9.2.2向量的数乘（2知识点+8考点+过关检测）（预习讲义）高一数学苏教版

9.2.2向量的数乘 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的数乘运算 1、向量的数乘定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa，它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小． 3、向量的数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb． 4、向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．若一个向量可以用另一些向量的线性运算得到，我们就说这个向量可以用另一些向量线性表示．例如，可称由与线性表示． 对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b． （2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 知识点2：向量共线定理 1、向量共线定理：一般地，对于两个向量，，由如下的向量共线定理： 设为非零向量，如果由一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 2、三点共线定理 已知平面内三点，为不同于的任意一点，三点共线当且仅当存在实数使得，且． 3、一个重要结论——中点向量公式 如图，点为线段中点的充要条件是，我们称此结论为中点向量公式． （2025高一·全国·课后作业）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； （2）由共线向量定理求出参数即可. 【详解】（1）证明：， 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线． （2）与共线， 存在实数，使得，即． 与不共线，，解得， ． 题型一：向量的线性运算 【例1】（2025高一·福建龙岩·期中）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解即可. 【详解】因为在矩形ABCD中，E为CD的中点， 则， 所以 . 故选：C. 【变式1-1】（2025高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用向量的加减法，数乘运算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式． 【变式1-2】（2025高一·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【变式1-3】（2025高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （2）直接利用平面向量的加减混合运算求解； （3）直接利用平面向量的加减混合运算求解中的． 【详解】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 题型二：已知向量表示相关向量 【例2】（2025高一·四川泸州·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则. 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意可知. 故选：C 【变式2-2】（2025高一·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 【变式2-3】（2025高一·安徽蚌埠·月考）已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断. 【详解】在平行四边形中，是的中点， 则. 故选：A 题型三：向量共线的判定与求参 【例3】（2025高三·广东·期中）已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可. 【详解】因为向量，不平行，， 所以存在实数，使得：， 即，解得. 故选：B. 【变式3-1】（2025高一·河南驻马店·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，结合向量共线的判定，逐项判定，即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，且对角， 对于A中，由，所以与共线，所以A符合题意； 对于B中，由，向量与不共线，所以B不符合题意； 对于C中，由，向量与不共线，所以C不符合题意； 对于D中，由向量与不共线，所以D不符合题意. 故选：A. 【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 【答案】 【分析】根据向量共线，可得，待定系数，即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数，使， 则，解得，则. 故答案为： 【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共线可得，存在实数，使，待定系数，即可得答案. 【详解】因为与是共线向量， 所以存在实数，使，即， 所以，解得. 故答案为： 题型四：三点共线的判定与求参 【例4】（2025高一·河北邯郸·月考）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 【变式4-1】（25-26高一·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线有得到，代入和求解即可. 【详解】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 【变式4-2】【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得. 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 【变式4-3】（2026高三·全国·专题练习）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】先由向量的加法求出，再利用向量共线的充要条件列方程组求解即可. 【详解】由已知， 由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使， 即，即解得. 故选：D 题型五：三点共线定理的应用 【例5】（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 【变式5-1】（25-26高三·湖北孝感·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高三·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 【变式5-3】（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合图形，利用三点共线，推出，再根据基本不等式求解即可. 【详解】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 题型六：线性运算求长度比 【例6】（2025高一·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案. 【详解】由，得，即， 所以. 故选：B 【变式6-1】（2025·海南海口·模拟预测）若向量（O，A，B，C互不重合），则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】由向量线性运算得出的关系，再由数乘的定义得结论． 【详解】，即，因为，所以， ． 故选：D． 【变式6-2】（2025高三·北京朝阳·期中）已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值. 【详解】, , 即, . 故选：D. 【变式6-3】（2025高一·河北石家庄·月考）已知平面上不共线的四点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解. 【详解】由，得，即， 所以， 所以，即， 故选：B 题型七：线性运算求三角形面积比 【例7】（25-26高二·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到. 【详解】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 【变式7-1】（25-26高三·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 【变式7-2】（25-26高二·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 【详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即    故答案为：D. 【变式7-3】（25-26高三·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B 题型八：三角形的“四心”问题 【例8】（2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 【变式8-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 【变式8-2】（2025高一·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的 .（填:重心、内心、外心或垂心） 【答案】内心 【分析】利用单位向量和加法运算的几何意义得平分，从而得结论. 【详解】分别表示同方向的单位向量， 故平分，即平分， 所以直线一定经过的内心. 故答案为:内心. 【变式8-3】（2025高一·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 一、单选题 1．（2025高一·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】或，从而得到答案. 【详解】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 2．（2025·海南·模拟预测）已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 【详解】. 故选：A. 3．（25-26高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可. 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 4．（2025高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理求解. 【详解】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 5．（2025高三·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B. 6．（2025高一·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 7．（25-26高三·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解. 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 8．（25-26高三·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 9．（25-26高三·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量线性运算可得，由题意可得，，计算可解. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，分别是，的中点， 所以，， 则， 因为点在线段上，设， 则， 若，则，， 所以，当时，有最大值为. 故选：C 二、多选题 10．（2025高一·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 11．（2025高一·内蒙古包头·期中）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 12．（2025高一·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 13．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    三、填空题 14．（25-26高三·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用向量平行的性质建立方程组，求解参数即可. 【详解】若向量与向量平行，则， 即，又因为向量、不共线，所以，解得. 故答案为： 15．（25-26高三·广西南宁·月考）已知非零向量，满足，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由题可得，则，共线，从而，据此可得答案. 【详解】由，得，则，共线， 因此，整理得，而，均为非零向量，所以． 故答案为： 16．（2025高三·北京·期中）若，，与不共线，则平分线上的向量 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平行四边形法则及共线向量定理求得答案. 【详解】作向量，以线段为邻边作， 则，而，因此为菱形，平分， 又为平分线上的向量，则，.    故答案为： 17．（25-26高三·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 18．（25-26高三·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解. 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. 19．（2025高一·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 【答案】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 20．（25-26高二·全国·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则 . 【答案】 【分析】根据向量的加法运算，结合平行四边形的性质即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故答案为：. 21．（2025高三·全国·专题练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的 心． 【答案】重 【分析】利用正弦定理化简已知条件得到，由此判断出点的轨迹经过重心. 【详解】由正弦定理可知：，R为三角形的外接圆的半径， 所以动点P满足． 则， 因为是以AB，AC为邻边的平行四边形的对角线以A为起点的向量，方向与边上的中线方向相同， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心． 故答案为：重 四、解答题 22．（2025高一·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 23．（2025高一·重庆巫山·期末）设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． （2）由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 24．（2025高一·全国·专题练习）在四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，，记AC、BD相交于点M.结合平面向量的有关知识回答下列问题. (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； 【答案】(1)证明见解析 (2)，，，，，，，，． 【分析】（1）根据向量的线性运算进行证明. （2）方向相同或相反的非零向量是共线向量，利用图中平行关系得到. 【详解】（1） 证明：因为E为AB的中点，所以， 则， 故. （2） 由，，则四边形为平行四边形， 由向量的概念可得在四边形ABCD中，与共线的向量有 ，，，，，，，，． 25．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】证法1：利用三点共线判定定理，列出的关系式，判断其系数之和是否为1； 证法2：连结且与相交于点，利用几何关系可证明和为同一点. 【详解】证法1：因为，所以三点共线． 证法2：连结且与相交于点， 因为，所以． 又因为是的中点且， 所以，即， 又因为， 所以和为同一点，所以三点共线． 26．（2025高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用同一向量的不同回路中的相反向量关系计算得证. （2）作出图形，可得中线向量公式. （3）利用向量共线，即可得中位线向量公式. 【详解】（1）由，得， 由和分别是和的中点，得， 所以. （2）当三点重合，记为点，如图，    在中，是的中点，得，这是中线向量公式. （3）当两点重合，记为点， 在中，分别是和的中点，得，这是中位线性质. 27．（2025高一·全国·专题练习）已知点是内一点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】这个公式俗称三角形中的“向量奔驰定理”，可利用定比分点公式得到证明. 【详解】如图，延长，交线段于点．    因为三点共线， 所以 ， 所以， 所以． 28．（2025高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 【答案】证明见解析 【分析】根据给定的向量等式，可得，结合两个单位向量的和组成的菱形的性质，即可判断点在的角平分线上即可. 【详解】由可得：， 如图，设,,则， 作,则四边形为菱形，故平分, 又， 即点在的角平分线上，故点的轨迹过内心． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2.2向量的数乘 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：向量的数乘运算 1、向量的数乘定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa，它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小． 3、向量的数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb． 4、向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．若一个向量可以用另一些向量的线性运算得到，我们就说这个向量可以用另一些向量线性表示．例如，可称由与线性表示． 对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b． （2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 知识点2：向量共线定理 1、向量共线定理：一般地，对于两个向量，，由如下的向量共线定理： 设为非零向量，如果由一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 2、三点共线定理 已知平面内三点，为不同于的任意一点，三点共线当且仅当存在实数使得，且． 3、一个重要结论——中点向量公式 如图，点为线段中点的充要条件是，我们称此结论为中点向量公式． （2025高一·全国·课后作业）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 题型一：向量的线性运算 【例1】（2025高一·福建龙岩·期中）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2)（m，n为实数）． 【变式1-2】（2025高一·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【变式1-3】（2025高一·上海·课堂例题）根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 题型二：已知向量表示相关向量 【例2】（2025高一·四川泸州·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二·安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025高一·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025高一·安徽蚌埠·月考）已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：向量共线的判定与求参 【例3】（2025高三·广东·期中）已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】（2025高一·河南驻马店·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数 . 【变式3-3】（2026高三·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，.若与是共线向量，则 ． 题型四：三点共线的判定与求参 【例4】（2025高一·河北邯郸·月考）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式4-1】（25-26高一·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】【多选】（2026高三·全国·专题练习）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026高三·全国·专题练习）是平面内不共线的两个向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（　　） A．3 B．－3 C．－2 D．2 题型五：三点共线定理的应用 【例5】（2025高一·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三·湖北孝感·月考）在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【变式5-3】（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 题型六：线性运算求长度比 【例6】（2025高一·北京·月考）已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-1】（2025·海南海口·模拟预测）若向量（O，A，B，C互不重合），则（    ） A．2 B． C． D．3 【变式6-2】（2025高三·北京朝阳·期中）已知平面内四个不同的点满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 【变式6-3】（2025高一·河北石家庄·月考）已知平面上不共线的四点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型七：线性运算求三角形面积比 【例7】（25-26高二·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二·黑龙江绥化·开学考试）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高三·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 题型八：三角形的“四心”问题 【例8】（2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式8-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式8-2】（2025高一·福建福州·期中）点在所在的平面内，若,则直线一定经过的 .（填:重心、内心、外心或垂心） 【变式8-3】（2025高一·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 一、单选题 1．（2025高一·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·海南·模拟预测）已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（2025高一·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 5．（2025高三·天津武清·月考），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025高一·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（25-26高三·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·湖南长沙·月考）在平行四边形中，，分别是，的中点，点在线段上.若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2025高一·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 11．（2025高一·内蒙古包头·期中）如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 12．（2025高一·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 三、填空题 14．（25-26高三·湖北黄冈·期中）设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为 . 15．（25-26高三·广西南宁·月考）已知非零向量，满足，则 ． 16．（2025高三·北京·期中）若，，与不共线，则平分线上的向量 ． 17．（25-26高三·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 18．（25-26高三·上海·月考）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则 ． 19．（2025高一·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 20．（25-26高二·全国·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则 . 21．（2025高三·全国·专题练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则P点的轨迹一定通过三角形ABC的 心． 四、解答题 22．（2025高一·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 23．（2025高一·重庆巫山·期末）设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 24．（2025高一·全国·专题练习）在四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，，记AC、BD相交于点M.结合平面向量的有关知识回答下列问题. (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； 25．（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 26．（2025高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 27．（2025高一·全国·专题练习）已知点是内一点，求证：． 28．（2025高三·全国·专题练习）在中，是不同于三角形顶点的一点，若，证明：点的轨迹过内心． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $