专题12相似三角形（知识清单）（7大考点+12大题型+6大易错+9大技巧方法+测试）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题12相似三角形 （7大考点+12大题型+6大易错+9大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（7个核心考点） 考点01比例的性质及比例线段 考点02相似图形与相似多边形 考点03平行线分线段成比例定理 考点04相似三角形的判定与性质 考点05相似三角形的应用 考点06位似与位似变换 考点07相似与位似的作图问题 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01比例的性质 题型02黄金分割 题型03相似多边形及性质 题型04平行线分线段成比例定理 题型05相似三角形的判定 题型06相似三角形的性质 题型07相似三角形的性质与判定 题型08相似三角形的应用 题型09相似三角形的动点问题 题型10位似 题型11相似与位似的作图 题型12相似综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点） 易错点01混淆相似三角形的相似比与面积比 易错点02位似图形的坐标求解时漏解 易错点03相似三角形的对应边不确定，没有进行分类讨论而出错 易错点04相似三角形与函数综合应用时没有正确列出函数关系式 易错点05相似三角形解决动点问题时没有正确进行分类讨论 易错点06相似三角形解决实际问题时没有正确的建立模型 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（9大方法技巧） 技巧01：相似三角形基本模型：A字型 技巧02：相似三角形基本模型：X字型 技巧03：相似三角形基本模型：母子型 技巧04：相似三角形基本模型：K字型 技巧05：相似三角形基本模型：一线三等角型 技巧06：相似三角形基本模型：旋转型 技巧07：相似三角形与新定义问题 技巧08：相似三角形与几何探究综合问题 技巧09：相似三角形与函数综合问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；通过具体实例认识图形的相似. 了解相似多边形和相似比. 2.理解相似三角形的判定定理，了解相似三角形判定定理的证明.理解相似三角形的性质定理.，会利用相似三角形的性质和判定解决一些简单的问题 3.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 4.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 考点01比例的性质及比例线段 1.比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若,则ad=bc． ②合比性质．若,则. ③分比性质．若,则. ④合分比性质．若,则. ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则. 2.比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 3.黄金分割 如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 考点02相似图形与相似多边形 1.相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 2.相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 考点03平行线分线段成比例定理 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 考点04相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 2.相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 考点05相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 考点06位似与位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．     注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 考点07相似与位似的作图问题 1.作图—相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 2.作图—位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型01比例的性质 【典例1】（2025·湖南永州·模拟预测）若，则（　　） A． B． C． D． 【变式练习】 1．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 3．（2025·上海长宁·一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 题型02黄金分割 【典例2】2025·四川成都·三模）如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 4．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山西长治·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 6．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 题型03相似多边形及性质 【典例3】（2025·陕西渭南·一模）已知四边形四边形，若，，则四边形与四边形的面积比为 ． 【变式练习】 7．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏盐城·二模）若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 题型04平行线分线段成比例定理 【典例4】（2025·上海嘉定·一模）如图，已知直线分别与直线交于点，与直线交于点，如果，那么 ． 【变式练习】 10．（2022·河北石家庄·一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 11．（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的值是 ． 12．（2025·上海·一模）在中，，，分别反向延长、到、，若，则当 时，． 题型05相似三角形的判定 【典例5】（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个) 【变式练习】 13．（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． 14．（2023·河北邢台·一模）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（    ） A． B． C．平分 D． 15．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知，点E在上，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 题型06相似三角形的性质 【典例6】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 16．（2025·河南濮阳·一模）若，且与的相似比为，则为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． 18．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 题型07相似三角形的性质与判定 【典例7】（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【变式练习】 19．（25-26九年级上·海南海口·月考）如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 20．（2025·上海嘉定·一模）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上，作于H，交于P，已知．下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 题型08相似三角形的应用 【典例8】（2025·河南濮阳·一模）洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数） 【变式练习】 22．（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·江苏常州·三模）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A． B． C． D． 24．（2025·陕西渭南·一模）富平陶艺村是国内首家以陶艺为主题，集生态观光、休闲度假、餐饮住宿、参观购物为一体的陶文化交流中心．小明想利用所学知识测量陶艺村一个用于烧制陶瓷的旧烟囱顶部到地面的高度（如图）．小明在点C处竖立一根高为2米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和旧烟囱在阳光下的影子顶端重合于地面上的点E处；小明在点F处放置一面平面镜，随后，小明从点F处移动3米至点H处（即米），眼睛位于点G处，此时恰好从平面镜内看到旧烟囱顶端A的像．经测量得知：米，米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明计算旧烟囱顶部到地面的高度．（平面镜的大小忽略不计） 题型09相似三角形的动点问题 【典例9】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【变式练习】 25．（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 26．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为 ． 27．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 题型10位似 【典例10】（2024·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标为 ． 【变式练习】 28．（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 30．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：缩小，则变换后的点的坐标为 ． 题型11相似与位似的作图 【典例11】（2025·安徽·模拟预测）如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【变式练习】 31．（2025·安徽亳州·一模）如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知顶点在网格线的交点上． (1)以点A为位似中心，利用网格画出的位似图形，使与的相似比为2； (2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出． 32．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务． (1)在图1中，作的角平分线交于点D； (2)已知P是上一点，在（1）的基础上，作点P关于的对称点Q； (3)在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，使边长放大到原来的2倍，请画出所有与位似的图形． 33．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中作出的一条中位线，使得点在上，点在上； (2)在图2中，如图，边上一点在网格线上，作出，使得； (3)在图3中边上找到一点，使得． 题型12相似综合问题 【典例12】（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【变式练习】 34．（2024·江苏淮安·中考真题）综合与实践 [问题初探] （1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作，垂足分别为M，N． 因为平分， 所以________． 因为，， 所以， 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论… 小勇的思路和方法： 如图2，作，交的延长线于点E． 因为平分， 所以， 因为， 所以． 所以． 所以________． 再通过证明 得到比例式，从而推导出结论… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是________； [变式拓展] （2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答． [迁移应用] （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹） [综合提升] （4）如图5，在中，，点D在边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）． 35．（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 36．（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． (1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； (2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 易错点01混淆相似三角形的相似比与面积比 【典例】 1．两个相似三角形的相似比为，那么它们的对应边上的中线的比为（    ） A． B． C． D．不同的对应边上的中线的比不同 2．如图，，，，若面积为10，则的面积为 ． 易错点02位似图形的坐标求解时漏解 【典例】 3．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点的坐标为 ． 4．在中，已知点，，，以原点为位似中心画，使与位似，且面积比为，则点的对应点的坐标是 ． 5．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 6．和都是直角三角形，其中，，．若两个直角三角形相似，则的长为 ． 易错点03相似三角形的对应边不确定，没有进行分类讨论而出错 【典例】 7．如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且．在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接，D为的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ． 易错点04相似三角形与函数综合应用时没有正确列出函数关系式 【典例】 9．如图，中，，点从点出发，向终点运动，与此同时，点从点出发，沿着运动，点在边上运动的速度为，在边上运动的速度为，且点同时到达点．过点作的垂线交于点，以为邻边作平行四边形，设点运动的时间为与重叠部分的面积为． (1)点运动的速度为____________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 10．如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为（），请解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)设的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值． 11．如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． (1)线段的长为________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当时，求与之间的函数关系式． 易错点05相似三角形解决动点问题时没有正确进行分类讨论 【典例】 12．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，若点以的速度从点出发向点运动，点以的速度从点出发向点运动，且两点同时出发，则出发时间为 秒时与相似． 13．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． （1） （2）作点C关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，t的值 ． 14．如图，正方形的边长为4，，那么当 时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 易错点06相似三角形解决实际问题时没有正确的建立模型 【典例】 15．如图，数学活动小组测量了某建筑物的高度（底部不可直接到达），小丽先在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端N处的仰角；接着，她从点C处沿方向移动到达点B处，在点B处竖立一根长为的标杆，然后继续沿方向移动，当小丽到达点D处时，小丽的眼睛E、标杆的顶端A和该建筑物的顶端N恰好在同一条直线上．经测量，小丽的眼睛到地面的距离，，已知，，，点D、B、C、M在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 16．如图，小峰想用平面镜测量一棵松树的高度，他把平面镜放在点C处（平面镜的大小忽略不计），然后从点C处沿方向移动到点F处，此时恰好在平面镜中看到松树顶端A的像，但由于树旁有一条河，不能直接测量平面镜与松树之间的距离，于是小峰从点F沿方向移动到点H处，此时他发现自己在太阳光线下的影子顶端和松树在太阳光线下的影子顶端在地面上的点D处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离，即米）．经测量，米，米，米，已知，，，点B、C、F、H、D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求松树的高度． 技巧01：相似三角形基本模型：A字型 《方法技巧》 “A”字型相似三角形是相似三角形基础的模型之一，是共边共角的两个三角形. 在“A”字型中，平行线是比较关键的，有时候题目中不会给出平行线，需要自己作辅助线， 模型类型 “A”字型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC: 2.如图②，若∠AED=∠ABC,则△AED∽△ABC: 【典例】 1．在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 2．如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 技巧02：相似三角形基本模型：X字型 《方法技巧》 模型阐释 “X”字型是相似三角形的基础模型之一，是含有对顶角的两个三角形.对顶角所对的边有的平行，有的不平行.“X”字型相似三角形，有的也称为“8”字型相似三角形. 模型类型 “X”字型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，若AB∥CD(或∠B=∠C),则△ABO∽△DCO; 2.如图②，若∠C=∠D,则△ABC∽△AED. 【典例】 3．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 4．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 技巧03：相似三角形基本模型：母子型 《方法技巧》 模型阐释 由于小三角形在大三角形内部，恰似子依母怀，故被称为“母子”型. 常见的“母子”型有： (1) 一般三角形中的“母子”型； (2) 直角三角形中的“母子”型； (3) 四边形中的“母子”型； (4)圆中的“母子”型 模型类型 “母子”型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，如果∠ACD=∠ABC,那么△ACD∽△ABC. 2.如图②，在Rt△ABC中，如果∠ACB=90°，且CD⊥AB,那么△ACD∽△ABC∽△CBD. 【典例】 5．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 6．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 技巧04：相似三角形基本模型：K字型 【典例】 7．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 8．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 技巧05：相似三角形基本模型：一线三等角型 《方法技巧》 模型阐释 “一线三等角”型是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的相似图形，这个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.“一线三等角”型也叫“K”字型或“M”字型， 一般情况下，已知一条直线上有两个等角或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似三角形. 模型类型 “一线三等角”型相似三角形的基本图形有以下几种： 1.如图①，若∠1=∠2=∠3，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 2.如图②，若∠1=∠2=∠3=90°，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 3.如图③，若∠1=∠2=∠3，则△ABCC∽△CDE(△ACPC∽△BPD). 4.如图④，若∠1=∠2=∠3，D是BC的中点，则△BDE∽△DFE∽△CFD, 【典例】 9．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 10．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 技巧06：相似三角形基本模型：旋转型（手拉手模型） 《方法技巧》 模型阐释 “一线三等角”型是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的相似图形，这个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.“一线三等角”型也叫“K”字型或“M”字型， 一般情况下，已知一条直线上有两个等角或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似三角形. 模型类型 “一线三等角”型相似三角形的基本图形有以下几种： 1.如图①，若∠1=∠2=∠3，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 2.如图②，若∠1=∠2=∠3=90°，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 3.如图③，若∠1=∠2=∠3，则△ABCC∽△CDE(△ACPC∽△BPD). 4.如图④，若∠1=∠2=∠3，D是BC的中点，则△BDE∽△DFE∽△CFD, 【典例】 11．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 12．在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 技巧07：相似三角形与新定义问题 【方法技巧】 这类题型特点是：先给出一个新的几何概念或规则（可能是新名称、新关系、新变换），然后要求运用相似三角形知识去分析或证明结论。 解题思路： 第一步：读懂新定义 用几何语言翻译新定义。 画图理解，尤其注意定义中的几何对象（点、线、角、形）和条件（相等、成比例、共线、共圆等）。 判断新定义中是否有隐藏的比例或角度关系。 第二步：转化为相似三角形问题 新定义中的条件常常可以转化为“某两个三角形角相等”或“某两边成比例且夹角相等”。 可能需添加辅助线构造出这对相似三角形。 注意相似三角形可能有多对，需要选择与结论相关的那一对。 第三步：利用相似性质解题 利用对应边成比例列方程。 利用面积比转化。 若求最值，常结合函数或基本不等式。 【典例】 13．我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 14．综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线． （2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）如图2，△ABC中，AC=2，DC=-，BD=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长． 技巧08：相似三角形与几何探究综合问题 【方法技巧】 遇到几何探究题时，可按以下步骤分析： 第1步：标记已知条件 在图上标出所有已知的边等、角等、平行、垂直等关系 明确所求：是比例式、线段长、面积比还是证明相似？ 第2步：寻找或构造相似形 直接看是否有现成的相似三角形（AA最常见） 若没有，可能需要： 添平行线（造A字/8字） 作垂线（造直角三角形相似） 旋转或对称构造相似 第3步：建立比例关系 确定对应边（一定要对应对应！） 列出比例式，必要时设未知数 𝑘 k 表示相似比 第4步：结合其他几何性质：勾股定理、 三角函数 、圆的性质（圆周角、切线） 、面积法、函数等 【典例】 15．如图，在中，，点为的中点，为上一点． （1）若，点为上一点． ①如图1，，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图2，若点在的延长线上，在的延长线上．试判断之间满足的数量关系并说明理由； （2）如图3，若于点的延长线交于点．若，请直接写出的值为______． 16．问题发现： （1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________； 类比探究： （2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值； 拓展延伸： （3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值． 17．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 技巧09：相似三角形与函数综合问题 【典例】 18．已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连交抛物线于M，连、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当时，求M点的横坐标； （3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作于D，若，求N点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． （1）求抛物线的对称轴． （2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线． ①求抛物线的解析式． ②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 6．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 9．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 12．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 13．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 14．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“豫”字的笔画“、”在的黄金分割点C处，，若，则的长为 ．（结果保留根号） 15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 16．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ． 三、解答题 17．（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 18．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 19．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 20．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 21．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 22．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 23．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 24．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12相似三角形 （7大考点+12大题型+6大易错+9大方法+测试） 目 录 01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养 02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系 03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（7个核心考点） 考点01比例的性质及比例线段 考点02相似图形与相似多边形 考点03平行线分线段成比例定理 考点04相似三角形的判定与性质 考点05相似三角形的应用 考点06位似与位似变换 考点07相似与位似的作图问题 04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型） 题型01比例的性质 题型02黄金分割 题型03相似多边形及性质 题型04平行线分线段成比例定理 题型05相似三角形的判定 题型06相似三角形的性质 题型07相似三角形的性质与判定 题型08相似三角形的应用 题型09相似三角形的动点问题 题型10位似 题型11相似与位似的作图 题型12相似综合问题 05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点） 易错点01混淆相似三角形的相似比与面积比 易错点02位似图形的坐标求解时漏解 易错点03相似三角形的对应边不确定，没有进行分类讨论而出错 易错点04相似三角形与函数综合应用时没有正确列出函数关系式 易错点05相似三角形解决动点问题时没有正确进行分类讨论 易错点06相似三角形解决实际问题时没有正确的建立模型 06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（9大方法技巧） 技巧01：相似三角形基本模型：A字型 技巧02：相似三角形基本模型：X字型 技巧03：相似三角形基本模型：母子型 技巧04：相似三角形基本模型：K字型 技巧05：相似三角形基本模型：一线三等角型 技巧06：相似三角形基本模型：旋转型 技巧07：相似三角形与新定义问题 技巧08：相似三角形与几何探究综合问题 技巧09：相似三角形与函数综合问题 07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题） 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；通过具体实例认识图形的相似. 了解相似多边形和相似比. 2.理解相似三角形的判定定理，了解相似三角形判定定理的证明.理解相似三角形的性质定理.，会利用相似三角形的性质和判定解决一些简单的问题 3.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 4.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 考点01比例的性质及比例线段 1.比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若,则ad=bc． ②合比性质．若,则. ③分比性质．若,则. ④合分比性质．若,则. ⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则. 2.比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 3.黄金分割 如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 考点02相似图形与相似多边形 1.相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 2.相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 考点03平行线分线段成比例定理 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 考点04相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形 （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 2.相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 考点05相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 考点06位似与位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．     注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 考点07相似与位似的作图问题 1.作图—相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 2.作图—位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型01比例的性质 【典例1】（2025·湖南永州·模拟预测）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式练习】 1．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 2．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 3．（2025·上海长宁·一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的定义：如果、，三个量成连比例，即，叫做和的比例中项．（内项要相等时才称为比例中项），比例中项又称“等比中项”或“几何中项”，即可． 【详解】解：∵线段，，线段是线段、的比例中项， ∴， ∴，（舍）， ∴线段的值为． 故答案为：． 题型02黄金分割 【典例2】（2025·四川成都·三模）如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的即是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴； 故选：A． 【变式练习】 4．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，准确分析计算是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，设为，列出方程求解 【详解】，， 设，则， ， ，即， 解得或， ， ，即． 故选． 5．（2025·山西长治·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ， 因为， 所以． 故选：B． 6．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 题型03相似多边形及性质 【典例3】（2025·陕西渭南·一模）已知四边形四边形，若，，则四边形与四边形的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，根据对应边和的长度求出相似比，再计算面积比 【详解】解：∵四边形四边形，，， ∴相似比， ∴面积比． 故答案为． 【变式练习】 7．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：D． 8．（2025·江苏盐城·二模）若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果． 【详解】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为． 故答案为： 9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型04平行线分线段成比例定理 【典例4】（2025·上海嘉定·一模）如图，已知直线分别与直线交于点，与直线交于点，如果，那么 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的计算方法，找准线段的比是解题的关键．根据，，得到，结合已知求出的长度，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15． 【变式练习】 10．（2022·河北石家庄·一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．设点P表示的数是，根据平行线分线段成比例列出方程，解出的值即可． 【详解】解：设点P表示的数是， 图中的虚线相互平行， 根据平行线分线段成比例可得，， 解得：， 点P表示的数是． 故选：D． 11．（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的值是 ． 【答案】/0.4 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 12．（2025·上海·一模）在中，，，分别反向延长、到、，若，则当 时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行得到比例式是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，当时，有，由已知，，可求，再代入比例式求 【详解】解：∵，，且在的反向延长线上， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为． 题型05相似三角形的判定 【典例5】（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式练习】 13．（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，根据可推出，则可证明得到，据此可判断A；根据和可证明得到，据此可判断B；同理可判断C；由无法证明，可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴可设， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故A选项不符合题意， B、∵， ∴， ∴， ∴，故B选项不符合题意， C、同理由可得， 又∵， ∴， ∴， ∴，故C选项不符合题意， D、由无法证明，故D选项符合题意； 故选：D． 14．（2023·河北邢台·一模）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据已知条件，运用相似三角形的判定定理逐一分析每个选项是否能判定和相似． 【详解】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意； 、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意； 故选：． 15．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知，点E在上，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，可添加一个条件，根据“两直线平行，内错角相等”可得，再结合，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证明． 【详解】解：添加一个条件，则有， ∵ ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 题型06相似三角形的性质 【典例6】．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 【变式练习】 16．（2025·河南濮阳·一模）若，且与的相似比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵，且与的相似比为， ∴与的面积比是， 故选：B． 17．（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边、对应高成比例直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴， 故选：D． 18．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或 题型07相似三角形的性质与判定 【典例7】（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式练习】 19．（25-26九年级上·海南海口·月考）如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】首先由等边三角形的性质得到，，然后由求出，，由折叠得，，证明出，得到，进而求解即可． 此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵等边的边长为6 ∴， ∴ ∵ ∴， 由折叠得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴． 故选：C． 20．（2025·上海嘉定·一模）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上，作于H，交于P，已知．下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，根据正方形的性质得出，，，则可证明，根据相似三角形的性质得出，结合，可得，证明四边形是平行四边形，得出，然后根据相似三角形的性质可得出，即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，即，故选项A正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故选项B正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故选项D正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故选项C错误， 故选：C． 21．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，余角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）证明，然后根据相似三角形的性质和垂直的定义即可得证； （2）证明，得出，证明，得出，则，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型08相似三角形的应用 【典例8】．（2025·河南濮阳·一模）洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数） 【答案】卢舍那大佛的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．由题意证明，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ，， ， ， ， ，和的长分别为和， ． 解得． 答：卢舍那大佛的高度约为． 【变式练习】 22．（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相似三角形的应用，连接，设与相交于点，则，根据相似三角形的性质和得出，根据比例的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， 根据题意知 ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， 故选：B． 23．（2025·江苏常州·三模）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形性质和判定的实际运用，根据题意证明，结合相似三角形性质推出求解，即可解题． 【详解】解：当夹子完全张开时（即A，B两点重合），如图所示： ，． ， ， ， ， 即， 解得； 故选：A． 24．（2025·陕西渭南·一模）富平陶艺村是国内首家以陶艺为主题，集生态观光、休闲度假、餐饮住宿、参观购物为一体的陶文化交流中心．小明想利用所学知识测量陶艺村一个用于烧制陶瓷的旧烟囱顶部到地面的高度（如图）．小明在点C处竖立一根高为2米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和旧烟囱在阳光下的影子顶端重合于地面上的点E处；小明在点F处放置一面平面镜，随后，小明从点F处移动3米至点H处（即米），眼睛位于点G处，此时恰好从平面镜内看到旧烟囱顶端A的像．经测量得知：米，米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明计算旧烟囱顶部到地面的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】15米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练运用相似三角形的比值关系是解题的关键． 证出得到，即，再证出得到，即，联立两个式子运算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即①， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即②， 联立①②得， 旧烟囱顶部到地面的高度为15米． 题型09相似三角形的动点问题 【典例9】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ． 【答案】2或 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式练习】 25．（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（    ）． A．0 B．1 C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意分类讨论：当时；当时；当时，设，则，可证，解得，；由此即可求解． 【详解】解：当时，， ∴； 当时，点重合，，此时与矛盾，不符合题意，舍去； 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴， ∴； 综上所述，当为等腰三角形时，的值为或， 故选：D ． 26．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/0.7 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，矩形的性质等知识，作适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 如图①，连接，根据动点速度之间的数量关系及矩形的长宽，列出比例式，从而得到，从而得到，再证得点在线段的垂直平分线上，如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， 可得，再结合直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图①，连接，连接， 根据题意得：，则， ∵， ， 又， ， ， ， ，点G为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图②，作线段的垂直平分线交于点O， 当时，最短．此时， ∴， ， 在中，， ∴ ， ， 又， ， 的最小值为． 故答案为： 27．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】2.4秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据勾股定理求出，进而表示出.再分两种情况：若，则，即可得出方程求出t值；若，则，即可得出方程求出解． 【详解】解：∵， ∴设， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴. 则. 设过t秒，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∵， ①若，则， 即， 解得； ②若，则， 即， 解得. 所以过2.4秒或秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 题型10位似 【典例10】 （2024·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质作图，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】解：如图所示： ； ∴， 点A的对应点的坐标为， 或如图所示： ； ∴， 此时点A的对应点的坐标为， 故答案为：或． 【变式练习】 28．（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律是解题的关键． 首先根据与是相似比为的位似图形，可知对应点的横纵坐标均为原来的倍，即可得到答案． 【详解】解：∵，与是相似比为的位似图形，点O为位似中心， ∴的坐标是 故选：B． 29．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点的坐标可得到位似比为，再根据位似比即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为， 与的相似比为， 点的对应点的坐标为，即， 故答案为： 30．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：缩小，则变换后的点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 根据位似图形与坐标性质计算即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：2缩小， 则变换后的点的坐标为或，即或， 故答案为：或 题型11相似与位似的作图 【典例11】（2025·安徽·模拟预测）如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题考查了格点作图，涉及轴对称作图，作位似图形，作三角形的高，解题的关键是正确作图． （1）先确定点关于y轴对称的点，再依次连接即可． （2）先确定点，再依次连接即可． （3）取格点，连接交于点H，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是边上的高． 【变式练习】 31．（2025·安徽亳州·一模）如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知顶点在网格线的交点上． (1)以点A为位似中心，利用网格画出的位似图形，使与的相似比为2； (2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查位似和平移，熟练掌握位似和平移的性质是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，倍长至点，画出即可； （2）根据平移规则，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 32．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务． (1)在图1中，作的角平分线交于点D； (2)已知P是上一点，在（1）的基础上，作点P关于的对称点Q； (3)在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，使边长放大到原来的2倍，请画出所有与位似的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，位似图形的作法等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求，可证明是等腰直角三角形，证明，进而可证明； （3）根据题意及位似图形的作法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）解：如图所示，取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，可证明，进而可证明； （3）如图所示，与即为所求． 33．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)在图1中作出的一条中位线，使得点在上，点在上； (2)在图2中，如图，边上一点在网格线上，作出，使得； (3)在图3中边上找到一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用网格特征以及三角形中位线的定义作出线段即可； （2）取格点，，连接交于点，连接，即为所求； （3）取格点，连接交网格线于点，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求； 如图，取格点、，由题意可得，， ∴， ∴，即点是的中点， 同理：点是的中点， ∴是的中位线； （2）解：如图中，即为所求； 如图，取格点、，由题意可得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图中，点即为所求． 如图，取格点、，连接， 由题意可得，，，，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型12相似综合问题 【典例12】 （2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 【变式练习】 34．（2024·江苏淮安·中考真题）综合与实践 [问题初探] （1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作，垂足分别为M，N． 因为平分， 所以________． 因为，， 所以， 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论… 小勇的思路和方法： 如图2，作，交的延长线于点E． 因为平分， 所以， 因为， 所以． 所以． 所以________． 再通过证明 得到比例式，从而推导出结论… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是________； [变式拓展] （2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答． [迁移应用] （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹） [综合提升] （4）如图5，在中，，点D在边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）补全过程见详解，；（2）；（3）见解析；（4）． 【分析】（1）根据题干思路补全即可得解； （2）有特殊角先构造直角三角形，然后再分别解两个直角三角形即可得解； （3）作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作弧，连接，再以点O和点F为圆心，为半径作弧交于点H，连接与交于点K，过点K作的垂线交于点P．点P即为所求； （4）过E作交的延长线于G，使，则，得出，即，求出．从而得．结合，得出，即可求解． 【详解】解：（1）小智的思路补全：如图1，作，垂足分别为M，N． ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 过点A作，垂足为P． ∴， ∴． ； 小勇的思路补全：如图2，作，交的延长线于点E． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ， ， ， ， ． （2）如图2，过点D作，垂足分别为M，N． ∵， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ； （3）如图3，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作弧，连接，再以点O和点F为圆心，为半径作弧交于点H，连接与交于点K，过点K作的垂线交于点P．点P即为所求． 理由：根据作图可知，， ∴是等边三角形，， ∴， 在中，，则； 在中，，则， 所以． 所以． ； （4）如图4，过E作交的延长线于G，使， 所以， 所以，即， 因为， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）90；；（2）①（1）中的结论仍然成立，证明见解析；② 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】解：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）①中的结论仍然成立，证明 ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴,； ②在中，∵，，， ∴， 由①得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 36．（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． (1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； (2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)的长为或 (2)关于的函数解析式及的取值范围为： 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． （1）如图所示，过点作延长线于点，则，可证四边形是矩形，由勾股定理得到，再证明，得到，联立方程，解一元二次方程即可； （2）如图所示，在上取点，使得，则，，根据解直角三角形的计算得到，则，再证明，即可得到关于的函数解析式，结合（1）中的长为或即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∴， 整理得，，则， 解得，或， ∴当时，； 当时，； ∴的长为或； （2）解：如图所示，在上取点，使得，则，， ∴， ∴，， ∴，， 由（1）得，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点在的延长线上，不与点重合，由（1）得，当的长为或时，点、与点重合， ∴， ∴关于的函数解析式及的取值范围为：． 易错点01混淆相似三角形的相似比与面积比 【典例】 1．两个相似三角形的相似比为，那么它们的对应边上的中线的比为（    ） A． B． C． D．不同的对应边上的中线的比不同 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的中线比等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应边上的中线的比为， 故选：B． 2．如图，，，，若面积为10，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的面积关系，熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键． 首先通过已知条件求得，再代入面积为10，即可求解的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵面积为10， ∴面积为， 故答案为：． 易错点02位似图形的坐标求解时漏解 【典例】 3．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，正方形的性质，图形和坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质得到各线段长，再根据两正方形关于点位似，由对应点的不同分两种情况进行讨论，并画出图形（图1和图2），最后利用位似的性质和相似三角形，计算即可求解． 【详解】解：点B、E、G的坐标分别为、、， ，，， 第一种情况，当点A与点F对应，点B与点G对应，点C与点D对应，点O与点E对应时， 如图1，过点P作轴于点H， 正方形与正方形关于点位似， ， ， ， ，即， ，， ， 则点P的坐标为； 第二种情况，如图2，当点A与点D对应，点B与点E对应，点C与点F对应，点O与点G对应时， 正方形与正方形关于点位似， ， ，即， ， 解得， 则点P的坐标为． 故答案为： 或． 4．在中，已知点，，，以原点为位似中心画，使与位似，且面积比为，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与位似，以原点O为位似中心，且面积比为， ∴相似比为，则位似比为或， ∵， ∴点的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为或． 5．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、位似的性质等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． 根据相似图形的性质可知两矩形的相似比为，由平面直角坐标系可知B点的坐标为，进而求得点的坐标． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴两矩形的相似比为， ∵由坐标系可得B点的坐标为， ∴点的坐标是或． 故答案为：或． 6．和都是直角三角形，其中，，．若两个直角三角形相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.先利用勾股定理计算出，再分类讨论：当时，则；当时，则，然后利用比例性质分别计算出的长． 【详解】解：∵，，． ∴， 当时，如图1所示，，即，解得， 当时，如图2所示，，即，解得， 即BD的长为或． 故答案为：或． 易错点03相似三角形的对应边不确定，没有进行分类讨论而出错 【典例】 7．如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且．在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题． 本题考查作图—相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，延长，作点E关于的对称点，连接，交于点，连接，以为直径作交于点、，由矩形的性质可得， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∴， 当时，∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 即图中的直径为5，作于点G， 根据垂径定理，得， ∴， ∴此时图中所作的圆心到的距离为，等于的半径， 此时重合， 此时，即当时，符合条件的F有2个，为； 当时，图中所作和相离，此时不存在了，即此时符合条件的F只有个，为， 当时，且时， ∴， 设， ∵， ，， ∴， ∴， 整理，得， 解得； 当时， ∴， 设， ∵， ，， ∴， ∴， 解得， 故时，符合题意的点F有两个， 故当且有3个， 故答案为：且． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接，D为的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分情况讨论，即点P在轴上和在轴上的情况，利用相似三角形的性质分别求解即可，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 如图，当点P在轴上，且时， 此时, ， D为的中点， ， , ； 如图，当点P在轴上，且时， 此时, ， D为的中点， ， ， , ； 如图，当点P在轴上，且时， ， ， ， 是的垂直平分线， ， , ， ， ， ； 当点P在轴上，且时，不成立， 综上，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 易错点04相似三角形与函数综合应用时没有正确列出函数关系式 【典例】 9．如图，中，，点从点出发，向终点运动，与此同时，点从点出发，沿着运动，点在边上运动的速度为，在边上运动的速度为，且点同时到达点．过点作的垂线交于点，以为邻边作平行四边形，设点运动的时间为与重叠部分的面积为． (1)点运动的速度为____________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用勾股定理求出，并可求出到达点用时，利用点同时到达点即可求出点速度； （2）可证，则，因为，，据此列方程即可求解； （3）分类讨论：当在内部时，当在上且在外部时，当在上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，点在边上运动的速度为，在边上运动的速度为， ∴到达点用时， ∵， ∴， ∵点同时到达点， ∴的速度为． 故答案为：； （2）解：当点在边上时，如图， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得； （3）解：①当时，如答图①，作于点， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ； ②当时，如答图②， ∵， ∴，     ∴， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ； ③当时，如答图③ ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，． 10．如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为（），请解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)设的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)（） (3) (4)或 【分析】本题是四边形的综合问题，主要考查矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，割补法求三角形的面积， （1）当运动时，，，，由可得，从而得到．当时，四边形是矩形，因此，即，求解即可； （2）用含t的式子分别表示出梯形，，的面积，由可得函数解析式； （3）根据三角形的面积公式得，由得，再由（2）中求得，可得方程，求解即可； （4）由，，可得，由勾股定理在中，求得，进而．当为等腰三角形时，分三种情况讨论：①，②，③，分别求出满足条件的t值即可． 【详解】（1）解：当运动时，，， ∵在矩形中，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴， ∵在矩形中，， ∴当时，， ∴四边形是矩形， ∴，即， 解得：， ∴当时，四边形是矩形； （2）解：∵，，，， ∴， ， ∴， 即S与t之间的函数关系式为（） （3）解：当时，，理由如下： ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 由（2）求得 ∴， 解得， ∴ 当时，； （4）∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点O是的中点， ∴． 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①若，如图， 又， ∴， 解得； ②若，如图， 过点E作于点N，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； ③若， 连接， ∵在中，点O是斜边的中点， ∴， ∵， ∴点E与点B重合，， ∴， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去． 综上所述，当为等腰三角形时，或． 11．如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． (1)线段的长为________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当时，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线定理求得； （2）根据相似三角形的性质列出的方程进行解答； （3）根据运动分情况讨论，运动过程中正方形与三角形的重叠，和运动到一定时间正方形与三角形的重叠面积保持不变． 【详解】（1）解：，，， ， 是的中点， ， 故答案为； （2）解：当点在上时，如图： 则，， ， ， ， ，即， 解得； 当点在上时，； （3）解：当点在上时，，则当，即求在上运动时，正方形与重叠部分的面积为和时间的函数关系式． 当正方形还未完全进入到中时，重叠面积为矩形， ，且， ， ， ， ， ， ， 当在上时，如图： 则，且，同理可知， ， ， ， 解得， 故当时，； 当时，正方形与重叠，重叠面积为正方形的面积，故； 综上所述，． 易错点05相似三角形解决动点问题时没有正确进行分类讨论 【典例】 12．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，若点以的速度从点出发向点运动，点以的速度从点出发向点运动，且两点同时出发，则出发时间为 秒时与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与矩形的性质，分两种情况进行分析，分别是或，利用相似三角形的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经秒后，与相似． 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上，经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 13．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒． （1） （2）作点C关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，t的值 ． 【答案】 4 或或 【分析】（1）运用勾股定理即可求得； （2）分四种情况：当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，当点在边上，时，分别利用相似三角形性质求得的值即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴； 故答案为：4； （2）当点在边上，时，如图，延长交于点，设直线交于点，交于点， 则，， ， ，即， ，， 由题意得：，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ∵， ， ，即， ， ∵， ， ，即， ， 点与点关于直线对称， ， ，， ， ，即， ， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图，过点作于点，过点作于点， 则，，，， 同理可得， ，即， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得：； 当点在边上，时，如图，过点作于点，过点作于点， 则，，，，， ， ， ， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， 同理可得：， ，，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当点在边上，时，如图， 则，，，，， ，， 同理可得：， 又， 同理可得， ，，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，当直线与的边平行时，的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题关键是运用分类讨论思想及方程思想解决问题． 14．如图，正方形的边长为4，，那么当 时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点） 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ， 正方形的边长为4， ， 在中，由勾股定理得：， 与相似， 分两种情况： ①，即， 解得； ②，即， 解得， 因此，当或时，与相似， 故答案为：或． 易错点06相似三角形解决实际问题时没有正确的建立模型 【典例】 15．如图，数学活动小组测量了某建筑物的高度（底部不可直接到达），小丽先在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端N处的仰角；接着，她从点C处沿方向移动到达点B处，在点B处竖立一根长为的标杆，然后继续沿方向移动，当小丽到达点D处时，小丽的眼睛E、标杆的顶端A和该建筑物的顶端N恰好在同一条直线上．经测量，小丽的眼睛到地面的距离，，已知，，，点D、B、C、M在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点E作于点F，交于点H，证明，得到，解，得到，代入中，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F，交于点H， 由题意，得四边形、四边形为矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：该建筑物的高度为． 16．如图，小峰想用平面镜测量一棵松树的高度，他把平面镜放在点C处（平面镜的大小忽略不计），然后从点C处沿方向移动到点F处，此时恰好在平面镜中看到松树顶端A的像，但由于树旁有一条河，不能直接测量平面镜与松树之间的距离，于是小峰从点F沿方向移动到点H处，此时他发现自己在太阳光线下的影子顶端和松树在太阳光线下的影子顶端在地面上的点D处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离，即米）．经测量，米，米，米，已知，，，点B、C、F、H、D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求松树的高度． 【答案】松树的高为9.6米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，，根据相似三角形的性质得出，，然后解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：松树的高为9.6米． 技巧01：相似三角形基本模型：A字型 《方法技巧》 “A”字型相似三角形是相似三角形基础的模型之一，是共边共角的两个三角形. 在“A”字型中，平行线是比较关键的，有时候题目中不会给出平行线，需要自己作辅助线， 模型类型 “A”字型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC: 2.如图②，若∠AED=∠ABC,则△AED∽△ABC: 【典例】 1．在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，连接，求证：； (3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）线段由顺时针旋转得到，故是等腰直角三角形，得，．根据同角的余角相等，得到，利用等腰得到，用判定； （2）构造辅助线拆分为，分别证明和．过作交于，则；因，故和均为等腰直角三角形，得，因此，证明，得，因，代入和，故； （3）利用前两问结论求基础线段长度，再通过相似三角形求关键线段(、)，最后用面积公式计算．由，得；又，故，是等腰直角三角形，然后求和的长度，用相似求的长度，最后计算的面积． 【详解】（1）证明：线段是由旋转得到的， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交于点，则． ， 和都是等腰直角三角形， ， ． ， ，即． ， ， ． ； （3）解：由（1）可知， ，∴， 是等腰直角三角形． ， ． 由（2）可知， ． ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，即，解得， ． 【点睛】本题是等腰直角三角形与旋转结合的几何综合题，围绕“线段关系证明”和“面积计算”展开，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识． 技巧02：相似三角形基本模型：X字型 《方法技巧》 模型阐释 “X”字型是相似三角形的基础模型之一，是含有对顶角的两个三角形.对顶角所对的边有的平行，有的不平行.“X”字型相似三角形，有的也称为“8”字型相似三角形. 模型类型 “X”字型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，若AB∥CD(或∠B=∠C),则△ABO∽△DCO; 2.如图②，若∠C=∠D,则△ABC∽△AED. 【典例】 3．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 4．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接． (1)利用图①，求证：； (2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； (3)如图②，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 (3) 【分析】（1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）作图：延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． （2）解：延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． ∵由（1）可得为等腰三角形，， ∴为等腰直角三角形． 又∵， ∴． ∵， ∴同理：为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 技巧03：相似三角形基本模型：母子型 《方法技巧》 模型阐释 由于小三角形在大三角形内部，恰似子依母怀，故被称为“母子”型. 常见的“母子”型有： (1) 一般三角形中的“母子”型； (2) 直角三角形中的“母子”型； (3) 四边形中的“母子”型； (4)圆中的“母子”型 模型类型 “母子”型相似三角形的基本图形有以下两种： 1.如图①，如果∠ACD=∠ABC,那么△ACD∽△ABC. 2.如图②，在Rt△ABC中，如果∠ACB=90°，且CD⊥AB,那么△ACD∽△ABC∽△CBD. 【典例】 5．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． （2）证明 ． ， ． ． ． 6．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 技巧04：相似三角形基本模型：K字型 【典例】 7．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 8．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接． (1)求证：； (2)当时，的面积为 ； (3)当为等腰直角三角形时，求线段的长； (4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）由同角的余角相等可以证明，再根据有两个角分别对应相等的两个三角形相似得出， （2）先求出，，再由，可得，列比例方程求出，由此即可求出的面积， （3）当为等腰直角三角形时，即，由得出，设，则，，，在中，列方程即可求解， （4）解：延长、交于点，延长、交于点，、是关于对称，由此得出点在上，进而可得，再利用当时，四边形是矩形，得出，由此可知，设，，利用列比例式即可求出，于是可得． 【详解】（1）证明：∵，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴的面积． （3）解：当为等腰直角三角形时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， 即． （4）解：延长、交于点，延长、交于点， ∵线段的垂直平分线， ∴、是关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴点、相互重合， ∴、是关于对称， ∵作点关于的对称点， ∴点在上，如图所示， ∴， 当时，，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，， 则， ∴，， 由（3）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，三角函数，熟练掌握三角形相似的判定定理．难点是问题（4）证明点关于的对称点在上，进而得出． 技巧05：相似三角形基本模型：一线三等角型 《方法技巧》 模型阐释 “一线三等角”型是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的相似图形，这个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.“一线三等角”型也叫“K”字型或“M”字型， 一般情况下，已知一条直线上有两个等角或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似三角形. 模型类型 “一线三等角”型相似三角形的基本图形有以下几种： 1.如图①，若∠1=∠2=∠3，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 2.如图②，若∠1=∠2=∠3=90°，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 3.如图③，若∠1=∠2=∠3，则△ABCC∽△CDE(△ACPC∽△BPD). 4.如图④，若∠1=∠2=∠3，D是BC的中点，则△BDE∽△DFE∽△CFD, 【典例】 9．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 10．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 技巧06：相似三角形基本模型：旋转型（手拉手模型） 《方法技巧》 模型阐释 “一线三等角”型是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的相似图形，这个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.“一线三等角”型也叫“K”字型或“M”字型， 一般情况下，已知一条直线上有两个等角或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似三角形. 模型类型 “一线三等角”型相似三角形的基本图形有以下几种： 1.如图①，若∠1=∠2=∠3，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 2.如图②，若∠1=∠2=∠3=90°，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD). 3.如图③，若∠1=∠2=∠3，则△ABCC∽△CDE(△ACPC∽△BPD). 4.如图④，若∠1=∠2=∠3，D是BC的中点，则△BDE∽△DFE∽△CFD, 【典例】 11．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】（1）解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． （3）由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 12．在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【详解】（1）解：①证明：四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． （2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点，掌握“手拉手”的相似模型、“一线三等角”的全等模型，以及设元通过函数求最值的思路是解题的关键． 技巧07：相似三角形与新定义问题 【方法技巧】 这类题型特点是：先给出一个新的几何概念或规则（可能是新名称、新关系、新变换），然后要求运用相似三角形知识去分析或证明结论。 解题思路： 第一步：读懂新定义 用几何语言翻译新定义。 画图理解，尤其注意定义中的几何对象（点、线、角、形）和条件（相等、成比例、共线、共圆等）。 判断新定义中是否有隐藏的比例或角度关系。 第二步：转化为相似三角形问题 新定义中的条件常常可以转化为“某两个三角形角相等”或“某两边成比例且夹角相等”。 可能需添加辅助线构造出这对相似三角形。 注意相似三角形可能有多对，需要选择与结论相关的那一对。 第三步：利用相似性质解题 利用对应边成比例列方程。 利用面积比转化。 若求最值，常结合函数或基本不等式。 【典例】 13．我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”． (1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ； (2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”； (3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值． 【答案】(1) (2)见详解；见详解 (3)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，根据等边对等角得出，再结合已知条件进一步即可解决问题； （2）在线段上取一点P，使得，则即为所求，然后证明即可． （3）分四种情形分别求解即可解决问题； 【详解】（1）解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴ 故答案为：． （2）解：如下图：在线段上取一点P，使得，即等腰邻相似三角形， 证明∶∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是一个边上的“等腰邻相似三角形”， （3）解：由题意是等腰直角三角形， ∵与，与相似， ∴，都是等腰直角三角形； 如图4中，当点P在线段上，时， ∵，，都是等腰直角三角形； ∴，，，，, ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 如图5中，当点P在线段上，时， 作交的延长线于E． 则， 又∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，四边形不存在，不符合题意； 如图6中，如图7中，的长度与图4，图5类似． 综上所述，满足条件的的长度为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 14．综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线． （2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数． （3）如图2，△ABC中，AC=2，DC=-，BD=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长． 【答案】（1）见解析；（2）∠ACB的度数为96°或114°；（3）． 【分析】（1）由题意可求出，即证明，即△ACD为等腰三角形．又因为∠CBD=∠ ABC，可证明△BCD∽△BAC，即推出CD是△ABC的完美分割线． （2）分情况讨论①当AD=CD时②当AD=AC时③当AC=CD时，根据题意和完美分割线的定义即可求出∠ACB的大小． （3）根据题意和完美分割线的定义可知，AC=AD=2，△BCD∽△BAC，即推出，即可求出BC长． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴ △ABC不是等腰三角形． ∵CD平分∠ ACB， ∴， ∴， ∴ △ACD为等腰三角形． ∴，∠CBD=∠ ABC， ∴ △BCD∽△BAC， ∴ CD是△ABC的完美分割线． （2）①如图，当AD=CD时，∠ACD=∠ A=48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°． ②如图，当AD=AC时，∠ACD=∠ ADC=， 根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°． ③如图，当AC=CD时，∠ADC=∠ A=48°． ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°， 根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°， ∴这与∠ADC>∠BCD矛盾，所以该情况不符合题意． 综上所述，∠ACB的度数为96°或114°． （3）∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，AC=2， ∴AC=AD=2． ∵△BCD∽△BAC， ∴ ，即，解得． 【点睛】本题考查等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据题意理解完美分割线的定义是解答本题的关键． 技巧08：相似三角形与几何探究综合问题 【方法技巧】 遇到几何探究题时，可按以下步骤分析： 第1步：标记已知条件 在图上标出所有已知的边等、角等、平行、垂直等关系 明确所求：是比例式、线段长、面积比还是证明相似？ 第2步：寻找或构造相似形 直接看是否有现成的相似三角形（AA最常见） 若没有，可能需要： 添平行线（造A字/8字） 作垂线（造直角三角形相似） 旋转或对称构造相似 第3步：建立比例关系 确定对应边（一定要对应对应！） 列出比例式，必要时设未知数 𝑘 k 表示相似比 第4步：结合其他几何性质：勾股定理、 三角函数 、圆的性质（圆周角、切线） 、面积法、函数等 【典例】 15．如图，在中，，点为的中点，为上一点． （1）若，点为上一点． ①如图1，，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图2，若点在的延长线上，在的延长线上．试判断之间满足的数量关系并说明理由； （2）如图3，若于点的延长线交于点．若，请直接写出的值为______． 【答案】（1）①；②，见解析；（2） 【分析】（1）①连结AD，由AC=BC，点为的中点，可得AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°，由，可求∠C=∠B=，可得AC=2AD，由，可求∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°可得AE=，再求出CE=即可； ②结论是：，连接，在上取点，使，连接，先证为等边三角形，再证，可得，可求，可得，AE=AD=，可得AE =GB+BF即可； （2）过G作GH⊥BA交BA延长线于H，先证，再证△GHB∽△AEN，可得由，设GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x 可求即可． 【详解】（1）①连结AD， ∵AC=BC，点为的中点， ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°， ∵， ∴∠C=∠B=， ∴AC=2AD， ∵， ∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°， AE=， ∴CE=AC-AE=2AD-=， ∴， 故答案为：； ②结论是：， 连接，在上取点，使，连接， ∵点为的中点，，AB=AC， ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°， ∴为等边三角形， ， 又， ∴∠ADE+∠EDG=∠EDG+∠GDF=60°， ， 在△ADE和△GDF中， ， ， ， ∴， ，AD=， ∴AE=GF=GB+BF， ∴AE-BF=GB=DG=AD=， ∴， （2）过G作GH⊥BA交BA延长线于H， ∵∠CAD=∠BAD， ∴∠GAH=∠GAE， ∵于点的延长线交于点． ∠GEA=90°=∠GHA， 在△GHA和△GEA中， ， ， ∴GH=GE， 又∵∠H=∠AEB，∠HBG=∠EBA， ∴△GHB∽△AEB， ∴， ∴， ∵， 设GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，30°角直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判断与性质，线段和差，三角形相似判定与性质，掌握等腰三角形性质，30°角直角三角形性质，三角形全等判定与性质，等边三角形判断与性质，线段和差，三角形相似判定与性质是解题关键． 16．问题发现： （1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________； 类比探究： （2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值； 拓展延伸： （3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1）在中，由勾股定理求出，由，可得，由，截线段成比例，由，分比，即即可 （2）由旋转性质可知：，，，由，，可得，由性质，，可证，利用性质； （3）如图4，连接，，由点是（）的中点，和同为等边三角形，可知，可推得，由，，可证，可得，可求，，由三边关系可得，，当、、三点共线时（如图5），存在最大值为即可求出． 【详解】解：（1），； 解答如下：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：，； （2）由旋转性质可知：，，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）的最大值为；提示如下： 如图4，连接，， ∵点是（）的中点，和同为等边三角形， 由三线合一性质可知， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在中，由三边关系可得，， 当、、三点共线时（如图5），存在最大值为， ∵， ∴当存在最大值时，的最大值． 【点睛】本题考查三角形全等变换，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，掌握三角形全等的性质，勾股定理，平行线截比，比例性质，相似三角形的判定与性质，三边关系，线段和差最值，解题关键是根据相似求出线段BO与OE． 17．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 技巧09：相似三角形与函数综合问题 【典例】 18．已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连交抛物线于M，连、． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当时，求M点的横坐标； （3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作于D，若，求N点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将点和点代入解析式，即可求解； （2）由想到将放到直角三角形中，即过点A作交CM的延长线于点E，即可知，再由想到过点E作轴，即可得到，故点E的坐标可求，结合点C坐标可求直线CE解析式，点M是直线CE与抛物线交点，联立解析式即可求解； （3）过点M作L的垂线交于点D，故设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标可表示，且MD的长度也可表示，由可得即可结合两点间距离公式表示出MN，最后由即可求解 【详解】解：（1）将点和点代入得 ，解得： （2）点A作交CM的延长线于点E，过作轴于 如下图 轴， 又 即 当时， 即 即 设直线CE的解析式为，并将C、E两点代入得 解得 点M是直线CE与抛物线交点 解得（不合题意，舍去） 点M的横坐标为 （3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H，对称轴交x轴于点Q，M的横坐标为m 则 对称轴 P、Q、N的横坐标为，即 当时， 点D的纵坐标为4 即 ，即， 不符合题意，舍去， 当时， 解得， 由题意知 【点睛】本题考查二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． （1）求抛物线的对称轴． （2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线． ①求抛物线的解析式． ②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x=2.5；（2）①；②1或 【分析】（1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴； （2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式； ②根据条件求出A、B、C、D四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m的值． 【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点， 这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,； （2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1， 根据交点式可求出C1二次函数表达式为； ②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0 由图像可知∠BOC=∠DEO=90°， 则以点，，为顶点的三角形与相似有两种情况， （i）当△ODE∽△BCO时， 则，即， 解得m=1或-2（舍）， （ii）当△ODE∽△CBO时， 则，即， 解得 所以满足条件的m的值为1或． 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键． 一、单选题 1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 7．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 9．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 10．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 二、填空题 11．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 12．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 13．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 14．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“豫”字的笔画“、”在的黄金分割点C处，，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割及平行线的性质，先根据平行线的性质得出的长，再结合黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 16．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键． 由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可． 【详解】连接，过作交的延长线于， 根据题意，， ， ， ，即，解得， 和，M，N分别是的中点， ， , ， ， , ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2）∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 19．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 20．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点分别是边的中点，则有，，所以，，从而可得，然后根据性质即可求证； （）连接，，证明四边形为平行四边形，所以，，又，为中点，故有，所以，，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，， ∵点分别是边的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 21．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 22．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大； (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 【答案】(1)图1的正方形面积较大 (2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 23．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 24．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：数量关系：，位置关系：． 理由如下：， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $