高度约为9米． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键． 5．已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式：． （1）如图1，若，求b的值； （2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池中建一座小型景观桥（如图2所示），若米，米，，求景观桥的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过C作于点D，解直角三角形即可； （2）由已知条件可知，求得，勾股定理求得， 解即可求得的长 【详解】（1）如图，过C作于点D , 即 （2），，, 在中，设，则 在中， 即: 解得：（不符题意，舍） 【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 6．【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，求证：BA2＝BD•BC； 【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度； 【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为H，若，请直接写出的值________． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）． 【分析】（1）要证明BA2＝BD•BC，只需证明，由已知判定即可解答； （2）由3AD＝2AC 可知的相似比为，从而得出，设BD=4x，则BA=6x，BC=9x，再过F点作，交BC于M点，利用平行线构造相似三角形和等腰三角形，利用已知线段关系证明DF=FM，从而得出，由此即可求出BE长， （3）延长BC到G，使CG=AC，过C点作CM⊥AG垂足为M，构造，由已知求出相似比为，再设，，解即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵∠BAD＝∠ACB，∠B＝∠B， ∴， ∴， ∴BA2＝BD•BC； （2）解：由（1）可得， 又∵3AD＝2AC ∴， 设BD=4x，则BA=6x，BC=9x， 如解图2，过F点作，交BC于M点， ∴∠ABD＝∠FMD， ∵BE＝ED， ∴∠ABD＝∠EDB， 又∵∠MDF＝∠EDB， ∴∠MDF＝∠FMD， ∴MF＝DF＝1， 由可得，， ∴，， 由∵BG＝2，MF＝DF＝1， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：延长BC到G，使CG=AC，过C点作CM⊥AG垂足为M， ∴∠CAG＝∠G， ∴∠ACB＝∠CAG+∠G=2∠CAG＝2∠G， ∵∠ACB＝2∠BAD， ∴∠BAD=∠CAG＝∠G， ∵， ∴，即， ∴， ∵，即 ∴ 又∵∠B=∠B，∠BAD＝∠G， ∴， ∴， 设，，则，，， 在中，， 在中，， ∴， 解关于x的方程得：，， 当时，不合题意舍去； 当时，，． 综上所述：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是能通过作合适的辅助线构造相似三角形并最终求得结果． 技巧03：锐角三角函数的基本模型：拥抱模型 《方法技巧》 “拥抱”（叠合）模型是指有公共部分，且公共边在同侧的两个直角三角形(双直角三角形)，其中两个三角形有重叠部分.解答这类题的关键是需要分别求出两个直角三角形的相关值，然后利用已知角度的正切值来列式求解 1.模型1：如图①，因为EC一BC=EB, 所以EB=EC一BC=DC·tan∠EDC AC·tanA. 2.模型2：如图②，AC=FG,AF=CG 因为BG=BC十CG,，BC=AC·tan∠BAC,BG=FG·tan∠BFG=AC·tan∠BFG. 所以AF=CG=BG-BC=AC·tan∠BFG-AC·tan∠BAC=AC·(tan∠BFG-tan∠BAC). 【典例】 7．如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【答案】(1)楼高为米； (2)广告牌的高度为米． 【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解； （2）根据题意构造直角三角形，利用三角函数求得米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，米； 由 ， 得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； （2）解：∵在中，米， ， ∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键． 8．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米 【分析】设，则，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值． 【详解】解：在Rt△ACD中，，则. 设，则 在Rt△BCD中，. ∴ ∴   解得：.             在Rt△ACE中，. ∴ 答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米. 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错． 9．在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1 m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为，然后向教学楼正方向走了4 m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为．已知教学楼高，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据：，，，） 【答案】宣传牌AB的高度为2米 【分析】过点C作于G，设AB为x，根据可得，然后在中解直角三角形即可. 【详解】解：过点C作于G，则， ∵， ∴， 设AB为x， ∵， ∴， ∴CG=4+18+x=22+x， 在中，， 则，即 解得：， 答：宣传牌AB的高度为2米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 技巧04：解非直角三角形或不规则图形的边长或面积 《方法技巧》 解非直角三角形或不规则图形，核心是通过作辅助线（如作高、作垂线）将不规则图形分割或补全为直角三角形（或直角三角形+矩形/正方形），再利用勾股定理、锐角三角函数及直角三角形性质求解未知边或角。 常用辅助线方法如下： 1. 作高法：过非直角顶点作垂直于底边的高，分割出直角三角形、矩形。 ​2.补形法：对缺角的图形（如“L”形、含钝角的三角形），延长某边补成完整的直角三角形，利用整体减去部分求解。 3. 连对角线法：对四边形，连接对角线将其拆分为两个三角形，若其中一个为直角三角形，可优先利用直角三角形性质计算。 【典例】 10．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 11．如图是我国“九三”阅兵式上展示的某新型战机机翼的平面设计图，已知，，，，，，求这款战机机翼的面积．（精确到1m2） （参考数据：，，） 【答案】 【分析】此题主要考查解直角三角形的应用，连接，过点作于点，过点作的延长线于点，在中，可得，在中，可得，再根据求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作的延长线于点， 在中，，， ， 在中，，， ， 答：该款战机机翼的面积约为． 12．如图，在中， ， ，点M为的重心， 若 那么的长等于 ． 【答案】5 【分析】先利用三角形的重心的性质得出，，，再，，列出比例式求出、，结合，求得，然后利用勾股定理求得，从而可求得，进而求得，再利用勾股定理求得，然后利用勾股定理求得． 【详解】解：延长交于点E，延长交于点F，过点M分别作，的垂线，垂足分别是G，D， ∵点M为的重心，， ∴，，， 又， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了重心的有关性质，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，已知正切值求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 技巧05：解直角三角形的新定义问题 《方法技巧》 锐角三角函数新定义问题的核心是严格遵循题目给出的新定义规则，结合锐角三角函数的基本性质（如边长关系、角度范围），将新定义转化为熟悉的数学运算（如线段比、方程求解）来解题，解题策略有： 1. 紧扣新定义：不套用课本中sin、cos、tan的原始定义，完全以题目给出的“新定义”（如新的线段比、新的运算规则）为准。 2. 结合直角三角形本质：无论定义如何新，均围绕“锐角所在的直角三角形”展开，需先明确新定义中涉及的两条线段（如“对边与斜边的一半的比”“邻边与对边的平方比”等）。​ 3. 特殊值验证（可选）：若新定义涉及特殊角（30°、45°、60°），可代入含该角的特殊直角三角形（如30°角对边为1、斜边为2）计算，快速验证或求解。 【典例】 13．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 14．在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 15．我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立平面直角坐标系（如图所示），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，点和原点的距离为（总是正的），把角的三角函数规定为：，，．很显然，图中三个比值的大小仅与角的大小有关，而与点所在角的终边位置无关． 根据上述定义，解答问题： (1)若，则角的三角函数值，，，其中取正值的是______； (2)若角的终边与直线重合，求的值； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可； （2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可； （3）根据角是钝角，且点是角终边上一点，得出点在第二象限，过点P作轴于点，根据三角函数定义得出，求出，得出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图1， ， 点在第四象限， ，， ， ，，， 、、中的正值是， 故答案为：． （2）解：直线经过原点和第一、第三象限，且角的终边与直线重合， 点在第一象限或第三象限，且可以表示为，作轴于点． 如图2，点在第一象限，则，， ， ； 如图3，点在第三象限，则，， ， ； 综上所述，的值为或． （3）解：如图4， 角是钝角，且点是角终边上一点， 点在第二象限， 作轴于点， ，且， ， 解得：， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、三角函数的定义，两点间距离公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 16．【阅读材料】如图1，在中，设的对边分别为a，b，c，过点作于，在中，，， ， 同理可得：， 则的面积公式：， 由面积公式可得：，该结论称之为“正弦定理”． 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的结论——“余弦定理”： ①；②；③； 推理如下：如图2，在中，设的对边分别为a，b，c， 过点作于，在Rt中，， 又∵在Rt和Rt中，， 整理得：， 同理可得． 请借鉴以上的阅读材料，完成下列问题： (1)如图3，在中，，求的值； (2)如图4，E，F，G，H分别在四边形的四边上，且，求的值； (3)如图5，在中，所对的边分别为的面积为，点为的中点，且，求的周长．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先由余弦定理解得，易知（负值舍去），再由正弦定理计算的值即可； （2）连接，根据题意易得，进而可得，易知，再解得，即可获得答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，易得，进而可得，由平行线的性质可得；根据余弦定理解得，由三角形面积公式解得，进一步确定，，然后计算的周长即可． 【详解】（1）解：根据题意，在中，， 即， 由余弦定理，可得 ， ∴（负值舍去）， 由正弦定理可得，即， ∴，解得； （2）如下图，连接， ∵， ∴， 由题意可知，， ， ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴； （3）如下图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴，解得， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的周长． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、全等三角形的判定与性质、二次根式运算等知识，正确理解题意，熟练运用余弦定理和正弦定理是解题关键． 技巧06：解直角三角形与几何综合问题 《方法技巧》 解直角三角形综合问题的核心是利用勾股定理、锐角三角函数（sin、cos、tan）及直角三角形两锐角互余的性质，结合函数或几何图形组合（如与等腰、梯形、圆结合），求解未知边或角，涉及的数学思想方法有数形结合、方程思想、分类讨论等。 【典例】 17．如图，在正方形中，点在边上不与点，重合，交于点，垂足为点． (1)求证： (2)连结，交于点． 若，求的值． 若，设与的面积之差为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①  ② 【分析】（1）只需证明即可求得答案； （2）根据题意可知，证明，可求得，进而可求得答案；过点作，垂足为，交于点，设，则，，根据题意可知，可将的值表示为关于的二次函数． 【详解】（1）在正方形中，，， ． 交于点， ． ． ． ． （2），， ． ， ． ． ． 设正方形的边长为，则，， ． ． 如图所示，过点作，垂足为，交于点，设，则， 根据题意可知． ，，． ． ． 设，根据题意可知二次函数的图象对称轴为，开口向下，所以当时，可以取得最大值，最大值，即的最大值为． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及判定、相似三角形的判定及性质、勾股定理、二次函数图象及性质、三角函数等，综合性较强，灵活运用以上知识是解题的关键． 18．如图1，在矩形中，． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在图1中，先在边上确定点E，连接使得．再在边上确定点F，使得以F为圆心的圆经过点E和点C； (2)在（1）的条件下，连接．若，且，则的半径为________； (3)在（1）的条件下，连接． ①延长，相交于点G．若点G恰好在上，求的值； ②取的中点M，连接，与相交于点N．当时，求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，作线段的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作圆即可； （2）根据题意，的半径为，则，结合，结合，解答即可； （3）①根据三角形全等性质，等腰三角形的性质，证明，设，则，，，根据解答即可； ②设，，根据题意，得，，根据勾股定理，得，确定，建立等式，解答即可． 本题考查了矩形的性质，圆的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，连接，作线段的垂直平分线，交于点F，以F为圆心，为半径作圆， 则点E，即为所求． （2）解：由矩形，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． （3）①解：设，的交点为H， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：设，， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， ∵的中点M， ∴， 设，的交点为H， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·天津·二模）的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角形函数值，二次根式的加减运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值及二次根式的加减运算即可解答． 【详解】解：． ∴ 故选：B． 2．（2025·云南曲靖·二模）在中，，，，则的 值 为 （   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个角的正切值，根据代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴, 故选：A 3．（2025·湖南永州·一模）如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义，根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．熟记定义是解题关键． 【详解】解：∵中，，，，所对的边分别为a，b，c， ∴，即，则A选项不成立，B选项成立 ，即，则C、D选项均不成立 故选：B． 4．（2025·吉林长春·二模）如图是梯子两梯腿张开的示意图，米，梯腿与地面的夹角，则梯子顶端离水平地面的高度可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．根据计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴在中，， ∴米， 故选：A． 5．（2026·全国·模拟预测）如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，根据三角形的内角和定理可得，由角所对的直角边和斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，两景点相距， ∴． ∴，两景点相距． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解直角三角形的应用． 6．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的正弦值是解题的关键，如图标记点，则是等腰直角三角形，，则． 【详解】解：如图标记点， 中，， ， ， 故选：C． 7．（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，熟悉三角函数的定义并灵活运用是关键． 过点A作于点D，在中利用三角函数分别求得，在中由余弦函数值，设，由勾股定理得，从而求得x的值，即可求得，则． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得： ∴， ∴． 故选：B． 8．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握三角函数的定义． 如图，过点作交于点．设，则，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点作交于点． 设，则， ，， ， ， ， ∴， ， ， 故选：B． 9．（2024·广东·模拟预测）如图，某广场主楼楼顶立有广告牌，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为，广告牌顶部E的仰角为（小辉的身高忽略不计），已知广告牌米，则该主楼的高度约为（　　）（结果精确到整数，参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过C作于F，于G，则四边形是矩形．解，得（米），设米，解，得出米．再解，根据，求出，即可求解． 【详解】解：过C作于F，于G，如图所示： 则四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度，米， ∴（米），（米）， 设米． 在中，， ∴米． 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米， ∴（米）， 故选：D． 10．（2026·浙江·一模）如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．y的最小值为64 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合图象可求出的长，过点作交于点，由图2知，点为最高点，当点和点重合时，最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断选项B和选项C；用的值可判断选项A；当，即点和点重合时，有最小值，进而判断选项D． 【详解】解：由图2可知，当时，，即， ∴， ∵D是边的中点， ∴； ∵， 即，，， 此时，， 如图，过点作交于点，则有为等腰三角形， ∴，； 由图2知，点为最高点， ∵当点和点重合时，最大， ∴，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（负值舍去），故选项C错误； ∴，， ∴，，故选项B正确； ∴，故选项A错误； 由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小， 此时， ∴， ∴的最小值为，故选项D错误． 故选：B ． 二、填空题 11．（2025·宁夏固原·二模） ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系以及锐角三角函数的定义是正确判断的前提．利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案． 【详解】解：在直角中，， ， 所以， 故答案为：． 13．（2026·上海徐汇·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，，，由，代入计算即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 14．（2024·广东·二模）如图1，在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据当时，求出，再根据当时，，先求得，再利用勾股定理求得，然后利用解直角三角形求得． 【详解】解：当时，点在点处，此时，则， 当时，， 则， ， ， ， 故答案为：． 15．（2025·上海宝山·模拟预测）有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为 米． 【答案】2.6 【分析】本题主要考查了对坡度的理解，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值． 题目中给出的坡度i=12∶5，表示垂直高度与水平距离的比例为，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长． 【详解】设水平距离为米，斜边长为米， 根据题意可得：， ， ． 故答案是2.6． 16．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形；设，根据勾股定理求出，得到，结合题意求出，解得，代入计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴设， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 17．（2026·上海松江·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，网格中求三角函数值，连接，交于点，易得，均为等边三角形，求出的长，再利用正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵菱形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：为等边三角形，，， ∴，， ∴； 故答案为：． 18．（2024·浙江·模拟预测）如图，正方形中，点E在边上，且，点F在边上，点G在边上，． （1）若，则的长为 ； （2）若与相似，则的长为 ． 【答案】 4或5 【分析】（1）利用正方形性质推出，从而证明，得到，利用角的正切值求出的长，再利用勾股定理求出结果即可； （2）分两种情况①；②，利用相似三角形性质结合正方形性质，利用勾股定理求出最后结果 【详解】解：（1）， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ． （2）有两种情况： ①， 即， ， 则四边形为矩形， ； ②， 则． 由（1），得， 即， ， ． 由（1），得， ， ， 即点G和点D重合． ， ． 综上，的长为4或5． 故答案为：（1）；（2）4或5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 三、解答题 19．（2025·云南·模拟预测）计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用相关公式及性质进行正确化简各项是解题的关键．根据计算规律直接计算即可． 【详解】解： 20．（2023·广东清远·二模）如图，在中，，． (1)求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下求的值． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查作图一基本作图、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法作图即可． （2）由等腰三角形的性质可得是的中线，则 ．利用勾股定理求出的长，再根据可得答案． 【详解】（1）如图，即为所作： （2）， 是的中线， ， ． 在中，， ． 21．（2025·安徽马鞍山·三模）学生深入工厂劳动实践，要利用一块三角形钢板余料加工出一块矩形零件，如图，点，分别在，边上，在边上，，，，，求矩形零件的长和宽（参考数据：，，，，）． 【答案】矩形零件的长为，宽为 【分析】本题考查了锐角三角函数的实际应用，熟练掌握在直角三角形中（正弦，对边比斜边）、（余弦，邻边比斜边）和（正切，对边比邻边）的定义，在中利用的长度，结合余弦值，可以求出的长，即矩形的宽，其次，作辅助线，且垂足为点，构造和，利用的长，结合正弦值和正切值，可以分别得到与的长度，即矩形的长． 【详解】解：过点A作于H， 在中，， ， ， 四边形为矩形， ， ，， ，， 在中，，，， ，， 在中，， ，， ． 矩形零件的长和宽分别约为和． 【点睛】本题的关键是作辅助线于点，在和中，利用长度和锐角三角函数正弦值与正切值，导出和的长度，即可得出矩形的长． 22．（24-25九年级下·甘肃兰州·月考）某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，点在同一水平地面上． (1)求扶梯的高度．（参考数据：） (2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长为，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这样改造不可行，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，特别是锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的运用，解题的关键是从实际问题中抽象出两个直角三角形和利用公共边建立联系，再通过相应的锐角三角函数求出所需边长，进而判断改造是否可行． （1）在中，利用的正弦函数对边斜边结合已知长和的近似值，求出的长度； （2）先在中，利用的余弦函数邻边斜边求出的长度；再在中，利用的正切函数对边邻边求出的长度；进而计算结合的长度求出最后通过比较与的大小，判断改造是否可行． 【详解】（1）在中， ∴（）， 答：扶梯的高度约为； （2）这样改造不可行，理由如下： 在中， ∴（m）， 在中， ∵， ∴这样改造不可行． 23．（2025·辽宁葫芦岛·一模）图1是某汽车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)没有危险，见解析 【分析】本题考查了解直角三角在实际生活中的应用，其中包括三角函数的运用，直角三角形的构造以及角度的推导，解题的关键在于借助解直角三角形的知识，把汽车后备箱开启的实际场景转化为数学几何问题，正确使用三角函数建立角与边的关系． （1）通过作辅助线构造直角三角形，应用的正弦值求解即可； （2）通过作辅助线构造直角三角形，应用的余弦值可求解点到地面的距离即可判断． 【详解】（1）解：过点作交于点E，如图， ∵，， 在中，，， ∴， ∴车后盖最高点到地面的距离为； （2）解：没有危险，理由如下， 过点作交于点F，如图， ∵， 在，， 又∵， ∴， ∵， 在中，， 则有， ∴车后盖点到地面的距离为， ∵小明爸爸的身高为， ∵， ∴没有危险． 24．（2024·广东江门·二模）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)【初步尝试】填空：我们知道：，，发现当是锐角时，____（填“”或“”）． (2)【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小明想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小明的思路求的值． (3)【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，在直角三角形中作辅助线，是解决本题的关键． （1）根据锐角三角函数公式即可求解． （2）根据题意可知，，即可求解的值． （3）作的垂直平分线交于点，连接，设，则，即，根据勾股定理得出，求出．作的垂直平分线交于，连接，设，得出，根据勾股定理得出，求出，求出三角函数值即可． 【详解】（1）解：∵，， ； 故答案为：； （2）解：如图1，在中，，，， ， ， ， ，， ， （3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接． 则， ∴， ∴， 中，，，， ∴， 设，则，即， 在中，， 解得：． 即，， 作的垂直平分线交于，连接， 同理可得：， 设， ， 在中，， 解得：， ， 即． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $