专题01 概率及其分布模型（专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

专题01 概率及其分布模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算及其性质 1 题型二、全概率公式及贝叶斯公式（常考点） 2 题型三、随机变量的均值与方差（常考点） 2 题型四、二项分布的均值与方差（重点） 3 题型五、二项分布的最大概率 3 题型六、超几何分布的均值与方差（重点） 4 题型七、正态分布 4 题型八、概率综合题型（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、条件概率的计算及其性质 1．（24-25高一下·上海·期末）已知随机事件、满足，，则 ． 【答案】 【分析】利用条件概率计算公式即得. 【详解】因. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是 ． 【答案】 【分析】首先求出事件“摸出的球中有编号为5的球”的概率，然后求出事件“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”的概率，最后根据条件概率公式求出结果. 【详解】令“摸出的球中有编号为5的球”为事件，“摸出的球中最大编号大于等于7”为事件， 则事件的情况包括1次球的编号为5，2次球的编号为5，3次球的编号为5和4次球的编号为5，这四种情况， 所以. 而事件表示的是“摸出的球中有编号为5的球，且摸出的球中最大编号大于等于7”， 此事件的情况包括： 当1次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，2次或3次； 当2次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球可能为1次，或2次； 当3次球的编号为5时，其余球的最大编号大于等于7的球为1次； 所以 . 所以. 故答案为：. 3．（2025·上海浦东新·三模）已知随机事件满足，，，则 【答案】/ 【分析】先根据条件概率公式求出，进而可求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 4．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 【答案】/ 【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种； 而事件（最小数字是2且和大于5，即）的基本事件数有种， 由条件概率公式. 故答案为： 5．（2025·上海·模拟预测）为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 . 【答案】/ 【分析】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座，根据条件，利用古典概率公式求得，，再由条件概率公式，即可求解. 【详解】记事件：甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法，事件：恰有一位老师选择学校开展普法讲座， 因为，，所以， 故答案为：. 题型二、全概率公式及贝叶斯公式（常考点） 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）一批灯泡中有60%来自甲厂，40%来自乙厂，已知两个厂产品的正品率分别是88%和90%.从中随机抽取1个，取得正品的概率为 . 【答案】0.888 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求为. 故答案为：0.888. 7．（24-25高二下·上海·月考）2025年底，莘庄中学开展迎新狂欢活动，高二某班级决定组织盲盒抽奖活动，到班级参与活动并达到一定要求的同学都可以参与抽奖．组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ． 【答案】 【分析】利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设表示“甲第一次拿的盲盒有奖”，表示“甲第一次拿的盲盒无奖”，表示“甲最终中奖”， 因为共有20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品， 所以，， 若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩个盲盒，其中个有奖， 甲再选另一个盲盒打开，则， 若发生，此时组织方拿走一个没有奖品的盲盒后，还剩个盲盒，其中个有奖， 甲再选另一个盲盒打开，则， 根据全概率公式得，， 所以甲中奖的概率. 故答案为：. 8．（24-25高三下·上海·月考）未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】记零件为1号车间加工，零件为2号车间加工， 零件为3号车间加工，任取1个零件为合格， 则，，， ，，， 则 . 故答案为：. 9．（24-25高三·上海·课堂例题）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 . 【答案】0.8/ 【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解. 【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分. ，，，， 根据全概率公式得 ，所以， 所以. 故答案为：0.8 10．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意，根据古典概型求得概率，结合全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可设{第一次取得红球}，{第一次取得白球}， {第二次取得红球}，{第二次取得白球}， 易知，，，， 所以. 故答案为：. 题型三、随机变量的均值与方差（常考点） 11．（25-26高一上·上海浦东新·月考）随机变量的分布是，则 . 【答案】 【分析】根据分布列结合期望公式即可求解. 【详解】由题意，. 故答案为： 12．（25-26高三上·上海·开学考试）暑期旅游期间，小明一家四口到西湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． (1)小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食的不同组合方式有多少种？ (2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据题意，分别求得家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食的选法数，结合分步计数原理，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出方程，结合期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，其中小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食， 可得汤类只有1种选法，米面类有种选法，炒菜类有种选法， 由分步计数原理得，共有种不同的选法. （2）解：根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【详解】（1）的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. （2）设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故 ． 由全概率公式，得 ． 14．（24-25高二下·上海·月考）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量， 且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均， 所以设爬行后小虫一共向能爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB的分布列为： ，所以A正确； 因为 ， 所以 ，所以B错误； 对于C，因为， 所以，所以，所以C正确； 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确． 故选：B． 15．（24-25高二下·上海松江·月考）机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目．某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其A、B、C、D四人分到了一个小组，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立，已知A对阵B、C、D三人的胜率分别为，，． (1)求小组赛中A至少获胜一场的概率； (2)设A获胜的场次为X，求X的分布与数学期望． 【答案】(1) (2)分布见解析，期望 【分析】（1）由独立乘法公式、对立事件概率公式即可求解； （2）的所有可能取值为，依次求出对应的概率即可得分布，进一步由期望公式即可求解. 【详解】（1）小组赛中A至少获胜一场的概率为； （2）的所有可能取值为， ， ， ， ， X的分布为： ， X的数学期望为. 题型四、二项分布的均值与方差（重点） 16．（25-26高三上·上海浦东新·期中）一个不透明的箱子里有个大小，质地完全相同的球，上面分别标有数字到.每次摸球时，摸到任一球的概率相同. (1)现从箱子中随机换取一球，设事件为“摸出标有数字或的球”，事件为“摸出标有数字或的球”.已知事件与事件相互独立.求、和的值； (2)在（1）求得的的条件下，甲、乙二人进行摸球比赛.规则如下：每一回合，甲先从箱子中随机摸一个球并放回，乙再从箱子中随机摸一个球并放回，两人比较所摸球上的数字.数字较大者在该回合得分，其余情况得分.不论是否平局，此回合结束. （i）比赛进行一回合后，甲得分的概率； （ii）若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率. 【答案】(1)，， (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出、、，根据独立事件的概率公式可得出，即可求出的值； （2）（i）利用古典概型的概率公式求解即可； （ii）列举出甲高于乙得分的所有情况，利用独立事件的概率公式求出每种情况的概率，加起来即可. 【详解】（1）由古典概型的概率公式可得，，所以 事件“摸出标有数字的球”，则， 因为事件、相互独立，所以，即， 因为，故. （2）（i）记甲摸的小球标有的数字为，乙摸的小球标有的数字为， 记事件比赛进行一回合后，甲得分的概率，即事件“”， 样本空间为 ， ， 所以； （ii）由（i）可知，乙得分的概率为，甲乙摸的小球标有的数字相同的概率为， 比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分，分以下几种情况讨论： 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为； 甲得分，乙得分，其概率为. 综上所述，若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率为. 17．（24-25高二下·上海崇明·期末）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)，理由见解析 【分析】(1) 通过统计甲获胜的场数，利用古典概型概率公式计算甲获胜的概率； (2) 先确定甲得分不低于分的场次，乙得分大于丙得分的场次，进而确定的可能取值，计算相应的概率，得到分布列，最后根据数学期望公式计算期望； (3) 先根据已知场比赛的获胜频率得到每人获胜的概率，由于接下来的比赛获胜场数符合二项分布，利用二项分布的方差公式计算并比较方差大小. 【详解】（1）甲获胜的场次为第五场(分)和第八场(分)，共场， 故从上述8场比赛中随机选择一场，甲获胜的概率； （2）甲得分的场次：，共场， 乙得分丙得分的场次：，共场. 的可能取值：0,1,2， 总选法：， ：选场乙丙，，概率， ：选场乙丙和场乙丙，，概率， ：选场乙丙，，概率， 分布列如下： 0 1 2 数学期望：. （3）以频率估计获胜概率：甲：，乙：，丙：， 三人获胜场数符合二项分布， ，， 所以 18．（24-25高二下·上海·月考）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品. (1)设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望； (2)若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差. 【答案】(1)分布列见解析，； (2)4；216 【分析】（1）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）求出比赛中得分与的关系，再利用期望、方差的性质求解. 【详解】（1）依题意，制作一件优秀作品的概率为， 该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为，， ，，， ，， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. （2）设该工艺师在本次比赛中得分为Y，则， 由（1）知，， 则， ， 所以该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差分别为和. 19．（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ； (2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)分布列见解析 数学期望为，方差为 【分析】（1）由全概率公式，根据混合后合格品率的计算公式建立等式来证明； （2）先确定服从二项分布，再根据分布列的公式求出各取值的概率，进而计算期望和方差. 【详解】（1）设M事件为“抽取出来混放在一起的零件来自甲工厂”， 事件N为“抽取出来混放在一起的零件来自乙工厂”， 事件C为“混放在一起的某一个零件为合格品”， 则， . 即 . 得.即， 所以 （2）由可知，零件来自甲工厂的概率为，来自乙工厂的概率为. 表示这个零件中来自甲工厂的个数，则服从参数为，的二项分布，即. 则，. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以的分布列为： 则，所以期望为， 方差为. 20．（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】(1)软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、 (2)应该使用软件来解决这道试题. (3)， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）利用全概率公式计算出、软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论； （3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案. 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题. （3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 题型五、二项分布的最大概率 21．（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ． 【答案】10 【分析】根据变量符合二项分布，写出试验发生次的概率的表示式，在表示式中，只有是一个变量，根据组合数的性质，当时，概率取到最大值． 【详解】 ， 当时，． 显然当时，取得最大值． 故答案为：10 22．（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D. 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 23．2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含，，，，，六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响． (1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目的概率； (2)记为这四个人中选择项目的人数，求的分布列及数学期望； (3)如果将甲、乙、丙、丁四个人改为个人，其他要求相同，问：这个人中选择项目的人数最有可能是多少人？ 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3)答案见解析. 【分析】（1）由题得到每个人选择项目的概率，即可求解； （2）根据题意可得到服从二项分布：，即可求其分布列和期望； （3）设选择项目的人数最有可能为人，则通过可得，然后分被3除余2，被3除余1和能整除3，三种情况进行讨论 【详解】（1）由题意可知，每个人选择项目的概率为，则每个人不选择项目的概率为， 故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择项目的概率为 （2）由（1）可知，每个人选择项目的概率为，且每个人是否选择项目相互独立， 故服从二项分布：， 所以， ，， ，，， 则的概率分布列为： 0 1 2 3 4 的数学期望． （3）设选择项目的人数最有可能为人， 则， ， ，即， 即，即， 解得， 又， 所以当，时，则不等式为， 则当或，即当被3除余2时，选择项目的人数最有可能是人和人； 当，且时，则不等式为， 则，即当被3除余1时，选择项目的人数最有可能是人； 当，且时，则不等式为， ，即当被3整除时，选择项目的人数最有可能是人． 24．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 【答案】(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②； (2)当时，最大 【分析】（1）①求出果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量； ②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望； （2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大. 【详解】（1）①果径80mm～85mm, 75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为， 故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个； ②的可能取值为， 故，，， ， 故 （2）一级果的频率为， 用频率代替概率，故， 故， 令， 故， 解得， 又，故， 故当时，最大. 25．如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大． 【答案】 【分析】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果. 【详解】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项分布概率最大值问题，难度较大，解答本题的关键在于结合二项分布的概率公式计算，从而得到结果. 题型六、超几何分布的均值与方差（重点） 26．（24-25高一下·上海·期末）某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则 ． 【答案】 【分析】由题意知，从7人选3名代表，求选出男生人数至少为1人的概率，可以通过求对立事件：选中男生为0人的概率，进而得出答案.. 【详解】表示3个女生，0个男生，故, 所以. 故答案为：. 27．（24-25高二下·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 【答案】(1)，； (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）由题设写出相关概率值，再应用全概率公式求； （2）由题意可能值为并求出对应概率，即得分布列，进而求期望和方差. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以. （2）由题意，可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则，. 28．（2025·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解； （2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室， 有种情况，从11人中抽4人有种情况， 所以所求的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为、、、、， ，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以. 29．（25-26高三上·上海·单元测试）某中学选派40名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这40名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望（结果用最简分数表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用间接法，计算这3名学生中没有学生参加培训次数相等的概率后用1减去即可得； （2）求出可能取值及其对应概率即可得其分布列，由分布列即可得其期望. 【详解】（1）这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率； （2）由题意知可能取值为0、1、2， ， ， ， 则随机变量的分布为， 所以的期望． 30．（23-24高二下·上海·期末）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)，. (2)分布列见解析，2 【分析】（1）根据独立事件和条件概率的计算公式计算即可求解； （2）的取值可能为，利用超几何分布求对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以. （2）的取值可能为， ，，， 的分布列为 1 2 3 所以. 题型七、正态分布 31．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则 ． 【答案】0.8/ 【分析】利用正态分布的对称性结合概率和为1求解即可. 【详解】由正态分布对称性得对称轴为，则， 因为概率和为1，所以. 故答案为：. 32．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据正态分布的特点及二项分布的性质即可求解. 【详解】因为，, 所以. 又因为， 所以， 则，解得：. 故答案为： 33．（24-25高二下·上海·月考）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】0.3/ 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量的概率分布密度函数， 则，故， 故图中阴影部分的面积为. 故答案为：0.3 34．（24-25高三下·上海虹口·月考）设随机变量服从正态分布，则的最小值为 ． 【答案】/0.125 【分析】首先利用正态分布的性质求出，再利用基本不等式解最小值即可. 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称，所以， 又，所以， 因为，得， 得，等号成立时，， 所以的最小值为. 故答案为： 35．（2025·上海青浦·三模）通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：，，.） 【答案】 【分析】将将标准化为值，结合已知数据即可求解. 【详解】由题意曾老师当天迟到的概率即为, 将标准化为值， , 又， 所以， 所以曾老师当天迟到的概率约为， 故答案为： 题型八、概率综合题型（难点） 36．（24-25高三上·上海浦东新·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ (2)小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 【答案】(1)想法错误； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）答案见解析. 【分析】（1）求出小的总命中率，小的总命中率，比较这两个总命中率即可得到结论； （2）（ⅰ）证明：若“第一次投篮人物”为小，，小获胜的概率为，小的获胜的概率为，求出得解；（ⅱ）若“第一次投篮人物”为小，，小获胜的概率为，小的获胜的概率为，求出，利用的单调性得到，从而得到当也就是时，从而得到结论． 【详解】（1）小总出手次，命中次，则小总命中率为， 小总出手次，命中次，则小总命中率为， ，小B为校MVP，小C想法错误； （2）（ⅰ）证明：若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 可得“小第一次投篮，小获胜概率大”； （ⅱ）若“第一次投篮人物”为小，， 小获胜的概率为，小的获胜的概率为， 则， 其中，， 随着的增大而增大， ， 当也就是时， 当也就是时， 综上：若小第一次投篮，时，小获胜概率大， 时，小获胜概率大． 37．（25-26高二上·上海·月考）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． (1)求，（用来表示）； (2)求（用来表示）； (3)若，求的数学期望（保留小数点后一位）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求解； （2）分和两种情况求解； （3）结合离散型随机变量期望定义，代入具体值，利用错位相减法求值. 【详解】（1），； （2）当时，， 当时，， 所以； （3） ， 所以 ， ， 因为， 所以. 38．（24-25高二下·上海·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，不独立 (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）利用频率估计概率，结合条件概率公式和独立事件的定义可求相应的概率和独立性判断； （2）利用二项分布可求的分布列及其数学期望； （3）利用频率估计概率，利用期望公式可求后可得它们的大小关系. 【详解】（1）由题设可得，， 故. 因为，故不独立. （2）从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故. （3）由题设可取，可取， 而，，， ，， 故， 又，，， ，， 故， 因为，故. 39．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望； (3)，理由见解析 【分析】（1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）从表格中可以发现在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场。乙得分大于丙得分的场数的取值为0，1，2，通过超几何分布的知识点，得到的分布列及数学期望. （3）通过题目条件得到10场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，因为甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差，，的大小关系. 【详解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. （2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场， 分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场， 分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以的所有可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 所以. （3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛， 而甲、乙、丙获胜的场数服从二项分布， 所以，，， 故. 40．（2025·上海浦东新·模拟预测）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. (1)若，求； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求：当且的值. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案； （2）计算得，再利用期望公式得，再根据的单调性即可得到最小值； （3）利用期望公式即可求. 【详解】（1）由，得 （2）由，得． 则 . 令，得． 又在上单调递减， 且， 故的最小值为3． （3）由，得 ， 所以 . 一、单选题 1．（21-22高二下·上海闵行·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 【答案】A 【分析】根据信息熵公式，利用对数的运算性质及对数函数的单调性判断命题1；由已知公式得到关于的展开式，应用作差法及对数的性质判断的大小判断命题2. 【详解】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确； ，则， 而，， ， 所以，故，命题2错误； 故选：A 2．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， 所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行， 所以， 所以， 对于AB，的分布列为 … … … … 所以，所以A正确， 因为 ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为， 所以，所以，所以C错误， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解. 3．（24-25高三下·上海虹口·期中）春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出第一步掷骰子弟弟能吃到花生的概率为，再通过分类讨论求出第一次掷出非6，后续阶段弟弟能吃到花生的概率，二者相加即为任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率. 【详解】第一步：第一次掷骰子的概率 （1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生； （2）非6点：概率为，记下点数，进入后续阶段. 第二步：后续阶段的概率分析 设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为， 若小明掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为， 故有①； 若弟弟掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到小明掷骰子，此时概率为， 故有②； 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为， 故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为. 故选：D 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 【答案】B 【分析】将乙盒中原有的1个黑球与从甲盒抽取的黑球数结合，利用超几何分布的期望公式计算可判断数列的单调性；结合乙盒总球数的变化，分析概率随抽取球数的变化趋势可判断的单调性. 【详解】从甲盒中随机抽取n个球，这n个球中黑球的个数设为， 服从超几何分布，且， 乙盒中有1个球且为黑球，放入n个球后，， 因为，所以， 因为，所以当从增加到时， 随的增大而增大，所以数列严格增； 从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，乙盒中此时有个球，黑球有个， 所以 ， 因为，所以当从增加到时， 单调递减，所以严格减. 故选：B. 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 . ①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 ②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 ③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 ④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X的概率是 【答案】①④ 【分析】利用全概率公式可判断①；利用条件概率公式可判断②；利用二项分布的方差可判断③；利用超几何分布的概率公式计算判断④. 【详解】对于①，记事件：第一次摸红球，事件：第一次摸蓝球，事件：第二次摸红球， 则，①对； 对于②，每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回， 则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，②错； 对于③，由题意可知，则，③错； 对于④，从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是，④对. 故答案为：①④. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握全概率公式、条件概率公式与二项分布、超几何分布等相关知识. 6．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 三、解答题 7．（22-23高二下·上海杨浦·期中）现有一枚均匀的硬币（即只可能出现正面与反面两种结果，抛出正面与反面的概率均为0.5，每一次抛掷是独立的），正面记为H，反面记为T，并不断抛掷该硬币． (1)求抛掷3次时，至少出现1次正面的概率； (2)用X表示抛掷10次后出现正面的次数，求X的期望和方差； (3)甲同学选择了组合“HHT”，（即连续地依次出现正面，正面，反面），乙同学选择了组合HTT．若选择的组合先出现，则获得游戏胜利．问：甲乙两人中，甲更有优势还是乙更有优势还是双方都没有优势？并求甲同学获胜的概率． 【答案】(1) (2)， (3)甲更有优势，甲同学获胜的概率为 【分析】 （1）先求出抛掷3次时，不出现正面的概率，再根据对立事件计算至少出现1次正面的概率； （2）根据题意，得出出现正面的次数，根据二项分布数学期望及方差的公式计算即可； （3）设甲同学获胜的事件为，乙同学获胜的事件为，由题意画出出现情况示意图，再分析得出及乙同学获胜的所有情况，计算出，即可得出答案． 【详解】（1）设抛掷3次时，至少出现1次正面的事件为，则抛掷3次时，不出现正面的事件为, 所以， 所以抛掷3次时，至少出现1次正面的概率是． （2）由题意抛掷次数，每次出现正面的概率为，出现正面的次数， 则的可能取值为， ，． （3）设甲同学获胜的事件为，乙同学获胜的事件为， 因为该游戏要分出胜负，故不存在平局，所以， 由题意画出甲乙同学抛掷硬币的情况示意图， 由上图可知，乙同学获胜的情况更单一，故先计算乙同学获胜的概率， 由上图分析可知，无论甲获胜还是乙获胜，都必须出现，故出现第一个的概率为1， 假设开始后，出现即乙同学获胜，则概率为， 假设开始后，出现即乙同学获胜，则概率为， 假设开始后，出现即乙同学获胜，则概率为， 则 ， 所以， 因为，所以甲同学更有优势，且甲同学获胜的概率为． 8．（23-24高三下·上海·期中）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． (1)已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； (2)若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 【答案】(1) (2)（i）当时，；当时，；（ii） . 【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播直播的概念，然后利用正难则反原则即可求解； （2）（i）由已知服从二项分布，则，进而可得，然后利用比值与1比较大小即可求解； （ii）因为，所以可能取值为1或，然后结合（i）分别求出和的概率即可得解. 【详解】（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为； 所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为； （2）（i）由已知服从二项分布，所以， 当时，，所以，即； 当时，，所以，即. （ii）因为，所以或， 当时，， 当时，， . 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解服从二项分布，由二项分别公式利用与1进行比较大小，由，得到可能取值为1或是所对应的值，结合二项式定理化简得到答案. 9．（24-25高二上·上海·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：    (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2)在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为 求该运动员最终获得奖金的期望. 【答案】(1)甲运动员，理由见解析； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即可得结论； （2）（i）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即可； （ii）按游戏共使用次数，求出的值及对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】（1）解：甲运动员的成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，则其中位数小于80， 所以：甲运动员参加第二阶段游戏； （2）解：(i)若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率； 所以甲能参加游戏的概率为； (ii)因为甲参加每一个游戏获胜的概率都是， 所以参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用4次机会，则或； ②游戏使用3次机会，游戏使用1次机会，则或； ③游戏使用2次机会，游戏使用2次机会，则或； ④游戏使用2次机会，游戏使用1次机会，则或； ⑤游戏使用1次机会，游戏使用3次机会，则或； ⑥游戏使用1次机会，游戏使用2次机会，则或； ⑦游戏使用1次机会，游戏使用1次机会，则或或； 其中有两种情况：参加游戏第一次成功，第二次失败和第一次失败，第二次成功， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以 . 10．（24-25高三下·上海·月考）若数列满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量． (1)若，求随机变量X的分布列与数学期望； (2)求，其中且． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）将时，所有数列排出来，从而得到X的取值有1，2，3，结合组合数求解； （2）由（1）可推出，X的可能取值为：1，2，3，…，k，再分析当时，则数列的具体选择情况，将这个问题转化为组合问题，从而得到即可； 【详解】（1）若，则中的数列有0，0，0；1，0，0；0，1，0；0，0，1；1，1，0；1，0，1；0，1，1；1，1，1； 从集合中任意取出两个不同数列，，， ∴X的取值有1，2，3，从8个数列中任选2个，共有种情况， 其中当时，若选择0，0，0，可从1，0，0；0，1，0；0，0，1任选1个，共有3种情况， 若选择1，1，1，可以从1，1，0；1，0，1；0，1，1任选1个，共有3种情况， 另外1，0，0和1，0，1；1，1，0两者之一满足要求，0，1，0和1，1，0；0，1，1两者之一满足要求，0，0，1和1，0，1；0，1，1两者之一满足要求，共有种情况，故， 当时，0，0，0，和1，1，1满足要求，1，0，0和0，1，1满足要求，0，1，0和1，0，1满足要求，0，0，1和1，1，0满足要求，共有4种情况，， ， 随机变量X的分布列： X 1 2 3 P 则随机变量X的数学期望为； （2）证明：数列是从集合中任意取出的两个数列， ∴数列为k项数列， ∴X的可能取值为：1，2，3，…，k， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列中有m项取值不同，有项取值相同， 从k项中选择m项，和在m项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字不同， ，这个问题是组合问题， ∴所有的情况会重复1次，∴一共有种情况， ， ∴随机变量X的分布列为： X 1 2 3 …… k P …… 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率及其分布模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算及其性质 1 题型二、全概率公式及贝叶斯公式（常考点） 2 题型三、随机变量的均值与方差（常考点） 2 题型四、二项分布的均值与方差（重点） 3 题型五、二项分布的最大概率 3 题型六、超几何分布的均值与方差（重点） 4 题型七、正态分布 4 题型八、概率综合题型（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、条件概率的计算及其性质 1．（24-25高一下·上海·期末）已知随机事件、满足，，则 ． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）不透明的袋中装有编号为1，2，…，10的10个小球，现从中随机有放回地取4次，每次取1个球，已知摸出的球中有编号为5的球，则摸出的球中最大编号大于等于7的概率是 ． 3．（2025·上海浦东新·三模）已知随机事件满足，，，则 4．（2025·上海普陀·二模）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”，则 . 5．（2025·上海·模拟预测）为了增强法治观念，甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为 . 题型二、全概率公式及贝叶斯公式（常考点） 6．（24-25高二下·上海浦东新·期中）一批灯泡中有60%来自甲厂，40%来自乙厂，已知两个厂产品的正品率分别是88%和90%.从中随机抽取1个，取得正品的概率为 . 7．（24-25高二下·上海·月考）2025年底，莘庄中学开展迎新狂欢活动，高二某班级决定组织盲盒抽奖活动，到班级参与活动并达到一定要求的同学都可以参与抽奖．组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品，抽奖者甲先拿起一个盲盒在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另一个盲盒打开，记甲中奖的概率为，则 ． 8．（24-25高三下·上海·月考）未来工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为0.95、0.85、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为 ． 9．（24-25高三·上海·课堂例题）设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.若任取一支枪射击，结果未中靶，则该枪未校正的概率为 . 10．（2025·上海奉贤·二模）盒子中有大小与质地均相同的个红球和个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球个（大小与质地均相同），再从中随机取1个球，计算此次取到白球的概率是 ． 题型三、随机变量的均值与方差（常考点） 11．（25-26高一上·上海浦东新·月考）随机变量的分布是，则 . 12．（25-26高三上·上海·开学考试）暑期旅游期间，小明一家四口到西湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． (1)小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食的不同组合方式有多少种？ (2)用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布和期望． 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． (1)设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； (2)求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 14．（24-25高二下·上海·月考）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·上海松江·月考）机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目．某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其A、B、C、D四人分到了一个小组，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立，已知A对阵B、C、D三人的胜率分别为，，． (1)求小组赛中A至少获胜一场的概率； (2)设A获胜的场次为X，求X的分布与数学期望． 题型四、二项分布的均值与方差（重点） 16．（25-26高三上·上海浦东新·期中）一个不透明的箱子里有个大小，质地完全相同的球，上面分别标有数字到.每次摸球时，摸到任一球的概率相同. (1)现从箱子中随机换取一球，设事件为“摸出标有数字或的球”，事件为“摸出标有数字或的球”.已知事件与事件相互独立.求、和的值； (2)在（1）求得的的条件下，甲、乙二人进行摸球比赛.规则如下：每一回合，甲先从箱子中随机摸一个球并放回，乙再从箱子中随机摸一个球并放回，两人比较所摸球上的数字.数字较大者在该回合得分，其余情况得分.不论是否平局，此回合结束. （i）比赛进行一回合后，甲得分的概率； （ii）若比赛共进行三回合.求三回合后，甲的得分高于乙的得分的概率. 17．（24-25高二下·上海崇明·期末）甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 (1)从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 18．（24-25高二下·上海·月考）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品. (1)设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望； (2)若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差. 19．（24-25高二下·上海宝山·期中）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产. 经过调研和试生产， 质检人员抽样发现: 甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 94%; 乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 97%. (1)设甲工厂试生产的这批零件有 件，乙工厂试生产的这批零件有 件，证明: ； (2)用频率估计概率，记这 3 个零件中来自甲工厂的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差. 20．（2025·上海浦东新·二模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 题型五、二项分布的最大概率 21．（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量服从二项分布，当且取得最大值时，则 ． 22．（22-23高二下·上海浦东新·期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 23．2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含，，，，，六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响． (1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目的概率； (2)记为这四个人中选择项目的人数，求的分布列及数学期望； (3)如果将甲、乙、丙、丁四个人改为个人，其他要求相同，问：这个人中选择项目的人数最有可能是多少人？ 24．（23-24高二下·上海·期末）已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图． (1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个， ①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量 ②求抽到的一级果个数的数学期望； (2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？ 25．如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字 处的可能性最大． 题型六、超几何分布的均值与方差（重点） 26．（24-25高一下·上海·期末）某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则 ． 27．（24-25高二下·上海松江·月考）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 28．（2025·河北张家口·三模）为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：       类别科室 志愿者 医生 护士 A科室 2 3 B科室 3 3 (1)求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 29．（25-26高三上·上海·单元测试）某中学选派40名学生参加上海市高中生志愿者的培训活动，他们参加培训的次数统计如下表所示： 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率（结果用最简分数表示）； (2)从这40名学生中任选2名，用表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的期望（结果用最简分数表示）． 30．（23-24高二下·上海·期末）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 题型七、正态分布 31．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知随机变量服从正态分布且则 ． 32．（24-25高二下·上海·期末）已知随机变量，，且，，则 ． 33．（24-25高二下·上海·月考）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为 . 34．（24-25高三下·上海虹口·月考）设随机变量服从正态分布，则的最小值为 ． 35．（2025·上海青浦·三模）通勤时间是指单日内某人从居住地到工作地的用时.数学曾老师经过若干个月的统计发现，其通勤时间（单位：分钟）服从正态分布.设，.曾老师某天7点10分出门，如果学校要求在8点前到达，那么曾老师当天迟到的概率约为 .（结果精确到0.1%.参考数据：，，.） 题型八、概率综合题型（难点） 36．（24-25高三上·上海浦东新·期末）申辉中学为期两周的高一、高二年级校园篮球赛告一段落.高一小A、高二小B分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级MVP（最有价值球员）.以下是他们在各自8场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率. 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小A 100次 80% 100次 40% 小B 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校MVP（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） (1)小C认为，目测小A的二分球命中率和三分球命中率均高于小B，此次必定能评为校MVP，试通过计算判断小C的想法是否准确？ (2)小D是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小a、小b轮流投篮对战游戏.游戏规则如下：①游戏中小a的命中率始终为0.4，小b的命中率始终为0.3.②游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮.③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第k次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜.若每次游戏对战前必须设置“第一次投篮人物”和“k”的值，请解答以下两个问题． （ⅰ）若小a第一次投篮，请证明小a获胜概率大； （ⅱ）若小b第一次投篮，试问谁的获胜概率大？并说明理由. 37．（25-26高二上·上海·月考）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数． (1)求，（用来表示）； (2)求（用来表示）； (3)若，求的数学期望（保留小数点后一位）． 38．（24-25高二下·上海·期末）随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，Al的赋能潜力巨大．为了解教师对大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用、、豆包、文心一言四种大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种大模型的40人中，统计使用、、豆包、文心一言的大模型人次如下： 大模型种类 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． (1)从该地区教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型．求和．并据此判断事件和事件是否独立： (2)从该地区使用3种大模型（、、豆包、文心一言）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求的分布列及其数学期望； (3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用大模型（、、豆包、文心一言）的种数分别为，，比较，的数学期望，的大小，并说明理由． 39．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由. 40．（2025·上海浦东新·模拟预测）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. (1)若，求； (2)若，且，求的最小值； (3)若，求：当且的值. 一、单选题 1．（21-22高二下·上海闵行·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵． 命题1：若，则随着n的增大而增大； 命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则． 则以下结论正确的是（    ） A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确 C．两个命题都错误 D．两个命题都正确 2．（23-24高二下·上海·期末）一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海虹口·期中）春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知甲盒中有a个黑球和b个白球，乙盒中有1个球且为黑球.从甲盒中随机抽取n个球放入乙盒中（）.记此时乙盒中含有的黑球个数为，从乙盒中随机抽取1球为黑球的概率是，则（   ） A．数列和都严格增 B．数列严格增，数列严格减 C．数列严格减，数列严格增 D．数列和都严格减 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 . ①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 ②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 ③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 ④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X的概率是 6．（23-24高二下·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 三、解答题 7．（22-23高二下·上海杨浦·期中）现有一枚均匀的硬币（即只可能出现正面与反面两种结果，抛出正面与反面的概率均为0.5，每一次抛掷是独立的），正面记为H，反面记为T，并不断抛掷该硬币． (1)求抛掷3次时，至少出现1次正面的概率； (2)用X表示抛掷10次后出现正面的次数，求X的期望和方差； (3)甲同学选择了组合“HHT”，（即连续地依次出现正面，正面，反面），乙同学选择了组合HTT．若选择的组合先出现，则获得游戏胜利．问：甲乙两人中，甲更有优势还是乙更有优势还是双方都没有优势？并求甲同学获胜的概率． 8．（23-24高三下·上海·期中）目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． (1)已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； (2)若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 9．（24-25高二上·上海·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、 乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会； ②依次参加游戏. ③若一个游戏胜利，可以参加下一个游戏； 若游戏失败，继续进行该游戏； 若轮到游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元； 参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金500元； 不管参加哪一个游戏，失败均无奖金. 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是乙参加每一个游戏获胜的概率都是甲、 乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下：    (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏? 并说明理由. (2)在（1）的基础上，解答下列两问： （i）求该运动员能参加游戏的概率. （ii）设4次游戏结束后有种不同的奖金额，记：为该运动员最终获得的奖金额，为获得元奖金对应的概率，定义最终获得奖金的期望为 求该运动员最终获得奖金的期望. 10．（24-25高三下·上海·月考）若数列满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量． (1)若，求随机变量X的分布列与数学期望； (2)求，其中且． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $