15.1.2线段的垂直平分线（课件） - 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十五章　轴对称 15.1.2　线段的垂直平分线 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 会用尺规过一点作已知直线的垂线. 能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题. 理解原命题，逆命题，互逆命题，互逆定理的用法. 【学习目标】 [学习目标] 情景引入 探究： A B l P1 P2 P3 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3， ……是l上的点，请你猜想点P1，P2，P3 ，…到点A与点B的距离之间的数量关系. 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 猜想：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． P A B l C 性质： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 归纳知识 P A B l C ∵　l⊥AB，AC =CB， ∴ PA =PB． 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 针对练习 1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连 接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C 思考： 如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 判定： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 归纳知识 ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 探究： 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？ P A B C l 思考： 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作入互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立， 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理，在几何中，有许多互逆的定理，例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 典例讲解 例1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 归纳知识 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 例2.已知：如图，在△ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC. B A C M N M' N' P 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB. 同理，PB=PC. ∴PA=PB=PC. 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 归纳知识 例3.已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴DE=CE. ∴ OE是CD的垂直平分线. 又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC. ∴DO=CO. 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 课堂练习 1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18 cm，则AC的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 3.如图所示，AC=AD，BC=BD，则下列说法正确的是（　　　） A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB A B C D A 4.在锐角△ABC内有一点P，满足PA=PB=PC，则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 5.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16 cm，则△BCE的周长是 cm. A B C D E 16 6.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 试说明AD与EF的关系． 解：AD垂直平分EF. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°. 又∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF， ∴AE＝AF，DE＝DF. ∴ A、D均在线段EF的垂直平分线上， 即直线AD垂直平分线段EF. A B C D E F 外角和定理在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。按角分类与按角分类之间存在密切联系，都需要最大化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会张量化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是报告的能力。 课堂小结 线段的 垂直平分线 性质 判定 知垂直平分线，得线段相等 互逆 知线段相等，得点在垂直平分线 集合定义线段 垂直平分线 本课结束 $