专题15 方程与等式的性质（4知识点+9大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题15 方程与等式的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 知识点02 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 知识点03 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【题型1 判断各式是否是方程】 例题：（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是方程，不符合题意； B、，不含未知数，不符合题意； C、，不是方程，不符合题意； D、，是方程，符合题意； 故选D． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下面的式子不是方程的是（   ） A． B． C． 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此可得答案． 【详解】解：由方程的定义可知，和都是方程，不是方程， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①，没有未知数，不是方程，此选项不符合题意； ②，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ③，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ④，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ⑤，有未知数，不是等式，不是方程，此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】此题考查方程的概念，解题关键在于掌握含有未知数的等式叫做方程． 由方程的概念可知，是方程则需满足以下条件：①方程中必须含有未知数；②是等式． 依据方程的概念对所给式子逐一进行判断，从而得出正确答案的． 【详解】解：①不含未知数，故①不是方程； ③④不是等式，故③④不是方程； ②⑤⑥⑦中含有未知数且是等式，符合方程的概念，故②⑤⑥⑦是方程． 综上所述，所给式子中是方程的有②⑤⑥⑦，共4个． 故选：C． 【题型2 列方程】 例题：（24-25七年级上·湖北孝感·期末）列方程表示“的3倍与5的和等于”为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意直接列出一元一次方程即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程： ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了由具体问题抽象出一元一次方程，关键是抓住题目中的关键词语，如：倍、差、和等．首先表示出“某数的3倍”为，再表示出“与4的差”可得，进而得到方程． 【详解】解：已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程：， 故答案为：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列一元一次方程 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列一元一次方程，依据“比a的3倍大5的数等于a的4倍”即可列出一元一次方程. 【详解】解：由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列得： 故答案为： ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 【题型3 判断是否是一元一次方程】 例题：（24-25七年级下·四川巴中·期中）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题考查一元一次方程的一般形式，解题关键在于掌握其定义只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a，b是常数且），根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、最高次数是2，故不是一元一次方程，故A不符合题意； B、是一元一次方程，故B符合题意； C、不是等式，故C不符合题意； D、不是整式方程，故D不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列四个方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由一元一次方程的定义可知，四个方程中，只有方程是一元一次方程， 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）下列各式：①；②：③；④；⑤中，是一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②有2个未知数，不是一元一次方程， ③是等式，不是一元一次方程， ④是代数式，不是一元一次方程， ⑤是一元一次方程， 所以一元一次方程有2个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知下列方程：①  ②  ③  ④  ⑤ ⑥．其中一元一次方程有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解决问题的关键．根据一元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：①分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程； ②符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ③符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ④未知数的最高次数为2，故不是一元一次方程； ⑤符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程； ⑥符合含有两个未知数，故不是一元一次方程； 所以一元一次方程有：②③⑤ 故选：C． 【题型4 根据一元一次方程求参数的值】 例题：（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题考查一元一次方程的定义，解题关键在于掌握其定义． 根据一元一次方程的定义得到，进而解答即可． 【详解】解：根据题意可知， 解得：， 故答案为：0． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，绝对值的意义，由题意得出且，求解即可，解题关键是熟记一元一次方程的未知数的次数是1． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：或，且， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）若方程是关于的一元一次方程，求 ． 【答案】2 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的意义，根据一元一次方程的定义可得，，求出m值即可． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， ，， ， 故答案为：2． 【题型5 判断是否是一元一次方程的解】 例题：（24-25七年级下·全国·假期作业）是方程（　　）的解． A． B． C． 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题主要考查了方程的解， 分别将代入每个选项，检验左右两边是否相等，即可得出答案． 【详解】解：将代入，得左边，右边，等式成立， ∴是方程的解， 所以A符合题意； 将代入，得左边，右边，等式不成立， ∴不是方程的解， 所以B不符合题意； 将代入，得左边，右边，等式不成立， ∴不是方程的解， 所以C不符合题意． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期末）下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程解的定义是解本题的关键．把代入下列方程，进行一一验证即可． 【详解】解：A、当时，左边，右边，左边右边．故本选项错误； B、当时，左边，右边，左边右边．故本选项正确； C、当时，左边，右边，左边右边．故本选项正确； D、当时，左边，右边，左边右边．故本选项错误； 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）下列方程的解是的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查方程的解，将分别代入各个方程进行验证即可． 【详解】解：将分别代入各个方程得， A. 左边，右边，左边右边，∴不是此方程的解，故A不符合题意；     B. 左边，右边，左边右边，∴不是此方程的解，故B不符合题意；     C. 左边，右边，左边右边，∴是此方程的解，故C符合题意；     D. 左边，右边，左边右边，∴不是此方程的解，故D不符合题意；     故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程． 【详解】解：将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程， 综上，满足所有三个方程， 故选：D． 【题型6 已知一元一次方程的解求参数的值】 例题：（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知是方程的解，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出k的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如果是方程的解，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入即可求解，掌握一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）若是关于x的方程的解，则 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将代入方程，得到一个关于的方程，求解即可． 【详解】解：将代入关于x的方程， 可得，解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值】 例题：（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键．先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值；把代入，得到，然后整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：把代入得， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·陕西延安·期末）关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把代入，求出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，根据方程的解，即可求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：是方程的解， ， 即， ． 故答案为：． 【题型8 等式的基本性质】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 3.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 【题型9 利用等式的基本性质解方程】 例题：（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查了运用等式的性质解方程，即等式两边同加上或同减去、同乘上或同除以一个数（除外），两边仍相等． （1）根据等式的性质，将等式两边同时乘以，即可求解； （2）先计算等式的左边，然后根据等式的性质，将等式两边同时乘以，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查利用等式的性质解方程，利用等式的性质正确求解是解答的关键． （1）方程两边同乘以2可解方程； （2）方程两边同除以5可解方程； （3）方程两边同除以可解方程． 【详解】（1）解：方程两边同乘以2， 得； （2）解：方程两边同除以5， 得； （3）解：方程两边同除以， 得． 2．（24-25七年级上·黑龙江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】（）利用等式的性质即可解方程； （）利用等式的性质即可解方程； （）利用等式的性质即可解方程； （）利用等式的性质即可解方程； 本题考查了利用等式的性质解方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的基本性质， （1）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； （2）先在等式的两边同时加，然后在两边同时乘以即可得出结论； （3）先在等式的两边同时减，然后在两边同时除以即可得出结论； （4）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； 解题的关键是掌握等式的个基本性质：性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 【详解】（1）解：两边同时加，得：， 两边同时除以，得：； （2）两边同时加，得：， 两边同时乘，得：； （3）两边同时减去，得：， 即：， 两边同时除以，得：； （4）两边同时加，得：， 即：， 两边同时除以，得：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川巴中·期中）下列方程的解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解的概念．将代入方程能够使得左右两边相等即可． 【详解】解：A、将代入，左边右边，故本选项不合题意； B、将代入，左边右边，故本选项不合题意； C、将代入，左边右边，故本选项不合题意； D、将代入，左边右边，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由一元一次方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是一元一次方程， 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期中）若方程的解是，则β的值为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南周口·期中）下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此求解即可． 【详解】解：根据方程的定义可得，①④⑤是方程，②③⑥不是方程， 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东广州·期末）列等式表示“的倍与的和等于的倍与的差“为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，的倍与的和可表示为，的倍与的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：由题意得，列等式为：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·四川巴中·期中）如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程解、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 【答案】 ②④⑤ ④⑤ 【知识点】判断各式是否是方程、判断是否是一元一次方程 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，解答即可． 本题考查了方程，一元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是方程的是②；④；⑤； 故答案为：②④⑤． 是一元一次方程的是④；⑤； 故答案为：④⑤． 10．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元一次方程的一般形式为只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，得到且，解之即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且，即且， 解得， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是方程的解、添括号、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次方程的解，添括号，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，再利用添括号法则对代数式进行变形，最后整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解等知识点，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 先通过解一元一次方程用a表示出方程的解，然后根据方程的解为整数确定a的可能取值，最后求和即可． 【详解】解： ， ∵该方程的解为整数，是质数， ∴或， ∴a的值为， ∴满足条件的所有整数的和为． 故答案为． 三、解答题 13．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 【答案】(1)，不是原方程的解；，是原方程的解 (2)，不是原方程的解；，是原方程的解 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查的是方程的解的含义，判断方程的解； （1）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； （2）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； 【详解】（1）解：（1）将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； （2）解：将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等 (2)③，等式两边同时除以的x可能为0 (3)见解析 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质1 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质． （1）①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． （2）小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； （3）正确的解题过程为：第③步改为x﹣3x＝0，故x＝0． 【详解】（1）解：①等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等． 故答案为：等式的基本性质：等式两边同时加或减同一个数，等式仍相等； （2）解：小明出错的步骤是第③步，错误的原因是：等式两边同时除以的x可能为0； 故答案为：③，等式两边同时除以的x可能为0； （3）解：正确的解题过程为： 解方程：． 解：， ， ， ． ∴． 15．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出方程与不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， 所以，且， 所以． 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、等式的性质1、等式的性质2 【分析】 本题考查利用等式的基本性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．利用等式的基本性质解各个方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6） 解： ． 17．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】方程的解、一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解． （1）根据一元一次方程的定义可得，，求解即可； （2）把代入方程，求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且 ∴； （2）由（1）得，该一元一次方程为， ∵是该方程的解， ∴， ∴． 18．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x、y的代数式：，，且代数式． (1)若，化简代数式M； (2)若代数式M是关于x、y的一次多项式，求的值； (3)当是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【答案】(1)； (2)9； (3)． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式的项、项数或次数、整式的加减中的化简求值、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了整式的加减运算，多项式的次数以及一元一次方程的定义等知识点，解题的关键是熟练运用整式运算法则，根据多项式次数和一元一次方程的条件列方程求解． （1）先将A，B代入，再把代入化简． （2）对化简后，根据一次多项式的条件确定a，b的值，进而求． （3）根据一元一次方程的定义求出a，b的值，再代入求值． 【详解】（1）∵， 把代入上式，得 ； （2）由（1），可知18x－12． ∵代数式是关于x，y的一次多项式， ∴，解得， 将代入，得； （3）∵是关于的一元一次方 程，∴， 解得 将代入， 得， 把代入， 得． 19．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【知识点】相反数的定义、倒数、已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于a，b，c的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）∵a，b互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 方程与等式的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 知识点02 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 知识点03 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【题型1 判断各式是否是方程】 例题：（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下面的式子不是方程的是（   ） A． B． C． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 列方程】 例题：（24-25七年级上·湖北孝感·期末）列方程表示“的3倍与5的和等于”为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程： ． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）由“比a的3倍大5的数等于a的4倍”可列一元一次方程 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【题型3 判断是否是一元一次方程】 例题：（24-25七年级下·四川巴中·期中）下列各式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列四个方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）下列各式：①；②：③；④；⑤中，是一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知下列方程：①  ②  ③  ④  ⑤ ⑥．其中一元一次方程有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【题型4 根据一元一次方程求参数的值】 例题：（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，那么 ． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）若方程是关于的一元一次方程，求 ． 【题型5 判断是否是一元一次方程的解】 例题：（24-25七年级下·全国·假期作业）是方程（　　）的解． A． B． C． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期末）下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）下列方程的解是的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【题型6 已知一元一次方程的解求参数的值】 例题：（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知是方程的解，则的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如果是方程的解，那么的值是 ． 2．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）若是关于x的方程的解，则 ． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值】 例题：（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的方程的解，则 ． 2．（24-25七年级上·陕西延安·期末）关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为 ． 【题型8 等式的基本性质】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型9 利用等式的基本性质解方程】 例题：（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25七年级上·黑龙江·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川巴中·期中）下列方程的解是的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川巴中·期中）若方程的解是，则β的值为（   ） A． B．4 C．0 D． 4．（24-25七年级下·河南周口·期中）下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 5．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 6．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东广州·期末）列等式表示“的倍与的和等于的倍与的差“为 ． 8．（24-25七年级下·四川巴中·期中）如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 10．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 ． 11．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的解，则的值是 ． 12．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）下面是小明利用等式的性质解方程的过程． 解方程：． 解：，① ，② ．③ 阅读小明的解题过程并回答下列问题： (1)①的依据是 ； (2)小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ； (3)给出正确的解题过程． 15．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 16．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 17．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求m的值； (2)已知：是该一元一次方程的解，求n的值． 18．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知关于x、y的代数式：，，且代数式． (1)若，化简代数式M； (2)若代数式M是关于x、y的一次多项式，求的值； (3)当是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 19．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于x的一元一次方程的解，解关于y的一元一次方程． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$