圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 考点目录 角平分线问题 内切圆问题 考点一 角平分线问题 例1.（2s26商二上河北月考)已知嘴图C号+多=川a>b>0的法、右顶点分别为，B,左、右结意分别为 F,E,离心率为；P为椭圆C上异于A,B的任意一点，△PAB面积的最大值为2√5 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F且不与x轴重合的直线1与椭圆C交于G,H两点，设点Q(4,0),证明：∠GOH的平分线在x轴上 【答案】0片+号=1 (2)证明见解析 【详解】(1)当点P是椭圆C的上顶点或下顶点时，△PAB的面积最大，为b, 由题意得ab=23. 因为商心串e-台所以心-o,所以6=-c心之 4 4 因为6=25，所以a2=34=12. 4 解得a2=4,所以b2=3, 所以解版C的标准方程是子+号-1 (2)当直线1的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点G,H关于x轴对称， 又点Q(4,0)在x轴上，所以∠GQH的平分线在x轴上. 当直线1的斜率存在时，设为k,由题意知，k≠0. 由(1)知，点F(1,0),则直线1的方程为y=k(x-). [x2 y2 =1, 由 43 消去y,整理得3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. y=k(x-1), 4=(-8k2)-43+4k2)4k2-12)=144(k2+1>0恒成立， 8k2 4k2-12 设G,,H(小，则+名3十4西=3+4 设直线GQ,HQ的斜率分别为k,k2· 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 因为点04,0，所以=产x产4 5-4, 所以k+k,=乃，+少=上（西-4）+(x-4 x-4x2-4（x-4)(x2-4) k(x-(x-4+k(,-(x-4_k[2x2-5x+x2+8] (x-4)(x2-4 （x-4)x2-4) 8k2 将x+x2 3+4k2,= 代入 82-2440k2 得k+k= 3+433+4+8 =0’ （x1-4)x2-4) 所以直线GQ,HQ关于x轴对称，即∠GOH的平分线在x轴上. 综上，∠GQH的平分线在x轴上. VA 例2.2526商三上天津，月考)已知国E号+茶-a>6>0的离心率为空，，月分别为相颗E的左、右我 2 点，A,B分别为椭圆E的上、下顶点，且AB=2. (1)求椭圆E的方程； (2)己知过F的直线I与椭圆E交于M,N两点，且直线I不过椭圆四个顶点，若M在x轴上方，AF为∠MAN的角 平分线，求直线的方程 【答案】①号+y=1 (2)3x+y+3=0 [a2=b2+c2 2b=2 解得 a=√2 【详解】(1)由题意知 e-2 b=c=1 a 可得椭圆方程为之+三1 （2)如图所示： 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 F 设∠MAE=∠NAF=0,直线AN的倾斜角为a,直线AM的倾斜角为B, :A0,1,E(-1,0),·直线45的倾斜角为， 4 a=年+0，B=年-0，a+B-受 4 4 又-tand.t=mf=a[任-o小 .kaw=1, 由题意1的斜率不为0，设直线1的方程为：x=my-1,m≠1， +2=1得(m+2-2mw-1=0. x=my-1 由x2 △=8m2+8>0 设以为米，则以+男02·又。u=1 -1 y1=m2+2 :141=1,即y-,-1)=x,=m-m-, X2 x1 整理得m2-1yy2=(m-1(+y2), -(m+1.2m m2+2m2+2 .m=3 1 .1的方程为3x+y+3=0 例3.(25-26高二上辽宁沈阳月考)己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线C上，点B(1,1, 且满足4FB=FA-3OF(0为坐标原点). (1)求C的方程； (2)求∠AFB的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1)y2=4x (2)3x-y-3=0 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 【详解】(1)因为4FB=FA-30F, 所以3OF+3FB=FA-FB,所以3OB=BA, 设Ax,y),则3(1，)=(x-1,y-1,解得A(4,4). 因为点A在C上，所以42=2p4, 所以p=2,所以y2=4x (2)由(1)知F(1,0),，所以直线BF的方程为x=1, 又人r手所以直线F的方程为y=x-小，即4红--4=0 由抛物线的图形知，∠AFB的角平分线所在直线的斜率为正数 设P(x,y)为∠AFB的角平分线所在直线上任一点， 则有4x-3y-4=K-1, 5 若4x-3y-4=5x-5,得x+3y-1=0, 其斜率为负，不合题意，舍去。 所以4x-3y-4=-5x+5,即3x-y-3=0, 所以∠AFB的角平分线所在直线的方程为3x-y-3=0, 例4.(25-26高二上·浙江温州月考)已知动点M到点F(-10)的距离与到直线：x=-2的距离之比等于5 (1)求动点M的轨迹W的方程： (2)过直线1上的一点P作轨迹W的两条切线，切点分别为A,B,且LAPB=60°， ①求点P的坐标； ②求∠APB的角平分线与x轴交点Q的坐标. 【答案】①)+y=1 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 【详解】(1)设M(x,y), 根据题意得： x+12+y22 x+2 2 化简得：动点M的轨迹方程为： 2+y2=1: (2)①P(-2,,切线方程为；y=k(x+2)+1, 代入x2+2y2=2得：(1+2k2）x2+4k(2k+tx+22k+t)2-2=0, 切线，△=0，得：2k2+4k+2-1=0（*), 设方程(*)的两根分别为k,飞，分别为PA,PB的斜率 则有+=-21,6，= 2 又PA,PB的方向向量分别为a=(1,k,),b=(1,k), ∴.cos∠APB=cosa,b= 1+kk2 2+11 V+V1+ξVP+92' 3 ②由对称佐，不线：乎所以2}。 将1=正代入（今）得：6+45k+2=0,解得长=压±25 则w=i5-2V5 3 tan∠PBQ, -5-23,3 5 ∴kpe=tan(∠PBQ+30）= 3 3 _-5-5.5 3 1--15-25.55+V5= 5-x-21 33 3, 1 1 得：o= 所以点Q的坐标为30 P B 0 J 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 变式1.(2526商三上广东清运月考)已脚瑞图号+若=a>6>0)的长错长为+高心丰率为号 (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的左焦点为F,右顶点为A,过点P(2,)的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证：PF平分 ∠AFB 【路案10学器- (2)证明见解析 2a=4 【详解】（1)由题意得=1，解得a=2,c 3,所以=a2-c2=32 9 (a3 所以椭圆的方程为女+少 =1. 432 (2)由(1)知，F (2 3042,0), 22.9×12 >1,·P(2,1)在椭圆的外部. 432 由题意知直线PB的斜率存在，且直线PB与椭圆C相切， 设其方程为y=kx+m,则1=2k+m,即m=1-2k, y=kx+m 联立￡+-1消去y得.8+9%)r+18+9m-2=0, 432 因为直线与椭圆有唯一交点，所以△=(18km)2-4(8+9k2)·(9m2-32)=0, 即9m2-32-36k2=0,则91-2k)-32-36k2=0, 解得K=一 18 18km46 设切点B,小，则=28+9%=点，+m=爱- 36411841 ∴B(4664 41'41 64 则m∠F=6,-君m∠F1=62 41 48 55, 41(3 2× 故tan2∠PFA= 2tan∠PFA 8 48 1-tan2∠PFA 13P 55 =tan∠BFA, 8 又∠BFA,∠PFA∈O, 2 6 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 所以∠BFA=2LPFA, 由LBFA=LBFP+∠PFA得∠BFP=∠PFA, 即PF平分∠AFB B 变式2.(25-26高三上湖南期中)已知双曲线C:士-上 ,22=1(a,b>0的左右焦点为E,E,离心率为二，过点 与y轴平行的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，且到1B=125 5 (1)求双曲线C的标准方程； (2)记点D(0,-2),若过点E且不过点D的直线1与C交于M,N两点，且DF,平分∠MDN,求1的方程 【谷案10苦号1 (2)27x-8y-81=0 【详解】(1)因为双曲线C的离心率为3V 5,所以+g35,所以25 a a= 5 又因为双曲线的渐近线方程为y=±名，令：，则18=2c_125 b a 5 解得c=3,a=V5,b=2. 所以C的标准方程为号号-1 2由塑意知直线倒斜率不为0.设方程为=+3：引M,小，X3,为 所以直线DM方程为y=当+2x-2,即+21x-5y-2x=0 所以直线DN方程为y=+2x-2,即，+2x-,y-2x,=0 x, 联立 14r2-5y2=20.得4-5y+240+16=0, x=y+3, -24t 450.A20+>0,且+好3=5 B到直线DM的距离的平方d-3y+6-2 (3-2)22 (y+2)'+x(+1)+(61+4y+13 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 B到直线DN的距离的平方d=3+6-2, (3-21)2y22 (y2+2)2+x22(t2+1y22+(6t+4y2+13 因为DF,平分∠MDN,所以d=d (3-2t)2y2 (3-2t)2y22 即++61+4y+132+2+60+4+13 (3-2)2 (3-21)2 即++4,5+l04,g. 为y2 即61+4+13-6+413 片2 只动眼.。 所以13上++61+4=0，即13男+)+61+4)y,=0 、yy2 带入1B0与e+4写0，得1- 所以1方程为27x-8y-81=0 变式3.（2526商二上江苏连云港期)已知双曲线号子=1a>0,6>0)的左货点F到茶近线的距为 5,气距为4，右顶点为4，P为x=a上一点，且直线PF的斜半为号 (1)求双曲线的标准方程： (2)过点P的直线与双曲线相切于点B,求证：PF平分∠AFB. 【管案】0r-号 (2)证明见解析 【详解】(1)由题意有：F(c,0),双曲线-y 线。左=1的奇近线方程为：y=±x,即6x士y=0, a 由F点到直线bx±ay=0的距离为：d= lbc=bc=b=5,即b=5, a2+b2 c 又焦距2c=4,即c=2, d 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 所以a2=2-b2=4-3=1, 所以x2- -=1, 3 所以双曲线的标准方程为：产1！ (2)由(1)有：F(-2,0),A1,0),设点P(1,, t。t1 由中23行所以1=，即P1小， 设直线PB的方程为：y=kx+m,即k+m=1, 3x2-y-3’即3-k）r2-2kmx-m2-3=0, y=kx+m 由 所以△=(2km)-43-k2)-m2-3=12m2-k2+3=0, 即m2-k2+3=0,又k+m=1,解得k=2,m=-1, 所以直线PB的方程为：y=2x-1, y=2x-1 所以 3x2-y2=3’解得 x=2 y=3'所以B(2,3), 所以FB=(4,3),FP=(3,1,FA=（3,0), 所以Cos∠BFP= FB.Fp_4×3+3×1_3V10 FBFP 5×1010 cos∠PFA= FA.Fp3×33V10 FAFP10x3 10 所以cos∠8FP=0PFA,又∠BFP,∠PFAe0 所以∠BFP=∠PFA,即PF平分∠AFB 交式4.(2026四川绵阳模拟预测)已知F2,0是椭圆2：子+广口>b>0的右焦点，定点E0,川，直线FB 被椭圆截得的线段的中点恰在直线y=x上 0 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 (1)求2的标准方程： (②)过F作斜率为k的直线，与2交于A,B两点，其中A在x轴上方，k∈[1，V万]，T为2上一点，且TF平分 A ∠ATB,求 的取值范围； (3)P,Q为曲线2上两个动点，且FE平分∠PFQ,证明：直线PQ过定点，并求出该定点 【答案】0)+上-1 84 剧 (3)证明见解析，定点(4,4) 【详解】1)由题意可知：直线FE:+y=1,即x+2y-2=0,斜率。= 设直线FE与椭圆的交点为M(xM,yw,N(xv,yN), -X 则k=km=-少=-)，y=业，即w+xy=w+w, XM-XN 2， 2 2 因为M,N在椭圆上，则 a2 b2 a2 b2 两式相减得二王+=0，整理得+w儿u-- a2 (+xx)(xM-xx)a, 即、 b2 青、 且c=2,即c2=a2-b2=4,解得a2=8,b2=4, 所以椭圆Q的方程为号+上=1 84 TAFA (2)由题意可知：直线AB与椭圆必相交，且 TB FB 10圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 圆锥曲线：角平分线问题、内切圆问题专项训练 考点目录 角平分线问题 内切圆问题 考点一 角平分线问题 例1．（25-26高二上·河北·月考）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 例2．（25-26高三上·天津·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的上、下顶点，且． (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点，若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程． 例3．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点，且满足（为坐标原点）. (1)求的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 例4．（25-26高二上·浙江温州·月考）已知动点M到点的距离与到直线l：的距离之比等于． (1)求动点M的轨迹W的方程； (2)过直线l上的一点P作轨迹W的两条切线，切点分别为A，B，且， ①求点P的坐标； ②求的角平分线与x轴交点Q的坐标． 变式1．（25-26高三上·广东清远·月考）已知椭圆的长轴长为4，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的左焦点为，右顶点为，过点的直线与椭圆有唯一交点（异于点），求证：平分. 变式2．（25-26高三上·湖南·期中）已知双曲线的左右焦点为，离心率为过点且与y轴平行的直线与的两条渐近线分别交于A，B两点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)记点，若过点且不过点的直线与交于两点，且平分求的方程. 变式3．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线（，）的左焦点到渐近线的距离为，焦距为4，右顶点为，为上一点，且直线的斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线与双曲线相切于点，求证：平分． 变式4．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，定点，直线被椭圆截得的线段的中点恰在直线上 (1)求的标准方程； (2)过F作斜率为k的直线，与交于A，B两点，其中A在x轴上方，，T为上一点，且平分，求的取值范围； (3)P，Q为曲线上两个动点，且平分，证明：直线过定点，并求出该定点. 考点二 内切圆问题 例1．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为和，焦距为4，过的直线交双曲线的左支于P、Q两点，P到双曲线的两条渐近线的距离乘积为. (1)求的方程； (2)若双曲线的离心率，求的内切圆半径的取值范围. 例2．（25-26高三上·上海闵行·月考）已知椭圆的左右焦点分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.设是第一象限内上的一点，的延长线分别交于点. (1)求椭圆的方程. (2)求面积的取值范围. (3)设分别为的内切圆半径，求的最大值. 例3．（2025·福建福州·模拟预测）已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切. (1)求的方程； (2)设点是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，求的内切圆半径的范围. 例4．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D． (1)证明：点F在直线上； (2)设，求的内切圆M的方程． 变式1．（25-26高二上·广东深圳·月考）已知点是双曲线右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，，． (1)求双曲线的离心率； (2)设、分别是△的外接圆半径和内切圆半径，求． 变式2．（25-26高三上·安徽安庆·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为､，动直线过与相交于，两点.若：是其中一个的内切圆. (1)求椭圆的方程； (2)求内切圆半径的最大值. 变式3．（25-26高三上·广东揭阳·月考）已知､是椭圆：的左､右焦点，点是椭圆上的动点． (1)求的重心的轨迹方程； (2)设点是的内切圆圆心，求证：． 变式4．（25-26高三上·辽宁丹东·月考）抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线交E于P，Q两点，且. (1)求E的方程； (2)直线与E相交于A，B两点，点C在E上，直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求内切圆D的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $