寒假预习——长方体和正方体的表面积（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

2025-2026学年五年级下册数学人教版寒假预习讲义 【长方体和正方体的表面积】 【知识精讲+例题讲解+提升练习】 学习寄语 亲爱的同学们，生活中长方体和正方体的身影无处不在：包装礼物的精美纸盒、陪伴玩耍的魔方、家里的玻璃鱼缸、教室的长方体书柜……今天我们要解锁的“表面积”，就是这些立体图形“外衣”的总面积。掌握它不仅能帮我们解决包装、粉刷、制作容器等实际问题，还能提升我们的空间想象能力，快来一起开启立体图形的探索之旅吧！ 知识精讲 一、表面积的核心定义 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 二、长方体的表面积计算 1.面的特征：长方体有6个面，相对的两个面完全相同，分为3组相对面：上/下、前/后、左/右。 2.计算公式： 文字公式：长方体表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2 字母公式： （其中 表示长， 表示宽， 表示高） 3.推导逻辑：先算出3个不同面的面积和，再乘2得到6个面的总面积。 三、正方体的表面积计算 1.面的特征：正方体6个面都是完全相同的正方形。 2.计算公式： 文字公式：正方体表面积 = 棱长×棱长×6 字母公式： （其中 表示正方体的棱长） 3.推导逻辑：一个面的面积是 ，6个面的总面积就是 。 四、特殊场景的表面积计算（重点） 在实际问题中，往往不需要计算完整的6个面，需根据场景调整： 1.无盖容器（如鱼缸、无盖盒子）：少1个顶面，长方体表面积 =（长×高 + 宽×高）×2 + 长×宽；正方体表面积 = 。 2.通风管、水管：无左右/前后两个面，只有4个侧面，表面积 = 底面周长×高（长方体底面周长 =（长+宽）×2，正方体底面周长 = ）。 3.粉刷墙面、贴瓷砖：需扣除门窗、地面等不需要粉刷/铺贴的面积。 五、解题通用步骤 1.分析场景：判断是计算完整表面积还是特殊场景的部分面积； 2.确定数据：找到对应的长、宽、高或棱长； 3.代入公式：根据场景选择合适的公式计算； 4.验证单位：确保所有数据单位统一，结果单位正确。 例题讲解 【典型例题1】基础表面积计算 题目：(1) 一个长方体礼品盒，长30cm，宽20cm，高15cm，包装这个礼盒至少需要多少平方厘米的包装纸？(2) 一个正方体魔方，棱长10cm，它的表面积是多少？ 分析：(1) 包装纸面积即长方体的完整表面积，直接代入公式计算；(2) 正方体6个面完全相同，用 计算。 解答： (1) 长方体表面积： （平方厘米） 答：至少需要2700平方厘米的包装纸。 (2) 正方体表面积： （平方厘米） 答：它的表面积是600平方厘米。 【跟踪练习1】 (1) 一个长方体书柜，长1.2m，宽0.5m，高1.8m，给它的表面刷漆（底面不刷），需要刷漆的面积是多少平方米？(2) 一个正方体粉笔盒，棱长8cm，它的表面积是多少平方厘米？ 【典型例题2】特殊场景表面积计算 题目：(1) 学校要制作一个无盖的长方体铁皮水箱，长1.5m，宽0.8m，高1m，至少需要多少平方米的铁皮？(2) 做一个长方体通风管，横截面是长0.3m、宽0.2m的长方形，通风管长4m，需要多少平方米的铁皮？ 分析：(1) 无盖水箱少1个顶面，计算5个面的面积和；(2) 通风管只有4个侧面，用“底面周长×高”计算更简便。 解答： (1) 无盖水箱表面积： （平方米） 答：至少需要5.8平方米的铁皮。 (2) 通风管表面积： 底面周长 = （m），表面积 = （平方米） 答：需要4平方米的铁皮。 【跟踪练习2】 (1) 一个无盖正方体玻璃鱼缸，棱长5dm，制作这个鱼缸需要多少平方分米的玻璃？(2) 一个正方体通风管，棱长0.2m，通风管长3m，需要多少平方米的铁皮？ 【典型例题3】实际综合应用 题目：教室长8m，宽6m，高3m，门窗和黑板的总面积是15m²。要粉刷教室的四壁和天花板，每平方米用涂料0.2kg，一共需要多少千克涂料？ 分析：先计算四壁和天花板的总面积，再扣除门窗面积，最后乘每平方米涂料用量。 解答： 四壁+天花板总面积： （平方米） 需粉刷面积： （平方米） 涂料总质量： （kg） 答：一共需要23.4千克涂料。 【跟踪练习3】 一个长方体礼品盒，长40cm，宽30cm，高20cm，用丝带按“十字交叉”方式捆扎（上下各1条长和1条宽，4条高），结头处用了25cm的丝带，一共需要多长的丝带？ 提升练习 一、填空题 1．如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，那么它的棱长总和扩大到原来的　 　倍，表面积扩大到原来的　 　倍。 2．用6个棱长都是 1 cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的长是　 　cm，宽是　 　cm，高是　 　cm，它的棱长总和是　 　cm，它的表面积是　 　cm2。(写出其中一种) 3．如下图，求长方体饼干盒子四周的商标纸的面积，就是求这个长方体　 　个面的面积之和，这几个面分别是　 　。 4．两个长、宽、高分别是6cm、5cm、4cm的小长方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积最大是　 　cm2，最小是　 　cm2。 5．一位工匠制作了一个新的无盖木箱，根据看到的图形和测量的数据计算出木箱的占地面积是　 　dm2，做这个木箱需要木板　 　dm2。 二、判断题 6．将一个长方体切成两个完全相同的正方体，每个正方体的表面积是这个长方体表面积的一半。(　　) 7．如果长方体的长，宽，高都扩大到原来的2倍，则表面积也扩大到原来的2倍。 (　　) 8．一个正方体的表面积是 30cm2，把它放在桌面上，所占的面积是5cm2。(　　) 9．长方体的展开图中，只有长方形，不可能出现正方形。(　　) 10．将5个棱长1cm的小正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少了6cm2。(　　) 三、选择题 11．奇思要包装一个长方体纸盒(如图)，选择(　　)尺寸的包装纸最合适(不可切拼)。 A．16 cm×19 cm B．28 cm×11 cm C．22 cm×20 cm D．30 cm×18 cm 12．一个长方体中，相交于同一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体的表面积是(　　)m2。 A．66 B．80 C．132 D．无法确定 13．一个正方体，棱长总和是 36 dm，这个正方体的表面积是(　　)dm2。 A．9 B．54 C．108 D．144 14．一个长方体的下面是面积为 16 cm2的正方形，它的侧面沿高展开后是一个长16 cm、宽2cm 的长方形，这个长方体的高是(　　)cm。 A．8 B．6 C．4 D．2 15．下面左图是一个正方体，它的展开图有 6个面，中间图给出了其中的 5 个面，请从右图的a、b、c、d中选一个面形成立体展开图，这个面是(　　)。 A．A B．b C．c D．d 四、计算题 16．计算下列图形的表面积。(单位：cm) 五、解决问题 17．如下图所示，将一个长方体的高减少5cm，它就变成了一个正方体，这个正方体的表面积比原来的长方体减少了 60 cm2。原来的长方体的表面积是多少平方厘米？(单位：cm) 18．淘气想做一个书套，把《中华上下五千年》的三册书(尺寸完全相同)都装进去。做这个书套需要多少平方厘米的纸板？(纸板厚度及接缝忽略不计) 19．工人师傅要为五(1)班的教室(平顶)粉刷屋顶与四壁。已知教室长8m，宽6.5m，高3m，门窗和黑板的面积一共是(不粉刷)。一共需要多少千克涂料？ 答案解析部分 【跟踪练习1答案及解析】 (1) 刷漆面积 = 四周面积 + 顶面面积 （平方米） 答：需要刷漆的面积是6.72平方米。 (2) 正方体表面积 = （平方厘米） 答：它的表面积是384平方厘米。 【跟踪练习2答案及解析】 (1) 无盖鱼缸表面积 = （平方分米） 答：制作这个鱼缸需要125平方分米的玻璃。 (2) 通风管表面积 = 底面周长×长 = （平方米） 答：需要2.4平方米的铁皮。 【跟踪练习3答案及解析】 丝带长度 = 2条长 + 2条宽 + 4条高 + 结头长度 （cm） 答：一共需要245厘米的丝带。 【提升练习】 1．3；9 2．6；1；1；32；26 3．4；前面、后面、左面、右面 4．256；236 5．15；63 6．错误 7．错误 8．正确 9．错误 10．错误 11．D 12．C 13．B 14．D 15．D 16．解：(12×3+12×2+3×2)×2 =66×2 =132(cm2) 8×8×6 =64×6 =384（cm2） 17．解：60÷4=15（cm2） 15÷5=3（cm） 3+5=8（cm） 3×3×2+8×3×4 =18+96 =114（cm2） 答：原来的长方体的表面积是114cm2。 18．解：2×3=6（cm） (20×14+14×6)×2+20×6 =364×2+120 =728+120 =848(cm2) 答：做这个书套需要848cm2的纸板。 19．解：8×6.5+（8×3+6.5×3）×2 =52+43.5×2 =52+87 =139（m2） （139-17）×0.5 =122×0.5 =61（kg） 答：一共需要61千克涂料。 学科网（北京）股份有限公司 $