专题02 导数研究单调性（专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

专题02 导数研究单调性 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求已知函数的单调性 1 题型二、含参单调性的讨论（常考点） 2 题型三、由函数在区间上的单调性求参数（重点） 2 题型四、由导函数构造原函数解抽象不等式（难点） 3 题型五、由函数的单调性解抽象不等式（重点） 3 题型六、由函数的单调性比较大小（重点） 4 题型七、构造函数比较大小（难点） 4 题型八、单调性的综合应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求已知函数的单调性 1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数，其中，则的单调增区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，然后对函数求导，由导数大于零可求得函数的递增区间 【详解】定义域为， 由，得， 由，得或， 又函数的定义域是， 所以，即的单调增区间为. 故选：B． 2．（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为. 【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间. 【详解】由题可得：的定义域为， 则 由，得，解得或， 由，得，解得， 单调递增区间为，单调递减区间为. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 则，所以在点处的切线方程为，即； （2）函数定义域为， 且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 4．（23-24高二下·上海·期中）若，则的减区间是 ． 【答案】 【分析】令，解一元二次不等式即可得解. 【详解】，令，解得， 从而的减区间是. 故答案为：. 5．（23-24高二下·上海松江·期中）函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】由导数，即可解得. 【详解】因为，所以， 由可得，所以函数的严格增区间是. 故答案为：. 题型二、含参单调性的讨论（常考点） 6．（25-26高三上·上海·开学考试）已知为常数，函数． (1)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析，理由见解析； (2)函数在上严格单调递增，在上严格单调递减． 【分析】（1）根据、两种情况分类讨论，结合奇偶函数的定义即可求解； （2）求出，再进一步求出和的范围即可求解． 【详解】（1）记，定义域为， ①当时，， 因为，故函数为偶函数， ②当时，， 取，因为且， 即且，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数． （2）， 因为，所以当时，， 当时，， 所以函数在上严格单调递增，在上严格单调递减． 7．已知函数．讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】把导函数转化为复合的一元二次方程，通过一元二次方程是有一个正根或两个正根或没有正根来讨论导函数的正负区间，从而来判断原函数的单调性； 【详解】，则， 令，，则， 因，故， 当，即时，，则在上单调递减； 当时，令，，，，，， 在和单调递减，在单调递增; 当时，，，则在上单调递增，在单调递减; 综上所述，当时，则在上单调递减， 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减. 8．已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求导得，分和两种情况讨论，分别得到单调区间； 【详解】定义域，， ①当时，，在上单调递减， ②当时，令得， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 9．已知函数. (1)若，求实数的值; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）借助导数运算即可求解； （2）求导，判断导数的符号，令导数大于0，求单调递增区间；令导数小于0，求单调递减区间. 【详解】（1）， 因为， 所以. （2）函数的定义域为. ， 当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令解得， 的解集为， 的解集为， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 10．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数． (1)当时，求函数的图像在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：当时，． 【答案】(1). (2)见解析. (3)见解析. 【分析】（1）当时, ，求出，，即可写出点处的切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调区间. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【详解】（1）当时, ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：. （2）由得， 当时，恒成立，则在R上单调递减； 当时，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述， 当时， 在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设 则， 令得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以得证， 即得证. 题型三、由函数在区间上的单调性求参数（重点） 11．（25-26高三上·上海·期中）若函数为上严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的性质列出不等式组并求解即可. 【详解】由于函数为上严格增函数， 令，则在时单调递增，令， 即在时恒成立，只需， 从而要使函数为上严格增函数，需满足，解得. 故答案为：. 12．若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由题意转化为导数小于0有解，利用判别式求解即可. 【详解】求导可得， 由题意，有解， 所以只需，解得或， 故实数的取值范围是或. 故答案为：或. 13．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解. 【详解】∵，∴. 当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， ∵函数在上不单调，∴，解得. 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海松江·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题. 【详解】由于函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即恒成立， 由在上单调递增，则， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15．若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】求出，由已知可得在有解，即在有解，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为， 而时，函数存在单调减区间， 所以在有解， 即有解， 因为，所以，即在有解， 又因为，所以，所以． 故答案为： . 题型四、由导函数构造原函数解抽象不等式（难点） 16．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可. 【详解】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C 17．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 18．函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，设，， 则； 由已知当时，，则有， 即在上单调递增， 又，变形可得， 即， 又函数在上单调递增， 则有， 解得：， 故选：B． 19．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到其定义域，奇偶性，求导得到其单调性，从而分和两种情况，得到不等式解集，求出答案. 【详解】令，的定义域为，故的定义域为， 则， 当时，，故在上恒成立， 故在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故， 所以， 所以为偶函数，，则，故 在上单调递减， 当时，，即， 由于在上单调递增，故， 当时，，即， 由于在上单调递减，故， 则不等式的解集为. 故选：D 20．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结合单调性求解自变量的范围. 【详解】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C 题型五、由函数的单调性解抽象不等式（重点） 21．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数解析式直接判断函数的单调性，可得再构造函数，利用导数判断的单调性，进而利用单调性求解不等式即可. 【详解】的定义域为，且在内单调递增，则 令，则， 因为在上恒成立， 所以在内单调递增， 又，所以， 所以解集为. 故答案为：. 22．已知函数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出函数的对称轴，判断出单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】， 令，则，， 所以， 所以为偶函数， 故的图象关于直线对称，所以， 又， 当时，，即，所以，即， 所以在上单调递增，由对称性可知，在上单调递减. 所以等价于或， 解得，或，又，所以或. 故实数的取值范围为. 故答案为：． 23．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析其单调性，最后根据函数单调性，求解不等式即可. 【详解】由题意，已知，其定义域为， 则，所以为奇函数， 又，故在，上单调递增， 又因为，所以或， 解得或，故不等式的解集为. 故答案为： 24．设函数，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据题意得到为奇函数，再利用导数得到在上为增函数，再根据单调性求解不等式即可. 【详解】，定义域为， 因为， 所以为奇函数. 因为，所以在上为增函数. 所以， 即，解得. 故答案为： 25．已知函数，若直线与曲线有交点且，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求导，确定在与上单调递增，在上单调递减，再结合函数的奇偶性，求解即可. 【详解】定义域为，易知是奇函数，， 所以，，，且， 所以且， 因为， 所以， 时，，或时，， 所以在与上单调递增，在上单调递减， 则 ，且， 当时，， 需满足：，即， 又且， 所以 因为，所以时，，时，， 当时，， ，，成立． 当时，，，且， 由得，不等式不成立． 综上，a的取值范围是． 故答案为： 题型六、由函数的单调性比较大小（重点） 26．已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性，再通过比较自变量的大小即可求解. 【详解】，， 当时，，，则， 在上单调递增， ，，即. 故答案为：. 27．已知函数，若，，，则，，三个数中最大的是 ，最小的是 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得该函数关于对称，且在上单调递增，则只需比较、与与的差的绝对值的大小即可得. 【详解】， 则， 又定义域为，故关于对称， 当时，由， 由、都在上单调递增， 且在上单调递增，故在上单调递增； 由，，则，故，故， 又，故； 令，则，故在上单调递增， 则，则， 又，故， 由，则，即； 故有， 则， 即，即，，三个数中最大的是，最小的是. 故答案为：，. 28．已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】借助导数，研究函数的单调性，利用指数函数和对数函数的性质得到三个数所在的范围，即可借助单调性比较出的大小，进而求出. 【详解】因为， 其， 所以恒为负，所以函数在上单调递减. 因为，所以， 因为，又因为，所以， 而，即，所以. 因为在上单调递减，，所以， 即， 因为函数在上单调递减， 所以， 即，所以. 故答案为： 29．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造新函数判断其单调性，再利用奇函数性质及单调性比较函数值大小. 【详解】设，因为， 所以在上是增函数， 又因为函数是奇函数，，所以，， 所以，当时，，所以； 当时，，， 又因为，所以在上是增函数， 所以， 因为，所以， 所以. 故选A． 30．已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数，指数函数单调性可比较大小，然后由单调性可得答案. 【详解】注意到，，，则. 当，易得在R上单调递增. 则，从而在上单调递增，则. 又注意到当时，在上单调递减，则. 综上可得. 故选：B 题型七、构造函数比较大小（难点） 31．设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得. 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以. 故选：B. 32．已知正数x，y，z满足 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出并变形得，再构造函数，利用导数确定单调性即可比较大小. 【详解】由，得， 则，令函数， 当时，求导得，函数在上单调递减， 因此，而，则， 所以. 故选：B 33．若，，，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据对数运算法则，对题干条件进行恒等变形，根据变换结果构造函数，根据函数单调性比较数值大小. 【详解】因为，，， 所以令，，则，，， 可知， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减； 因为，所以，即． 故答案为：. 34．已知，，，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】令，，利用导数分析该函数在上的单调性，可得出、的大小关系；利用作差法结合辅助角公式可得出、的大小关系，可判断、的大小关系.即可得出结论. 【详解】令函数，， 则由余弦函数性质得恒成立， 故函数在定义域上是增函数， 所以当时，，则， 于是，即；当时，， 则， 所以，而， 于是，即．综上可得． 故答案为： 35．设，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“”连接） 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究单调性比较，构造函，利用导数研究单调性比较，进而得到答案. 【详解】令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即，所以. 令函数，则，在恒成立， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以，综上，结论为. 故答案为：. 题型八、单调性的综合应用（难点） 36．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得的曲线是某个函数的图象，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知直线与的图像至多只有一个交点，从而可得至多只有一根，即函数在定义域上单调，求导，分情况讨论函数的单调性可得参数范围. 【详解】由题意可知，直线与的图像至多只有一个交点， 即，即至多有一个根， 令，则在上单调， 则， 当时，则，在上单调，满足要求； 当时，设，则， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 即， 由知，，当时，， 所以在上有正有负，所以函数在上不单调，不符合题意； 当时，设，则， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即，即， 又时，，所以由函数在上单调，知， 解得，又，即； 综上所述，， 故答案为：. 37．方程的实数解的个数为 ． 【答案】 【分析】构造函数，则方程的实数解个数等价于的实数根个数，借助导数求出函数的单调性，即可得出结果. 【详解】设， 因为 ，所以是偶函数， 当时， 因为，所以时，恒成立. 因此，在上单调递增. 因为； . 由单调性可知，在上有且仅有一个零点. 因为是偶函数，图像关于轴对称， 所以时也有一个零点. 因此共有个实数根. 综上，方程的实数解个数为. 故答案为： 38．已知函数，，用表示a，b中的较小值，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求出函数只有一个零点为，接着利用导数分和两种情况分析函数的性质，再结合题设条件得到且即可求解. 【详解】令，故函数只有一个零点为， 由题， 当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 则，所以函数无零点， 则此时函数至多只有1个零点为，不符合题意； 当时，令得（舍去）或， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故至多有两个零点， 因为函数有三个不同的零点， 则有两个零点，且为函数的三个不同的零点， 则，， 且， 故实数的取值范围为为. 综上，函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为. 故答案为：. 39．若曲线与曲线的图象上分别存在不同的两点 使得两曲线分别在两点处的切线重合，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设点在曲线上的坐标为，点在曲线上的坐标为，分别利用导数意义求得曲线在点处的切线方程和曲线在点处的切线方程，进而可得，从而可得，，进而求导可得的取值范围. 【详解】设点在曲线上的坐标为，点在曲线上的坐标为， 由，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 因为两点处的切线相同，故，由，得， 将代入，可得， 所以，所以，因为，所以， 又，所以，所以， 所以，令，所以， 又，所以，所以在上单调递减， 又当且时，，又当，， 所以的取值范围为. 40．已知函数且，给出下列结论： ① ② ③ ④当时， 以上四个结论中不正确的序号为 【答案】②③ 【分析】对于①：构建，结合单调性分析判断；对于②：构建，利用导数判断其单调性，结合单调性分析判断；对于③④：利用导数判断的单调性，结合单调性分析判断． 【详解】对于①，令，则在上单调递增， 由，可得，即， 所以，故①正确； 对于②，令，， 由可得；由可得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，即，故②错误； 对于③，因为， 在上，，单调递减； 故当时，， 所以，故③错误； 对于④，因为时，，所以单调递增， 由①可知，， 即，故④正确． 故答案为：②③. 一、单选题 1．（23-24高三上·上海浦东新·月考）对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列3个函数，则存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据函数新定义、二次函数、指数函数、对数函数、导数等知识对函数进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①当时，，满足条件， 且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有一个. ②为函数的“可等域区间”. 当时，，函数单调递增， 满足条件，∴取值唯一，满足条件. ③∵单调递增，且函数的定义域为， 若存在“可等域区间”，则满足，即， 且，∴是方程的两个根. 设. 由，得，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， ， ∴不可能存在两个解，故不存在“可等域区间”. 综上所述：存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为①②，2个. 故选：C 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 2．（2024·上海虹口·二模）已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题： ①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有. 则下列判断正确的是（    ） A．①②都是假命题 B．①②都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 【答案】B 【分析】对于①，根据不等式，构造函数，然后利用函数的单调性证明即可；对于②，根据函数的值域和单调性，结合不等式求解即可. 【详解】，故在上递增， 对于①，设，， 设， ，， 单调递减，单调递增， ，即， ，即， 故，故①是真命题. 对于②，由①知，， 即， ，故. 且在上递增，故， ， 故的值域为 所以， 即，故， ②是真命题. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题①判断的关键是首先根据导数和函数单调性的关系得到在上递增，再构造函数，利用导数得到其单调性，最后得到，则可判断①. 3．（2025·上海·三模）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】C 【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D. 【详解】设直线，联立， 得， 则由，即， 解得（负值舍去），故A正确； 可得，， 所以，故B正确； 因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则， 可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图形，求出过原点且与函数的图象相切的直线的方程，以及函数的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出的取值范围. 【详解】当时，，则，函数在上为增函数， 当时，由，得，即， 作出函数的图象如下图所示： 设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，切点为， 则切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得， 即，令函数，其中，则， 函数在上单调递减，且， 由，解得，则， 而函数的渐近线方程为， 设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为， 则， 结合图形可知，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数的图象相切的直线的方程以及函数的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解. 5．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解. 【详解】设，则方程有个根， 即有个根， ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 设，令得， 当时，，， 当时，，， 在上单调递增，在上单调递减， 作出与的大致函数图象如图所示： 由图象可知方程的解个数可能为， ，故的值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数判断函数单调性后作出图象，数形结合求解. 6．（2023·上海徐汇·三模）设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立.若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构建，结合题意分析的奇偶性和单调性，由题意可得原不等式化为，根据奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】设，可知的定义域为， 因为，即， 则， 则函数为偶函数， 当时，，可知函数在单调递增， 由偶函数性质可得函数在单调递减， 因为，可得， 即，可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意构建函数，分析其奇偶性和单调性，进而解不等式. 7．（24-25高三上·上海·月考）若对任意的，且，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】不等式转化为，通过变形可得对任意的，且有，这样问题转化为已知函数在区间上的单调性求参数范围，求导即可得到结果. 【详解】由题意得，，. ∵，∴，∴， ∴，即， ∴， ∵，∴， ∴，整理得， 令，则在为减函数，， 由得，解得， ∴的单调递减区间为， ∴， ∴，即实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值. 【答案】(1)当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，在单调递减. (2) 【分析】（1）求导函数，分和讨论函数的单调性即可； （2）设，求过两点的切线方程，根据两条切线相互垂直得，进而得到，再求出，根据的范围得出的范围，最后根据恒成立求出的最小值. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， ， 则导数， 当时，恒成立， 则函数在单调递增； 当时，令，则，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减. 综上所述，当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，在单调递减. （2）由函数， 设， 对求导得， 所以函数在点处的切线方程为. 令，则，即. 对求导得， 所以函数在点处的切线方程为. 令，则，即. 又因为两条切线垂直， 所以，即， 所以， 联立， 因为，即， 所以，解得， 因为， 又，根据基本不等式， 所以, 由恒成立，则， 所以的最小值为. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不存在，理由如下. 假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，， 则有，即， 化简得. 令，则， 由知函数在上单调递增， 由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. 10．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知函数，数列满足，且.对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质. (1)任意取一个，判断函数是否具有性质； (2)函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质； (3)求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质，说明理由. 【答案】(1)不具有性质，理由见详解. (2)证明见详解. (3)单调递减区间为，单调增区间为， 函数不具有性质，理由见详解 【分析】（1）由题可得即可判断不具有性质； （2）根据题意当时，可得，所以函数不具有性质； （3）对确定定义域并求导，根据导函数的正负确定单调区间，当时，可判断，再构造函数，求导可证得，即，从而得到，故函数不具有性质. 【详解】（1）由题知， 则， 所以函数不具有性质. （2）证明：不妨取时，因为函数在定义域上严格减， 所以，， ， 所以函数不具有性质. （3）函数定义域为， ， 当时，，当时， 所以函数单调递减区间为，单调增区间为， 性质的判断， ，则， 在单调递减，，即， 令， ， 所以在单调递减，，即， 所以， 综上，， 故，函数不具有性质. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数研究单调性 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求已知函数的单调性 1 题型二、含参单调性的讨论（常考点） 2 题型三、由函数在区间上的单调性求参数（重点） 2 题型四、由导函数构造原函数解抽象不等式（难点） 3 题型五、由函数的单调性解抽象不等式（重点） 3 题型六、由函数的单调性比较大小（重点） 4 题型七、构造函数比较大小（难点） 4 题型八、单调性的综合应用（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求已知函数的单调性 1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数，其中，则的单调增区间为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·期末）求函数 的单调区间． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 4．（23-24高二下·上海·期中）若，则的减区间是 ． 5．（23-24高二下·上海松江·期中）函数的严格增区间是 . 题型二、含参单调性的讨论（常考点） 6．（25-26高三上·上海·开学考试）已知为常数，函数． (1)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，判断函数在上的单调性，并求它的单调区间． 7．已知函数．讨论的单调性. 8．已知函数，讨论的单调性. 9．已知函数. (1)若，求实数的值; (2)求函数的单调区间. 10．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数． (1)当时，求函数的图像在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明：当时，． 题型三、由函数在区间上的单调性求参数（重点） 11．（25-26高三上·上海·期中）若函数为上严格增函数，则实数的取值范围是 ． 12．若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 . 14．（24-25高二下·上海松江·月考）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是 . 15．若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是 题型四、由导函数构造原函数解抽象不等式（难点） 16．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 17．已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．函数是定义在区间上可导函数，其导函数为且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 20．已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 题型五、由函数的单调性解抽象不等式（重点） 21．已知函数，则不等式的解集为 . 22．已知函数，且，则实数的取值范围为 ． 23．已知函数，则不等式的解集为 . 24．设函数，则使得成立的的取值范围是 . 25．已知函数，若直线与曲线有交点且，则实数a的取值范围为 ． 题型六、由函数的单调性比较大小（重点） 26．已知函数，且，，，则的大小关系为 ． 27．已知函数，若，，，则，，三个数中最大的是 ，最小的是 . 28．已知函数，若，则 ． 29．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，．已知，，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 30．已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型七、构造函数比较大小（难点） 31．设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 32．已知正数x，y，z满足 ，则（   ） A． B． C． D． 33．若，，，则a，b，c的大小关系为 ．（用“”连接） 34．已知，，，则、、的大小关系是 ． 35．设，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“”连接） 题型八、单调性的综合应用（难点） 36．在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得的曲线是某个函数的图象，则实数的取值范围是 ． 37．方程的实数解的个数为 ． 38．已知函数，，用表示a，b中的较小值，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为 . 39．若曲线与曲线的图象上分别存在不同的两点 使得两曲线分别在两点处的切线重合，则的取值范围为 . 40．已知函数且，给出下列结论： ① ② ③ ④当时， 以上四个结论中不正确的序号为 一、单选题 1．（23-24高三上·上海浦东新·月考）对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列3个函数，则存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·上海虹口·二模）已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题： ①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有. 则下列判断正确的是（    ） A．①②都是假命题 B．①②都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题 3．（2025·上海·三模）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 二、填空题 4．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是 ． 5．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，若在区间上存在个不同的数，使得成立，则的取值集合是 . 6．（2023·上海徐汇·三模）设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立.若，则实数的取值范围为 . 7．（24-25高三上·上海·月考）若对任意的，且，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 三、解答题 8．（24-25高二下·上海·期中）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值. 9．（25-26高三上·上海·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值：若不存在，说明理由. 10．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知函数，数列满足，且.对任意正整数，恒成立时，则称函数具有性质. (1)任意取一个，判断函数是否具有性质； (2)函数在定义域上严格减，任意取一个，说明函数不具有性质； (3)求函数的单调区间，并判断当时，函数是否具有性质，说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $