5.1.2导数的概念及其几何意义课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件围绕“导数的概念以及几何意义”展开，从物理学的平均速度、瞬时速度和几何学的割线斜率、切线斜率问题导入，通过“平均变化率逼近瞬时变化率”的思想，过渡到一般函数的平均变化率、瞬时变化率，进而定义导数，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以跨学科问题情境培养学生用数学眼光观察现实世界，如物理与几何问题的共性分析。通过“一差、二比、三极限”的步骤总结，强化数学思维中的逻辑推理，结合已知极限求导数、切线斜率等例题，用极限符号精确表达导数定义发展数学语言严谨性。学生能从具体到抽象加深理解，教师可借助清晰结构和步骤总结提升教学效率。

5.1.2 导数的概念以及几何意义 第五章 一元函数的导数及其应用 1 一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式. 下面我们用上述思想方法研究更一般的问题. 前面我们研究了两类变化率问题： 无限逼近 无限逼近 一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度； 1. 平均变化率 对于函数,设自变量从变化到,相应地,函数值就从变化到.这时,的变化量为，的变化量为 我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率. 注：对的理解 1. 是一个整体符号，不是与x，y 相乘. 2. 是定义域内不同的两点，因此，但 可正、可负； 3.是函数值的改变量,可正、可负,也可为0,因此平均变化率可正、可负,也可为零 4.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x)没有变化 2. 瞬时变化率 函数在处的瞬时变化率就是函数从到的平均变化率在时的极限，即 3. 导数的概念 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 如果当无限趋近于0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数 (也称为瞬时变化率) ,记作或. 用极限符号表示这个定义，就是 说明: 1. f(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 问题 根据导数的定义，你能归纳出求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤吗？ 一差、二比、三极限 1.设函数在x＝x0处可导，若，则( ) C 2.设函数在x＝x0处可导，则 ( ) B 我们发现，当点P(x, f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. x y O y＝f (x) f (x0) x0 T 切线的定义： P0 P 在曲线y＝f (x)上任取一点P(x, f (x)) 追问1：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的. 此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义； 追问2：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？ P0 P 导数的几何意义. 因此，函数在处的导数就是曲线在点处(也称在处)的切线的斜率， 即 从而曲线在点处(也称在处)的切线方程为 √ 从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数.这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数 (简称导数).的导函数有时也记作，即 (3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值， 这也是求方法之一. 思考:函数在点处的导数、导函数 、导数之间有什么区别与联系呢？ (1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的, 就是函数的导函数,它是一个变量. x y 1 2 O • • • 3 2. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ). (A) f '(1)>f '(2)>f '(3)>0 (B) f '(1)<f '(2)<f '(3)<0 (C) 0<f '(1)<f '(2)<f '(3) (D) f '(1)>f '(2)>0>f '(3) A 15 解：根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝. 1．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　) A．　　　B．3 C．4 D．5 A．f ′(xA)＞f ′(xB) B．f ′(xA)＜f ′(xB) C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定 B　解析：由导数的几何意义， f ′(xA)，f ′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率， 由图象可知f ′(xA)＜f ′(xB)． 2．已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　) $