26.1　反比例函数课件 2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件聚焦反比例函数的概念及三种形式（y=k/x、xy=k、y=kx⁻¹），从小学反比例关系导入，结合函数定义复习，通过列车速度、矩形面积等实际问题构建解析式，形成从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于通过问题链探究（观察解析式特征、辨析x取值范围）和例题变式（概念判断、参数求解），培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（三种形式表达）。多样化练习结合物理（欧姆定律）等实际情境，帮助学生深化理解，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第二十六章　反比例函数 26.1.1　反比例函数 1 新课导入 上小学时我们曾经学过速度v、时间t与路程s之间满足vt＝s，如果路程s一定，那么随着速度v的增加，时间t减少．这两个量之间的关系叫做反比例关系． 一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有_________与它对应，我们就称y是x的______．其中，x是自变量，y是因变量． 唯一的值 函数 探究新知 (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； 在下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的自变量与因变量分别是什么？根据问题，你能分别列出它们的解析式吗？ 1 思 考 t是自变量，v是因变量 v = . ( 2 ) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化； ( 3 ) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化. x是自变量，y是因变量 n是自变量，S是因变量 y = . S = . 1 思 考 观察所列出的三个函数关系式，它们有何共同特征？ 不能为0，x等于0 ，反比例函数不成立. v = . y = . S = . 都具有的 形式，其中k是非零常数． y = 在 中，x＝0行吗？为什么？ y = 2 探 究 两个变量x和y的乘积等于－6，用函数关系式表示出来是________． (1) 还可以表示成哪几种形式？ (2)请给反比例函数下个定义． xy= - 6 一般地，形如 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数. y =－ y =－ y = 2 探 究 知识归纳 1．一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数，叫做___________． 反比例函数 2．反比例函数常见的三种形式: ① ；②xy＝k；③y＝kx－1. y = y = 例题与练习 例1　下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ (1)y＝ ；(2)y＝－ ；(3)y＝1－x；(4)xy＝1；(5)y＝ . 解： (3)不是； (4)是，k＝1； (5)不是． (2)是，k＝－ ； (1)是，k＝4； 例2　已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x =2时，y =6. (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. y = 解: (1)设 . 因为当 x = 2时，y = 6，所以有 解得 k =12. 因此 (2)把 x=4 代入 ，得 y = 6 = . y = . y = y = 例3　当m为何值时，下列函数是反比例函数？ (1)y＝－ ； (2)y＝(2－m) . (2)由 得m＝－2. m2-5= -1， 2-m≠0， 解：(1)由3m－1＝1，得m＝ ； 课堂小结 1．反比例函数的概念． 2．反比例函数的解析式． 一般地，形如 (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数. 反比例函数常见的三种形式:① ；②xy＝k； ③y＝kx－1. y = y = x y x≠0 14 C B 15 不是 x≠0 16 C 17 7．(6分)已知一个长方体的体积是100 cm3，它的长是y cm，宽是10 cm，高是x cm. (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)当x＝2时，求y的值． 18 －2 6 19 20 11．(5分)下列问题情景中的两个变量成反比例的是( ) A．正方形的面积S与边长a的关系 B．圆的周长l与圆的半径r C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b之间的关系 D 21 112．(5分)一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为_________ . 13．(5分)(整体思想)若y与x－2成反比例，当x＝6时，y＝2，则y与x之间的函数解析式是__________． 22 14．(8分)已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些对应值： (1)写出这个反比例函数的解析式； (2)根据函数解析式完成上表． －3 1 4 －4 －2 2 15．(12分)在物理学中，由欧姆定律知，电压U不变时，电流I与电阻R成反比例．已知电压U不变，当电阻R＝20 Ω时，电流I为0.25 A. (1)求I关于R的函数解析式及自变量R的取值范围； (2)当R＝12.5 Ω时，I＝____A. 0.4 【素养提升】 16．(15分)已知函数y＝y1＋y2，其中y1与x＋1成反比例，y2与x2成正比例，当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝2. (1)求y与x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 【拓展】(教材P9T6，7变式)如果y是m的正比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的_______________.如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的______________． 反比例函数 正比例函数 2 ±2 －2 反比例函数的概念 1．(3分)观察函数：y＝ eq \f(2,x) ，y＝－ eq \f(5,x) ，y＝ eq \f(3,2x) ，它们都具有分式的形式，分子是非零常数，分母一般不为0.一般地，形如_____________________的函数，叫做反比例函数，其中____是自变量，____是函数．自变量x的取值范围是__________．反比例函数还可以写成y＝kx－1，xy＝k的形式． y＝ eq \f(k,x) (k为常数，k≠0) 2．(3分)下列关系式中，y是x的反比例函数的是( ) A．y＝2x B．y＝ eq \f(x,2) C．y＝ eq \f(2,x) D．y＝ eq \f(2,\r(x)) 3．(3分)若函数y＝ eq \f(m－3,x) 是关于x的反比例函数，则m必须满足( ) A．m≠0 B．m≠3 C．m≠－3 D．m为一切实数 4．(3分)在反比例函数y＝－ eq \f(2,x) 中，自变量x的取值范围是________． 5．(6分)下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？并求出对应的比例系数k. (1)y＝ eq \f(5,x) ；　(2)y＝ eq \f(3,5x) ；　(3)xy＝5；(4)y＝ eq \f(5,x) －1；　(5)y＝－3x－1. 解：(1)(2)(3)(5)是反比例函数，其比例系数分别是5， eq \f(3,5) ，5，－3 【拓展】在函数y＝ eq \f(2,x＋1) 中，y_______(填“是”或“不是”)x的反比例函数． 根据实际问题列反比例函数解析式 6．(3分)若等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为( ) A．y＝ eq \f(10,x) 　 B．y＝ eq \f(5,x) C．y＝ eq \f(20,x) D．y＝ eq \f(x,20) 解：(1)由题意得，10xy＝100，∴y＝ eq \f(10,x) (x＞0) (2)当x＝2时，y＝5 8.(4分)已知反比例函数y＝ eq \f(2,x) ，当x＝－1时，y＝______，当y＝6时，x＝____． 9．(3分)在反比例函数y＝ eq \f(k,x) 中，当x＝2时，y＝3，则k的值是____． eq \f(1,3) 10．(6分)(教材P3例1变式)已知y是x的反比例函数，且当x＝2时，y＝－3，请你确定该反比例函数的解析式，并求当y＝－8时，自变量x的值． 解：设y＝ eq \f(k,x) (k≠0)，∵x＝2时，y＝－3，∴－3＝ eq \f(k,2) ，得k＝－3×2＝－6，∴该反比例函数的解析式为y＝－ eq \f(6,x) .把y＝－8代入y＝－ eq \f(6,x) 中，得－8＝－ eq \f(6,x) ，解得x＝ eq \f(3,4) y＝ eq \f(20,x) y＝ eq \f(8,x－2) － eq \f(2,3) 解：(1)设反比例函数的解析式为y＝ eq \f(k,x) .把x＝－1，y＝2代入，得2＝ eq \f(k,－1) ， 解得k＝－2，∴y＝－ eq \f(2,x) 解：(1)设I＝ eq \f(U,R) .把R＝20 Ω，I＝0.25 A代入I＝ eq \f(U,R) ，得0.25＝ eq \f(U,20) ，即U＝5 V，∴I关于R的函数解析式为I＝ eq \f(5,R) ，自变量的取值范围为R＞0 解：(1)设y1＝ eq \f(a,x＋1) ，y2＝bx2，则y＝ eq \f(a,x＋1) ＋bx2.把x＝1，y＝2；x＝0，y＝2分别代入得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b＝2，,a＝2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，)) 所以y与x的函数关系式为y＝ eq \f(2,x＋1) ＋x2 (2)x＋1≠0，即x≠－1 例：若函数y＝ eq \f(1,xn－1)) (n是常数)是反比例函数，则n＝____． (变式1)若函数y＝xm2－5为反比例函数，则m的值为______． (变式2)(易错题)已知函数y＝(m－2)x|m|－3是反比例函数，则m＝______． $