专题03 导数研究极值与最值（专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

专题03 导数研究极值与最值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、由函数的最值求参数 1 题型二、由函数的极值点求参数 2 题型三、由函数的极值个数求参数范围（常考点） 2 题型四、导数研究不等式恒成立问题（难点） 3 题型五、导数研究不等式有解问题（难点） 3 题型六、不等式整数解问题 4 题型七、极值与最值综合问题（难点） 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、由函数的最值求参数 1．（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解． 【详解】当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故时，取得最小值， 解得，． 故答案为：3． 2．已知函数的最小值为0，则a的值为 . 【答案】/0.5 【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值. 【详解】由，且， 令，则，即在上递增， 所以在上递增，又，，，， 所以，使，且时，， 时，，所以在上递减，在上递增， 所以 由，得， 令函数，， 所以在上是增函数，注意到，所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组，消a得到关于的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得. 3．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，结合题中条件得即，解不等式即得答案 【详解】因为， 因为函数，在上单调递增， 所以题中问题等价于即解得， 故选：D. 4．（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）先对求导得到，再结合参数范围讨论导函数正负，进而得到原函数单调性即可. （2）由（1）的信息，按分段讨论函数的单调性，进而确定最小值，列式求解并判断. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 因为，所以， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，，， 若，则，，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，，解得，不符合题意； 若，则，，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，解得，不符合题意； 若，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，解得， 所以. 5．（23-24高二下·上海·月考）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是和； (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）根据（1）的单调性，计算端点值和极值，根据最小值求实数的值. 【详解】（1），令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）根据（1）的结果，得到如下表， (-3,-1) (-1,3) (3,4) 4 0 0 9+a 单调递减 +a 单调递增 9+a 单调递减 +a 如表可知，的最小值为，得. 题型二、由函数的极值点求参数 6．已知是函数的极大值点，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数的单调性，结合极大值点的定义可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则， 由可得或， 因为函数在处取得极大值，分以下几种情况讨论： 当时，即当时，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 此时函数在处取得极小值，不合乎题意； 当时，即当时，对任意的恒成立， 此时函数在上单调递增，无极值点，不合乎题意； 当时，即当时，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 此时，函数在处取的极大值，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是 . 【答案】4 【分析】由题意求出函数的解析式，然后利用导数分析单调性求解极值即可. 【详解】定义域为， ， 由题意得， 故， 令得，或，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值为. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海·期中）若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，从而确定的具体范围即可. 【详解】 ，则， 令， . ①当时，恒成立，即在上单调递增， 所以当时，则，当时，则， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意； ②当时，恒成立，即在上单调递减， 当时，则，若时，则， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，不符合题意； ③当时，使得，即， 但当时，即，在上单调递减， 故，即在单调递减，不符合题意. 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海·月考）函数在处有极值，则该函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，求出，再令，即可求得函数的减区间. 【详解】， ∵在处有极值，∴，解得， 令，解得， ∴该函数的单调减区间是． 故答案为： 10．（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 【答案】 【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值. 【详解】由题意得，， 因为是函数的极大值点， 所以有， 解得或. 又当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极小值点，不符题意； 而当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极大值点. 故答案为：. 题型三、由函数的极值个数求参数范围（常考点） 11．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 12．（24-25高三上·上海·月考）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求定义域，求导，依题得到在区间上有两个不相等的实根，由根的判别式和韦达定理得到不等式组，求得，化简并计算得到，构造，，求导得到函数单调性，即可推得所求式的范围. 【详解】由，可得 由题意得方程在区间上有两个不相等的实根， 故解得， 又 . 设，则， 故在上单调递增，则， 即的取值范围是. 故答案为：. 13．已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可. 【详解】因为函数，所以， 令，由题意得在上2个解，， 故，解得：； 故答案为：. 14．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 15．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可得，令，则直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数在上有两个极值点， 所以在上有两个变号零点， 因为，令，即，可得， 令，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数在上图象， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知， 当或时，，此时， 当时，，此时， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增， 此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查极值点问题.根据题意函数在上有两个极值点，转化为在上有两个变号零点，即，即有两个不同的根，即直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可判断求解. 题型四、导数研究不等式恒成立问题（难点） 16．（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数不等式恒大于等于零，通过判别式可求得参数范围，再利用分离参变量来求不等式恒成立的参数范围，最后可得充分条件是，接下来分析必要性，即对的补集范围进行分类讨论，利用二次不等式的最小值小于0，来分析此时的，从而找到矛盾，最后可得充要条件是. 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 17．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题得在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】由在定义域上恒成立，即在上恒成立， ，对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； ，即， ，即的取值范围为. 故答案为：. 18．（25-26高三上·上海浦东新·期中）对任意满足的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知在内单调递增，且当且仅当时，，对可得，令，利用导数判断其单调性和符号，结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】由题意可知：，且， 则，可知在内单调递增， 构建，， 可知在内单调递减，且， 当且仅当时，， 对于不等式， 1.当时，不等式恒成立，； 2.当时，可得， 构造，， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 若，则，可得，即； 若，则，可得，即； 又因为， 可知在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， 为了保证连续性，规定， 构造，即， 且. （1）若，则，符合题意； （2）若，则在定义域内单调递增， 且当趋近于0时，均趋近于； 当趋近于时，均趋近于； 则在定义域内均存在唯一零点，分别设为， 由前述分析可得，原题意等价于，则， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若有两个极值点a，b，且恒成立，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求导，由题意得是方程的两个解，即是方程的两个根，得，由得，即，利用对勾函数即可求解. 【详解】令， 则是方程的两个解，也即方程的两个根． 所以有且， 等价于，解得 易知， 而 ， 所以 故答案为： 20．（24-25高二下·上海·期末）已知：函数在处取得极值，其中为常数.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】. 【分析】利用求导，根据已知极值，可知导数值为，由此可解得参数，，再利用不等式恒成立，只需要满足最小值成立即可得，从而问题可得解. 【详解】由题意知，因此，从而. 又求导得， 又由题意可知，因此，解得； 故.令，解得. 1 0 + 极小值 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为； 所以在处取得极小值，此极小值也是最小值. 要使恒成立，只需.即， 从而.解得或. 所以的取值范围为. 故答案为： 题型五、导数研究不等式有解问题（难点） 21．已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为，即可利用二次函数的性质，以及导数求解函数最值即可. 【详解】对，使得等价于： 当时，， 因为在上单调递增， 所以，而， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 由，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 22．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为，求导，得到，从而得到答案. 【详解】不等式在上有实数解，即在上有实数解， 只需， ，， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 故答案为： 23．若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为在上有解,即，令, 构造函数和，利用导数研究单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的不等式在上有解， 则在上有解, 即， 令,则， 设，则， 所以在上单调递增，则，所以， 则 令，解得：， 令，解得：，则在上单调递增， 令，解得：，则在上单调递减， 所以， 则， 故选：C 24．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据单调性可确定最小值点，由此可得最小值； （2）将问题转化为，令，利用导数可求得的单调性，由此可求得，进而得到结果； （3）将问题转化为，根据单调性可求得，分离变量可得，令，利用导数可求得单调性，进而求得最小值，由此可得取值范围. 【详解】（1）由题意知：； 与在上均为增函数，在上单调递增， . （2）当时，由得：， 若存在，使得成立，则； 令，则， 当时，，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. （3）由得：， 若对于任意的，总存在，使得成立，则； 在上单调递增，，，， 当时，，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， ，即实数的取值范围为. 25．已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】 条件描述 等价最值关系 对任意，存在，使 对任意，任意，使 存在，存在，使 存在，任意，使 题型六、不等式整数解问题 26．若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将存在唯一的整数，使得，即，转化为在图像上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，利用导数判断函数的单调性，作出其大致图像，数形结合，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】，，因为存在唯一的整数，使得，即， ，当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值也是最小值，，作出其大致图像如图： 是斜率为，恒过定点的直线， 当，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意，故， 又，，， 此时需满足在图像上只有一个横坐标为整数的点在直线下方， 则需满足，解得. 故选：C 27．若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数导数与函数单调性的关系，以及直线过定点的概念，作出函数图像，对参数进行分类讨论，列出不等式组，求出结果. 【详解】由题意可得，即有唯一整数解， 可知恒过， 设函数，则， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 可知，， 当时，且， 当时， ， 则函数和函数图像如下图所示， 若，由函数图像可知，恒成立，则必有无数个整数点，不满足； 故，若在轴右边有整数解，只能是成立，不成立， 即，即， 若在轴左边有整数解，只可能在成立，不成立， 即，即， 所以实数a的取值范围为. 故选：B． 28．当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式转化为不等式，构造函数，求导确定函数的单调性，从而根据不等式整数解的个数列不等式即可得实数的取值范围. 【详解】当时不等式等价于： 设， 则， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以有两个正整数解2和3，则，解得， 故实数的取值范围是． 故选：C. 29．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，把问题转化为存在唯一的整数，使得在的下方，然后利用导数结合数形结合思想求解即可. 【详解】函数，其中，设，，．因为存在唯一的整数，使得， 所以存在唯一的整数，使得在的下方，因为， 所以当时，，当时，，所以当时，． ①如图1所示，要求：，即，解得：． ②如图2所示，要求：，即，及，解得． 综上可得，实数a的取值范围为：． 故选:D 30．设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，不满足条件；当时，转化不等式构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性及最值，根据图象列出唯一整数解的约束条件，解不等式组即可. 【详解】当时，，舍去； 当时，令，得， 设，得，令得，， 当时，；当时，， 所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去； 当时，得， 数形结合只需：，解得； 综上.    故答案为： 【点睛】解题关键是转化不等式并构造辅助函数. 题型七、极值与最值综合问题（难点） 31．（24-25高二下·上海青浦·期末）定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. (1)判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； (2)若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; (3)若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 【答案】(1)具有“对称互补”关系，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据函数新定义计算求解判断即可； （2）先求出导函数结合函数单调性计算求出参数范围； （3）构造函数求出导函数结合函数单调性计算极大值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意得： ， ， 所以具有“对称互补”关系； （2）由题知：在上有唯一解； 令 当，此时单调递增； 当，此时单调递减； 所以在处取得极大值为， 所以或 所以或 （3）由题知：在无解； 当时，无解； 所以 令 所以 当时，，在单调递增，此时 当时，，在单调递增； 当，，在单调减； 所以当时，在处取得极大值为，此时 综上， 所以 32．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令 ，解得 或 ，再求，分别代入求解即可； （2）求出，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论即可得到答案. （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，可得，结合导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论. 【详解】（1），令，解得或， 由 或；由 . 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. （2）因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 在上严格递增， 当 时，，所以 在上严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点， 所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得， 即时 ， 由最大值的定义且 可导，且，， 因为当，，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ，所以 ， 但 ，而 ，这与 矛盾， 因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得， 即 33．已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为0，求； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先求导，根据的情况分类讨论，求函数的极小值，令讨论单调性即可求解； （2）由恒成立，得，令，利用导数研究单调性求最小值即可求解. 【详解】（1）因为， 当时，，所以函数无极值， 当时，，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 令，所以， 由有，有， 所以在单调递增，在单调递减，且， 所以. （2）因为不等式恒成立，即，得， 即. 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 34．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数，（b为常数）． (1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； (2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 【答案】(1)或1； (2)0 (3)2. 【分析】（1）利用导数求出函数的图象在点处的切线方程，再由直线与函数的图象相切求出的值. （2）求出函数在上的最值，再由能成立求出范围. （3）根据给定条件变形不等式并构造函数，利用导数探讨单调性，进而求出. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此函数的图象在点处的切线方程为， 由直线与函数的图象相切，得有两个相等的实根， 方程中，，解得或， 所以实数b的值为或1. （2）当时，，，求导得， 函数在上单调递减，， 由存在使得成立，得， 而，即，则， 所以最大整数M的值为0. （3）由，不妨设， 而函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递减，则， 不等式， 即，令， 依题意，，成立，因此函数在上单调递增， 则，成立，即在上恒成立， 而函数在上单调递增，当时，，因此，而， 所以. 35．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）求出导数，再利用“超导函数”定义判断即可. （2）求出的导数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即得. （3）构造函数，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则， 所以是“超导函数”. （2）函数，求导得， 则， 由函数与都是“超导函数”，得， 由对任意，都有，，得， 因此，即， 所以函数是“超导函数”. （3）由函数是“超导函数”，得对任意，， 令，求导得，函数在上单调递减，且， 由，得，即， 因此，即，令， 由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以的取值范围或. 一、单选题 1．（2025·上海静安·一模）已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（     ） A．结论①和②均正确 B．结论①正确，结论②错误 C．结论①错误，结论②正确 D．结论①和②均错误 【答案】B 【分析】①求导，分和讨论函数单调性，再结合零点问题确定参数范围即可；②令，求导，根据单调性即可判断． 【详解】①， 当时，因为，所以，即，在定义域内单调递增； 当时，由； 由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在定义域内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，在内单调递增，且注意到，因此在区间上无零点； 当时，由可得仅有一解， 所以仅有一解， 令，则直线与的图象仅有一个交点， 因为，且直线过点， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，， 所以 ，结合 ，则的取值范围为 . 结论①正确 ②由题，，记上式为 ， 由，则 ， 所以函数 在定义域内单调递减，因此 ，仅有一个解，至此可以判断结论②错误． 注意到待求方程 ，对中含的部分单独考察，即 ， 其中关于的多项式的解为 或（舍去）， 因此时可消去. 当 时，有，满足题意； 综上，原方程的解为． 故选：B． 2．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证是否成立即可得出结果.根据指数的运算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程的根可判断选项C；根据题意令，整理得 ，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而否定D. 【详解】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为函数的导函数为， 所以， 而， 所以，，故选项B错误； 对于选项C：因为函数的导函数为， 所以. 令，解得：，， 即存在实数，使得成立， 所以函数具有性质，故选项C正确； 对于选项D：因为函数的导函数为， 所以. 令，显然，化简得：. 下面证明方程（*）无解. 当时，，方程（*）无解 当时，，而： 令，， 则，所以单调递减. 又因为，所以，即，所以. 综上，方程(*)无解. 所以不存在实数，使得成立，故选项D错误. 故选：C. 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·月考）若函数的图象上点与点、点与点分别关于原点对称（以上4点不重合），除此之外，函数的图象上不存在其它两点关于原点对称，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】点关于原点对称的点的坐标是，根据此可列出等式，进而化简成，进而问题就变成该方程有两个不同的解的问题，构造新函数，求导判断单调性求出最值，进而可求出结果. 【详解】设，图象上的点关于原点对称的点为， 则在的图象上，所以， 函数的图象上点与点、点与点分别关于原点对称， 即有两个不同解，得到有两个不同解. 令，求导得. 令，则. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值为. 又；当时，， 所以的值域为. 所以要使得方程有两个不同解，即直线与图象有两个交点， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海·期末）已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分别设出直线与两曲线的切点坐标，写出切线方程；再根据直线与两曲线都相切，列出方程组，整理得出；最后构造函，利用导数判断函数的单调性，求出最值，得出函数的值域，从而求出的取值范围. 【详解】设直线与曲线相切于点. 由可得：， 则直线的斜率为：， 直线的方程为：，即. 设直线与曲线相切于点. 由可得：， 则直线的斜率为：， 直线的方程为：，即. 因为存在直线与曲线和曲线都相切， 所以，整理得：. 令， 则， 令，解得：或；令，解得：或； 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 又因为，， 当时，， 所以函数的值域为， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，，，，使恒成立的有序数对有 对． 【答案】 【分析】只需恒成立，设当和时，求出函数的最小值即得解. 【详解】由题得函数定义域为， 要想恒成立， 只需恒成立， 只需恒成立， 设， 所以当时，， 令，解得或，令，解得, 又,所以在上单调递减，在上单调递增， 则，使恒成立的b可取1； 所以当时，， 令，解得或，令，解得, 又,所以在上单调递减，在上单调递增， 则，使恒成立的b可取1，2，3， 所以一共有共4种. 故答案为：4. 6．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，下列命题：的增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于x的不等式恒成立，则k的最大值为1.其中正确的命题是 . 【答案】①③④ 【分析】利用导数分析单调性可得①正确；由图象可得②错误；由极值结合函数的图象可得③正确；当时，分离参数后构造函数求导，当结合复合函数的单调性可得④正确. 【详解】对于①，当时，则， 令，所以在上单调递增， 令，所以在上单调递减； 当时，则， 令，解得，在上单调递增， 令，解得，在上单调递减， 综上可得的单调递增区间是和，故①正确； 对于②，当时，；当时，； 当时，，当时，； 又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，上单调递减。 作出函数的图象如下：    所以函数有两个零点，故②错误； 对于③，，结合图象可得不等式的解集为，故③正确； 对于④，当时，不等式恒成立等价于即恒成立， 令，，则， 令可得，所以当时，，为递减函数； 当时，，为递增函数， 所以，即， 当时，不等式恒成立， 当时，， 当时，由简单复合函数的单调性可得；当时，，此时即可； 综上的最大值为1，故④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题 7．（2025·上海长宁·一模）已知． (1)求函数的驻点； (2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围： (3)定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数定义域，根据驻点定义求解即可； （2）先根据函数推出，再根据参变分离确定参数范围即可； （3）根据题意可得，再由题意可得，则，令，求导，利用导数求函数最值即可． 【详解】（1）函数定义域为，， 令，解得， 所以函数的驻点为； （2）， 则， ， ， 又关于的方程在区间内有解， 所以在区间内有解， 即， ，， ， 即， 解得； （3）由题意可得， 则， 即， 又是增函数， 由（1）知在单调递减，在单调递增， 又，且存在实数，使得， 所以不单调，，解得， 即在单调递增，在单调递减，在单调递增， ，又， ， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 故， 即实数的最小值为． 8．（2025·上海奉贤·一模）记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． (1)若函数与存在“点”，求实数的值； (2)证明函数与不存在“点”； (3)已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，理由见解析. 【分析】（1）求导，设“点”为，解方程组，可得结论． （2）假设存在“点”为，解方程组，应用等式无解可得结论； （3）设“点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围即可求解. 【详解】（1）设 ，，则 ，， 由题意得： 需同时满足：，故， 所以， 得，所以 . （2）由题意 需同时满足：， 令， 函数有，函数，有， 令，所以得， 因为，所以无解， 故函数与不存在“点”； （3）对任意的，存在，使得函数和在区间内存在“点”. 设，，则，， 函数与在区间内存在“点”， 则 且需同时满足：，即， 得：且， 联立得：， 因为， 所以， 由 得： ， 又因为，所以，解得， 此时，当，所以， 当，设，， 故在为增函数，且，而时，， 故对于任意，总存在，使得， 令， 求导得， ， 故函数在 单调递增，故， 所以存在满足题意； 所以存在，使得函数和在区间内存在“点”. 9．（2025·上海崇明·一模）已知函数，其导函数是．对于任意，记曲线在点处的切线方程为．定义集合． (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明：若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得在处的切线方程，得到，由，得出，即可求解； （2）求得点和处的切线方程，得到和，结合题意，化简得到，由，得到，转化为证明，即可得证； （3）求得，得到的解集为，令，求得，分和，两种情况讨论，求得其单调性和极值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则且可得， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又由，可得，解， 解得或，所以或. （2）解：因为函数是偶函数，所以，且， 则在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为， 即， 又因为且，所以， 因为，则，即， 要证明，即证明， 因为， 所以，即. （3）解：由函数，可得， 当时，可得， 所以切线方程为，即， 因为集合，所以的解集为， 即的解集为， 令，则的解集为，且， 又由， 若，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，满足的解集为； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，，则不满足的解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 10．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知连续函数和，设，集合． (1)若指数函数的图像过点，且，求； (2)若，，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围，并判断是否属于，请说明理由； (3)若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是．求证：“”的充要条件是“”． 【答案】(1) (2)，； (3)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数的解析式代入计算求解得出，再解指数不等式得出； （2）构造函数，再根据导数得出函数单调性及极值，结合新定义得出即； （3）根据充分条件及必要条件定义应用导数结合切线及单调性计算证明即可. 【详解】（1）设，由题意可知，则， 所以， 由，得， 即； （2）因为，所以， 设，因为，所以在上是增函数， 所以，又因为在区间上存在极值点， 所以，解得，由得，则， 所以， 因为，所以，所以，即； （3）已知，则当时，， 因为是连续函数且，所以， 所以是得一个极大值点，故， 又，于是， 所以函数在处的切线方程是． 代入化简得，即，充分性成立； 已知，又函数在处的切线方程是， 即， 于是，所以，， 因为，又因为函数是上的减函数， 所以函数是上的减函数， 当时，， 所以是在上单调递减，则， 当时，， 所以是在上单调递增，则， 所以，必要性成立； 综上，“”的充要条件是“”． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数研究极值与最值 目录 A题型建模・专项突破 题型一、由函数的最值求参数 1 题型二、由函数的极值点求参数 2 题型三、由函数的极值个数求参数范围（常考点） 2 题型四、导数研究不等式恒成立问题（难点） 3 题型五、导数研究不等式有解问题（难点） 3 题型六、不等式整数解问题 4 题型七、极值与最值综合问题（难点） 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、由函数的最值求参数 1．（2024·上海静安·二模）已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为 ． 2．已知函数的最小值为0，则a的值为 . 3．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期中）已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 5．（23-24高二下·上海·月考）已知函数 (1)求的单调增区间和单调减区间 (2)若在区间上的最小值为，求实数的值 题型二、由函数的极值点求参数 6．已知是函数的极大值点，那么的取值范围是 . 7．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是 . 8．（24-25高二下·上海·期中）若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是 . 9．（24-25高二下·上海·月考）函数在处有极值，则该函数的单调减区间是 ． 10．（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 题型三、由函数的极值个数求参数范围（常考点） 11．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 12．（24-25高三上·上海·月考）已知函数有两个极值点，则的取值范围是 . 13．已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为 . 14．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 15．已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 题型四、导数研究不等式恒成立问题（难点） 16．（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是 ． 17．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若在定义域上恒成立，则的取值范围是 ． 18．（25-26高三上·上海浦东新·期中）对任意满足的实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知函数，若有两个极值点a，b，且恒成立，则实数t的取值范围为 ． 20．（24-25高二下·上海·期末）已知：函数在处取得极值，其中为常数.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 题型五、导数研究不等式有解问题（难点） 21．已知函数.若函数对，使成立，则实数a的取值范围是 . 22．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知函数，若关于x的不等式在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 23．若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知函数，，. (1)求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 25．已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六、不等式整数解问题 26．若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．当时，关于的不等式仅有两个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是 . 题型七、极值与最值综合问题（难点） 31．（24-25高二下·上海青浦·期末）定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. (1)判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； (2)若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; (3)若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 32．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 33．已知函数. (1)若存在极小值，且极小值为0，求； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 34．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数，（b为常数）． (1)函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数b的值； (2)若，，存在使得成立，求满足上述条件的最大整数M； (3)当时，若对于区间内的任意两个不相等的实数，都有成立，求b的取值范围． 35．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 一、单选题 1．（2025·上海静安·一模）已知函数；现有下述两个结论： ①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是； ②若，则方程的解为； 则下列说法正确的是（     ） A．结论①和②均正确 B．结论①正确，结论②错误 C．结论①错误，结论②正确 D．结论①和②均错误 2．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高三上·上海·月考）若函数的图象上点与点、点与点分别关于原点对称（以上4点不重合），除此之外，函数的图象上不存在其它两点关于原点对称，则实数的取值范围为 . 4．（24-25高二下·上海·期末）已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是 . 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知，，，，使恒成立的有序数对有 对． 6．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，下列命题：的增区间是和；②有三个零点；③不等式的解集为R；④关于x的不等式恒成立，则k的最大值为1.其中正确的命题是 . 三、解答题 7．（2025·上海长宁·一模）已知． (1)求函数的驻点； (2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围： (3)定义，设，若存在实数，使得，求实数的最小值． 8．（2025·上海奉贤·一模）记，分别为函数和的导数，存在，满足且，则称为和的一个“点”． (1)若函数与存在“点”，求实数的值； (2)证明函数与不存在“点”； (3)已知函数，，对任意的，判断是否存在，使得函数和在区间内存在“点”，请说明理由． 9．（2025·上海崇明·一模）已知函数，其导函数是．对于任意，记曲线在点处的切线方程为．定义集合． (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明：若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围． 10．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知连续函数和，设，集合． (1)若指数函数的图像过点，且，求； (2)若，，且在区间上存在极值点，求实数的取值范围，并判断是否属于，请说明理由； (3)若的导函数是上的严格减函数，，且函数在处的切线方程是．求证：“”的充要条件是“”． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $