寒假预习——质数和合数（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

2025-2026学年五年级下册数学人教版寒假预习讲义 【质数和合数】 学习寄语 亲爱的同学们，当我们给班级同学分组、设置手机开机密码、甚至研究大自然中昆虫的繁殖规律时，悄悄就用到了质数和合数的知识！质数就像“孤独的独行侠”，只有1和自己两个“伙伴”；合数则是“热闹的小团体”，有着更多“朋友”。今天我们一起走进质数与合数的世界，认识它们的特征，学会快速判断的小技巧，用数的知识解决生活里的数学小问题，让抽象的数论变得有趣又实用！ 知识精讲 一、核心定义： 按因数个数分类 我们可以根据一个数因数的个数，将非0自然数分为三类： 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 （1）举例：2（因数：1、2）、3（因数：1、3）、7（因数：1、7），它们都只有2个因数，都是质数。 （2）特殊提醒：2是唯一的偶质数，所有其他质数都是奇数。 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 举例：4（因数：1、2、4）、9（因数：1、3、9）、12（因数：1、2、3、4、6、12），它们的因数个数≥3，都是合数。 3.1的特殊性：1只有1这一个因数，因此1既不是质数，也不是合数。 二、质数与合数的判断方法 1.列举法（基础方法）： 步骤：写出这个数的所有因数，数因数的个数： （1）只有2个因数→质数； （2）有3个及以上因数→合数； （3）只有1个因数→是1，既不是质数也不是合数。 2.试除法（进阶培优方法）： 对于大于10的数，不用列举所有因数，用2、3、5、7、11等质数依次试除： （1）如果能被其中某个质数整除→是合数； （2）如果试除到除数的平方大于这个数，都不能整除→是质数。 举例：判断17是否为质数：试除2（17÷2余1）、3（17÷3余2），3²=9<17，7²=49>17，停止试除，17是质数。 3.记忆法：牢记100以内的质数表（共25个）： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 记忆顺口溜：二三五七一十一，十三十九和十七，二三九、三一七，四一三七四十七，五三九、六一七，七一七三九七，八三八九九十七。 三、质数与合数的简单应用场景 1.平均分问题：当总人数、总数量是合数时，可以平均分成多个小组（每份数量>1）；是质数时，只能分成1组或每组1个（无法平均分出数量>1的若干组）。 2.密码设置：质数因因数少，常被用于加密领域，比如手机密码的数字组合可以用质数串联。 四、解题通用步骤 1.识别题型：判断是定义分类、质数判断还是实际应用问题； 2.对应方法：根据定义列举因数，或用试除法、质数表快速判断； 3.验证结果：检查因数个数是否正确，是否符合质数/合数的核心特征； 4.实际应用：结合场景分析，比如平均分问题需判断总数是质数还是合数。 例题讲解 【典型例题1】基础判断与分类 题目：(1) 判断下列说法是否正确： ① 所有的奇数都是质数；（） ② 所有的偶数都是合数；（） ③ 1既不是质数也不是合数；（） (2) 把下列数分类：1、2、9、13、25、31、36、47 质数：____________________ 合数：____________________ 既不是质数也不是合数：______ 分析：根据质数、合数的定义，结合特殊数（2、1、奇数中的合数如9）判断。 解答：(1) ① 错误（比如9是奇数，但9的因数有1、3、9，是合数）；② 错误（2是偶数，但只有1和2两个因数，是质数）；③ 正确； (2) 质数：2、13、31、47； 合数：9、25、36； 既不是质数也不是合数：1。 【跟踪练习1】 (1) 判断对错： ① 质数的因数只有1个；（） ② 最小的质数是2，最小的合数是4；（） ③ 一个合数至少有3个因数；（） (2) 写出10~20之间的所有质数和合数。 【典型例题2】质数的进阶判断与应用 题目：(1) 用试除法判断37和51是否为质数； (2) 两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 分析：(1) 用试除法，试除到除数平方大于该数；(2) 先列出和为18的质数组合，再看积是否为65。 解答：(1) 判断37：试除2（37÷2余1）、3（37÷3余1）、5（37÷5余2）、7（7²=49>37），都不能整除，所以37是质数； 判断51：试除3，51÷3=17，能整除，所以51的因数有1、3、17、51，是合数； (2) 和为18的质数组合：5+13=18，7+11=18；计算积：5×13=65，7×11=77，所以这两个质数是5和13。 【跟踪练习2】 (1) 用试除法判断79和87是否为质数； (2) 两个质数的积是35，和是12，这两个质数分别是多少？ 【典型例题3】实际问题应用 题目：五年级(2)班有43名同学，班主任想把同学们分成若干个小组（每组人数>1，组数>1）开展活动，能做到吗？如果是45名同学呢？请说明理由。 分析：判断总人数是质数还是合数：质数只能分成1组或每组1人，合数可以分成多个小组（每组人数>1）。 解答：43是质数，因数只有1和43，所以只能分成1组（43人）或43组（每组1人），不符合“每组人数>1，组数>1”的要求，不能做到； 45是合数，因数有1、3、5、9、15、45，比如可以分成3组（每组15人）、5组（每组9人）等，能做到。 答：43名同学不能分组，因为43是质数；45名同学能分组，因为45是合数。 【跟踪练习3】 超市有59颗巧克力，要分装成若干盒（每盒数量>1，盒数>1），能正好分完吗？如果是63颗呢？说明理由。 提升练习 一、填空题 1．在1~20的数中，既是奇数又是合数的数有　 　，既是偶数又是5的倍数的数有　 　。 2．最近的数学课，周老师都会在课前布置一道练习：她说出一个整数，同学们就要写出不超过这个整数的所有质数和所有合数。这天上课，周老师给出的整数是a，小明所写的数全对无漏，当中有11个合数。周老师这天给出的整数是　 　。 3．根据哥德巴赫猜想：任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数的和。例如：18=5+13，20=　 　+　 　。 4．在括号里填上合适的不同的质数。 12＝　 　＋　 　＋　 　 18＝　 　＋　 　＋　 　 5．小华将自己的围棋游戏账号的密码设置为PLBB□□□。已知：第一个□是最小的质数；第二个□只有1个因数；第三个□的所有因数是1，3，9；则小华的围棋游戏账号是PLBB　 　。 二、判断题 6．质数中一定没有2的倍数。(　　) 7．质数加上1就可以变成合数。(　　) 8．在全部整数里，不是奇数就是合数。(　　) 9．10以内所有的质数相乘，所得的积一定是合数。(　　) 10．除了2以外，任何一个质数加上1所得的数一定是2的倍数。(　　) 三、选择题 11．奇思在卡片上写出了下面的五个数，这些数共同的特点是(　　)。 A．都是51的因数 B．都是2的倍数 C．都是奇数 D．都是合数 12．两个质数相乘的积 (　　)。 A．一定是质数 B．一定是合数 C．可能是质数，也可能是合数 D．既不是质数也不是合适 13．下面各选项中，两个数都是合数的是 (　　)。 A．19和12 B．7和8 C．6和4 D．18和3 14．在1、2、17、51、63、71、85这些数中， 质数共有 (　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 15．一个质数与一个合数的积一定是(　　)。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 四、解决问题 16．五袋巧克力的数量统计如下图，哪几袋的巧克力可以平均分给若干个小朋友无剩余？哪几袋不可以？为什么？(每个小朋友不止分到1颗) 袋子标号 1 2 3 4 5 颗数/颗 87 61 56 85 79 17．一个长方形的长和宽都是质数，且周长是16厘米，那么这个长方形的面积是多少平方厘米？ 18．小明收到好朋友寄来的一张风景卡片，风景卡片的周长是40cm，并且长和宽都是质数。这张风景卡片的面积最大是多少平方厘米? 答案解析部分 【跟踪练习1答案及解析】 (1) ① 错误。理由：质数有2个因数（1和它本身）； ② 正确。理由：2是最小的质数，4是最小的合数； ③ 正确。理由：合数除了1和本身还有其他因数，至少有3个因数。 (2) 10~20之间的质数：11、13、17、19； 合数：10、12、14、15、16、18、20。 【跟踪练习2答案及解析】 (1) 判断79：试除2（余1）、3（7+9=16，16不是3的倍数，余1）、5（末位是9，不能被5整除）、7（7²=49<79，79÷7余2）、11（11²=121>79），都不能整除，79是质数； 判断87：8+7=15，15是3的倍数，87÷3=29，能被3整除，所以87是合数； (2) 积为35的质数组合：5×7=35，且5+7=12，符合条件，所以这两个质数是5和7。 【跟踪练习3答案及解析】 59是质数，因数只有1和59，所以只能装1盒（59颗）或59盒（每盒1颗），不符合“每盒数量>1，盒数>1”的要求，不能正好分完； 63是合数，因数有1、3、7、9、21、63，比如可以装3盒（每盒21颗）、7盒（每盒9颗）等，能正好分完。 答：59颗不能正好分完，因为59是质数；63颗能正好分完，因为63是合数。 【提升练习】 1．9、15；10、20 2．20 3．3；17 4．2；3；7；2；5；11 5．219 6．错误 7．错误 8．错误 9．正确 10．正确 11．D 12．B 13．C 14．A 15．D 16．解：因为87、56和85是合数，所以第1，3，4袋可以平均分给每人2颗及以上并且每人的颗数相等。 因为61 和79是质数，所以第2，5袋不可以。 17．15平方厘米 18．解：40÷2=20 (cm) 20=13+7=17+3 91>51 答：这张卡片的面积最大是91 cm2。 1 学科网（北京）股份有限公司 $