14回归教材 概率中“放回与不放回”问题-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

回归教材概率中“放回与 教材母题 在一个袋中有四个大小和质地都相同的小球， 把它们分别标号为1,2,3,4，小明和小强采取 的摸取方法分别是： 小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回， 再随机摸取一个小球，记下标号； 小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再 随机摸取一个小球，记下标号. (1)请用列举的方法分别表示小明和小强摸球 的所有可能出现的结果； (2)分别求出小明和小强两次摸球的标号之和 等于5的概率. 【思路点拨】(1)首先根据题意画出树状图，然 后由树状图得出所有可能的结果，注意是放回 还是不放回；(2)根据(1)可先求得小明和小强 两次摸球的标号之和等于5分别有几种结果， 然后利用概率公式求解即可求得答案. 【我的解答】 放回”问题（教材第133页题7） 变式训练 1.不透明的袋子中装有2个红球和1个白球， 这些球除颜色外无其他差别： (1)从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀， 再随机摸出1个球.求两次摸出的球都是红 球的概率； (2)从袋子中随机摸出2个球，摸出的球都 是红球的概率是 2.在不透明的袋子中有四张标着数字1,2,3,4 的卡片（除数字外其他都相同），小明和小华 两人按照各自的规则玩抽卡片游戏. 小明画出树状图如图， 开始 第一次 第二次2341 小华列出表格如下： 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) ⑦ (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (1)根据小明画出的树状图分析，他的游戏规 则是随机抽出一张卡片后 下册限时周测 133 (填“放回”或“不放回”)，再随机抽出一张 卡片； (2)根据小华的游戏规则，表格中①表示的 有序数对为 (3)规定两次抽到的数字之和为奇数的获 胜，你认为小明和小华谁获胜的可能性更 大？请说明理由. 3.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字 “大”“美”“南”“阳”的四个小球.除汉字不同 之外，小球没有任何区别，且每次摸球前先 搅匀再摸球。 (1)小北从中任取一个小球，小球上的汉字 刚好是“阳”的概率为 (2)小东从中任取一个小球，不放回，再从中 任取一个小球.请用列表法或树状图法，求 小东取出的两个小球上的汉字（不论顺序） 恰好能组成“大美”或“南阳”的概率P1; 4141433 134 九年级数学XJ版 (3)小明从中任取一个小球，记下汉字后放 回，然后再从中任取一个小球，记小明取出 的两个小球上的汉字（不论顺序）恰好能组 成“大美”或“南阳”的概率为P2,则P1与P2 的大小关系是什么？ 4.一个不透明袋中装有五个形状大小完全相 同的球，球的编号分别为1,2,3,4,5. (1)从袋中随机一次取两个球，求取出的球 的编号之和不大于6的概率； (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记 为n,将球放回袋中摇匀，然后再从袋中随机 取一个球，该球的编号为m.求n”≤m”的 概率.(2)根据俯视图和主视图可知，a2十a2=h2=42,解得a= 2W2,.该几何体的表面积为2ah+2ah+2a2×2=16V2 十24. 故a的值为2√2，该几何体的表面积为16√2十24. 13.解：如图，过点D作DN⊥AB,垂足为V,交EF于点M, B .四边形CDME和四边形ACDN是矩形， ..AN=ME=CD=1.2 m,DN=AC=30 m,DM=CE= 0.6m, ∴.MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4(m). 由题意可知，EF∥AB,.△DFM∽△DBN, 兴"即-制 .BN=20m, .AB=BN+AN=20+1.2=21.2(m) 故楼高AB是21.2m. 回归教材由三视图计算物体的表面积与体积 教材母题 解：由题意可知，该圆锥的母线长(=3，底面半径r=1, 则圆锥的底面积为π×12=π，侧面积为S=πrl=π×1×3 =3π， .这个物体的表面积为π十3π=4π 该物体的侧面展开图如图所示. 120 变式训练 1,解：如图，将钢坯零件的俯视图标上相应字母 并连接AC,BD,其交点为O.由题意可知，AC =8cm,BD=6cm.由菱形的性质可知AO AC=4 cm,BO=BD=3 cm,ACLBD, 形的面积为合AC·BD=号×8X6=24(em),边长AB √JAO+BO=√/4+3=5(cm),所以该钢坯零件的表面 积为5×6×4+24×2=168(cm2). 2.解：根据三视图可知，该密封罐是一个正六棱柱，∴·易得组成其 底面六边形的六个正三角形的高为450s30°=45,3(mm, 2 六该正六棱柱的底面面积为6X子X5×_6075区 2 2 (mm), ÷该正六棱柱的表面积为2×60755+6×45≈22672(mm). 2 故制作每个密封罐所需钢板的面积约为22672mm. 3.解：(1)（答案不唯一）如图所示. (2)由题意可知，这个几何体是三棱柱，.它所有棱长的和为 (3+4+5)×2+7×3=45(cm) .32十42=52， 这个几何体的底面是直角三角形， .它的表面积为3×7+4×7十5×7+3×4÷2×2=96 (cm),体积为3×4÷2×7=42(cm3). 故这个几何体所有棱长的和为45cm,表面积为96cm',体积为 42cm3. 4.解：(1)这个几何体的名称是圆柱 (2)如图所示. (3)这个几何体的表面积为π×3×2×8十π×32×2=66π (cm2), 体积为πX3X8=72π(cm3). 故这个几何体的表面积为66πcm,体积为72πcm. 5.解：(1)设Rt△PMN斜边上的高为h,由图可知，BC=MN, FG=h. 4 'sin∠PMN=5,PN=4,∠MPN=9o°， .MN=5,PM=3,.BC=5. :PMPN=A~MN,h=号FG=号 (2),矩形ABCD与矩形FGHE相似，且AB=HG AB =品∴AB=25 5 (3)直三棱柱的表面积=号×3×4×2+5×2/5+3X2,5+ 4×23=12+24√3. 6.解：(1)914 (2)①该儿何体体积的最大值为33×14=378(cm3). ②体积最小的几何体其表面积有两种不同的情况： 如图①，露在外面的小正方体的面有2×(5十6+6)十2=36 (个). 所涂油漆的面积为36×9=324(cm). 图① 图② 如图②，露在外面的小正方体的面有2×(6十6+6)十2=38 (个). 所涂油漆的面积为38×9=342(cm). 综上所述，体积最小时，所涂油漆的面积为324cm2或 342cm. 回归教材概率中“放回与不放回”问题 教材母题 解：(1)小明和小强摸球情况画树状图分别如图①和图② 所示。 开始 第一个 图① 下册参考答案 191 开始 第一个 第=个44个4分 图② 则小明共有16种等可能的结果，小强共有12种等可能的 结果 (2)由(1)可知，小明两次摸球的标号之和等于5的有4种结 果，小强两次摸球的标号之和等于5的有4种结果， “P(小明两次摸球的标号之和等于5)=6=， 41 (小强两次换球的标号之和等于5》=意-号 变式训练 1,解：(1)画树状图如图. 开始 第一次 红2 第二次红1红2白红1红，白红红，白 由树状图可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是 红球的结果有4种，“两次摸出的球都是红球的概率为号 2司 2.解：(1)不放回 (2)(2,3) (3)小明获胜的可能性更大，理由如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽到的数 字之和为奇数的结果有8种， “小明获胜的概率为音-号， 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽到的数字 81 之和为奇数的结果有8种，∴小华获胜的概率为6=2 “号>号…小明获胜的可能性更大。 1 3,解：1) (2)画树状图如图①. 开始 第一个 第二个美南阳大南阳大美用大南 图① 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小东取出的两 个小球上的汉字（不论顺序）恰好能组成“大美”或“南阳”的 4 1 结果有4种，P=2=3 (3)画树状图如图②. 开始 第一个 第二个大 南 美南阳大 关南下 大美南阳 图② 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小明取出的两 个小球上的汉字（不论顺序）恰好能组成“大美”或“南阳”的 4 1 1 1 结果有4种心P,=16=“3>车心P>P 3343433 192 九年级数学XJ版 4.解：(1)画树状图如图① 开始 第一个 图① 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中取出的球的编 号之和不大于6的结果有12种 取出的球的缩号之和不大于6的概率为号-号。 (2)画树状图如图② 开始 m④45个5④5④5④ 图② 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中nm≤m”的结 果有16种m<m的概率为碧 周测十(4.1~4.3) 1.D2A3.B4.D5,B6随机7.号8号9 10,解：1日 (2)根据题意，列表如下： C D E (D.C) (E,C) (F,C) D (C.D) (E,D) (F,D) E (C,E) (D,E) (F,E) (C,F) (D,F) (E,F) 由表可知，所有等可能的结果有12种，其中对仗工整的结 果有4种，∴能够对仗工整的概率是12=3 4 1 11.解：(1)503020 补全条形统计图如图」 条形统计图 人数个 20 ABCD组别 (2)60×20+5=300(人). 50 故估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80min及 以上的学生有300人. (3)若D组中有3名女生，则有2名男生.画树状图如图， 开始 第1名 第2名女2女3男1男2女女3男1男2女1女2男1男2女女2女3男2女1女2女男1 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中抽取的2名 同学中恰好是1名女生和1名男生的结果有12种，.抽取 的2名同学中恰好是1名女生和1名男生的概率是 0