第二部分 3 题型三 圆的综合题-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦圆的综合题核心考点，严格对接中考说明，系统梳理切线性质与判定、圆基本性质等高频考点，结合安顺三模、铜仁模拟等真题，按证明与计算题型分类，分析考点权重，归纳常考模型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题示例+变式训练+解题突破”模式，如通过切线性质证明题示范连半径构造直角三角形，培养学生推理意识与几何直观，结合相似三角形、勾股定理等方法解析计算题型，帮助学生掌握答题技巧，提升得分率，为教师提供系统复习框架，助力学生中考冲刺。

《二轮重难培优》 数学 第二部分 贵州重难题型突破 题型三　圆的综合题 深研贵州统考方向 (2025安顺三模)如图，BE是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线，交BE的延长线于点C. (1)在不添加辅助线的情况下，写出图中一个与∠ADE相等的角：______ ____________； (例题图) (或∠EAC) ∠ABC 新题好题 一练提优 【解题突破点】 ①BE是⊙O的直径→∠BAE＝90° ②连接OA，AC是⊙O的切线→∠OAC＝90° (例题解图) (2)求证：∠EAC＝∠ABC； (例题图) 新题好题 一练提优 (2)求证：∠EAC＝∠ABC； (例题图) 证明：如解图，连接OA，则OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABC. ∵AC与⊙O相切于点A， ∴AC⊥OA. ∵BE是⊙O的直径，  ∴∠BAE＝∠OAC＝90°， ∴∠OAB＝∠EAC＝90°－∠OAE， ∴∠EAC＝∠ABC. (例题解图) 新题好题 一练提优 【解题突破点】 ①在Rt△ABE中，勾股定理→AB长度 ②△EAC∽△ABC → ＝＝ (例题解图) (3)若AE＝6，BE＝10，求线段CE的长. (例题图) 新题好题 一练提优 解：∵∠BAE＝90°，AE＝6，BE＝10， ∴BA＝＝＝8，CB＝10＋CE. ∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C， ∴△EAC∽△ABC， ∴＝＝＝＝， (3)若AE＝6，BE＝10，求线段CE的长. (例题解图) (例题图) 新题好题 一练提优 ∴CA＝CE，且CA＝CB＝(10＋CE)， ∴CE＝(10＋CE)， 解得CE＝， ∴线段CE的长是. (例题解图) 新题好题 一练提优 【变式1】如图，BC为⊙O的弦，A为的中点，D为BC上一点，连接AD，过点A作⊙O的切线AE，连接CE，CE∥AD，F为AE上一点，AF＝BD，连接AB，AC，CF. (1)写出图中一个与∠ACB相等的角：__________________； (变式1题图) ∠ABC(或∠CAE) 新题好题 一练提优 (2)求证：四边形ADCE是平行四边形； (变式1题图) 证明：如解图，连接OA. ∵A为的中点， AE是⊙O的切线， ∴OA⊥BC，OA⊥AE， ∴AE∥BC. ∵CE∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形. （变式1题解图） 新题好题 一练提优 (3)若BD＝EF＝AB，AC＝6，求AD的长. 解：∵BD＝AF，BD＝EF， ∴AF＝EF，∴BD＝AE. ∵A为的中点， ∴＝，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB. ∵BD＝AB，∴BD＝AC， ∴AE＝AC＝6， ∴EF＝AE＝3. (变式1题图) 新题好题 一练提优 由(2)可知AE∥CD，∴∠ACB＝∠CAF， ∴∠ABD＝∠CAF. 在△ABD≌△CAF中，， ∴△ABD≌△CAF(SAS)，∴AD＝CF. (变式1题图) 新题好题 一练提优 由(2)知四边形ADCE为平行四边形， ∴AD＝CE，∴CF＝CE. 又∵AC＝AE，∴∠E＝∠EFC＝∠ACE， ∴△EFC∽△ECA， ∴＝， ∴＝，解得CE＝3， ∴AD＝3. (变式1题图) 新题好题 一练提优 【变式2】如图，在△ABC中，AB是⊙O的弦，AC过点O交⊙O于点P，BC是⊙O的切线. (1)若∠C＝30°，则线段OA与OC的数量关系为_____________； (变式2题图) OC＝2OA 新题好题 一练提优 (2)写出∠A与∠C的数量关系，并证明； 解： 2∠A＋∠C＝90°，证明如下： 如解图，连接OB. ∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°， ∴∠C＋∠BOC＝90°. ∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA. ∵∠BOC＝∠A＋∠OBA＝2∠A， ∴2∠A＋∠C＝90°. (变式2题图) （变式2题解图） 新题好题 一练提优 (3)过点O作OD⊥AB于点G，交⊙O于点D，根据题意补全图形，若OG∶GD＝3∶2，CP＝6，求BC的长. 解：补全图形如图，连接BP. ∵OD⊥AB，∴AG＝BG. ∵OG∶GD＝3∶2， ∴设OG＝3x，则DG＝2x， ∴AO＝BO＝DO＝5x， ∴AG＝BG＝＝4x，AP＝10x， 新题好题 一练提优 ∴AB＝8x. ∵AP是⊙O的直径， ∴∠ABP＝90°， ∴BP＝＝6x. 由(2)知∠OBC＝90°，∠BOP＝2∠A. ∵OB＝OP， 新题好题 一练提优 ∴∠OPB＝＝90°－∠A， ∴∠CBP＝90°－∠OBP＝∠A， ∴△BCP∽△ACB， ∴＝，即＝， ∴BC＝8. 新题好题 一练提优 【变式3】如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，＝2，连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD的延长线与BF的延长线相交于点G. (1)若∠AFB＝70°，则∠ADC的度数为______； (变式3题图) 40° 新题好题 一练提优 (2)连接CO，AC，连接DO并延长交AC于点M，根据题意补全图形，探究DM与AC的位置关系，并说明理由； (变式3题解图) 解：补全图形如解图. DM⊥AC，理由如下： ∵＝2， ∴∠ADC＝2∠BAD. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ADC＝2∠ODA，∴∠ODC＝∠ODA. (变式3题图) 新题好题 一练提优 ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODA＝∠OAD. 又∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠ACD＝∠CAD. 又∵MD＝MD，∴△CMD≌△AMD(AAS)， ∴∠AMD＝∠CMD＝＝90°， ∴DM⊥AC. (变式3题解图) 新题好题 一练提优 (3)在(2)的条件下，若CD∙AF＝16，求⊙O的直径. 解：如解图，连接BD.  ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠ABF. 又∵∠BAD＝∠FAB， ∴△ABD∽△AFB， ∴＝， (变式3题解图) 新题好题 一练提优 ∴AB2＝AD∙AF. 由(2)知∠CAD＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴AB2＝CD∙AF. ∵CD∙AF＝16，∴AB＝4， ∴⊙O的直径为4. (变式3题解图) 新题好题 一练提优 【变式4】(2025铜仁印江县模拟)如图，已知四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，且CA＝CD，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，弦CD交AB于点F. (1)写出图中一个与∠DCE相等的角：__________； (变式4题图) ∠CAD 新题好题 一练提优 (2)求证：BC2＝BD∙BE； (变式4题图) 证明：∵CA＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA. ∵∠ADC＝∠ABC， ∴∠CAD＝∠ABC. ∵∠CAD＋∠CBD＝180°， ∠CBE＋∠ABC＝180°， 新题好题 一练提优 ∴∠CBD＝∠EBC. ∵∠ECB＝∠CAB，∠CAB＝∠CDB， ∴∠ECB＝∠CDB，∴△ECB∽△CDB， ∴＝，∴BC2＝BD∙BE. (变式4题图) 新题好题 一练提优 (3)若BE＝1，tan∠BAC＝，求的值. (变式4题图) 解：由(2)知△ECB∽△CDB， ∴∠E＝∠DCB. ∵∠DCB＝∠DAB，∴∠E＝∠DAB， ∴AD∥CE，∴△CEF∽△DAF， ∴＝. ∵∠ECB＝∠CAE，∠CEB＝∠AEC， ∴△CEB∽△AEC. 又∵tan∠BAC＝，∴＝＝＝. 新题好题 一练提优 ∵BE＝1， ∴CE＝2，AE＝4， ∴AB＝AE－BE＝3，∴BC＝. 由(2)知BC2＝BD∙BE，∴BD＝. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴AD＝＝， ∴＝＝＝. (变式4题图) 新题好题 一练提优 如图，AB是⊙O的直径，D是半圆AB的中点，点C是⊙O上一点，连接CD交AB于点E，点P是BA延长线上一点，连接PC，且PC＝PE，连接AD，AC，BC. (1)∠BAD的度数是_____； (例题图) 45° 【解题突破点】 ①连接OD，D是半圆AB的中点→∠AOD＝∠BOD ②∠BAD＝∠BOD 新题好题 一练提优 证明：如解图，连接OC，OD，则OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC. ∵D是半圆AB的中点， ∴＝， ∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90° (2)求证：PC是⊙O的切线； (例题图) (例题解图) 【解题突破点】 ①PC＝PE→∠PCE＝∠PEC ②连接OC，∠OCP＝∠OCD＋∠PCE＝∠ODC＋∠OED 新题好题 一练提优 ∵PC＝PE，∠PEC＝∠OED， ∴∠PCE＝∠PEC＝∠OED， ∴∠OCP＝∠OCD＋∠PCE＝∠ODC＋∠OED＝90°. ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线. (例题解图) 新题好题 一练提优 (3)若PC＝8，tan D＝，求⊙O的半径. 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠B＝∠ADC，tan∠ADC＝， ∴tan B＝＝. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B. ∵∠PCA＋∠OCA＝90°，∠OCB＋∠OCA＝90°， (例题解图) (例题图) 【解题突破点】 ①tan D＝，∠ADC＝∠ABC→的值 ②△PCA∽△PBC→＝＝ 新题好题 一练提优 ∴∠PCA＝∠OCB， ∴∠PCA＝∠B. ∵∠P＝∠P， ∴△PCA∽△PBC， ∴＝＝＝， ∴PA＝PC＝4，PB＝2PC＝16， ∴AB＝PB－PA＝16－4＝12， ∴OA＝AB＝6， ∴⊙O的半径长为6. (例题解图) 新题好题 一练提优 【变式1】如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是BC的中点，连接DO并延长至点E，连接AE，且∠B＝∠E. (1)图中与∠AOE相等的角是_____________________； (变式1题图) ∠BOD(或∠BAC)　 新题好题 一练提优 (2)求证：AE为⊙O的切线； 证明：∵D是BC的中点，O是AB的中点， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠ACB. ∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BOD＝90°. ∵∠B＝∠E，∠BOD＝∠AOE， (变式1题图) 新题好题 一练提优 ∴∠E＋∠AOE＝90°， ∴∠OAE＝90°， ∴AE⊥AB. ∵OA为⊙O的半径， ∴AE为⊙O的切线. (变式1题图) 新题好题 一练提优 (3)若⊙O的半径为4，OE＝2，连接AD，求AD的长. (变式1题图) 解：∵⊙O的半径为4，OE＝2， ∴AE＝＝2. ∵∠OAE＝∠ACB＝90°，∠B＝∠E， ∴△AOE∽△CAB， ∴＝＝，即＝＝， 新题好题 一练提优 解得AC＝，BC＝. ∵D是BC的中点， ∴CD＝BC＝， ∴AD＝＝. (变式1题图) 新题好题 一练提优 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点.连接PC，AC，OC，且PC＝PA. (1)若∠P＝50°，则∠PAC的度数为_______； (变式2题图) 65° 新题好题 一练提优 证明：∵AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A， ∴AP⊥AB， ∴∠OAP＝90°. ∵OC＝OA，PC＝PA， ∴∠OCA＝∠OAC， ∠PCA＝∠PAC， ∴∠OCP＝∠OCA＋∠PCA＝∠OAC＋∠PAC＝∠OAP＝90°. ∵OC是⊙O的半径， ∴PC为⊙O的切线. (2)求证：PC为⊙O的切线； (变式2题图) 新题好题 一练提优 (3)延长PC与AB的延长线交于点D，若PA＝，OA＝1，求图中阴影部分的面积. 解：如解图，连接OP，则∠OPA＝∠OPD. ∵∠OAP＝90°，PA＝，OA＝OC＝1， ∴tan∠OPA＝＝＝， ∴∠OPA＝30°， ∴∠APD＝2∠OPA＝60°， ∴∠D＝90°－∠APD＝30°. (变式2题解图) (变式2题图) 新题好题 一练提优 ∵∠OCD＝90°， ∴∠COB＝90°－∠D＝60°，OD＝2OC＝2， ∴CD＝＝＝， ∴S阴影＝S△COD－S扇形COB ＝×1×－ ＝－， ∴阴影部分的面积为－. 新题好题 一练提优 (2024遵义汇川区三模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接BD，AD，CD，CE平分∠ACB交BD于点E. (1)写出图中一个与∠ACD相等的角：___________________________； (例题图) ∠ABD(或∠CBD或∠DAC)　 新题好题 一练提优 解：△CDE是等腰三角形，理由如下： ∵D是的中点，∴＝， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACD. ∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE. ∵∠DCE＝∠ACD＋∠ACE＝∠CBD＋∠BCE＝∠DEC， ∴DE＝DC，∴△CDE是等腰三角形. (2)判断△CDE的形状，并说明理由； (例题图) 【解题突破点】 ①D是的中点→∠ABD＝∠CBD＝∠ACD ②CE平分∠ACB→∠ACE＝∠BCE 新题好题 一练提优 (3)若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，求AC的长. 解：如解图，连接OA，连接OD交AC于点F. ∵∠ABC＝60°，D是的中点， ∴∠ABD＝30°，∠OFA＝90°，∴∠AOD＝60°. 又∵OA＝2，∴AF＝3.∵OF⊥AC，∴AC＝2AF＝6. (例题图) 【解题突破点】 ①连接OA，连接OD交AC于点F ②在Rt△AOF中，∠AOF＝60° (例题解图) 新题好题 一练提优 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，点E在OC上，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC于点F. (1)线段AD与BD的数量关系是____________； (变式1题图) AD＝BD 新题好题 一练提优 证明：∵AC是⊙O的直径，DF⊥DE， ∴∠ADC＝90°，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠EDC＝90°，∠CDF＋∠EDC＝90°. ∴∠ADE＝∠CDF. ∵∠ADC＝90°，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴AD＝CD，∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠DCF＝90°.∴∠DAC＝∠DCF.在△ADE和△CDF中， ，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF. (2)求证：AE＝CF； (变式1题图) 新题好题 一练提优 (3)延长DE，BC交于点M，根据题意补全图形，若DF＝1，ME＝2，求⊙O的半径. 解：补全图形如解图，连接OD. ∵△ADE≌△CDF，∴DE＝DF＝1. ∵ME＝2，∴MD＝ME＋DE＝3. 在Rt△MDF中，∠MDF＝90°， ∴MF＝＝. 在△MDF和△MCE中， ∵∠ECM＝∠MDF＝90°，∠M＝∠M， (变式1题图) (变式1题解图) 新题好题 一练提优 ∴△MDF∽△MCE， ∴＝，即＝，∴CE＝. ∵AO＝OD，∠OAD＝45°，∴∠AOD＝90°. ∵∠EOD＝∠ECM＝90°，∠OED＝∠CEM， ∴△EOD∽△ECM，∴＝，∴OE＝， ∴OC＝OE＋EC＝＋＝， ∴⊙O的半径为. 新题好题 一练提优 【变式2】如图，点O是△ABC内部一点，CO平分∠ACB，以点O为圆心，OC长为半径的圆经过点B，交AC于点D，连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED并延长交AB于点F. (1)线段OC与EF的位置关系是_____________； (变式2题图) OC∥EF 新题好题 一练提优 (2)若∠EBF＝2∠A，求∠EFB的度数； (变式2题图) (变式2题解图①) 如解图①，由(1)易知∠1＝∠2＝∠3＝∠4. 设∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝α，∠A＝β， 则∠ADF＝∠3＝α，∠DCB＝∠1＋∠2＝2α，∠EBF＝2∠A＝2β， ∴∠E＝∠DCB＝2α，∠EFB＝∠ADF＋∠A＝α＋β. 新题好题 一练提优 ∵在△BEF中，∠EFB＋∠E＋∠EBF＝180°， ∴α＋β＋2α＋2β＝180°， ∴α＋β＝60°， ∴∠EFB＝α＋β＝60°. (变式2题解图①) 新题好题 一练提优 (3)在(2)的条件下，若F是AB的中点，⊙O的半径为1，求AB的长. (变式2题解图①) 如解图②，连接BD，延长CO交BD于点R，交AB于点N， 设DF＝m.∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE＝∠BDF＝90°. 由(2)知∠EFB＝60°， ∴∠DBF＝90°－∠EFB＝30°，∴BF＝2DF＝2m， 新题好题 一练提优 ∴BD＝＝m. 由(1)知OC∥EF， ∴∠CRB＝∠BDE＝90°，即CR⊥BD， ∴DR＝BR＝BD＝. ∵RN∥DF，∴RN是△BDF的中位线， ∴RN＝DF＝，FN＝BN＝BF＝m. ∵F是AB的中点，∴AF＝BF＝2m， 新题好题 一练提优 ∴AN＝AF＋FN＝3m，AB＝AF＋BF＝4m. 又∵OC∥EF，∴△ADF∽△ACN，∴＝， ∴CN＝＝＝， ∴OR＝CN－RN－OC＝－－1＝m－1. 新题好题 一练提优 在Rt△OBR中，由勾股定理得OB2＝OR2＋BR2， ∴12＝(m－1)2＋()2，整理得7m2－8m＝0， 解得m＝，m＝0(不合题意，舍去)， ∴AB＝4m＝. 新题好题 一练提优 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $