树状图法与列表法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练-2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

树状图法与列表法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练 树状图法与列表法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练 考点目录 树状图法与列表法求概率 由频率估计概率 游戏公平性问题 考点一 树状图法与列表法求概率 例1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 【答案】(1) (2) ； 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反，共有种等可能的情况，其中出现正正正，共种情况， 获得元奖金的概率； （2）解：获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 恰好有两次正面朝上的结果有：正正反、正反正、反正正，共种情况， 获得元奖金的概率为， 如果有人玩时，获得元奖金的人数约为（人）； 设摊者获利（元）． 故答案为：；． 例2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球． (1)从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率． (2)从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球．小滨认为摸到同色的可能性大，小江觉得摸到不同色的可能性大，请判断谁说的正确，并说明理由，要求画树状图或列表． 【答案】(1) (2)小滨的说法正确，理由见详解 【详解】（1）解：由题意得：从中任意摸出一个球，摸出的是红球的概率为； （2）解：小滨的说法正确，理由如下： 由题意可列表如下： 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由表可知一共有9种等可能的情况，其中两次都摸到同色的有5种等可能的情况，所以两次都摸到同色的概率为，摸到不同色的概率为， ∵， ∴摸到同色的可能性大， ∴小滨的说法正确． 例3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）“春节-中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．张老师在班会上，提议同学们从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”“E．放鞭炮”这五个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了5张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． (1)佳佳从这五张卡片中随机摸出一张，摸到“C．挂灯笼”的概率是___________； (2)若平平先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，安安再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽到“C．挂灯笼”的结果有1种， ∴佳佳从这五张卡片中随机抽取一张，抽到“C．挂灯笼”的概率是； 故答案为：． （2）解：列表如下： A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中两人摸到的习俗相同的结果有5种， ∴他们两人摸到的习俗相同的概率为． 例4．（25-26九年级上·山东青岛·期中）吕剧是国家级非物质文化遗产，因其内容丰富，反映山东地区的风土人情和文化特色，深受大众喜爱．某校戏曲兴趣小组在一次吕剧研学活动中，由甲、乙两名同学各自从三个角色“生”“旦”“净”中随机选择一个角色进行表演． (1)用列表法，求甲、乙两名同学选择的角色所有可能的结果； (2)求甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：用表格把所有等可能结果表示如下： 甲/乙 生 旦 净 生 （生，生） （生，旦） （生，净） 旦 （旦，生） （旦，旦） （旦，净） 净 （净，生） （净，旦） （净，净） ∴甲、乙两名同学选择的角色共有9种等可能的情况：（生，生）、（生，旦）、（生，净）、（旦，生）、（旦，旦）、（旦，净）、（净，生）、（净，旦）、（净，净）． （2）解：∵甲、乙两名同学选择的角色相同的结果共有三种：（生，生）、（旦，旦）、（净，净）， ∴甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 答：甲、乙两名同学选择的角色相同的概率是． 变式1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． (1)若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； (2)若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． （2）（2）根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个实验的结果有4种， 他们恰好抽到同一个实验的概率是 变式2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）风驰电掣的高铁，是中国现代化交通的标志性符号．它以数百公里的时速，打破地域的阻隔，将原本动辄数小时、甚至十几个小时的旅程，压缩至短短一两小时，让“千里江陵一日还”的古老畅想照进现实．寒假，亮亮和爸爸临时决定搭乘高铁外出游玩且买了一等座．若高铁售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是高铁内同一排座位A、C、D、F的排列示意图．    (1)求亮亮被分配到靠窗座位的概率； (2)求亮亮和爸爸被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位不算相邻）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：分配这一排的座位，共有4种等可能的结果，其中靠窗座位的结果有2种， ∴（亮亮被分配到靠窗座位）； （2）解：画树状图如下：    由图可知共有12种等可能的结果，其中亮亮和爸爸邻座的结果有4种， ∴（亮亮和爸爸被分配到相邻座位）． 变式3．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词）． 变式4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慈结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．八年级数学组组织了一项关于冬至节气包饺子及饺子馅成本探究的实践活动，现将八（5）班的学生作品进行评比，分为四个等级，并将评比结果绘制成以下两幅尚不完整的统计图： 请根据图中的信息解答下列问题： (1)补全两个统计图； (2)请求出等级所在扇形圆心角的度数； (3)现准备从等级的4人中随机抽取两人去参加比赛，小明和小丽都被抽到的概率是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：（人）， ∴一共调查了40人， ∴C等级的人数为（人）， ∴C等级的人数占比为， 补全统计图如下： （2）解：等级所在扇形圆心角的度数为； （3）解：用E、F分别表示小明和小丽，G、H分别表示另外的两人，画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明和小丽都被抽到的结果数有2种， ∴小明和小丽都被抽到的概率为． 考点二 由频率估计概率 例1．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：设袋中黑球有个，则袋中球的总数为个， ∵摸到黑球的频率稳定在，即摸到黑球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴袋中黑球有个． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）对一批裤子进行抽检，统计合格裤子的条数，得到的数据如下表： 抽取条数/条 合格裤子的频数 合格裤子的频率 若出售条裤子，估计合格裤子的数量是（   ）. A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【详解】解：∵当抽取数量足够大时，频率接近概率， ∴抽取条数为和时，合格频率均为，频率稳定，接近概率， ∴ 合格概率估计为， ∴条裤子中合格数量为条． 故选：． 例3．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）在数字化浪潮席卷日常生活的当下，二维码支付凭借其便捷高效的特性，已然成为大众消费场景中不可或缺的支付方式．从街边的早餐摊、便利店，到大型商超，再到线上购物、生活缴费等场景，只需打开手机扫码，便能在几秒内完成交易．如图是小明同学的支付码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内、为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 【答案】 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， 根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积的， 估计黑色部分的总面积约为， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 【答案】0.618 【详解】随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率越来越稳定，当投掷次数超过4000次时，“钉尖向上”的频率稳定在0.618左右，于是可以估计“钉尖向上”的概率为0.618． 故答案为：0.618 例5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据： 摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300 摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100 摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 (1)黑色球的个数可能是_____个． (2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？ 【答案】(1)5 (2)黑球7个，白球2个 【详解】（1）解：由表格可知，随着试验次数的增加，摸出黑球的频率稳定在0.33附近，故估计摸出黑球的概率为0.33， ∴黑色球的个数可能是个； （2）解：设放进去黑球x个， 由题意得，， 解得， 则， 答：放进去黑球7个，白球2个． 例6．（25-26九年级上·广东佛山·月考）（1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率为_________； （2）图②是可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率为_________； （3）小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在12306网上购票时，若系统已将两人分配到同一车厢同一排（如图③），请用列表法或树状图，求小亮和爸爸分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率．      【答案】（1）0.4； （2）； （3） 【详解】（1）解：由图象可知，随投掷次数增加，钉尖朝上的频率逐渐稳定在0.4， 故估计钉尖朝上的概率为0.4； （2）解：由图象可知，丁区域的圆心角为， 故丁区域占圆的比例为， 故指针落在丁区域的概率为； （3）解：由题意，列表如下： 小亮爸爸 A B C D E A B，A C，A D，A E，A B A，B C，B D，B E，B C A，C B，C D，C E，C D A，D B，D C，D E，D E A，E B，E C，E D，E 由表可知，共有20种等可能的结果，其中小亮和爸爸分配的座位挨在一起的有8种， 故小亮和爸爸分配的座位挨在一起的概率为． 变式1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 【答案】C 【详解】解：、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，该选项不符合题意； 、掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数的概率为，该选项不符合题意； 、一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球的概率为，该选项符合题意； 、在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，该选项不符合题意； 故选：． 变式2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）一个不透明的布袋中有黄球和黑球共16个，这些球除颜色外其余都相同，将布袋中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回．不断重复这一过程，已知共摸了100次球，其中有75次摸到黄球估计这个布袋中黄球的个数为（    ） A．4个 B．12个 C．8个 D．6个 【答案】B 【详解】解：摸到黄球的频率为，故布袋中有黄球个． 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 （结果保留一位小数）． 【答案】 【详解】解：从表格数据可以看出，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率逐渐稳定在附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·河南郑州·月考）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共500个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为 个． 【答案】165 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于， ∴摸到红球的概率为， ∴（个）， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·北京西城·期末）不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品．将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E． (1)从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率； (2)向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回．大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件． 【答案】(1) (2)加入一等品的件数约为15件 【详解】（1）解：从这5件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测，所有可能的结果如下： 由上表可以看出，从这5件产品中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测，可能出现的结果有20种，并且它们出现的可能性相等，其中两次抽到的产品都是一等品有6种结果，即，，，，，， ∴两次抽到的产品都是一等品的概率为． （2）解：设加入一等品的件数约为x件． 由题意可估计抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9， ∴． 解得，且符合题意． 答：加入一等品的件数约为15件． 变式6．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外无其他差别．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） (2)根据（1）中估计的概率估计一下，这个球中，黑球有______个； (3)某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图或列表的方法求摸出的两个球的颜色不同的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近． 故答案为：． （2）解：（个） （3）根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球的颜色不同的结果有4种， （摸出的两个球的颜色不同）． 考点三 游戏公平性问题 例1．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）甲、乙两人用如图的两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏规则如下：转动两个转盘各一次，用指针所指的两个数相乘，若积为正数，则甲获胜；若积为负数，则乙获胜（若指针指在扇形的边界上，则重新转动转盘）． (1)转动转盘一次，指针指向的数是负数的概率是________； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)游戏不公平，理由见解析 【详解】（1）解：由题意，转动转盘一次，指针指向的数是负数的概率是； （2）游戏不公平，理由如下： 由题意，列表如下： 1 3 2 1 1 3 2 2 2 4 2 共有12种等可能的结果，其中积为正数的结果有7种，积为负数的结果有5种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 例2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）小米和小明玩游戏：袋子中1个红球，2个蓝球和3个黄球，它们只有颜色上不同之外，其它都相同，随机摸2个球不放回，摸到1红球1蓝球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局，这个游戏公平吗（列表法或树状图完成），如果不公平，怎么才能使游戏公平？ 【答案】这个游戏不公平，理由见解析． 【详解】解：这个游戏不公平， 列表得： 红 蓝 蓝 黄 黄 黄 红 （蓝，红） （蓝，红） （黄，红） （黄，红） （黄，红） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （黄，蓝） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） （黄，蓝） （黄，蓝） （黄，蓝） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （蓝，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （蓝，黄） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （红，黄） （蓝，黄） （蓝，黄） （黄，黄） （黄，黄） 由表知，共有30种等可能结果，其中摸到1红球1蓝球有4种结果，摸到2个黄球有6种结果， 所以小米获胜的概率为，小明获胜的概率为， ∵， ∴此游戏不公平； 修改规则：随机摸2个球不放回，摸到1红球1黄球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局． 此时小米获胜概率为，小明获胜概率为． ∴游戏公平． 例3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）现有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中放了分别标有数字的两个球（除数字外，都相同）；乙口袋中放了分别标有数字的三个球（除数字外，都相同）．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中任意摸出一个球，球上的数字记为；再从乙口袋中任意摸出一个球，球上的数字记为．若，则小明胜；若，则小刚胜；若，则为平局． (1)从甲口袋中任意摸出一个球，球上的数字是2的概率为______； (2)补全如图所示的树状图，求小明获胜的概率，并直接判断该游戏是否公平． 【答案】(1) (2)图见解析，，不公平 【详解】（1）解：∵甲口袋中放了分别标有数字的两个球（除数字外，都相同）， ∴从甲口袋中任意摸出一个球，球上的数字是2的概率为， 故答案为：； （2）解：如图所示树状图为所求作， 则一共有6种等可能的结果，其中的结果数有2种；的结果数有3种， ∴小明获胜的概率，小刚获胜的概率， ∵， ∴该游戏不公平， 答：小明获胜的概率为，该游戏不公平． 变式1．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动，在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． 【答案】(1)，树状图见解析 (2)游戏不公平，将第二道环上的数4改为除5以外的任一奇数，游戏就公平了 【详解】（1）解：根据题意得，树状图如下： 在通过最后一个进口时，乘积是5的倍数的有15、20、30、40，共4种， 在通过最后一个进口时，乘积的结果共有种， 则小军能进入迷宫中心的概率是； （2）解：不公平，理由如下： 由（1）可知，小张和小李各得1分的概率为， 由（1）中树状图可知，在最后一个进口处所得乘积不是5的倍数的奇数有3、9，共2种情况， 则小张得3分的概率为， 在最后一个进口处所得乘积不是5的倍数的偶数有4、12、6、18、8、24，共6种情况 则小李得3分的概率为， 由于， 所以游戏不公平， 改为：将第二道环上的数4改为除5以外的任一奇数，游戏就公平了． 变式2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）数学兴趣活动课上，小聪和小明玩抽卡片游戏，如图，他们制作了3张卡片，分别写有“1”“2”“3”三个数字，卡片除数字外都相同，将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上，小聪先从中随机抽出一张，记下数字后放回并洗匀，小明再从中随机抽出一张，若两次抽到的数字之和大于4，则小聪胜；若数字之和小于4，则小明胜；若数字之和等于4，则重复上述过程． (1)小聪从中随机抽取一张卡片，求他恰好抽到数字“3”的概率； (2)请你用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)这个规则对双方公平，列表见解析 【详解】（1）解：小聪从中随机抽出一张卡片，有3种可能结果，每种结果出现的可能性都相等，其中抽到数字“3”的结果有一种，所以他抽到数字“3”的概率为； （2）解：根据题意，列表如下： 小聪小明 1 2 3 1 2 3 由列表可知，两位同学抽卡片，可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等，其中两次摸到的数字之和大于4（记为事件）的结果有3种，即；两次摸到的数字之和小于4（记为事件）的结果有3种，即； 小聪获胜的概率，小明获胜的概率； 两位同学获胜的概率相等， 这个规则对双方公平． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘；盘被等分为四个扇形，分别标有数字，，，；盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动转盘各一次，转盘停止后，将转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】游戏公平，见解析． 【详解】解：游戏公平，理由， 将盘上数字的扇形平分成两个圆心角为的扇形，则列表如下， 共有种等可能的结果，其中积为偶数的结果有种，积为奇数的结果有种． ∴小明胜的概率，小春胜的概率， ∵， ∴游戏公平． 2 学科网（北京）股份有限公司 $树状图法与列表法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练 树状图法与列表法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练 考点目录 树状图法与列表法求概率 由频率估计概率 游戏公平性问题 考点一 树状图法与列表法求概率 例1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）李明看到路边上有设摊玩“有奖掷币”游戏，规则：交元钱可以参加游戏，抛一枚质地均匀的硬币三次，如果三次都是正面朝上，可以获得奖金元；如果恰好有两次正面朝上可以获得奖金元；如果是其他情况，那么就没有奖金，无论是否中奖都不再返还元钱．李明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！ (1)请用画树状图的方法求出获得元奖金的概率； (2)如果有人，每人玩一次这种游戏，大约有______人获得元奖金，此时设摊者约获利______元． 例2．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球． (1)从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率． (2)从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球．小滨认为摸到同色的可能性大，小江觉得摸到不同色的可能性大，请判断谁说的正确，并说明理由，要求画树状图或列表． 例3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）“春节-中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．张老师在班会上，提议同学们从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”“E．放鞭炮”这五个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了5张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． (1)佳佳从这五张卡片中随机摸出一张，摸到“C．挂灯笼”的概率是___________； (2)若平平先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，安安再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 例4．（25-26九年级上·山东青岛·期中）吕剧是国家级非物质文化遗产，因其内容丰富，反映山东地区的风土人情和文化特色，深受大众喜爱．某校戏曲兴趣小组在一次吕剧研学活动中，由甲、乙两名同学各自从三个角色“生”“旦”“净”中随机选择一个角色进行表演． (1)用列表法，求甲、乙两名同学选择的角色所有可能的结果； (2)求甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 变式1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）某校为进一步培养学生的实践创新能力，提高学生的科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，并演示了以下四个科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．校团委组织了实验原理讲述活动． (1)若小宇从中随机抽取一个实验讲述原理，则抽到“C．漂浮的硬币”的概率是_____； (2)若小辰和小雅两人各从四个实验中随机选取一个实验进行原理讲述，请你用列表或画树状图的方法，求他们恰好抽到同一个实验的概率． 变式2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）风驰电掣的高铁，是中国现代化交通的标志性符号．它以数百公里的时速，打破地域的阻隔，将原本动辄数小时、甚至十几个小时的旅程，压缩至短短一两小时，让“千里江陵一日还”的古老畅想照进现实．寒假，亮亮和爸爸临时决定搭乘高铁外出游玩且买了一等座．若高铁售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是高铁内同一排座位A、C、D、F的排列示意图．    (1)求亮亮被分配到靠窗座位的概率； (2)求亮亮和爸爸被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位不算相邻）． 变式3．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为________． (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 变式4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慈结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．八年级数学组组织了一项关于冬至节气包饺子及饺子馅成本探究的实践活动，现将八（5）班的学生作品进行评比，分为四个等级，并将评比结果绘制成以下两幅尚不完整的统计图： 请根据图中的信息解答下列问题： (1)补全两个统计图； (2)请求出等级所在扇形圆心角的度数； (3)现准备从等级的4人中随机抽取两人去参加比赛，小明和小丽都被抽到的概率是多少？ 考点二 由频率估计概率 例1．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）在一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外无其他差别，每次从袋子中随机取出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中黑球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 例2．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）对一批裤子进行抽检，统计合格裤子的条数，得到的数据如下表： 抽取条数/条 合格裤子的频数 合格裤子的频率 若出售条裤子，估计合格裤子的数量是（   ）. A．条 B．条 C．条 D．条 例3．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）在数字化浪潮席卷日常生活的当下，二维码支付凭借其便捷高效的特性，已然成为大众消费场景中不可或缺的支付方式．从街边的早餐摊、便利店，到大型商超，再到线上购物、生活缴费等场景，只需打开手机扫码，便能在几秒内完成交易．如图是小明同学的支付码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内、为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ． 例4．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图是小华用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果，若再次抛掷一枚图钉，则可以估计“钉尖向上”的概率是 ．（精确到0.001） 例5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据： 摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300 摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100 摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 (1)黑色球的个数可能是_____个． (2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？ 例6．（25-26九年级上·广东佛山·月考）（1）在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率为_________； （2）图②是可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率为_________； （3）小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在12306网上购票时，若系统已将两人分配到同一车厢同一排（如图③），请用列表法或树状图，求小亮和爸爸分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率．      变式1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 变式2．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）一个不透明的布袋中有黄球和黑球共16个，这些球除颜色外其余都相同，将布袋中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回．不断重复这一过程，已知共摸了100次球，其中有75次摸到黄球估计这个布袋中黄球的个数为（    ） A．4个 B．12个 C．8个 D．6个 变式3．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击的次数 20 40 100 200 400 1000 2000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 322 801 1596 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为 （结果保留一位小数）． 变式4．（25-26九年级上·河南郑州·月考）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共500个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为 个． 变式5．（25-26九年级上·北京西城·期末）不透明的箱子中有5件同型号的产品，其中3件是一等品，2件是二等品．将3件一等品分别记为A，B，C；2件二等品分别记为D，E． (1)从这个箱子中随机抽取1件进行检测，不放回，再随机抽取1件进行检测．请用列举法求两次抽到的产品都是一等品的概率； (2)向这个箱子中加入若干件同型号的一等品，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回．大量重复这个试验，若发现抽到的产品是一等品的频率稳定在0.9，求加入的一等品约为多少件． 变式6．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外无其他差别．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） (2)根据（1）中估计的概率估计一下，这个球中，黑球有______个； (3)某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图或列表的方法求摸出的两个球的颜色不同的概率． 考点三 游戏公平性问题 例1．（25-26九年级上·甘肃临夏·月考）甲、乙两人用如图的两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏规则如下：转动两个转盘各一次，用指针所指的两个数相乘，若积为正数，则甲获胜；若积为负数，则乙获胜（若指针指在扇形的边界上，则重新转动转盘）． (1)转动转盘一次，指针指向的数是负数的概率是________； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 例2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）小米和小明玩游戏：袋子中1个红球，2个蓝球和3个黄球，它们只有颜色上不同之外，其它都相同，随机摸2个球不放回，摸到1红球1蓝球时小米胜，摸到2个黄球时小明胜，摸到其它的算平局，这个游戏公平吗（列表法或树状图完成），如果不公平，怎么才能使游戏公平？ 例3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）现有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中放了分别标有数字的两个球（除数字外，都相同）；乙口袋中放了分别标有数字的三个球（除数字外，都相同）．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中任意摸出一个球，球上的数字记为；再从乙口袋中任意摸出一个球，球上的数字记为．若，则小明胜；若，则小刚胜；若，则为平局． (1)从甲口袋中任意摸出一个球，球上的数字是2的概率为______； (2)补全如图所示的树状图，求小明获胜的概率，并直接判断该游戏是否公平． 变式1．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动，在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． 变式2．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）数学兴趣活动课上，小聪和小明玩抽卡片游戏，如图，他们制作了3张卡片，分别写有“1”“2”“3”三个数字，卡片除数字外都相同，将它们背面朝上，洗匀后摆放在桌面上，小聪先从中随机抽出一张，记下数字后放回并洗匀，小明再从中随机抽出一张，若两次抽到的数字之和大于4，则小聪胜；若数字之和小于4，则小明胜；若数字之和等于4，则重复上述过程． (1)小聪从中随机抽取一张卡片，求他恰好抽到数字“3”的概率； (2)请你用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘；盘被等分为四个扇形，分别标有数字，，，；盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动转盘各一次，转盘停止后，将转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $