2.1 圆的对称性&2.2.1 圆心角-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

第2章 圆 2.1 圆的对称性 学习课件 香便图提园 1.圆的相关概念：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.这个定点叫做圆心，定长叫做 半径.连接圆上任意两，点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，圆上任意两，点间的部分叫做孤，能够重合 的两个圆叫做等圆，能够互相重合的弧叫做等孤， 2.点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则当d≤r时，点P在⊙O内；当d三r 时，点P在⊙O上；当d>r时，点P在⊙O外 3.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的对称轴是任意一条直径所在的直线，对称中心是 圆心 课内基础练 知识点③ 圆的对称性 知识点① 圆的相关概念 5.下列说法错误的是 ( 1.在平面内与点P的距离为1cm的点有 A.圆有无数条对称轴 ( B.将车轮设计为圆形是运用了“圆的对称 A.无数个B.3个 C.2个 D.1个 性”原理 2.如下图，在⊙O中，点A,O,D以及B,O,C C.当圆绕它的中心旋转8957'时，会与原来 分别都在同一条直线上 的圆重合 (1)图中共有几条弦？请将它们写出来； D.圆的任意一条直径都是该圆的对称轴 (2)请任意写出两条劣弧和两条优弧 课外拓展练 6.如图，已知⊙O的半径为6，AB 是⊙0的弦，C是⊙O上一点， 连接AC,BC.若D,E分别是 AB,BC的中点，则DE的最大第6题图 值为 7.有一个周长为62.8m的圆形草坪，准备为 它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌.现有射 程分别为20m,15m,10m的三种装置，你认 知识点②点与圆的位置关系 为选哪种比较合适？安装在什么地方？（π 3.若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离 取3.14) 为4cm,则点A与⊙O的位置关系是( A.点A在⊙O外 B.点A在⊙O上 C.点A在⊙O内 D.无法确定 4.已知P是⊙O所在平面内的一点，⊙O的面 积为9π.当OP 时，点P一定在 ⊙O的外部. 30 九年级数学XJ版 2.2圆心角、圆周角 2.2.1圆心角 意便凰提园 1.圆心角的定义：顶点在圆心，角的两边与圆相交，像这样的角叫做圆心角. 2.孤、弦、圆心角之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦也相等； (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条孤、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组 量都分别相等， 说明：同一条弦对应两条孤，其中一条是优孤，另一条是劣孤，而在本定理和推论中的“孤”是指同为优孤或 劣孤。 课内基础练 5.(教材第56页题1变式)如下图，A,B,C,D 是⊙O上的四点，圆中两条弦AB,CD相交 知识点① 圆心角的定义 于点E 1.如图，下列各角是圆心角的是 (1)若AD=BC,求证：AB=CD: A.∠ABC B.∠AOB (2)若AB=CD,求证：AD=BC. C.∠OAB D.∠OCB B 第1题图 第2题图 知识点②弧、弦、圆心角之间的关系 2.如图，已知∠AOB=∠COD,下列结论不一 定成立的是 易错点1忽略“在同圆或等圆中”这一前 A.AB=CD 提条件 B.AB=CD 6.下列语句中，正确的有 ) C.△AOB≌△COD ①圆心角相等，所对的弧也相等；②圆心 D.△AOB和△COD都是等边三角形 角相等，所对的弦也相等；③长度相等的 3.(教材第49页题2变式)如图，AB是⊙O的 两条弦所对的弧是等弧；④在同圆中，相 直径，BC=CD,∠COD=52°，则∠AOD的 等的弧所对的圆心角相等。 大小为 A.1个B.2个C.3个 D.4个 易错点2误认为弧、弦间有倍分关系 7.如图，在⊙O中，AB=2AC,则下列关于 弦AB与弦AC之间的关系正确的是 第3题图 第4题图 ( 4.如图，已知AB,CD是⊙O的直径，AE A.AB=AC B.AB=2AC AC.如果∠BOD=32°，那么∠COE的度数 C.AB>2AC D.AB<2AC 为 下册第2章 31△ 已核心素养练 -- 12.数学核心素养·推理能力(1)如图①，在 D ⊙O中，∠AOB=90°，C,D是AB的三等分 第7题图 第8题图 点，AB分别交OC,OD于点E,F,连接 已课外拓展练 CD.求证：AE=BF=CD; 8.如图，在⊙O中，∠AOB=2∠COD,则AB与 (2)在(1)中，如果∠AOB=120°，其他条件 2CD的大小关系是 ( 不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成 A.AB2 CD B.AB<2 CD 立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明 C.AB=2 CD D.无法确定 理由. 9.如图，已知⊙O的半径为3，弦AB,CD所对 的圆心角分别是∠AOB,∠COD.若∠AOB 与∠COD互补，弦CD=4,则弦AB的长为 ( ) 图① 图② A.42 B.33 C.25 D.26 第9题图 第10题图 10.如图，在⊙O中，若AB=BC,且AB:AC 3:4,则∠AOC的度数为 11.如下图，过⊙O的直径AB上两点M,N,分 别作弦CD,EF,连接AC,BF.若CD∥ EF,AC=BF,求证： (1)BC=AF; (2)AM=BN. 32 九年级数学XJ版14.解：(1)400 (2)由题意可得p=500-10(x-50)=一10x+1000,则W =(x-40)(-10x+1000)=-10x2+1400x-40000= 一10(x一70)2十9000.由题可知每盒售价不得少于50元， 日销售量不低于350盒， /≥50， -10x+100≥350.解得50≤x≤65， .当x=65时，W取得最大值，此时W最大=8750 故当每盒售价定为65元时，日销售利润W最大，最大利润 是8750元. (3)小强的说法正确.理由如下： :50≤x≤65，设日销售额为y元，y=x·p=x(-10x十 1000)=-10x2+1000x=-10(x-50)2+25000,当x= 50时，y值最大，此时y=25000.由(2)知当x=65时，W值 最大，.小强的说法正确. 小红的说法错误，当日销售利润不低于8000元时，每盒售 价x的范围为60≤x≤65. 15.解：(1)设抛物线的表达式为y=ax十9 把点A(3,0)代入，得9a十9=0，解得a=-1, ∴.抛物线的表达式为y=一x十9. (2)如图，作A点关于y轴的对称点 A'(-3,0),连接A'B交OC于点P,则P 点即为所求. 把x=1代入y=-x2十9，得y=8, .B(1,8). 40 设直线A'B的表达式为y=kx十m.将 A'(-3,0),B(1,8)分别代入， 得一3张+n=0解得=2， k十m=8, m=6, y=2x十6.令x=0,得y=6,.点P的坐标为(0,6). (3).y=-x2+2bx+b-1=(x-b)2+b2+b-1, ∴.抛物线的对称轴为直线x=b,顶点坐标为(b,b十b-1). 分以下三种情况讨论： ①当0<仁4时，得-6+12十6-1≥0解得b≥8， 8<c4 ②当4<b<6时，a.若b-4>6-b,则b>5, :-+86+6-1≥9，解得≥号5<6<6： b.若b-4≤6-b,则b≤5 ∴.-62+12b+b-1≥9，∴.4<b≤5； ∴当4<b<6时，均成立. ⑧当6>6时，得-4+86+6-1≥9，解得6≥26， 9 .b≥6均成立。 综上所述6的取值范围为6>铝 第2章圆 2.1圆的对称性 1.A 2.解：(1)2条，它们是弦AE,AD, (2)劣弧有CD,AE:优弧有DAE,CAE(答案不唯一). 3.C4.>35.D6.6 7.解：设圆形草坪的半径为rm 4314434 168 九年级数学XJ版 由题意可知，2πr=62.8,解得r=10. 故选射程为10m的自动旋转喷灌装置比较合适，安装在圆 形草坪的圆心处， 2.2圆心角、圆周角 2.2.1圆心角 1.B2.D3.76°4.64° 5.证明：(1)AD=BC,∴AD=BC, .BC+AC=AD+AC,即AB=CD,∴AB=CD. (2)AB=CD,..AB=CD, .CD-AC=AB-AC,即AD=BC,∴.AD=BC. 6.A7.D8.C9.C10.144 11.证明：(1)如图，连接OC,OF .'AC=BF,.∠AOC=∠BOF AB为⊙O的直径， .∠BOC=180°-∠AOC,∠AOF= 180°-∠BOF, ·∠BOC=∠AOF,BC=AF. (2).'CD∥EF,.∠CMO=∠FNO. 又，∠MOC=∠NOF,CO=FO, .△COM≌△FON(AAS),.OM=ON. 又'OA=OB,∴.AM=BN. 12.解：(1)证明：如图①，连接AC,BD. :C,D是AB的三等分点，∠AOB=90°， ..AC=CD=BD, ÷.AC=CD=BD,∠A0C=∠COD=∠BOD=号∠AOB =30. :0A=OB,∠0AB=∠0BA=号(180-∠AOB)= 45°，∴.∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°. .OA=OC,∠AOC=30°， ÷∠AcE=号×(180°-300=75=∠ABC, ..AE-AC. 同理可得BF=BD,∴.AE=BF=CD. 图① 图② (2)成立.证明：如图②，连接AC,BD. C,D是AB的三等分点，∠AOB=120, .AC=CD=BD,.AC=CD=BD,∠AOC=∠COD= ∠BOD=号∠AOB=40° OA=OB,·∠0AB=∠OBA=号(180°-∠AOB)= 30°，∴.∠AEC=∠AOC+∠OAB=70°. .OA=OC,∠AOC=40°， ÷∠ACE=2×180-409=70=∠ABC ..AE=AC. 同理可得BF=BD, .'.AE=BF=CD.