9.2.1向量的加减法（2知识点+10考点+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

9.2.1向量的加减法 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：向量的加法运算 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2、向量加法的两个重要法则 （1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝． （2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和． 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 3、向量加法的运算律 （1）结合律：a＋b＝b＋a （2）交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （2025高一·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 知识点2 ：向量的减法运算 1、向量减法的定义：若，则向量叫作与的差，记作．求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2、向量减法的三角形法则：已知向量,，在平面内任取一点，作，，因为，即，所以．如图所示，即可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“共起点，连终点，指向被减”即可． （2025高一·全国·专题练习）化简： ； ． 题型一：向量加法的运算法则 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】（24-25高二·上海·假期作业）作出如图中两向量的和向量. 【变式1-2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知三个向量，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量．    【变式1-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 题型二：向量的加法运算 【例2】（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】【多选】（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 题型三：相反向量 【例3】（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【变式3-1】（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【变式3-2】（21-22高二上·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 题型四：向量减法的运算法则 【例4】（20-21高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量． 【变式4-1】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    【变式4-2】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知向量，求作向量． 【变式4-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 题型五：向量的减法运算 【例5】（25-26高二上·广东东莞·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·广东佛山·月考）（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·福建·期末）（    ） A． B．0 C． D． 【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）化简： （1） ； （2） ． 题型六：已知向量表示其他向量 【例6】（24-25高一下·四川成都·月考）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 【变式6-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与． 题型七：利用向量加减法证明等式 【例7】【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】【多选】（22-23高一下·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（22-23高一·全国·课堂例题）如图，平面上有任意四点A，B，C，D，若，运用向量的加法证明．    【变式7-3】（20-21高一·江苏·课后作业）如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，证明：. 题型八：向量加减法的几何应用 【例8】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【变式8-1】（24-25高一下·北京·期末）在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）四边形为菱形，其中，，则 . 【变式8-3】【多选】（25-26高三上·江西南昌·期中）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九：向量加减法的实际应用 【例9】（20-21高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 【变式9-1】（20-21高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直水流的方向航行，则船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为 . 【变式9-2】（21-22高一下·河南周口·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿 的方向前进，速度为 ． 【变式9-3】（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 题型十：向量和与差的模问题 【例10】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求的取值范围． 【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【变式10-3】（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 一、单选题 1．（2025高三·河北·学业考试）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2025高二·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 5．（2025高一·内蒙古包头·期中）已知和都是单位向量，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．（2025高一·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，则的值不可能为（    ）． A． B． C． D．1 9．（2026高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，若，，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 二、多选题 10．（2025高三·全国·专题练习）下列各式中能化简为的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025高一·广西柳州·开学考试）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·江西上饶·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国·课后作业）下列式子中正确的有（   ） A． B． C． D． 14．（2025高一·广东东莞·月考）下列四式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2025高一·江苏镇江·月考）在四边形中，已知，，则四边形是 （填“等腰梯形/平行四边形/矩形/正方形”）. 16．（2025高一·甘肃·月考）设，是任一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论的序号为 . 17．（2025高二·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 18．（2026高三·全国·专题练习）化简： （1） ； （2） ． 四、解答题 19．（25-26高一·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 20．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，． 21．（2025高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 22．（2025高一·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.1向量的加减法 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：向量的加法运算 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2、向量加法的两个重要法则 （1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝． （2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和． 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 3、向量加法的运算律 （1）结合律：a＋b＝b＋a （2）交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （2025高一·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的运算律计算求解即可. 【详解】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 知识点2 ：向量的减法运算 1、向量减法的定义：若，则向量叫作与的差，记作．求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2、向量减法的三角形法则：已知向量,，在平面内任取一点，作，，因为，即，所以．如图所示，即可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“共起点，连终点，指向被减”即可． （2025高一·全国·专题练习）化简： ； ． 【答案】 【分析】先根据向量加法的三角形法则，即首尾相连特性和代数运算，合并或抵消中间项即可得到第一个空的答案；再根据向量减法法则，共起点，差向量指向被减向量，然后利用相反向量把转化为，最后化简即可得到第二个空答案. 【详解】  ，． 故答案为： 题型一：向量加法的运算法则 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 【变式1-1】（24-25高二·上海·假期作业）作出如图中两向量的和向量. 【答案】答案见解析 【分析】由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解即可. 【详解】解法一（三角形法则）如图（b），作，则， 解法二（平行四边形法则）如图（c），作， 以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则. 向量加法的平行四边形法则的特点是和向量与向量是共始点向量. 【变式1-2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知三个向量，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量．    【答案】作图见解析 【分析】 利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作图。 【详解】 利用三角形法则作，如图①所示，作，以A为起点，作， 再以B为起点，作，则， 利用平行四边形法则作，如图②所示，作，，， 以，为邻边作，则， 再以，为邻边作，则．    【变式1-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】根据向量加法的平行四边形法则及几何意义作图即可. 【详解】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 题型二：向量的加法运算 【例2】（24-25高一下·福建三明·期末）化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法直接得到答案. 【详解】. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的三角形法则计算即可. 【详解】. 故选：A 【变式2-2】【多选】（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：BCD. 【变式2-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据向量的运算法则，可得. （2）解：根据向量的运算法则， 可得. （3）解：根据向量的运算法则， 可得. 题型三：相反向量 【例3】（2025高一·全国·专题练习）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．向量的模是一个正实数 C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【分析】由与向量的相关的定义逐个判断各个选项即可得结果. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 零向量的模是0， B不正确． 因为单位向量的方向不确定， C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 【变式3-1】（23-24高一下·重庆·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】对于A，正确理解相等向量和相反向量的含义即可判断；对于B，由单位向量方向不确定即得；对于C，根据相反向量的定义易得；对于D，由共线向量的定义即可判断. 【详解】对于A，由只知两向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，因单位向量的方向不确定，故B错误； 对于C，根据定义，一对相反向量只有方向相反，模长一定相等，故C正确； 对于D，因平面向量是自由向量，故两条共线向量既可以在一条直线上， 也可以在两条平行线上，还可以有一个为零向量，故D错误. 故选：C. 【变式3-2】（21-22高二上·全国·课后作业）下列等式中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据相反向量以及零向量的概念，可知①②③④正确，即可求解. 【详解】根据相反向量的概念可知，向量的相反向量的相反向量等于它本身，所以，故①正确； 因为任意向量加上零向量等于这个向量，所以，故②正确； 因为任意向量加上它的相反向量等于零向量，所以，故③正确； 因为任意向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，并且任意向量加上零向量等于这个向量，,故④正确. 所以①②③④正确，则正确的个数为4. 故选：D. 【变式3-3】（2024高一下·全国·专题练习）已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 题型四：向量减法的运算法则 【例4】（20-21高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量． 【答案】如图，(1) (2) 【分析】如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点即可分别得出结果. 【详解】解：(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； (2)如图，将向量的起点平移到向量的起点， 以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量； 【变式4-1】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    【答案】作图见解析 【分析】根据向量减法的三角形法则作出图形. 【详解】在平面内任取一点，作向量，，则向量， 再作向量，则向量，即为所求作向量.    【变式4-2】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知向量，求作向量． 【答案】答案见解析 【分析】利用向量的加法、减法的三角形法则作图即可. 【详解】作图如下． 【变式4-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 题型五：向量的减法运算 【例5】（25-26高二上·广东东莞·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高三上·广东佛山·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法和减法的运算性质，即可求解. 【详解】. 故选：D 【变式5-2】（24-25高一下·福建·期末）（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）化简： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：，. 题型六：已知向量表示其他向量 【例6】（24-25高一下·四川成都·月考）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用平面向量加法法则即可得到. 【详解】. 故选：D. 【变式6-1】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案. 【详解】. 故选:D. 【变式6-2】（24-25高一下·宁夏固原·期末）在中，，，用，表示向量，正确的一组是（   ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】应用加法的平行四边形法则及减法的三角形法则计算判断各个选项即可. 【详解】在中，，， 应用加法的平行四边形法则得， 应用减法的三角形法则得， 故选：A. 【变式6-3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与． 【答案】，． 【分析】利用向量减法的意义求解即可. 【详解】，． 题型七：利用向量加减法证明等式 【例7】【多选】（2025高三·全国·专题练习）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 【变式7-1】【多选】（22-23高一下·江西吉安·期中）下列所表示的向量式子中，化简后等于零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的加减运算逐项分析即可. 【详解】因为，， ，. 故选：ACD 【变式7-2】（22-23高一·全国·课堂例题）如图，平面上有任意四点A，B，C，D，若，运用向量的加法证明．    【答案】证明见解析 【分析】根据向量加法运算分析证明. 【详解】由题意可得：， 即. 【变式7-3】（20-21高一·江苏·课后作业）如图，O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若，，，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形ABCD的性质找出相等的向量，再利用平面向量的三角形法则进行加法运算可证得命题成立． 【详解】∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，， ∴， ∴成立. 题型八：向量加减法的几何应用 【例8】（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 【变式8-1】（24-25高一下·北京·期末）在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算可得即可判断. 【详解】， ，所以是等边三角形. 故选：A. 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）四边形为菱形，其中，，则 . 【答案】 【分析】由菱形的性质结合条件可得为边长为等边三角形，由向量减法运算即可得到答案. 【详解】四边形为菱形，其中， 连接，所以为边长为等边三角形，所以 故答案为： 【变式8-3】【多选】（25-26高三上·江西南昌·期中）已知平面四边形，点分别是的中点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用平面向量的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】A：因为，故A正确； B：因为，故B正确； C：因为，故C正确； D:因为，故D错误. 故选：ABC. 题型九：向量加减法的实际应用 【例9】（20-21高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 【答案】船是沿与水流的方向成的角的方向行进的. 【分析】作出图形，是水流方向，是垂直于河岸的实际方向，作平行四边形，其中是一条对角线，是平行四边形的一边，则是船行进的方向，由平行四边形进行计算可得． 【详解】作出图形，如图所示.船速船与岸的方向成角，由图可知水＋船＝实际，结合已知条件， 四边形为平行四边形，在中，水， 船，所以，所以， 从而船与水流方向成的角. 所以船是沿与水流的方向成的角的方向行进的. 【变式9-1】（20-21高一下·全国·课后作业）在静水中船的速度为，水流的速度为，若船沿垂直水流的方向航行，则船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为 . 【答案】2 【分析】根据向量加法的平行四边形法则作出平行四边形（实质上是矩形），其中为船实际行进的方向，在矩形中求解可得. 【详解】如图，作平行四边形，则实际，设船实际航向与岸方向的夹角为，则. 即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2. 故答案为：2 【变式9-2】（21-22高一下·河南周口·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿 的方向前进，速度为 ． 【答案】 与水流方向成60° 8km/h 【分析】利用向量加法法则即可求得此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8km/h. 【详解】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成60° 故答案为：与水流方向成60°；8km/h 【变式9-3】（24-25高一下·广东东莞·期中）如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h. 【答案】2 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短， 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. 题型十：向量和与差的模问题 【例10】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】向量加、减法的三角形法则和三角形的三边关系直接求得. 【详解】解∵， ∴，即的取值范围是． 【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义求解即可. 【详解】因为，，， 所以有，即， 当和同向或反向时等号成立，所以的取值范围是， 故选：D 【变式10-2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 1 3 【分析】根据向量的三角不等式计算求解得出最值. 【详解】， ， 当且仅当同向时取得最大值3，当且仅当反向时取得最小值1. 故答案为：1；3. 【变式10-3】（2024高一·江苏·专题练习）已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； （2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； 【详解】（1）因为， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，； 所以的取值范围为． （2）由， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，． 所以的取值范围为． 一、单选题 1．（2025高三·河北·学业考试）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意. 故选：B. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，，根据平行四边形的性质，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 3．（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则，结合向量的模长即可判断. 【详解】因为是两个非零向量，且方向相同时，， 当不共线或反向共线时，， 所以是两个非零向量，则，当且仅当a与b共线同向时等号成立. 故选：D. 4．（2025高二·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质，运用向量的加法法则，即可得到答案. 【详解】由六边形是正六边形，可知， 故. 故选:C. 5．（2025高一·内蒙古包头·期中）已知和都是单位向量，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据向量的三角不等式进行求解即可． 【详解】根据向量的三角不等式得. 故选：C． 6．（2025高一·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 7．（2025高一·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 8．（2025高一·全国·专题练习）已知非零向量，则的值不可能为（    ）． A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由单位向量相加的模的范围得到答案. 【详解】为非零向量，，，分别表示方向上的单位向量，三个单位向量相加的模长范围为， 故选：C． 9．（2026高三·全国·专题练习）在边长为1的正方形中，若，，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加减运算及模运算求解． 【详解】． 故选：C 二、多选题 10．（2025高三·全国·专题练习）下列各式中能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由平面向量的加法与减法运算求解即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD 11．（2025高一·广西柳州·开学考试）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据向量加法和减法计算公式，即可判断. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 12．（2025高一·江西上饶·月考）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算依次判断即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 13．（2025高一·全国·课后作业）下列式子中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量减法的三角形法则，判定AB；根据相反向量概念判定C；根据向量加法的多边形法则判定D. 【详解】根据向量减法的三角形法则，A正确；B正确； 因为与是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C不正确； 根据向量加法的多边形法则，D正确． 故选：ABD. 14．（2025高一·广东东莞·月考）下列四式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】对于A：，符合题意； 对于B：，符合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，不符合题意. 故选：ABC. 三、填空题 15．（2025高一·江苏镇江·月考）在四边形中，已知，，则四边形是 （填“等腰梯形/平行四边形/矩形/正方形”）. 【答案】矩形 【分析】由向量减法和模长含义可得答案. 【详解】因为，所以四边形是平行四边形， 因为，所以，即对角线相等， 所以四边形是矩形. 故答案为：矩形 16．（2025高一·甘肃·月考）设，是任一非零向量，给出下列结论：①；②；③；④；⑤.其中正确结论的序号为 . 【答案】①③⑤ 【分析】先计算出，对于①，零向量和任意向量平行，①正确；对于②③，利用向量加法法则计算；对于④⑤，利用模长的概念进行判断 【详解】， 对于①，零向量和任意向量平行，，①正确； 对于②③，，②错误，③正确； 对于④，，两者不等，④错误； 对于⑤，，⑤正确. 故答案为：①③⑤ 17．（2025高二·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 【答案】 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 18．（2026高三·全国·专题练习）化简： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：，. 四、解答题 19．（25-26高一·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 20．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示向量，，． 【答案】，， 【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以，， 故. 21．（2025高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解； （2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解. 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 22．（2025高一·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量； （2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量. 【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,, 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，． （2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,,,, 则与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $