第一部分 6 培优专题六 圆中最值及隐形圆问题-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“圆中最值及隐形圆问题”核心考点，严格对接贵州新中考要求，系统梳理点圆最值、线圆最值、定点定长、定弦定角、四点共圆等常考类型，通过模型解读、例题解析及针对训练，精准覆盖中考几何难点，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“模型引领+真题突破+素养提升”模式，如点圆最值中“三点共线求最值”模型，结合矩形背景例题示范“圆心距+半径”解题法，培养学生几何直观与推理能力。针对定弦定角问题，通过构造辅助圆转化最值，帮助学生掌握答题技巧，教师可依此设计专题训练，助力学生高效冲刺中考。

二轮重难培优 数学 第一部分 贵州培优专题强训 培优专题六　圆中最值及隐形圆问题 深研贵州统考方向 已知条件：⊙O上一动点P，⊙O的半径为r，点A，求AP的最值 情况1：点A在⊙O外 模型分析：连接AO，直线AO与⊙O交于点P1，P2 当A，O，P三点共线时，AP取得最值，最小值为P1A＝OA－r，最大值为P2A＝OA＋r 图形展示： 新题好题 一练提优 情况2：点A在⊙O上 模型分析：当点A与点P重合时，AP取得最小值，最小值为0； 当A，O，P三点共线时，AP取得最大值，最大值为2r 图形展示： 新题好题 一练提优 情况3：点A在⊙O内 模型分析：连接AO，直线AO与⊙O交于点P1，P2 当A，O，P三点共线时，AP取得最值，最小值为P1A＝r－OA，最大值为P2A＝r＋OA 图形展示： 新题好题 一练提优 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E为BC的中点，以BE为直径作⊙O，点P为⊙O上一点，连接DP，则DP的最大值为_____________. (例题图)　 2＋2 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：定点：点D；⊙O上动点：点P 特征②：求定点D到⊙O上动点P的最大值 ➡辅助线 连接DO并延长交⊙O于点P′ ➡找最值 DP的最大值为线段DP′的长 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接DO并延长交⊙O于点P′，则DP的最大值为线段DP′的长.∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，BE为⊙O的直径，∴CD＝4，OP′＝OE＝OB＝2，OC＝BC－OB＝6，∴OD＝＝＝2，∴DP′＝OP′＋OD＝2＋2，∴DP的最大值为2＋2. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(5，0)，以点B为圆心，3为半径的⊙B上有一动点P，连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则 OC的最小值为_________. (第1题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，在y轴负半轴上取OQ＝OA，连接QB交⊙B于点P.∵C为AP的中点，∴OC是△APQ的中位线，∴OC＝PQ，∴当PQ取得最小值时，OC的值最小. 当点P在线段QB上时，PQ的值最小. ∵A(0，5)，B(5，0)，∴OA＝OB＝OQ＝ 5，∴QB＝＝5.∵⊙B的半径为3，∴PQ＝5－3，∴OC＝PQ＝，∴OC的最小值为. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为___________. (第2题图) 2＋1 新题好题 一练提优 【解析】如解图，当⊙O与BC，BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值.设⊙O与BC，BA的切点分别为E，F，连接OE，OF，OB，则OE⊥BC，OF⊥AB.∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，∴tan∠ABC＝＝，AB＝ ＝4，∴∠ABC＝60°，∴∠OBF＝30°.∵OF＝OE＝OD＝1，∴BF＝＝，∴AF＝AB－BF＝3，∴OA＝＝2，∴AD＝OA＋OD＝2＋1，∴点A到⊙O上的点的距离的最大值为2＋1. (第2题解图) 新题好题 一练提优 已知条件：⊙O上一动点P，⊙O的半径为r，直线l，求点P到直线l的距离的最值 情况1：直线l与⊙O相离 模型分析：过点O作直线l的垂线，交⊙O于点P1，P2，垂足为D 点P到直线l的距离的最小值为P2D＝OD－r，最大值为P1D＝OD＋r 图形展示： 新题好题 一练提优 情况2：直线l与⊙O相切 模型分析：过点O作直线l的垂线，交⊙O于点P1，P2，垂足为D 当点D与点P重合时，点P到直线l的距离取得最小值，最小值为0； 当PD为直径时，点P到直线l的距离取得最大值，最大值为P1D＝2r 图形展示： 新题好题 一练提优 情况3：直线l与⊙O相交 模型分析：过点O作直线l的垂线，交⊙O于点P1，P2，垂足为D 点P到直线l的距离的最小值为P2D＝r－OD，最大值为P1D＝r＋OD 图形展示： 新题好题 一练提优 如图，在ABCD中，AB＝3，BC＝5，E是边AB的中点，以点A为圆心，AE长为半径作⊙A，P是⊙A上一动点，连接BP，CP.若ABCD 的面积为10，则△BPC的面积最小值为_____. (例题图) 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：定线段：BC；动点：点P(点P在⊙A上) 特征②：间接求动点到定线段的最小值 ➡辅助线 过点A作AF⊥BC交⊙A于点G，交BC于点F ➡找最值 动点P到定线段BC的最小值为线段GF的长 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点A作AF⊥BC，垂足为F，AF交⊙A于点G.∵ABCD的面积为10，BC＝5，∴AF＝2. 设点P到边BC的距离为h，则S△BPC＝BC∙h＝. 当点P与点G重合时，h取得最小值， 最小值为GF的长，此时△BPC的面积取得最小值. ∵E是边AB的中点，∴AG＝AE＝AB＝，∴GF＝AF－AG＝2－＝， ∴△BPC的面积的最小值为×5×＝. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，点O为矩形ABCD的中心，AB＝8，BC＝6，⊙B的半径为2，P是⊙B上一个动点，则△AOP面积的最小值为_____. (第1题图) 7 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接AC，过点B作BH⊥AC于点H，交⊙B于点G，过点G作直线a∥AC.∵点O为矩形ABCD的中心，∴AC必过点O.∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝10，∴OA＝AC＝5.∵S△ABC＝ AB∙BC＝AC∙BH，∴BH＝＝.∵BH⊥AC，a∥AC，∴直线a是⊙B的 切线，∴GH＝BH－BG＝. 当点P到AC的距离最短，即最短距离为GH的长 时，△AOP的面积最小，此时点P与点G重合，∴△AOP面积的最小值为×5× ＝7. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC，BC，∠C＝60°，⊙O的半径为2，则△ABC面积的最大值是_______. (第2题图) 3 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点C作CM⊥AB于点M，连接OB.∵弦AB已确定，∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可.当线段CM过圆心O时，CM的值最大.∵CM⊥AB，CM过点O，∴CM垂直平分AB，∴AM＝BM，∴AC＝BC.∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形. ∵OC＝OB＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝∠OBA＝30°，∴OM＝1，∴CM＝OC＋OM＝3，BM＝，∴AB＝2BM＝2，∴△ABC面积的最大值是AB∙CM＝×2×3＝3. (第2题解图) 新题好题 一练提优 作图原理：圆的定义 求最值原理：点圆最值/线圆最值 1.一点作圆 条件：平面内，点O为定点，点A为动点，且OA长度固定 结论：点A的运动轨迹在以点O为圆心，OA长为半径的圆上 新题好题 一练提优 2.三点作圆 条件：OA＝OB＝OC 结论：点A，B，C均在⊙O上 新题好题 一练提优 3.定点定长作圆在图形变化中的应用 类型 翻折生圆 旋转生圆 条件 在矩形ABCD中，E是AB边上的定点，F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′ 新题好题 一练提优 类型 翻折生圆 旋转生圆 图示 结论 点B′的运动轨迹是以点E为圆心，BE长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心，AB(AC)长为半径的一段圆弧 (如图中的虚线圆弧) 新题好题 一练提优 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上的动点(不与B，C重合)，连接DE，作点C关于DE的对称点C′，连接BC′，则BC′的最小值为____. (例题图)　 4 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：定点：点D；动点：点C′(随点E的运动而运动) 特征②：连接定点和动点的线段长度固定，即DC′＝6 ➡辅助线 以点D为圆心，DC长为半径作⊙D，连接BD交⊙D于点C″ ➡找最值 BC′的最小值为线段BC″的长 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D，连接BD交⊙D于点C″，BC″即为BC′的最小值.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝C″D＝AB＝6，∠BCD＝90°，∴BD＝＝10，∴BC″＝BD－C″D＝4，∴BC′的最小值为4. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，点A，B的坐标分别为A(4，0)，B(0，4)，C为平面直角坐标系内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为___________. (第1题图) 1＋2 新题好题 一练提优 【解析】∵C为平面直角坐标系内一点，BC＝2，∴点C的运动轨迹在半径为2的⊙B上，如解图，在x轴负半轴上取OD＝OA＝4，连接BD.∵点M为线段AC的中点，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，∴CD取最大值时，OM取最大值，此时D，B，C三点共线.在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2＋4，∴OM的最大值是1＋2. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，正方形ABCD的边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF.若2BE＝3DF，则BF的最小值为__________. (第2题图) 4－2 新题好题 一练提优 【解析】∵2BE＝3DF，∴＝.如解图，过点F作EF的垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M，∴∠FMD＝∠EDB， ∴△MDF∽ △DBE，∴＝＝.∵正方形ABCD的边长为6，∴BD＝＝6，∴MD＝4.取MD的中点为O，∴OD＝2， (第2题解图) 新题好题 一练提优 ∴点F在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，连接OB，OF，在Rt△BDO中，OB＝＝4，当点F在线段OB上，即O，F，B三点共线时，BF取得最小值，此时BF＝OB－OF＝4－2，∴BF的最小值为4－2. (第2题解图) 新题好题 一练提优 作图原理：圆周角定理及其推论 条件：在△ABC中，AB为定长，∠C为定角 情况1：当∠C＜90°时 图形展示： 结论：①∠C1＝∠C2＝∠AOB ②点C的运动轨迹为优弧ACB(不与点A，B重合) 新题好题 一练提优 情况2：当∠C＝90°时 图形展示： 结论：①AB为⊙O的直径 ②点C的运动轨迹为⊙O(不与点A，B重合) 新题好题 一练提优 情况3：当∠C＞90°时 图形展示： 结论：①∠C＋∠AOB＝180° ②点C的运动轨迹为劣弧ACB(不与点A，B重合) 新题好题 一练提优 如图，已知正方形ABCD的边长为8，M为正方形内部的一个动点，连接MD，且∠AMD＝90°，连接CM，则CM的最小值为___________. (例题图) 4－4 新题好题 一练提优 ➡寻题眼 特征①：定弦：AD；定角：∠AMD＝90° 特征②：求定点C到动点M的最小值 ➡辅助线 ①取AD的中点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆 ②连接OC交⊙O于点M′ ➡找最值 CM的最小值为线段CM′的长 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】∵∠AMD＝90°，∴点M是在以AD为直径的圆上运动.如解图，取AD的中点O，以点O为圆心，OA长为半径作圆，连接OC交⊙O于点M′.当点M在点M′处时，CM的值最小.∵正方形ABCD的边长为8，∴OA＝OD＝OM′＝4，∴OC＝＝4，∴CM′＝OC－OM′＝4－4，∴CM的最小值为4－4. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为_______. (第1题图) 2 新题好题 一练提优 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°.∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD＝∠CBE.又∵∠AFE＝∠BAD＋∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆弧.如解图，当O，F，C三点共线时，CF的值最小. (第1题解图) 新题好题 一练提优 易得∠AOB＝∠AFB＝120°，OC⊥AB，∴∠COB＝60°，∠OBA＝30°，∴∠OBC＝30°＋60°＝90°.∵AB＝6，∠OBA＝30°，OC⊥AB，∴易得OB＝2，∴OC＝＝4，∴CF的最小值为OC－OF＝4－2＝2. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连接AD，使得△ACD的面积为24，连接BD，则BD的最大值是_____________. (第2题图) 2＋4　 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点C向上作线段CE⊥BC，使得CE＝8，连接DE. 由 题意得∠ACD＝90°.∵△ACD的面积为24，∴AC∙CD＝24，∴AC∙CD＝48.∵BC＝6，∴BC∙CE＝6×8＝48，∴AC∙CD＝BC∙CE，∴＝.∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠ACD＝90°. (第2题解图) 新题好题 一练提优 ∵∠BCE－∠ACE＝∠ACD－∠ACE，∴∠ACB＝∠ECD，∴△ECD∽△ACB，∴∠EDC＝∠ABC＝90°，∴点D在以CE为直径的圆上运动，圆心为直径CE的中点O，即⊙O的半径OD＝4. 当B，O，D三点共线时，BD的值最大.在Rt△BOC中，BO＝＝＝2，∴BD＝BO＋OD＝2＋4，∴BD的最大值为2＋4. (第2题解图) 新题好题 一练提优 1.对角互补型 条件：在四边形ABCD中，∠D＋∠B＝ 180° 图形展示： 结论：利用圆内接四边形的对角互补，可得A，B，C，D四点共圆 新题好题 一练提优 2.同侧等角型 条件：点C，D在AB的同侧，且∠C＝∠D 图形展示： 结论：利用同弧所对的圆周角相等，可得A，B，C，D四点共圆 新题好题 一练提优 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为斜边作Rt△BDC，连接AD，过点D作DE⊥AD交AB于点E，若∠BAD＝∠CBD，且cos∠BAD＝，则AD的长为____. (例题图) 新题好题 一练提优 ➡ 寻题眼 特征①：DE⊥AD，Rt△BDC，∠BAD＝∠CBD→∠BCD＋∠BED＝180° 特征②：∠BDC＝90° ➡辅助线 点B，C，D，E在以BC为直径的圆上 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】∵BD⊥CD，DE⊥AD，∴∠CBD＋∠BCD＝90°＝∠BAD＋∠AED.∵∠BAD＝∠CBD，∴∠BCD＝∠AED.∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠BCD＋∠BED＝180°，∴点B，C，D，E在以BC为直径的圆上.如解图，设BC的中点为点O，以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O，延长AD交⊙O于点F，连接BF，CF，EF，CE， (例题解图) 新题好题 一练提优 由圆周角定理得∠CFD＝∠CBD，∠BFC＝∠BEC＝90°，∴∠CFD＝∠BAD，∴AB∥CF，∴∠EBF＝90°，∴四边形BECF是矩形，∴CE＝BF.在Rt△ABF中， cos∠BAD＝＝＝，解得AF＝5，∴CE＝BF＝ ＝3.∵AC＝3，∴AE＝＝3. 在Rt△ADE中，AD＝AE∙cos∠BAD＝3×＝. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC的中点，连接AD.在AC上找一点E，使得∠CAD＝∠CBE，则AE＝_______. (第1题图) 3 新题好题 一练提优 【解析】如解图，连接DE.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4.∵D是BC的中点，∴CD＝BC＝2.∵∠CAD＝∠CBE，∴A，B，D，E四点共圆，∴∠AED＝∠ABD＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝CE＝CD＝，∴AE＝AC－CE＝3. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，正方形ABCD的边长为6，对角线AC，BD交于点O，E是正方形外一点，且BE⊥CE，连接OE.若CE＝BC，则OE的长为________. (第2题图) 4＋ 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点B作BH⊥OE于点H.∵四边形ABCD是正方形， BC＝6，∴∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，OB＝＝ ＝3. ∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∴∠BOC＋∠BEC＝180°，∴B，E，C，O四点共圆，∴∠BEO＝∠BCO＝45°，∴△BHE是等腰直角三角形. (第2题解图) 新题好题 一练提优 ∵BE⊥CE，CE＝BC＝2，∴BE＝＝4，∴BH＝EH＝＝4. 在Rt△BOH中，OH＝＝＝，∴OE ＝HE＋OH＝4＋. (第2题解图) 新题好题 一练提优 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $