9.3.1平面向量基本定理（3知识点+7考点+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

9.3.1平面向量基本定理 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．我们把两个不共线的向量叫作表示这个平面的一组基底． 2、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【多选】（2025高一·辽宁大连·期末）下列结论正确的是（    ） A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 【答案】CD 【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判断AB，由共线向量定理可判断CD. 【详解】对于A，由平面基底的概念可知，只要不共线的任何两个向量都可以作为平面的一组基底向量，故A错误； 对于B，不妨设，，此时有，但不成立，故B错误； 对于C，向量共线定理的充要条件可知C正确； 对于D，由向量共线定理可知， 其中， 若则，故D正确. 故选：CD. 知识点2：平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用 设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算进行计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ． 故选：B． 知识点3：平面向量的正交分解 由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称为向量的分解。当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解． （2025高一·上海·课后作业）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【答案】 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【详解】因为点，所以 故答案为： 题型一：平面向量基本定理辨析 【例1】（2024高一·全国·专题练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）基底中的向量不能为零向量．( ) （2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( ) （3）若不共线，且，则.　( ) （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( ) 【答案】 正确 错误 正确 正确 【分析】根据题意，结合向量的定义，平面向量基底的定义，平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解 【详解】对于（1）中，因为零向量和任意向量共线，所以基底中的向量不能为零向量，所以（1）正确； 对于（2）中，平面内不共线的两个向量才可以作为一个平面基底，所以（2）错误； 对于（3）中，由不共线，且， 根据向量的运算法则，可得，所以（3）正确； 对于（4）中，根据平面基底的定义，可得平面向量的基底不唯一，根据平面向量基本定理，可得平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示，所以（4）正确. 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确. 【变式1-1】【多选】（2025高一·全国·随堂练习）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【答案】CD 【分析】理解平面内一组不共线的向量可以作为一个基底，对平面内任意向量进行线性表示即可依次判断各选项． 【详解】A．基中的向量是非零向量，错误，不符合题意； B．一个平面内只要有一组不共线的向量就可作为表示该平面内所有向量的基，有无数组，选项错误，不符合题意； C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基，正确，符合题意； D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的，正确，符合题意； 故选：CD． 【变式1-2】【多选】（2025高一·重庆綦江·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度为的向量都是零向量 B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角一定为钝角 D．若、是同一平面内两个不共线的向量，则可以表示该平面内所有向量 【答案】AD 【分析】利用零向量的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，长度为的向量都是零向量，A对； 对于B选项，若非零向量与共线，且，则不存在实数，使得，B错； 对于C选项，若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角为钝角或，C错； 对于D选项，由平面向量的基本定理可知，若、是同一平面内两个不共线的向量， 则可以表示该平面内所有向量，D对. 故选：AD. 【变式1-3】【多选】（2025高一·甘肃武威·月考）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C．均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，使，则 【答案】BC 【分析】运用平面向量基本定理可判断A项、B项、D项，通过举反例可判断C项. 【详解】由题意可知：可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知：A项、D项正确，B项不正确； 对于C项，当时，则， 此时任意实数均有，故C项不正确. 故选：BC. 题型二：判断两个向量是否可作基底 【例2】（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 【变式2-2】（2025高一·甘肃庆阳·期中）若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（    ） ①和；②和；③和；④和. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可. 【详解】对于①，，①不是； 对于④，，④不是， 对于②，因为，是平面内一组不共线的非零向量，故和均不是零向量， 若和共线，则存在实数，使得，即，无解， 故和不共线即它们可以形成基底向量，故②是； 对于③，同理和均为非零向量， 若和共线，则存在实数，使得， 即，无解，故和不共线即它们可以形成基底向量，故③是； 因此可以作为一组基底向量的为②③. 故选：B 【变式2-3】（2025高一·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 题型三：利用基底表示向量 【例3】【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由平面向量运算法则逐项计算即可. 【详解】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD 【变式3-1】（25-26高三·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是线段的中点，得到，再根据，利用求解. 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 【变式3-2】（2026高三·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．    【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，由向量的三角形法则，得 ． 故答案为： 【变式3-3】（25-26高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 题型四：利用基底法求向量的数量积 【例4】（25-26高三·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】0 【分析】用表示，再根据向量数量积运算求解. 【详解】在正方形中，，且， ，， . 故答案为：0. 【变式4-1】（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【答案】 【分析】由平面向量的加法运算法则及向量数量积的运算性质求解即可 【详解】在矩形中，因为，所以. 由平面向量的运算法则可得： . 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高三·天津滨海新·月考）已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 【答案】 ； 【分析】根据平面向量基本定理以及定比分点，结合向量运算法则可得，用表示出，再由平面向量数量积运算律计算可得结果. 【详解】如下图所示：    根据题意可知 ； 易知 ； 又； 因为可知； 所以 ； 故答案为：；； 【变式4-3】（25-26高三·天津西青·月考）如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示 ；若，，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理将表示出来，利用向量的数量积运算律和数量积的定义求出. 【详解】由题意知，. . 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：①②. 题型五：平面向量基本定理逆向求参 【例5】（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 【变式5-1】（26-27高三·全国·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 【变式5-2】（25-26高一·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）在中，点满足，当点在线段（不含端点）上移动时，若，则 ． 【答案】3 【分析】设，则，结合，可求. 【详解】如图所示，在中，由已知，所以， 又点在线段上移动，设，所以， 又，所以，所以， 故答案为：3． 题型六：列方程组求参 【例6】（25-26高二·河北张家口·开学考试）如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    【答案】 【分析】由A，P，D和B，P，E三点共线及平面向量基本定理即可得出. 【详解】由A，P，D三点共线，设，由得， 故， 由得， 故，——① 再由B，P，E三点共线，设， 所以，即——② 由①②及向量与不共线，由平面向量基本定理，得，解得. 故得 又，故，， 所以. 故答案为：. 【变式6-1】（25-26高三·河南·月考）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先将用和表示，再结合已知条件将用表示，最后根据向量的线性运算将用和表示，从而求出和的值，进而得到的值. 【详解】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 【变式6-2】（25-26高三·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的加减法结合平面向量基本定理列式计算求参即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高三·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 【答案】/0.4 【分析】设，在中，利用向量加减法的三角形法则表示出，进而表示出；设，同理，在中表示出，根据平面向量基本定理列出方程组，求出，即可得到的值，即可得解. 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 题型七：平面向量基本定理逆向求最值 【例7】（25-26高三·安徽六安·月考）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，结合基本不等式计算即可. 【详解】 由已知可得：， 又因为在线段上， 所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 得，所以， 即的最大值为. 故答案为：. 【变式7-1】（25-26高三·四川成都·期中）在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据中点的性质将转化为与有关的向量，再利用三点共线得到与的关系，最后根据均值不等式求出的最大值. 【详解】因为，所以. 因为点在线段上（端点不重合），所以三点共线， 所以，且，​. 由均值不等式，可得， 化简得，即. 当且仅当时等号成立，结合，可得，时等号成立. 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高三·河南·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    【变式7-3】（25-26高三·北京丰台·期中）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 【答案】/ 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线的条件可得，，再由基本不等式可得最大值. 【详解】因为是内部或边上的动点，且， 根据平面向量基本定理可得，，（当P在边上时，）， 由基本不等式得，当且仅当时，即P是的中点时等号成立. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 2．（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合三角形重心的向量表示可求解. 【详解】因为点G为的重心，所以， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 3．（2025高二上·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，结合向量的加减法运算规则计算求解． 【详解】 是平行四边形，点是对角线的交点， ， ， ，故A正确． 故选：A． 4．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D 5．（24-25高三上·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】因为点，分别为，边上的中点，所以， 又，则， 所以. 故选：B 6．（25-26高三上·广东·月考）已知是边长为2的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设 ，， 分别用表示出来，利用数量积的定义可得答案. 【详解】设 ，，则 ， 由 ，得： 所以， 由于，故 . 故选：B. 7．（24-25高二下·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求. 【详解】在平行四边形中，因为为的重心，所以， 则，且， 所以：. 故选：A. 8．（25-26高三上·甘肃·月考）如图，在平行四边形中，为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题得，所以，. 所以. 故选：A. 9．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定方格图，利用向量的加减法计算即得. 【详解】如图所示，   . 故选：C 10．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，根据长度可求得结果. 【详解】 . 故选：C. 二、多选题 11．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【分析】根据平面向量共线的定义、基底的定义逐项判断即可. 【详解】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 12．（25-26高三上·河南·期末）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（    ）    A． B． C．设为内一点（含边界），的最小值为6 D．设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】延长交于点，则有，，利用向量的线性运算判断A；由平面数量积的运算判断B；利用在上投影向量的最小模长，求的最小值判断C；过点作直线的平行线，分别交，于点，由向量的运算可知点在线段上，可求的取值范围判断D. 【详解】A，延长交于点，易知是等边三角形，有， 四边形是平行四边形，， ，故正确； B，由A可知，是边长为4的等边三角形， ，故错误. C，在上的投影向量的模长的最小值为，，正确. D，过点作直线的平行线，分别交，于点，. 因为，点在线段上， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，，所以的取值范围为，正确. 故选：ACD    13．（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可． 【详解】由，及，得如图所示：    则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 14．（25-26高三上·辽宁营口·期中）在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据等腰梯形的性质结合已知条件，运用投影向量与平面向量基本定理计算求解． 【详解】连接，为的中点，， ，故B正确. 三点共线，存在x，y满足，且， 又三点共线，， 由平面向量基本定理得，， ，，故A错误，C正确； 四边形是等腰梯形，，过点作，垂足为， ，即， 在上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 15．（2026高三上·重庆永川·专题练习）在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先用将表示出来，然后根据、、三点共线，列出关于的等式，最后根据基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为为的中点，所以， 因为，所以； 因为，， 所以，，所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：. 16．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    【答案】 1 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 17．（25-26高三上·天津北辰·月考）在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则 ；若，，则的最小值是 . 【答案】 ； . 【分析】根据向量的线性运算法则，即可求得答案；根据线性运算法则，结合三点共线的性质，可得，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】因为为的中点，所以， 因为，所以； 因为，， 所以，所以， 因为F、E、G三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； 18．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 【答案】/ 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求最小值. 【详解】在中，，则， 线段的中点分别为， ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵，，， ∴， 因为对称轴为，所以当时取得最小值， 最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 19．（2025·云南·模拟预测）已知矩形，是的中点，则 ． 【答案】0 【分析】根据向量数量积的运算得到，最后代入数据即可. 【详解】如图所示： ，， 所以， 故答案为：0 20．（2026高三·全国·专题练习）如图，在中，，点E是CD的中点，，则 ．(用表示) 【答案】 【分析】根据中点向量公式得，将代入求解即可. 【详解】由，得， 因为点E是CD的中点，所以. 故答案为： 四、解答题 21．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算可得； （2）设，则可用及表示，再利用平面向量基本定理可求. 【详解】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 22．（25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，然后用表示，根据三点共线求出的值； （2）根据，用表示，再将条件与代入，根据三点共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以 ① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，     所以，解得，所以. （2）由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 23．（23-24高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的数量关系结合数量积公式及数量积运算律计算求解； （2）根据数量积公式及数量积运算律结合模长公式计算求解； 【详解】（1）当时，依题意知，，，. 则， . 因为，， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，，所以. （2）由题意， . 则. 因为，， ， 所以， 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 24．（2026高三·全国·专题练习）如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可； （2）根据（1）结合知： ，再根据是 的重心知： ，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解． 【详解】（1）； （2）. 由(1)可知， 又， 所以， 因为点G是的重心， 所以 而不共线， 所以解得 所以. 25．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，.设，）． (1)用，表示，． (2)如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法和数乘运算即可求出答案； （2）通过证明，从而证明. 【详解】（1）， . （2）. 证明如下： 由（1）得，， 所以， 所以，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.3.1平面向量基本定理 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．我们把两个不共线的向量叫作表示这个平面的一组基底． 2、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【多选】（2025高一·辽宁大连·期末）下列结论正确的是（    ） A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 知识点2：平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用 设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 知识点3：平面向量的正交分解 由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称为向量的分解。当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解． （2025高一·上海·课后作业）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 题型一：平面向量基本定理辨析 【例1】（2024高一·全国·专题练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）基底中的向量不能为零向量．( ) （2）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( ) （3）若不共线，且，则.　( ) （4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯一表示．( ) 【变式1-1】【多选】（2025高一·全国·随堂练习）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【变式1-2】【多选】（2025高一·重庆綦江·期中）下列说法正确的是（    ） A．长度为的向量都是零向量 B．若向量与共线，则存在唯一的实数使 C．若两个向量的数量积小于零，则它们的夹角一定为钝角 D．若、是同一平面内两个不共线的向量，则可以表示该平面内所有向量 【变式1-3】【多选】（2025高一·甘肃武威·月考）若是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（    ） A．可以表示平面内的所有向量 B．对于平面中的任一向量，使的实数有无数多对 C．均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D．若存在实数，使，则 题型二：判断两个向量是否可作基底 【例2】（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-2】（2025高一·甘肃庆阳·期中）若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（    ） ①和；②和；③和；④和. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2-3】（2025高一·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 题型三：利用基底表示向量 【例3】【多选】（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高三·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高三·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．    【变式3-3】（25-26高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 题型四：利用基底法求向量的数量积 【例4】（25-26高三·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【变式4-1】（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【变式4-2】（25-26高三·天津滨海新·月考）已知平行四边形，，点满足，记．用表示 ；若，则 ． 【变式4-3】（25-26高三·天津西青·月考）如图，在中，点､分别为､中点，与相交于点，点满足.记，，用，表示 ；若，，，则 . 题型五：平面向量基本定理逆向求参 【例5】（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27高三·全国·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【变式5-2】（25-26高一·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    【变式5-3】（2025高三·全国·专题练习）在中，点满足，当点在线段（不含端点）上移动时，若，则 ． 题型六：列方程组求参 【例6】（25-26高二·河北张家口·开学考试）如图，在中，已知，，是线段与的交点，若，则的值为 .    【变式6-1】（25-26高三·河南·月考）在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式6-2】（25-26高三·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则 ． 【变式6-3】（25-26高三·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 题型七：平面向量基本定理逆向求最值 【例7】（25-26高三·安徽六安·月考）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为 . 【变式7-1】（25-26高三·四川成都·期中）在中，为线段的中点，点在线段上端点不重合，若，则的最大值为 . 【变式7-2】（25-26高三·河南·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高三·北京丰台·期中）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是 一、单选题 1．（24-25高一下·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 3．（2025高二上·河南·学业考试）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知中，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江西抚州·月考）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东·月考）已知是边长为2的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 7．（24-25高二下·贵州·月考）如图，平行四边形中，与交于点，为的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·甘肃·月考）如图，在平行四边形中，为的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 9．（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·期中）在如图所示的方格里，向量与均为单位向量，则向量（    ）    A． B． C． D． 10．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知在中，是的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 12．（25-26高三上·河南·期末）某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（    ）    A． B． C．设为内一点（含边界），的最小值为6 D．设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为 13．（25-26高一上·江苏盐城·期中）在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·辽宁营口·期中）在等腰梯形中，，是边的中点，与交于点．设，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 15．（2026高三上·重庆永川·专题练习）在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若，，则的最小值是 . 16．（25-26高三上·北京海淀·月考）如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为 最大值为 ．    17．（25-26高三上·天津北辰·月考）在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则 ；若，，则的最小值是 . 18．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图，在中，已知，，且，若线段的中点分别为，则的最小值为 19．（2025·云南·模拟预测）已知矩形，是的中点，则 ． 20．（2026高三·全国·专题练习）如图，在中，，点E是CD的中点，，则 ．(用表示) 四、解答题 21．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 22．（25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 23．（23-24高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 24．（2026高三·全国·专题练习）如图，点G是的重心，P，Q分别是边，上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，表示． (2)设是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 25．（2026高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，.设，）． (1)用，表示，． (2)如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $