5.1.1 从算式到方程（第1课时） 课件 2025-2026学年人教版数学七年级上册

5.1 方程 第5章 一元一次方程 5.1.1 从算式到方程 1. 了解方程及一元一次方程的概念. 2. 通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想. 复习旧知 小学我们已经学过简易方程，你能判断出下列各式哪些是方程吗？ (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) (6) ( ) √ × √ × √ × 含有未知数的等式叫做方程. 0.8x+3 1.2x+1 乙队距大本营的路程 甲队距大本营的路程 ＝ ＝ 因此 未知数 未知数 根据实际问题中的相等关系得到一个含有未知数x的等式. 探究新知列方程 活动二 经典例题 问题1　用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？ 设大水杯的单价为x元． 那么小水杯的单价为(x-5)元． 想一想，题目中有什么等量关系？ 由这个含有未知数 x 的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯的单价. 探究新知列方程 3个大水杯的总价＝4个小水杯的总价. 总价＝单价×数量 3x＝4(x-5) 活动二 经典例题 由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长，进而可以求出纪念币的宽. 探究新知列方程 活动二 规则： 1.先独立思考再作答，正确回答 +2分 2.补充质疑 +2分 1.2x+1=0.8x+3 1.都含有未知数 2.都是等式 3x=4(x-5) 想一想，有什么共同点？ 通过归纳探定义 活动三 1.都含有未知数 2.都是等式 想一想，有什么共同点？ 像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程. 观察比较探定义 1.2x+1=0.8x+3 3x=4(x-5) 活动三 从算式到方程 方程的溯源 汉语中“方程”一词源于讨论含多个未知数的等式的问题.我国古代数学著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中以一些实际应用问题为例，给出了由几个一次方程组成的方程组的解法，称为“方程术”.19世纪50年代，清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始将equation(指含有未知数的等式)一词译为“方程”. 从算式到方程 对比算式方法与方程 方程 算术方法 用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数，对于较复杂的问题，列算式比较困难. 方程是根据问题中的 相等关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，解决问题比较方便. 从算式到方程是数学的一大进步！ 例题讲解 根据下列问题，设未知数并列出方程： （1）某校女生占全体学生数的 52%，比男生多 80人，这所学校有多少名学生？ 例1 解 设这所学校有 x 名学生 . 女生数为 0.52x . 男生数为 (1-0.52)x . 根据“女生比男生多80人”列方程：0.52x -(1-0.52)x = 80 例题讲解 根据下列问题，设未知数并列出方程： （2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长. 例1 解 设正方形绿地的边长为x m. 沿某一方向加宽5 m后的长为（x+5）m. 根据“扩大后的绿地面积是500 m2”， 列方程：x（x+5）＝500 得 x2 + 5x = 500 归纳：将一个实际问题转化为方程问题的思路 实际问题 方程 设未知数，用含有未知数的等式表示相等关系 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法. 从算式到方程 变式训练：如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m，扩大后的绿地面积是 500 m2，求正方形绿地的边长. 解：设正方形绿地的边长为 x m. +5分 5 m 相等关系2：扩大后大长方形的长×宽=500m2 由题意可得： x(x+5) = 500 变式训练 1.列等式表示： （1）b的三分之一等于9； （2）x的2倍与10的和等于18. 2.根据下列图形中标出的量及其满足的关系，列出方程： 2x +10= 18 +2分 +3分 x+(x+2)+(x+3)= 14 x+x+3x= 180 达标测试 甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km.多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 3.解决引言中的问题（设未知数并列出方程） 相遇 大本营 一号营地 二号营地 峰顶 甲队 1km 乙队 3 km 甲队出发点 乙队出发点 想一想，甲队追上乙队时，它们距离大本营的路程有什么关系? 达标测试 V甲= 1.2 km/h V乙= 0.8 km/h 相遇 大本营 一号营地 二号营地 峰顶 甲队 1km 乙队 3 km 甲队出发点 乙队出发点 解：设两队行进的时间为 x h， 由题意可得：1.2x + 1 = 0.8x + 3 甲队距大本营的路程 = 乙队距大本营的路程 甲距大本营（1.2x + 1）km 乙距大本营（0.8x + 3）km 达标测试 课堂小结，展望提升 实际问题 方程 实际问题的解 方程的解 建立数学模型 找、设、列 在问题1中，设大水杯单价为x元 得方程 3x＝4(x－5) 例1中的方程② 3x + y = 10； 在问题2中，设纪念币的长为x mm 得方程 一元一次方程 二元一次方程 一元二次方程 方程的解 对于方程4x = 24，容易知道x = 6可以使等式成立， 对于方程 170+15x =245，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？我们来试一试. x 1 2 3 4 5 6 … … 我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程170+15x = 245中的未知数的值应是5． 185 200 215 230 245 260 170+15x 思 考 新知探究 2x-3=5x-15 x=4是方程2x-3=5x-15的解. 左边=2×3-3 = 3 右边=5×3-15 = 0. x= 4, 5, 6时呢? x=3是不是方程的解呢？ 把x=3代入方程 因为左边≠右边 所以x=3不是方程的解. 解： 新知探究 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 在“猜年龄”游戏中，当被告知计算的结果是21时，我们所列的方程为2x－5＝21，从而求出年龄是13.由于13能使方程的两边相等，我们就把13叫做方程2x－5＝21的解. x=420是 - = 1方程的解吗?　　　　　 新知探究 例检验下列各数是不是方程5x－2＝7＋2x的解，写出检验过程．(1)x＝2；　　　(2)x＝3. 解：(1)将x＝2代入，左边＝8，右边＝11，左边≠右边，故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解． (2)将x＝3代入，左边＝13，右边＝13，左边＝右边，故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解． 新知探究 1. 将数值代入方程左边进行计算； 2. 将数值代入方程右边进行计算； 3. 若左边=右边，则是方程的解，反之，则不是． 判断一个数值是不是方程的解的步骤： 归纳小结 新知探究 达标测试 达标测试 达标测试 达标测试 达标测试 3.一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是70km/h，慢车的行驶速度是60km/h，快车比慢车早1 h经过B地， (2)如果用表示快车行完AB的总时间，你能从快车与慢车的路程关系中找到等量关系，从而列出方程吗？ A B 快车 慢车 1h 解：分析快车所走行程为,慢车所走行程为 等量关系为：快车小时路程=慢车小时路程 ∴ 达标测试 4．下列等式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 5．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． D B 达标测试 6.若关于的方程是是一元一次方程，则=_______. 7.是不是方程的解. 解：当时，方程左边=， 右边=，左边≠右边， 所以不是此方程的解. 达标测试 8.根据下列问题，设未知数并列出方程 (1).甲种铅笔每支1.4元,乙种铅笔每支1.8元，用23元钱买这两种铅笔,一共买了15支,两种铅笔各买了多少支? 解:(1)由题意得，设甲种铅笔买了支,则乙种铅笔买了支 则可得方程: 达标测试 32 8.根据下列问题，设未知数并列出方程: (2).有两条电线,第一条长,第二条长.要从第一条截下一段接在第二条上,使两条电线长度相等，求截下的那段电线的长度(两条电线接头部分的长度忽略不计) 解:(2)设截下的那段电线的长度为， 根据题意得，. 达标测试 33 8.根据下列问题，设未知数并列出方程: (3).某圆环形状的工件如图所示,它的面积是,外沿大圆的半径是,内沿小圆的半径是多少厘米? 解:(3)设小圆的半径为, 由题意得 达标测试 34 1.根据下列题干设未知数并列方程，然后判断它是 不是一元一次方程. （1）从60 cm长的木条上截去两段同样长的木条，还剩 下10cm长的木条，截下的每段木条的长为多少厘米？ （2）小红对小敏说：“我是6月份出生的，我的年龄的2 倍加上10，正好是我出生的那个月的总天数，你猜我几岁？” 解：（1）设截下的每段木条的长为x cm， 由题意得 ，是一元一次方程. （2）设小红x岁， 由题意得 ，是一元一次方程. 2 检验下列括号中的数是否为对应方程的解. （1） （ ， ）； （2） （ ， ）. 解析：（1）把 代入方程的左、右两边， 左边 ，右边 ，左边 右边， 所以 不是方程 的解； 把 代入方程的左、右两边，左边 ， 右边 ，左边=右边， 所以 是方程 的解. 解：（2）把 代入方程的左、右两边，左边 右边 ，左边=右边， 所以 是方程 的解； 把 代入方程的左、右两边，左边 ， 右边 ，左边 右边， 所以 不是方程 的解. $