第03讲 二次根式的加法与减法（3个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版八年级下册数学寒假衔接讲义

第03讲 二次根式的加法与减法（3个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 二次根式的化简求值 题型六 整数部分与小数 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的新定义运算 题型九 二次根式的应用 知识点一：同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南新乡·月考）下列二次根式：①，②，③，④，其中与是同类二次根式的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．③和④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质化简以及同类二次根式的定义，先化为最简二次根式，再观察被开方数是否相等，若相等，则为同类二次根式，即可作答． 【详解】解：①，与是同类二次根式； ②，与不是同类二次根式； ③，与不是同类二次根式； ④，与是同类二次根式； 故选：B 2．（24-25八年级上·北京房山·期中）写出的一个同类二次根式（注：被开方数不是20） ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先化简二次根式，然后找它的同类二次根式． 【详解】∵， ∴的同类二次根式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 知识点二：二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并；逐项判断相加或相减的两项是否是同类二次根式即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，故不能合并，计算错误； B、2和不是同类二次根式，故不能合并，计算错误； C、两个二次根式是同类二次根式，故能合并，且计算正确； D、和不是同类二次根式，故不能合并，计算错误； 故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆开州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】将系数相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的减法法则：将二次根式化为最简二次根式，再将同类二次根式的系数相加减即可合并同类二次根式． 知识点三：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（2025·山东青岛·二模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·课前预习）二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先 ，再 ，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行． 【答案】 乘除 加减 【解析】略 【核心考点一 同类二次根式】 【例1】（25-26八年级上·北京房山·期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简，解题的关键在于正确掌握同类二次根式定义． 根据同类二次根式需化简后根号内部分相同．先将化简为，则需可化为（k为正整数）形式，即m需为3乘以一个完全平方数．求m的最小值，即取最小完全平方数1，进而即可得到m的最小值． 【详解】解：∵， ∴ 化简后根号内部分为3． ∵ 与是同类二次根式， ∴ 可化为（k为正整数），即． 当时，为最小值． ∴ m的最小值为3． 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式；最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得， 当时，，，二者均为最简二次根式，符合题意， 故； 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·吉林长春·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，即几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，所以让的被开方数等于的被开方数，进而求解． 【详解】解：因为最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得． 故答案为：． 【核心考点二 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·月考）若取，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 将表达式中的同类二次根式合并后计算系数，再代入近似值求解即可． 【详解】解：， . 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·全国·期中）计算 的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法以及二次根式的加减混合运算法则． 先根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解： 故选：B 【例3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 【例4】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减、利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得解； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的减法即可得解． 【详解】解：（1）， 故答案为：，； （2）， 故答案为：，． 【核心考点三 二次根式的混合运算】 【例1】（25-26八年级上·上海·月考）若都是有理数，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用完全平方公式将等号右边的式子展开，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 【例2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键； 【详解】解：，， ∴小丽和小红负责的式子出现了错误； 故选：B 【例3】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据完全平方公式可以计算出题目中式子的结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（25-26九年级上·四川眉山·月考）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先将代数式 因式分解为 ，然后分别计算 和 的值，最后代入求值． 本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算，因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ， 又∵ ， ∴原式 ， 故答案为：． 【核心考点四 分母有理化】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式分母同乘以即可化简，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【例2】（2025·上海浦东新·二模）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是分母有理化，熟练掌握两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解题的关键． 根据有理化因式的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，与互为有理化因式的是， 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·上海·月考）写出的一个有理化因式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理化因式，根据有理化因式与原式的乘积是整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的一个有理化因式为：， 故答案为：（答案不唯一） 【例4】（24-25八年级下·北京·期中）化简（且），得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．把分母有理化，即可获得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【核心考点五 二次根式的化简求值】 【例1】（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·月考）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次根式运算，先判断的正负，再根据化简，最后将代入计算即可． 【详解】解：当时，， ∴ ， ∴乙计算正确． 观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确， 故选B． 【例3】（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的混合运算．根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ． 故答案为：10． 【例4】（24-25九年级上·河南新乡·期中）若，则化简 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，可得，根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加减，可得答案． 【详解】解：由，得， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的加减，解题关键是利用二次根式的性质化简二次根式． 【核心考点六 整数部分与小数】 【例1】（24-25九年级上·重庆万州·期中）设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意求出和的值，将值代入即可求出答案. 本题考查了无理数整数部分的有关计算、代数式求值，二次根式的运算以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式. 【详解】解：， . 的整数部分为，小整数部分为 ，. . 故答案为：A . 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期中）我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是因为，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分，若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法运算，解题的关键在于正确求解无理数的整数与小数部分．先求出的整数部分，即a的值，再求出的小数部分，即的值，再利用二次根式乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若的整数部分是，小数部分是，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，估算无理数大小的知识，解答本题的关键是求出、的值． 根据，可得出，，代入运算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵的整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·四川巴中·月考）设的整数部分是，小数部分是，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，解题的关键是求出a、b的值． 化简，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，又， ， ，， ． 故答案为：10． 【核心考点七 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级上·陕西榆林·月考）比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的大小比较；比较两个根式的大小，可以通过平方后比较或调整根式结构的方法． 【详解】解：要比较和的大小，可对两数分别平方： 由于，根据正数平方后的大小关系与原数一致，可得． 故选：B． 【例2】（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 【例3】（2025八年级上·福建福州·专题练习）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小． 【详解】解：，，由于， 所以． 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】，， ， ， 故答案为：． 【核心考点八 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）定义一种新运算“△”，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的新定义列式计算即可． 【详解】解：由题意得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，正确理解新定义是解题的关键． 【例2】 （24-25八年级下·河南三门峡·期中）规定一种新运算：．例如：．则的计算结果是（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，新定义，根据新定义可得原式等于，据此根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·云南曲靖·月考）定义：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用新定义运算公式计算二次根式，读懂题意根据题意中的类似等式列出所求等式是解题的关键． 根据定义的新运算公式代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·山东泰安·月考）规定一种新运算， 如，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义直接代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查根据新定义计算，解题的关键读懂新定义． 【核心考点九 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 先设设原长方形纸片的长为，结合老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，列式计算，算出原长方形纸片的长，进而求出原长方形纸片的宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，设原长方形纸片的长为， ∵老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片， ∴ ∴（负值已舍去） ∴ ∴原长方形纸片的宽为： ∴原长方形纸片的面积为： 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·四川南充·期末）已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形的周长等于其长与宽的和的2倍，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．剩余木料（即阴影部分）的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：剩余木料的面积为： ． 故答案为：10． 【变式训练1 同类二次根式】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简和同类二次根式，先将各项进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与是同类二次根式，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据题意， 与 可以合并，说明它们是同类二次根式，先将 化简，再确定 的值即可． 【详解】解： 与 可以合并，， 则 与 是同类二次根式， 即 （ 为正整数）， 两边平方得 ， 当 时， 取最小值，即 ， 验证： 与 可以合并， 故答案为：3． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见解析． 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出的值，再把的值代入原式看是否符合题意即可． 【详解】解：不存在．理由如下： 若与是同类二次根式，则， 解得：，当时，， 与都不是最简二次根式． 故不存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 4．（24-25八年级上·广东梅州·月考）阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【答案】1，21，61（答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可． 【详解】解：与能合并， 为正整数）， ， ， 又为正整数， 为偶数， 为奇数， 当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【变式训练2 二次根式的加减运算】 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式运算法则计算，逐一验证即可． 【详解】A．，运算正确，不符合题意； B．，运算正确，不符合题意； C．，运算正确，不符合题意； D．，但原式结果为2，显然错误，符合题意． 故选：D． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）a，b均为正整数，且满足．则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次根式的加减运算，根据，得到与是同类二次根式，结合a，b均为正整数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴与是同类二次根式， ∵a，b均为正整数，， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 3．（25-26八年级上·上海·月考）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先证明，再化简二次根式，最后根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵式子和有意义，且， ∴， ∴ ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式； （3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式； （4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式． 【变式训练3 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的流程图是解本题的关键． 把代入程序计算即可得到输出结果． 【详解】解：若输入的值为， ， 故选：C． 2．（2025八年级下·浙江宁波·模拟预测）观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】 【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和． 本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 3．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）先根据二次根式的性质化简，再按照二次根式的混合运算法则求解即可； （3）运用二次根式的混合运算法则计算即可； 本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可； （2）分别根据二次根式的除法法则和乘法法则计算第一项和第二项，然后进行减法运算即可； （3）先化简，根据乘法分配律计算，计算负整数次幂，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据二次根式的除法法则，乘法分配律计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式训练4 分母有理化】 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 2．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）把所求分式的分子和分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）把两个式子的倒数进行分母有理化，比较出两个式子的倒数的大小，由于两个式子都是正数，则可比较出这两个数的大小． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握分母有理化是解答的关键． （1）利用分母有理化的计算方法求解即可； （2）先利用分母有理化化简x、y，再代值求解即可； （3）利用分母有理化得出的结论化简各项，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ∴，， ∴ ； （3）解：∵ ∴ ． 【变式训练5 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先求出，，再根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 3．（24-25九年级上·四川巴中·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】（1）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． （2）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）先化简，再求值：，其中.如图是小亮与小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：________； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮， (2)，2025 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据二次根式的性质解题即可； （2）根据二次根式的性质化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵当时，，由二次根式的性质可得： ，即小亮的计算是错误的， ∴小亮的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；； （2）解：原式, ∴原式 ． 【变式训练6 整数部分与小数】 1．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到．如的整数部分为2，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①； ②的小数部分为； ③； ④； ⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可． 【详解】解：由题意得，，它的整数部分为6，小数部分为； ，它的整数部分为10，小数部分为； ，它的整数部分为14，小数部分为； ，它的整数部分为，小数部分为； ，它的整数部分为22，小数部分为； ，它的整数部分为，小数部分为； ∴，小数部分是， ∴①，正确； ②的小数部分为，正确； ③，错误； ④ ，正确； ⑤ ，原计算正确； 综上所述，正确的是①②④,共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键． 2．（2025·广东深圳·二模）估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是．现记的整数部分是a，小数部分是b，计算（a﹣b）（b+9）的结果为 ． 【答案】21 【分析】先根据无理数的估算求出的值，再代入，利用平方差公式进行计算即可得． 【详解】解：， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了无理数的估算、利用平方差公式计算二次根式的乘法，熟练掌握无理数的估算是解题关键． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．于是小明用来表示的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)设的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)2， (2)4 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则，是解题的关键： （1）夹逼法求出的整数部分和小数部分即可； （2）夹逼法求出整数部分和小数部分，再利用二次根式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减法、相反数，解题的关键是确定无理数的整数部分． （1）估算出，即可确定整数部分为，根据定义，即可求出小数部分为； （2）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可； （3）估算出，即可得出，即可确定和的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即的整数部分为， 则小数部分为； 故答案为：，． （2）解：， ， ， ，， ． （3）解：， ， ． ，其中是整数，且， ，， ， 的相反数为． 【变式训练7 比较二次根式的大小】 1．（24-25八年级下·江西抚州·月考）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 2．（25-26八年级上·上海·月考）已知，，，用“”连接它们得 ． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用作差法和估算法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 3．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 ，，，比较的大小关系． 【答案】 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 4．（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练8 二次根式的新定义运算】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 2．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，二次根式分母有理化，平方差公式等． （1）根据题意利用题中例子计算即可； （2）根据题意先将展开计算，再计算，最后分母有理化即可． 【详解】解：（1）由定义新运算知， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·河南周口·月考）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）根据对偶式的定义即可得； （2）先将分母有理化，再求出的值，然后代入计算即可得． 【详解】（1）解：的对偶式为， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ， ， ∴ ． 【变式训练9 二次根式的应用】 1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，准确计算是解题的关键．根据题意分别求得两个正方形的边长，进而求得长方形的长和宽，即可求解． 【详解】解：∵正方形得面积为，正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴长方形的面积， 即便签区的面积为， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南许昌·月考）某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为，那么这块草地的面积为 ． 【答案】 【分析】先利用矩形的周长的一半减去矩形的宽得到矩形的长，即这块草地的长为，去括号合并得到矩形的长为，然后根据矩形的面积公式得到这块草地的面积，再进行二次根式的乘法运算． 【详解】解：这块草地的长， 所以这块草地的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）高空抛物极其危险，我们必须杜绝这种行为．据研究，物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)①若，则_______s； ②若，则_______s． (2)是的多少倍？ (3)经过1.5s，物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)①  ② (2)倍 (3) 【分析】本题考查二次根式的应用，能够理解题意是解题的关键． （1）将，分别代入求出对应的时间即可； （2）将（1）中的对应时间进行计算即可； （3）根据公式将代入进行计算即可． 【详解】（1）解：①当时，； ②当时，； 故答案为：①  ②． （2）解：，则是的倍． （3）解：当时，，所以经过，物体下落的高度是． 4．（25-26八年级上·河南焦作·月考）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键， （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，从而列式得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴种植青菜部分的周长等于长方形空地的周长为：． ∴种植青菜部分的周长是； （2）解：由题可得：种植香菜部分的面积为：， 种植青菜部分的面积为：， ∴ ∴种植青菜和香菜部分的面积差为． 1．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）估计的值在（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式运算、无理数估算大小等知识，熟练掌握二次根式运算法则和无理数估算大小方法是解题关键．首先解得，结合，即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴的值在3和4之间． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）图是嘉嘉的试卷，答对1题得25分，答错或者不答不得分，则嘉嘉的得分是（    ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质、二次根式的加减乘除运算法则以及完全平方公式分别计算即可得出答案． 【详解】解：①，故此小题计算错误， ②，故此小题计算正确， ③，故此小题计算错误， ④，故此小题计算正确， 答对l题得25分，答错或者不答不得分， 嘉嘉的得分是：25×2=50(分)． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，且， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·月考）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（　　） A． B． C．9 D．8 【答案】C 【分析】首先根据题意，得出一般规律，代入数字相加即可得解． 【详解】解：第个等式：，     第个等式：， 第个等式：，     第个等式：， …… 第n个等式：， ∴ = ，故C正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运用，首先由正方形的面积是，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽得出正方形的长，再根据大正方形面积减去小正方形面积，即可得出答案． 【详解】解：小正方形的边长为： ， ∴ 故选：B． 6．（2025·江苏南京·模拟预测）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，根据二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质即可求解，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：4． 8．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简后代入求值即可． 【详解】∵，， ∴ ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等可得，求出、、的值即可求解． 【详解】解：各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等， ， 解得：，，， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式以及分式的运算，先将代入得到原式，再根据分母有理化的方法将分式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法、乘法，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （3）化简二次根式，并利用平方差公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 【答案】小明的解法不对．见解析 【分析】根据二次根式的性质，再判断的值的正负性即可. 【详解】解：小明的解法不对．改正如下： ， ， 原式. 把代入，得原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是判断正误的关键. 13．（24-25八年级下·河南商丘·月考）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 【答案】(1)，7，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键． （1）根据完全平方式计算，与比较大小，即可求解， （2）根据完全平方式分别计算和，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴， ∴， 故答案为：，7，，； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴ ∴． 14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，例如： ． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)直接写出下列各式分母有理化后的结果： _______，_____； (2)化简式子：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用题干的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用题干的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）原式 ． 15．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8米/秒），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【答案】(1)下落的时间为秒； (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时：， 答：下落的时间为秒； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次根式的加法与减法（3个知识点+9大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 同类二次根式 题型二 二次根式的加减运算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 分母有理化 题型五 二次根式的化简求值 题型六 整数部分与小数 题型七 比较二次根式的大小 题型八 二次根式的新定义运算 题型九 二次根式的应用 知识点一：同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河南新乡·月考）下列二次根式：①，②，③，④，其中与是同类二次根式的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．③和④ 2．（24-25八年级上·北京房山·期中）写出的一个同类二次根式（注：被开方数不是20） ． 知识点二：二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆开州·期末）计算： ． 知识点三：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【即时训练】 1．（2025·山东青岛·二模）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课前预习）二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先 ，再 ，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行． 【核心考点一 同类二次根式】 【例1】（25-26八年级上·北京房山·期末）下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 【例3】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为 ． 【例4】（25-26九年级上·吉林长春·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【核心考点二 二次根式的加减运算】 【例1】（25-26八年级上·河北邢台·月考）若取，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·期中）计算 的结果是（      ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·月考）计算： ． 【例4】（25-26八年级上·全国·课前预习）计算： （1） ； （2） ． 【核心考点三 二次根式的混合运算】 【例1】（25-26八年级上·上海·月考）若都是有理数，且，则(    ) A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【例3】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）计算的结果是 ． 【例4】（25-26九年级上·四川眉山·月考）已知，，则的值为 ． 【核心考点四 分母有理化】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·月考）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·上海浦东新·二模）下列各式中，与互为有理化因式的是（ ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·上海·月考）写出的一个有理化因式： ． 【例4】（24-25八年级下·北京·期中）化简（且），得 ． 【核心考点五 二次根式的化简求值】 【例1】（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·月考）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式，在两人的解法中（　　） A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定 【例3】（2025九年级上·上海·专题练习）已知，，则 ． 【例4】（24-25九年级上·河南新乡·期中）若，则化简 ． 【核心考点六 整数部分与小数】 【例1】（24-25九年级上·重庆万州·期中）设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北保定·期中）我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是因为，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分，若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）若的整数部分是，小数部分是，则 ． 【例4】（24-25九年级上·四川巴中·月考）设的整数部分是，小数部分是，则的值是 ． 【核心考点七 比较二次根式的大小】 【例1】（24-25八年级上·陕西榆林·月考）比较：（   ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【例2】（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025八年级上·福建福州·专题练习）比较大小： （填“”“”或“”）． 【例4】（25-26八年级上·山东菏泽·月考）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“=”） 【核心考点八 二次根式的新定义运算】 【例1】（24-25八年级下·广西南宁·期末）定义一种新运算“△”，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·河南三门峡·期中）规定一种新运算：．例如：．则的计算结果是（   ） A．10 B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·云南曲靖·月考）定义：，则 ． 【例4】（24-25八年级下·山东泰安·月考）规定一种新运算， 如，则 ． 【核心考点九 二次根式的应用】 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·四川南充·期末）已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 【例4】（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．剩余木料（即阴影部分）的面积为 ． 【变式训练1 同类二次根式】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各式中与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）若与可以利用加法的结合律进行运算（即：它们可以合并），则最小的正整数a是 ． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级上·广东梅州·月考）阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【变式训练2 二次根式的加减运算】 1．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）a，b均为正整数，且满足．则的值为 ． 3．（25-26八年级上·上海·月考）计算： 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式训练3 二次根式的混合运算】 1．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图是一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·浙江宁波·模拟预测）观察下列各式： ， ， ， ．．． 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 3．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算： (1) (2) (3) 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式训练4 分母有理化】 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 2．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 3．（25-26八年级上·江苏·月考）两个根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与、与等都是互为有理化因式． 例如：；…… (1)请仿照上述过程，化去下式分母中的根号：（n为正整数）； (2)比较与的大小．（n为正整数） 4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题． (1)化简：________，_________； (2)若，，求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值：． 【变式训练5 二次根式的化简求值】 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·四川巴中·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）先化简，再求值：，其中.如图是小亮与小芳的解答过程： (1)_______的解法是错误的，错误的原因是没有正确运用二次根式的性质：________； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式训练6 整数部分与小数】 1．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到．如的整数部分为2，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①； ②的小数部分为； ③； ④； ⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·广东深圳·二模）估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即．于是的整数部分是1，小数部分是．现记的整数部分是a，小数部分是b，计算（a﹣b）（b+9）的结果为 ． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．于是小明用来表示的小数部分，又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： (1)的整数部分为________，小数部分为________； (2)设的整数部分为，小数部分为，求的值． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读材料，解决问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分是这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4，的整数部分为1，小数部分为，的整数部分为，小数部分为．由此我们得到：如果，其中是整数，且，那么，．请解答： (1)的整数部分为______，小数部分为______； (2)如果，其中是整数，且，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【变式训练7 比较二次根式的大小】 1．（24-25八年级下·江西抚州·月考）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·月考）已知，，，用“”连接它们得 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 ，，，比较的大小关系． 4．（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【变式训练8 二次根式的新定义运算】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·月考）已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 3．（24-25八年级下·河南周口·月考）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)请直接写出的对偶式_____； (2)已知，，求的值； 【变式训练9 二次根式的应用】 1．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图是添加了便签的台历，正方形为日历区，正方形为备忘录区，长方形为便签区，已知日历区的面积为，备忘录区的面积为．则便签区的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南许昌·月考）某小区有一块长方形的草地，这块草地的宽为，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为，那么这块草地的面积为 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）高空抛物极其危险，我们必须杜绝这种行为．据研究，物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)①若，则_______s； ②若，则_______s． (2)是的多少倍？ (3)经过1.5s，物体下落的高度是多少？ 4．（25-26八年级上·河南焦作·月考）年河南全省学生劳动教育周活动启动仪式在三门峡市举行．如图，某校实践基地有一块长方形空地，空地的长为，宽为，准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜和香菜部分的面积差． 1．（24-25八年级下·重庆荣昌·期末）估计的值在（    ） A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）图是嘉嘉的试卷，答对1题得25分，答错或者不答不得分，则嘉嘉的得分是（    ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·月考）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，……，按照上述规律，计算：（　　） A． B． C．9 D．8 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 6．（2025·江苏南京·模拟预测）计算 ． 7．（25-26八年级上·上海青浦·期中）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 8．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）若，，则的值为 ． 9．（24-25八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝ ． 11．（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算： (1) (2) (3) 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 13．（24-25八年级下·河南商丘·月考）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，例如： ． 这种化简的方法叫分母有理化． (1)直接写出下列各式分母有理化后的结果： _______，_____； (2)化简式子：． 15．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8米/秒），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $