专题04 导数的核心技巧（专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

专题04 导数的核心技巧 目录 A题型建模・专项突破 题型一、隐零点问题 1 题型二、端点效应 2 题型三、指对同构 2 题型四、极值点偏移 3 题型五、比值换元 3 题型六、对数均值不等式 4 题型七、切线放缩 4 题型八、泰勒展开式 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、隐零点问题 1．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 2．已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)当时，证明：； (3)若，求的取值集合． 3．已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； (2)若直线是函数图像的切线，求a的值； (3)当时，若恒成立，求整数a的最大值． 4．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 题型二、端点效应 5．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 6．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 7．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 8．已知函数. (1)求的最值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的值. 题型三、指对同构 9．已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为 . 10．已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则 若，对于任意都成立，则的最大值为 . 11．对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 12．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型四、极值点偏移 13．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 14．已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 15．已知常数，函数. (1)若，求的取值范围; (2)若、是的零点，且，证明:. 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 题型五、比值换元 17．设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 18．已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 19．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 20．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)记两个极值点为，且. 若，证明：. 题型六、对数均值不等式 21．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：. 22．设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 23．已知函数. (1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：； (3)设函数的两个零点、，求证：. 24．已知函数 （1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值； （2）若函数有两个极值点，求证： 题型七、切线放缩 25．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 26．已知，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 27．设，则（   ） A． B． C． D． 28．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型八、泰勒展开式 29．已知，则（    ） A． B． C． D． 30．设，，．则（    ） A． B． C． D． 31．设，则（    ） A． B． C． D． 32．设，则（    ） A． B． C． D． 一、填空题 1．已知函数，若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 2．若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 二、解答题 3．已知 (1)讨论的单调性 (2)对于恒成立；求的取值范围 (3)设，为函数的两个零点；证明． 4．已知函数. (1)当，求函数的驻点； (2)若函数在为单调增函数，求的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 5．已知，，e是自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 6．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围； (3)若是函数的极值点，求证：． 7．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的值； (3)当时，证明：有2个零点． 8．已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上有1个零点，求证：； (3)若在上恒成立，求正整数的最大值. 9．定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 10．已知，． (1)当时，求函数的极小值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若当时，函数，有最小值，证明：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数的核心技巧 目录 A题型建模・专项突破 题型一、隐零点问题 1 题型二、端点效应 2 题型三、指对同构 2 题型四、极值点偏移 3 题型五、比值换元 3 题型六、对数均值不等式 4 题型七、切线放缩 4 题型八、泰勒展开式 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、隐零点问题 1．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，求出极小值； （2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 2．已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)当时，证明：； (3)若，求的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令，可得，然后通过研究值域可得答案； （2）由题可得在上单调递增，由零点存在性定理可得存在唯一，使得，从而可得，最后由题意及基本不等式可完成证明； （3）分，，，四种情况，结合多次求导分析与0大小关系可得答案. 【详解】（1）由，得， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，无零点；当时，有一个零点； （2）当时，，则， 易知在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得． 当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 由，得，即， 所以， 又，所以， 所以． （3）由，得， 设， 则，令， 则， ①当时， 当时，，所以， 当时，． 则在上单调递增，所以， 所以为在上的唯一极小值点， 则，所以时，恒成立； ②当时， 当时，，有， 当时，，有. 又，所以， 即在上单调递增． 注意到， 又，所以存在，使得， 当时，，在上单调递减，所以，不符合题意； ③当时，同②有为增函数， 当时，．则， 又因为，所以存在，使得， 当时，，在上单调递增，所以，不符合题意； ④当时， 当时，，有， 当时，，有， 又，所以，在上单调递增， 又因为，所以当时，，不符合题意． 综上所述，的取值集合为． 3．已知函数．（其中是自然对数的底，，）． (1)讨论函数的单调性； (2)若直线是函数图像的切线，求a的值； (3)当时，若恒成立，求整数a的最大值． 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减 (2) (3)整数的最大值为1 【分析】（1）关键在于通过导数的符号变化来判断函数的单调性； （2）需要利用切线方程的条件，结合导数和函数值的关系求解； （3）需要将不等式转化为，并研究右侧函数的最小值 【详解】（1）函数的定义域， 求导得， 当时，，故，函数在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，故，函数单调递增；当时，，故，函数单调递减， 因此，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减. （2）设切点为，则，直线的斜率为，因此，由得， 解得，由于切点在直线上，故， 因此，，将代入上式，得：， 令，则，对于，因此，在上单调递增，又因为，所以， 将代入，因此，的值为. （3）当时，，即：，令，则，令， 则，由于，且，故，因此在上单调递增， 因为，，因为， 因此，存在，使得，即，对于，，故，单调递减； 对于，，故，单调递增； 因此，在处取得最小值：， 令，则，所以，又，， 所以， 因此整数的最大值为1. 4．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 题型二、端点效应 5．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 6．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 7．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为. (2) (3)见解析 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式. 8．已知函数. (1)求的最值； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，无最大值； (2) 【分析】（1）由的单调性判断并求解最值； （2）将不等式分成两部分，分别作差构造函数，并结合构造的函数的零点，由其导函数的符号确定的范围求值. 【详解】（1）定义域为，，令，则 因为（当且仅当时取等号），所以在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 又或时，，所以无最大值， 综上，最小值为，无最大值. （2）令，则， 又，令，则，所以是增函数， 当时，，所以对任意，，单调递增， 对任意，， 即； 当时，，所以，当时，， 单调递减，，不合题意； 所以对任意，满足的的范围为. 令，则， 先证明当时，，令，则（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以，所以， 再证明当时，，令， 则，所以在单调递增， 所以当时，，即. 当时，对任意的， ， 所以在单调递增，所以，即， 当时，，所以，当时，， 所以单调递减，所以，所以，不满足条件， 所以当时，”对任意恒成立. 综上，若对任意，则实数的值为. 题型三、指对同构 9．已知函数，，若，对于任意都成立，则a的最大值为 . 【答案】 【分析】变形条件转化为，构造函数，判断单调性，转化为恒成立，求解最小值可得答案. 【详解】等价于，即，变形为. 设，，所以在上单调递增， 当时， ，由可得，即对任意都成立， 设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为，所以，即a的最大值为. 故答案为： 10．已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则 若，对于任意都成立，则的最大值为 . 【答案】 0 e 【分析】运用两切线斜率相等列式及对数运算公式可求得第一空的结果；同构函数，研究其单调性将题设不等式转化为在上恒成立，再由求导得出函数在上的最小值即可. 【详解】由得，由得， 依题意得，即， 所以，则； 又， 即时，对于任意都成立， 令， 则，所以在上单调递增， 又因为，即， 由函数的单调性，可得对于任意恒成立， 又因为， 即为在上恒成立，所以， 令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以的最大值为， 故答案为：. 11．对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 12．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式同构为，根据函数的单调性可得，分离参数得到，利用导数可求得函数的单调性，进而求得的取值范围. 【详解】由不等式得：， 即， 令，则， 函数在上单调递增，，， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增， ，即恒成立； 当时，若，则；若，则； 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，； 综上所述：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用同构法求解恒成立问题，解题关键是能够将已知不等式同构为同一函数的两个函数值的形式，进而利用函数单调性得到自变量的大小关系. 题型四、极值点偏移 13．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）令，根据的单调性以及，得出，然后令，， 通过二次求导证明出，结合即可得证. 【详解】（1）依题意，，，则， 而，故所求切线方程为. （2）依题意，的定义域为， 令，得， 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 若，则当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）（3）证明：令，则， 令，故， 令，解得． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即在区间上单调递减，且． 又，所以， 令，， 则，， 令，， 则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 14．已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i）由题意知，问题转换成有两根，通过取对数，同构，构造函数，通过其单调性即可求解；（ii）构造函数，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解； 【详解】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 15．已知常数，函数. (1)若，求的取值范围; (2)若、是的零点，且，证明:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意，即可求出的取值范围； （2）由（1）不妨设，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，结合及的单调性，即可证明. 【详解】（1）由已知得的定义域为， 且 ， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极小值即最小值， ， ， ，即的取值范围为. （2）由（1）知，的定义域为， 在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点. 、是的零点，且， 、分别在、上，不妨设， 设， 则 当时，，即在上单调递减. ， ，即， ， ， ， ， 又，在上单调递增， ，即. 【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小； （2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式. 16．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明. 题型五、比值换元 17．设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【答案】(1)无最小值，最大值为 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解. （2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明. 【详解】（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为. （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系； 通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数， 利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立. 18．已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，分和研究函数的单调性，根据零点个数数形结合求解参数范围即可； （2）令，将证明问题转化为，令，即证，构造函数，利用导数法研究单调性，即可得证. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，在上无零点，与题意不符， 当时，由，得，令， 所以若有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 易得，令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减，所以， 又，当时，，所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （2）由，得， 令，则，易得， 所以函数在上单调递增， 令，则关于的方程有两个实数根，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知得，所以，所以， 不妨设，即证， 即证，令，即证，其中， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，所以，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围. 19．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若关于的方程有两个不同的正实根，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对不等式参变分离，然后构造函数，利用导数求的最大值可解； （2）将变形为，构造函数，根据其单调性将方程转化为，再构造函数，利用导数讨论其性质，结合图象可得，构造函数，根据单调性，并令，可得，最后由作差整理可证. 【详解】（1）的定义域为， 由，得. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而. 故，即的取值范围是. （2）证明：由，得， 即，即. 设，则等价于. 易证在上单调递增，则，即. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，且， 当x趋于时，趋于0. 方程有两个不同的正实根，不妨设， 由图可知，. 设 则在上单调递增. 因为，所以，即. 设，则， 即，则. 因为方程有两个不同的正实根， 所以，作差得. 因为，所以，所以， 则，故. 【点睛】本题属于极值点偏移问题，通常处理方法有构造差函数借助单调性证明，或者合理代换将二元化为一元问题，利用导数求解即可. 20．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)记两个极值点为，且. 若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将在有两个不同根转化为方程在有两个不同根，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而求出的取值范围； （2）两边取对数，将证明转化为证明，再利用（1）合理转化，将问题转化为证明恒成立，再通过求其最值进行证明. 【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，， 方程在有两个不同根， 即方程在有两个不同根， 即方程在有两个不同根， 令，，则， 则当时，，时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，当时，，当时，， 所以的取值范围为； （2）要证，两边取对数，等价于要证， 由（1）可知，分别是方程的两个根， 即， 所以原式等价于，因为，， 所以原式等价于要证明. 又由，作差得，，即. 所以原式等价于，令，， 则不等式在上恒成立. 令，， 又， 当时，可见时，， 所以在上单调增， 又，， 所以在恒成立，所以原不等式恒成立. 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法： （1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围. （2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 题型六、对数均值不等式 21．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，根据导函数的正负求出函数的单调性； （2）先确定，不等式变形，只需证明，且得到，接下来证明对数平均不等式，得到，从而得到，所以，. 【详解】（1）的定义域为， 且， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故， 要想有两个不相同的零点，则， 解得：， ，故 要证，即证， 即证：， 因为在上单调递增， 所以只需证，不妨设， 两式相减得：， 变形为， 下面证明在上成立， 只需证，即， 令，即证， 构造，， 则恒成立， 故在上单调递增， 故，所以，， 故，即，所以，，证毕. 【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明. 22．设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数； （3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证； 【详解】（1）解：因为， 所以．      即，，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． （2）解：由（1）得，． 当时，，则在上无零点． 当时，，则在上有一个零点． 当时，，因为，，， 所以，，， 故在上有两个零点． 综上，当时，在上无零点； 当时，在上有一个零点； 当时，在上有两个零点． （3）证明：由（2）及有两个极值点，且， 可得， 在上有两个零点，且． 所以，     两式相减得，即． 因为，所以． 下面证明，即证． 令，则即证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 故． 又， 所以， 故． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 23．已知函数. (1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围； (2)求证：； (3)设函数的两个零点、，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用参变量分离法得出，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围； （2）证明出，即可证得结论成立； （3）分析可得，证得，利用基本不等式可得出，构造函数，分析看可知函数在上为增函数，分析得出，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）解：由可得，可得， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，所以，； （2）解：要证，即证， 由（1）可知，，当且仅当时，等号成立， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 因为和取等的条件不同，故，即； （3）解：由题知①，②， ①②得③， ②①得④. ③④得， 不妨设，记. 令，则， 所以在上单调递增， 所以，则，即， 所以. 因为 ， 所以，即. 令，，则在上单调递增. 又， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 24．已知函数 （1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值； （2）若函数有两个极值点，求证： 【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用导数通过分类讨论判断函数的单调性，从而求函数的最大值； （2）把要证结论等价转化为，结合函数的极值点再次把要证结论转化为 ，()，通过构造函数即可证明. 【详解】（1）因为，， ①当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增，则； ②当，即时，，， 所以函数在上单调递增，则；， ③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则； ④当，即时，，，函数在上单调递减，则． 综上，当时，； 当时，； 当时，. （2）要证，只需证：， 若有两个极值点，即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即，解得， 另一方面，由，得， 从而可得， 于是．不妨设， 设，则．因此， ． 要证，即证：， 即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数．注意到，，因此，． 于是，当时，有． 所以成立，． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对要证明不等式合理变形，把双变量问题化为单变量问题. 题型七、切线放缩 25．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的形式构造新函数，根据的形式构造函数，利用导数判断所构造函数的单调性，利用单调性进行运算判断即可. 【详解】构造新函数， 当时，，函数单调递减， 于是由， 所以有， 所以， 构造新函数， 当时，，函数单调递增， 由， 故，所以，故， 故选：D 26．已知，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，，，利用导数求解函数的单调性，即可由单调性求解. 【详解】设函数，则． 当时，，所以在上单调递增，故， 即，所以． 设函数，则，所以在上单调递减，当0时，， 故当时，，即，所以． 设，则，当时，，所以在上单调递增．故当时，，即，所以，则，即． 故选：D． 27．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数先证明不等式恒成立，然后再利用放缩法即可得到大小判断. 【详解】设，则， 所以在上单调递减，又，则，即 则，即． 设，则在上单调递增， 又．所以，即， 所以有， 则 ，即， 综上，． 故选：A． 28．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，先求导，根据导数正负判断单调性，得出单调性，再令，比较. 再构造，求导可知在递增，再令，得到大小即可. 【详解】令，则 ， 令，则，令，则，故在区间内单调递减，在区间内单调递增，故， 即，即，当且仅当时等号成立， 当时，由，得，所以，则，即． 令 ，则， 所以在区间内单调递增，即 ，即， 所以 ，即．故 ． 故选：D． 题型八、泰勒展开式 29．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故 ，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 30．设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的. 31．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 32．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数得到其单调性则比较出，利用指数函数和幂函数以及正弦函数的单调性即可比较出，则最终得到三者大小. 【详解】先变形，令， 下面比较当时，与的大小. ①令，则，令， 得，当时，单调递增， 所以，所以，即，所以. ②，所以，， 所以，则，所以. 综上，， 故选：D. 一、填空题 1．已知函数，若 恒成立，则实数 的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式变形为，对恒成立，构造函数，利用函数单调性可得，即，对恒成立，利用导数求出的最大值得解. 【详解】由恒成立，即，对恒成立， 整理得，对恒成立， 令，易知在上单调递增， 则上式为，则，即， 整理得，对恒成立， 令，则， 可得，，单调递增， ，，单调递减，则， 所以. 故答案为：. 2．若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先将不等式转化为，再构造函数，利用导数求函数的单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，利用函数的单调性即可求得结果. 【详解】因为，所以， 即，令，所以， 又，所以在上单调递增，所以， 即，令，所以， 令，解得，令，解得，所以在上单调递增， 在上单调递减，所以，所以，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要将不等式转化为，再构造函数，利用导数判断单调性进一步将问题转化为恒成立，再构造函数，通过两次构造函数即可求得结果. 二、解答题 3．已知 (1)讨论的单调性 (2)对于恒成立；求的取值范围 (3)设，为函数的两个零点；证明． 【答案】(1)当时，在上为单调递增函数；当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求，讨论和这两种情况，解出的解为的单调递增区间，解出的解为的单调递减区间； （2）由（1）可知：当时，利用的单调性及特殊值可得不成立；当时，由的单调区间得到的最大值为，只需即可，解出这个不等式就是的取值范围； （3）由（1）及零点存在性定理由存在两零点可得，且，故可转化为证明，构造，利用导数法证明，由此证明. 【详解】（1）定义域，； 当时，的解为，则在上为单调递增函数； ，的解为，的解为， 则在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 综上可知，当时，在上为单调递增函数； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. （2）由（1）可知：当时，在上为单调递增函数，， 不满足，故不成立； 当时，在上是单调递增函数，在上是单调递减函数. 则当时，取最大值为，令，解得， 故对于恒成立的的取值范围为. （3）由（1）知，要使函数存在两个零点，则，且其最大值必须大于0， 的最大值为， 令，解得， 则存在两零点，可得， 设，为函数的两个零点，则，， 解得①，②， ①减去②得到， 解得，要证明，只需证明， 设， ， 则在上是单调递增函数，故， 设，，，， ，， ，，，. 4．已知函数. (1)当，求函数的驻点； (2)若函数在为单调增函数，求的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，解，即可得解； （2）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离在上恒成立，结合函数的单调性求出的取值范围； （3）由参变量分离法可知对任意的恒成立，利用导数结合隐零点法求出函数在其定义域上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时 ，则， 令，解得或（舍去）， 所以函数的驻点为； （2）因为， 所以， 又函数在为单调增函数，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则，所以在上单调递增， 所以，即的取值范围为； （3）不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，其中，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为，，故存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以， 因为，则，因为，则， 令，，则， 所以函数在上单调递增， 由可得，故，可得， 所以， 所以，即实数的取值范围. 5．已知，，e是自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间、极值以及对应的极值点； (2)若关于x的方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，若满足，求证：． 【答案】(1)单调区间见解析；当时，取得极小值0，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性，即得函数的极值； （2）依题意将方程有两个不等实根问题转化成函数与有两个交点问题，通过求导判断函数的单调性和极值趋势，作出图象，数形结合即可求得参数范围； （3）先利用求导判断函数的单调性，结合，且，可得，，经等价转化，将待证命题转化成证明，构造函数，求导判断在上单调递增，由得，从而推得，利用的单调性得到即得证. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为，求导得， 由可得，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，取得极小值0，无极大值. （2）由方程有两个不等实根可知，， 依题意，方程有两个不等实根等价于函数与有两个交点. 由，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得极大值， 且当；当，，故可作出函数的图象如下.    由图知，当且仅当时，函数与有两个交点.，故a的取值范围为. （3）因，由，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 因，且，则可得，， 要证，需证， 因，且函数在上单调递减， 则只需证，又， 即需证，即证. 设， 则， 于是， 因，当且仅当 ，即当时，等号成立， 故，即函数在上单调递增，因， 则， 则，即得， 又函数在上单调递减，则，故得证. 6．已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围； (3)若是函数的极值点，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由参数分离整理不等式，并构造函数，利用导数求得新函数的最值，可得答案； （3）根据极值点与导数的关系，可得极值点的取值范围以及等量关系，整理所证的不等式，可得答案. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）不等式， 令，依题意，对任意的恒成立， 而，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以实数m的取值范围是. （3）依题意，，求导得，令， 求导得在上恒成立， 则函数在上单调递增，由是函数的极值点， 得，即，由，则， 所以. 7．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的值； (3)当时，证明：有2个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，，构造函数，求导推得，结合恒成立即得的值； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减， 又，所以当时，，不符合题意； ② 当时，由，得时，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以， 因为，则其等价于，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，因恒成立，故． （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 因为，所以当趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，趋近于，且， 所以有2个零点，故有2个零点． 8．已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上有1个零点，求证：； (3)若在上恒成立，求正整数的最大值. 【答案】(1)的单调增区间为，减区间为 (2)证明见解析 (3)3 【分析】（1）求导函数，判断导数的正负可得解； （2）求导，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可得证； （3）分类参数得出对恒成立，设函数，求导得函数单调性与极值，即可求解正整数的最大值. 【详解】（1）当时，，，则， 令，得，令，得， 所以的单调增区间为，减区间为. （2）由， 当时，由，得， 所以，在上是单调增函数，且图象不间断， 又，所以当时，， 所以函数在区间上没有零点，不合题意. 当时，令，得， 若，则，故在上是单调减函数， 若，则，故在上是单调增函数， 当时，， 又， 所以函数在区间上有1个零点，符合题意．      综上所述，. （3）由在上恒成立，即， 由，则，对上恒成立， 令，则， 设，则， 所以在是单调增函数， 又，， 所以存在唯一的实数，使得， 当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即， 所以， 所以，又，， 所以的最大值为3. 9．定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【详解】（1）由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. （2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②由（1）知，当时，，令， 求导得 ， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 10．已知，． (1)当时，求函数的极小值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)若当时，函数，有最小值，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，进而得到极值即可. （2）将函数单调问题转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. （3）利用隐零点代换得到，将化为一元函数，再求解其值域，进而证明不等式即可. 【详解】（1）由题可知，定义域，， 令，可得，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为． （2）由题意得在上单调递增， 即在时恒成立，即在时恒成立． 令，，则， 可得当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 又时，，所以， 得到，即实数的取值范围是． （3）由题可知，， 令，，则， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得，即，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减，得到，即， 即，故得证. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $