第十三章 三角形 章末复习教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

附件2 导学案—2 第十三章 三角形 章末复习 教学设计 一、课标与课标分析 1. 课标 （1）内容要求 ①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性； ②探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； ③证明三角形的任意两边之和大于第三边． （2）学业要求 掌握三角形的概念，在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成和发展几何直观与推理能力． （3）教学提示 图形的性质的教学需要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想，感悟几何体系的基本框架．引导学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界． 2. 课标分析 本章节不仅是学习后续内容（全等三角形、四边形和圆）的基石，更是培养学生几何直观、推理能力和空间观念的核心载体． 基于课标的要求，本节章末复习课应该先系统化知识结构、再巩固三角形性质，最后在具体问题的解决中深化数学思想方法，提升综合应用能力，为后续更为复杂的几何学习打下坚实的能力基础和发展可迁移的思维习惯． 二、内容与内容解析 1. 内容 三角形的小结（人教版2024八年级上册）． 2. 内容解析 （1）内容本质 三角形是基本的平面几何图形，也是最简单的多边形．作为初中数学“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的重要内容，是后续学习全等三角形、四边形等内容不可或缺的认知基础． 本章节对三角形的研究，是从小学阶段初步认识三角形的基础上进一步学习三角形的定义开始的，再从定义出发研究三角形的构成要素，然后分析研究构成要素之间的关系得到三角形的性质，这个框架在图形的性质学习上具有普适性． 而通过对三角形定义的学习，不难发现边是三角形的最基本元素，所以在概念、分类及符号表示学习完成之后，本章节先研究了三角形三边之间的大小关系，以及与三角形相关的三条线段（中线、角平分线、高）．接着研究了三角形三个内角之间的关系，得到了三角形的内角和定理，这一定理的证是学生初中阶段正式接触几何证明，进行逻辑推理的起点，我们还在此基础上推出了直角三角形的两锐角关系、三角形的外角与内角之间的关系． （2）数学思想 本章节的学习内容也蕴含了一些数学思想．例如，在三角形的分类中可以体会分类思想，推导三边关系等命题时体现了推理思想，在内角和定理的证明过程中，对于的理解也体现了从已知到未知的转化思想． （3）核心素养 通过知识梳理，在逐步形成知识体系的同时也发展了学生建构知识体系的能力，在具体问题解决的过程中同步发展学生选择方法、知识应用的活动经验．通过综合应用三角形边、角的相关性质解决问题，进一步发展学生推理能力、几何直观和空间观念的学科核心素养． 3. 教学重点 基于以上分析，本节课的教学重点是通过知识梳理，建构三角形结构化的知识体系以及应用三角形的边角性质进行推理，解决问题． 三、目标和目标解析 1. 目标 （1）经历三角形的知识梳理过程，能够概括三角形的研究基本框架，提高学生对于章节知识的整体性理解． （2）能综合应用三角形的有关知识进行推理运算，解决问题，发展几何直观、空间观念、推理能力和运算能力． 2. 目标分析 达成目标（1）的标志是：能根据三角形研究的基本路径整理本章节的知识结构图，深化理解三角形的有关概念及性质，概括几何图形研究的一般路径； 达成目标（2）的标志是：能综合运用性质进行推理、运算，解决问题． 四、教学问题（学生学情）分析 1. 问题诊断 （1）认知基础 学生小学阶段对三角形有了初步认识，通过本章节的学习又认识了定义三角形的数学方式，学习了用推理方法研究三角形的性质，初步掌握了三角形相关的基本知识，经历了证明性质的推理过程，具备了初步的推理能力． （2）认知困难 ①本章节基本内容学习结束之后，学生对三角形相关知识之间联系的认识还不够深入，知识处于碎片化状态，用研究一个几何图形的基本路径和方法来整理三角形知识体系的意识和能力都比较薄弱，独立梳理知识体系存在困难． ②学生对三角形的性质指的是什么，要研究的问题是什么等认识不深刻，难以达到系统化． ③学生对三角形的外角还不够熟悉，在解决问题时不习惯利用外角性质找寻边角关系． （3）应对策略 针对困难①和②，本节课的教学中要梳理本章节的知识内容，查缺补漏，带领学生逐步搭建知识结构体系，强化对研究几何图形一般思路的认识，促使学生形成基本活动经验，进而能够在后续学习中产生迁移． 针对困难③，在具体问题的解决过程中，引导学生尝试一题多解，多应用外角的性质进行运算和推理证明． 2. 教学难点 基于以上分析，本节课的教学难点是以三角形为载体提炼几何研究的一般思路，理解和运用外角的性质进行推理和运算 五、教学媒体与资源 1. 多媒体课件：希沃白板（seewo）； 2. 教学软件平台：网络画板； 3. 传统教具与学具：黑板板贴，导学案． 六、教学过程设计 1. 知识梳理·构建体系 引导语：今天的学习将从一幅图片开始，你认识这座桥（左图）吗？这座连接贵州省六盘水市和云南省宣威市的桥梁经过4年的建设于2016年年底通车，因其建成打破了吉尼斯世界纪录成为世界第一高桥而闻名中外．然而时代的车轮滚滚向前，中国基建的步伐也从未停滞，新的传奇仍然在贵州这片多彩的土地上继续书写，大家最近有看新闻吗？花江峡谷大桥（右图）在今年的9月28日正式通车，成为了新的世界第一． 师生活动：介绍两座位于贵州省的“世界第一”桥梁，带领学生感悟中国基建实力和贵州桥梁发展． 设计意图：回答“为国育人，为党育才”的教育根本问题，落实学科思政．更是通过本土化的素材，增强熟悉感，培养学生对于所处地区的认同感和自豪感． 问题1：请你仔细观察这两幅图片，从中可以找到什么几何图形呢？ 师生活动：引导学生观察图片，找出图片中的三角形，并请学生在白板上勾画出看到的三角形图形，关注易错点，如未出现，要巧妙过渡衔接． 设计意图：学生观察图片时会出现易错误区认为右图中的桥梁主体也是三角形，由此可以引导学生复习三角形的定义． 追问：右图中的桥梁主体也是三角形吗？为什么不是呢？还记得三角形的定义吗？ 师生活动：回顾三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）． 设计意图：利用两座大桥的桥梁主体形成对比，加深对三角形定义的理解． 问题2：回顾了三角形的定义之后，你能画出一个三角形吗？ 师生活动：学生独立在导学案对应未知画出三角形，教师巡视观察学生绘制图形特征并记录，为后续环节作准备．教师投屏展示三名同学画出的不同三角形（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）． 追问：观察第一位同学绘制的三角形，你能告诉大家三角形中有哪些构成元素吗？ 师生活动：引导学生回顾组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，通常用大写字母表示，而对应的边也可以用对应顶点的小写字母来表示，相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称角）．这三者就是三角形的构成元素． 追问：为了书写方便，我们常使用符号语言来表示三角形，你还记得是怎么表示的吗？请你用手指比划一下． 师生活动：引导学生用手指比划三角形的符号记法，同步回顾特殊化的直角三角形对应符号记法． 追问：观察另外两位同学绘制的三角形，他们画的三角形一样吗？有什么地方不一样呢？ 师生活动：引导学生回顾三角形的按角分类，可以分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形． 追问：除了按角对三角形进行分类以外，还有其它的三角形分类标准吗？ 设计意图：通过学生绘制的不同三角形顺理成章地回顾出三角形的按角分类，在通过分类回顾三角形的按边分类，体会分类思想和不同的分类标准，而等腰三角形和等边三角形更是后续研究的重点内容，正是从特殊到一般再到特殊的数学研究思路的体现． 过渡语：至此，我们复习了三角形的定义、构成元素、符号记法及分类，这些也就是与三角形有关的概念． 师生活动：教师整理黑板板贴，将概念部分贴对应归位，并连线形成结构图． 设计意图：黑板板贴的整理让学生更加直观的感受知识框架的形成过程． 问题3：关于三角形，你又学习到了哪些性质呢？ 师生活动：引导学生翻阅教材，查找与三角形有关的性质，如果学生无法理解什么是性质可以引导性提问（除了刚刚梳理过的概念相关知识，关于三角形你还学习过哪些内容），让学生将课本上找到的性质定理书写在导学案的对应空白处． 问题4：学生回答的性质会有缺漏，再提示学生可以根据目录进行补充．（如三角形的有关线段和三角形的稳定性等）． 设计意图：在通过教材正文内容和目录回忆所学知识的过程中，让学生逐步意识到教材是数学学习和知识复习的根本，从而意识到教材的重要性． 过渡语：在找性质的过程中，我们发现思维是非常凌乱的，甚至还出现了缺漏的现象，那我们现在就来以三角形的元素为线索一起梳理一下．关于三角形的顶点，在概念部分我们已经利用它进行了符号表示，点作为最基本的几何元素在三角形中也没有更多性质了． 问题5：下一个元素是三角形的边，我们知道三角形的边是线段，那么任意长度的三条线段都能构成三角形吗？ 师生活动：学生回忆三角形的三边关系（由两点之间，线段最短，我们证明了三角形的两边之和大于第三边，再由不等式的性质推理出两边之差小于第三边）． 追问：现在我在三角形的一条边上放置一个动点，在点运动的过程中，线段所在的位置有没有什么特殊情况？ 师生活动：根据点的位置，按顺序回顾三角形的中线、高、角平分线相关性质（中线部分通过三条中线的交点复习重心）．在不同情况下不断追问在对应的情况下，能提取到哪些性质（主要包括线段和角度的数量关系）？ 设计意图：利用网络画板直观展示点的运动过程，由此自然过渡到三角形中重要线段（中线、角平分线、高）的回顾．在由图形引导学生提取图形中存在的性质发展学生的几何直观能力． 追问：（在高的情况下）除了，还能得到什么性质（提示引导学生向角度关系思考）？ 师生活动：学生易得两锐角互余的性质． 设计意图：追问两锐角互余的原因，并由此自然过渡到内角和定理的回顾． 问题6：你还记得我们是怎么证明内角和定理的吗？为什么构造平行线？ 师生活动：逐步引导学生回忆内角和定理的证明过程．并特殊化结论得到直角三角形两锐角互余的性质． 设计意图：内角和定理的证明是学生正式接触几何证明的起点，因此在证明思路上的引导尤为重要，通过回答为什么要构造平行辅助线的问题，归纳所有几何证明都是由未知向已知的转化． 问题7：回到刚才点在边上移动的问题，当点沿着线段的延长线移动出去时，我们能得到新的几何元素吗？ 师生活动：学生从图形中提取出外角，回忆外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）．教师同步移动黑板板贴构建思维导图． 过渡语：到这里我们已经以元素为线索回顾了三角形的性质，再加上前面提到的稳定性三角形的性质也就复习完毕了．本章节我们首先学习了三角形的定义，再结合图形学习了三角形的构成元素，最后按照元素展开学习了三角形的性质．然而三角形的学习也并未结束，下一章节的全等三角形，正是三角形的特殊化内容． 2. 作业布置·学习迁移 过渡语：三角形属于初中数学“图形与几何”领域“图形的性质”主题，这个主题中也包含了我们七年级学习的点、线、面、角和相交线与平行线的内容．今天就给大家布置的第一个作业就是，请你应用今天的研究思路来梳理一下相交线与平行线这一章节的内容．希望同学们还能将这套几何图形的研究方法继续应用在后续还要学习的四边形和圆的学习中． 设计意图：由此布置开放性的作业内容，学生自主应用本节课学习到的几何图形研究路径，对应梳理相交线与平行线的章节知识． ①定义（什么叫相交线？什么叫平行线？）：由此回顾两条直线的位置关系；②构成元素：与之相关的元素就是直线和两条直线相交构成的角；③性质（研究相关元素之间的关系）：平行线的性质和判定；④特殊化：两线四角模型、三线八角模型、拐点模型（应用解决问题）． 3. 解决问题·能力提升 过渡语：在梳理完本章节的知识之后我们一起来尝试应用这些知识解决一些问题． 练习1：若一个等腰三角形，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长是 ． 解：①当底为时，腰为时， 三角形的三边长为，，，符合三边关系， 可以构成三角形， 此时这个三角形的周长为； ②当底为，腰为时， 三角形的三边长为，，，符合三边关系， 可以构成三角形， 此时这个三角形的周长为； 综上，这个三角形的周长为或． 变式：若一个等腰三角形，一边长为，另一边长为，则这个三角形的周长是 ． 解：①当底为，腰为时， 三角形的三边长为，，，符合三边关系， 可以构成三角形， 此时这个三角形的周长为； ②当底为，腰为时， 三角形的三边长为，，， 因为不符合三边关系， 所以不能构成三角形， 综上，这个三角形的周长为． 设计意图：此类问题涉及到数学中的分类讨论思想，通过变式，考查三边关系知识的同时凸显分类讨论的必要性． 过渡语：现在我们将左边第一个三角形拿出来添加一些线段来继续做进一步研究． 练习2：在等腰三角形中，平分，，． （1）求的度数； 解：， ， 又平分， ， ． 另解：利用为的外角， 可得． 设计意图：引导学生多考虑应用外角的性质解题，体会外角性质的便捷性．同时通过一题多解培养学生发散性思维． （2）延长至点，过点作的角平分线交延长线于点，求的度数； 设计意图：问题在第一问图形的基础上添加线段和条件生成，解决问题的过程也逐步从简单向复杂变化，阶梯式问题结构有助于培养学生分析和解决问题的能力． 解：， ， 平分，平分， ， ， 又为的外角， ， ． （3）求与数量关系； 解：， ， ． （4）改变的形状，与数量关系是否会发生变化？（结合课堂不同进程，此处可设置为第二项作业） 解：与数量关系不会发生变化．理由如下： 平分，平分， ，， 又为的外角， 为的外角， ， ， ， ， ． 设计意图：渗透从特殊到一般的数学思想，引导学生发现变化过程中的不变关系，而双角平分线问题也正是这一章节的难点模型，可以在后续拔高型的复习课中去对应展开，综合应用三角形性质．可设计双内角平分线、双外角平分线及其对应变式． 4. 追本溯源·视野拓展 引导语：最后还剩下一点时间，老师想要带大家来一起了解一下人类对三角形研究的起源和发展．大家知道这是哪里吗（图1）？ 设计意图：通过三角形研究的起源和发展过程介绍，让学生感受到数学知识的“温度”，领会任何学科的知识都是全人类的智慧结晶，更是未来发展的基石． 七、板书设计 设计意图：以板贴的形式呈现知识点，更有利于思维导图的梳理过程，更能体现章末复习的框架构建，让学生直观感受知识从杂乱无章到条理清晰的过程． 八、教学设计说明 三角形是最基本的几何图形之一，研究三角形的知识发展过程是可以在后续几何图形的学习中产生迁移的．三角形知识发展的逻辑是：在实际背景中发现研究对象，归纳共性，通过定义确立研究对象，基于研究对象的构成元素分析元素之间的关系得到研究对象的性质，最后应用性质解决问题． 与大多数版本的教材不同，人教版教材将三角形这一章节与后续全等三角形等知识分隔开，我认为就是为了强化几何图形研究中“定义—元素—性质”的一般路径．正所谓“授人以鱼不如授人以渔”，希望学生能通过这节章末复习课掌握研究几何图形的普遍适用方法． 另外本章节的学习着重于发展学生推理能力，而推理能力的发展落到实处应该是学生直观经验的获得．例如：在研究三角形的三边性质，以“两点之间、线段最短”为基础，再由不等式的性质进行推理；在研究三角形的内角和时，首先质疑了直观方法得到结论的合理性和普遍性，再由剪接拼角操作分析证明思路，这一部分着重引导学生发现证明就是将未知转化为已知，构造平角来转化，再由内角和定理得到直角三角形两锐角互余的推论和外角的性质．而在章末复习课中除了要提及这些环节还需要设计应用三角形的性质进行推理计算、解决问题的活动，由此发展学生的空间观念、几何直观和推理能力． 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 附件2 导学案—1 $