1.4 专题四 二次函数与几何图形的综合问题-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

专题四 二次函数与几何图形的综合问题 题型①二次函数与线段的最值问题 点M在直线PQ上，且横坐标为x1一1，过点 1.如右图，在平面直角坐标系 y M作MN⊥x轴于点N,求线段MN长度的 中，抛物线y=-x2十2x十3 最大值. 交x轴于A,B两点（点B在 点A的右边)，交y轴于点 C.M是线段OB上的一个动点，过点M作x 轴的垂线，交抛物线于点E,交BC于点 F.求： 图① 图② (1)A,B两点的坐标； (2)线段EF的最大值. 2.(2024湖南)已知二次函数y=一x2+c的图 象经过点A(一2,5)，P(x1,y1),Q(x2,y2)是 此二次函数的图象上的两个动点 (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正 题型② 二次函数与三角形的综合 半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过 点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连 3.如右图，二次函数y=一2十 6的图象与x轴交于A,B两 接AC,DQ,PQ.若2=+3，求证：C 点，与y轴交于点E,P,Q为该 的值为定值； 二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试 (3)如图②，点P在第二象限，x2=一2x1.若 猜想：是否存在这样的点P,Q,使△AQP≌ 下册第1章 21△ △ABP?如果存在，求出P点坐标；如果不 存在，请说明理由. 题型③ 二次函数与四边形的综合 5.如下图，在平面直角坐标系中，抛物线y 一x2+bx十c的图象与坐标轴相交于A,B, C三点，其中A点坐标为(3,0)，B点坐标为 (一1,0)，连接AC,BC.动点P从点A出发， 在线段AC上以每秒√2个单位长度的速度 向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出 发，在线段BA上以每秒1个单位长度的速 度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点 时，另一点随之停止运动，连接PQ,设运动 时间为ts. （1)b= 4.(2024遂宁节选)如下图，二次函数y=ax (2)在P,Q运动的过程中，当t为何值时，四 十bx十c(a≠0)的图象与x轴分别交于点 边形BCPQ的面积最小？最小值为多少？ A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0, y个 一3)，P,Q为抛物线上的两点. (1)求二次函数的表达式； (2)当P,C两点关于抛物线的 对称轴对称，△OPQ是以点P 为直角顶点的直角三角形时， 求点Q的坐标 2 九年级数学XJ版将0，-1D代入，得-1=4a,解得a=一子 六该抛物线的表达式为y=一十(x一2. (2)可以.将抛物线y=一子x向右平移2个单位即可得到 该抛物线， (3)顶点绕原点O旋转180°后的对应点的坐标为（一2,0）， 且得到的新抛物线开口向上、开口大小不变.故新抛物线的 表达式为y=(x+2). 1.4二次函数与一元二次方程的联系 1.-华变式题k>42.名 3.解：(1)1 (2).m=1,.y=x2十x-2.当y=0时，x2十x-2=0. .△=b2-4ac=12-4×1×(-2)=9>0, .二次函数的图象与x轴有2个交点 4.C5.2.56.B7.k≥-1且k≠08.0或19.C 10.m<a<bn11.2≤t11 12.解：(1)证明：令y=0,则x2-2mx十m2-1=0, .∴.△=(-2m)2-4(m2-1)=4>0, ∴.不论为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点， (2)对于x2-2mx十m2-1=0,x1十x2=2m,x1x2=m2-1. x十x吃=4， x十x号=(x1十x2)2-2.x1x2=4m2-2(m2-1)=4, 解得m1=1,2=-1. 故m的值为1或-1. 13.解：(1)①③(2)0<x<5 (3)令x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1, 抛物线y=x2一2x一3与x轴的交点坐标 为(3,0)和（一1,0）.画出二次函数y=x2 2x一3的大致图象（如图所示）.由图象可 知，当x<一1或x>3时，函数图象位于x 轴上方，此时y>0,即x2-2x-3>0,.一元二次不等式x2 -2x-3>0的解集为x<-1或x>3. 专题二二次函数的图象与系数a,b,c的关系 1.A2.B3.B4.A5.C6.②③ 7.解：(1)根据抛物线开口向上，得α>0..抛物线的对称轴在 y销右侧一名>00.又：抛物线与y销的交点在y 轴负半轴上，.c<0.故a>0,b<0,c<0. (2).抛物线y=ax2十bx十c过点(-1,0)，(0，-1)，∴.a-b +c=0,c=-1,即a-b=1,.a=b+1,.a+b+c=b+1十b -1=2b..b<0,.2b0.a>0,.b+1>0,.b>-1, .2b>-2.故a十b十c的取值范围是-2<a十b十c<0. 专题三二次函数的最值及函数值的范围 1.A2.B3.4 4.解：(1)-6-3 (2)y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6. 一4≤x≤0，.当x=一3时，y取得最大值，最大值为6. (3)①若-3<0， 当x=0时，y取得最小值，最小值为一3； 当x=m时，y取得最大值，最大值为一m2一6m一3， .-m2-6-3+(-3)=2, 解得1=-2，m2=-4(不合题意，舍去). ②若m≤一3，当x=一3时，y取得最大值，最大值为6. .y的最大值与最小值之和为2，∴.y的最小值为一4， ,.-(m十3)2十6=-4， 解得m=-3一√10，m4=-3十√/10（不合题意，舍去）. 综上所述，m的值为-2或-3-√10. 5.解：由题意，得二次函数顶点式为y=a(x十1)2-2.：当x= 1时y红-2=0，解得a=分二次函数的表达式为y (x+1)2-2.当x=-3时，y=0,当x=3时，y=6, 当-3≤x<3时，函数值y的取值范围是-2≤y<6. 6.解：若x=-20时，y大=3，则4a-2a-1)-3,解得a 2a Aa =a=-号，此时x=-2.又：-是<x≤2a=-号不 合题意：若x=2时，y大=3，则4a十2(2a-1)十1=3，a= 合，此时抛物线开口向上，对称轴为直线x=0,离对称轴的 距离越远，值越大，Q=号符合题意；若x=一号时，y大= 3,则a…(-号)+(2a-1)×(-2)+1=3,解得a= 号，经检验符合题意，综上，实数口的值为子或-号 专题四二次函数与几何图形的综合问题 1.解：(1)抛物线y=-x2十2x十3与x轴相交于A,B两点， .-x2十2x十3=0，解得=-1，x2=3, .A(-1,0),B(3,0). (2)设M(,0). .抛物线y=一x2十2x十3与y轴相交于点C,.C(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx十b. 13k十b=0, 把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b,得 b=3, 用。 .直线BC的表达式为y=-x十3，.F(m,-m十3). 又：E(m,-m+2n十3)， :EF=(-m+2m+3)-(-m+3)=-(m-号）+号。 又'点M在线段OB上，即0≤m≤3， :当m=受时，EF取得最大值 2.解：(1)二次函数y=-x2十c的图象经过点A(-2,5), .5=-4十c,.c=9,.y=-x2十9. (2)证明：当y=0时，0=-x2十9，解得x1=-3,x=3, .B(3,0). 设直线AB的表达式为y=kx十b, 则十。年0月 （k=-1, .y=-x+3. 1b=3, 点P,Q在二次函数的图象上，点D在直线AB上，x2=x1十3， ∴.P(x,-x+9),Q(x+3,-(+3)2+9),D(x,-x十3)， .PD=-x+9-(-x1+3)=-x+x1+6=(x1十2)(-x1十 ,m=-4十8：积- 号PD(0-w) 2D.w-刀 下册参考答案 165 运士（一多型-8晨的值为定价 (-x+3)(x1+2) (3)点P,Q在二次函数的图象上，x2=一2x1, .P(x1,-x+9),Q(-2x1,-4x2+9). 设直线PQ的表达式为y=mx十n, m=x1, 则-2m十n=-4z+9,”n=-2xf+9. y=x1x-2x+9. 当x=五-1时w=a-1D-2+9=-(a+）+买， 当=一合时，线段MN的长度最大，最大值为平 3.解：存在.如图，连接AE,BE.令-号十6=0，解得x 23,x2=-23,.OB=OA=2√3」 令x=0,则y=6,.OE=6,.AE=BE=4√/3=AB ∴.△ABE为等边三角形 △AQP≌△ABP,点Q与点E重合， ∴.∠PAB=30°. 取BE的中点C,连接AC并延长，交OE于点D,交二次函数 的图象于点P 在Rt△AOD中，∠AOD=90°，∠OAD=30°，OA=2√3， ∴.OD=OA·tan∠OAD=2, .D(0,2).设直线AP：y=kx十b.把A(-2√3,0)，D(0,2) 代人，得23k+6=0:解得=③ 3 1b=2, b=2, ·直线APy= 3x+2. 令号+2=一+6解得=。 3 3x2 =-23(不合题意，舍去) =9时y- 2+6=9P点 坐标为(，) 4.解：(1)把A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)代入y=ax2+bx+ (a-b+c=0, a=1, c,得9a+3b十c=0,解得b=-2, c=-3, c=-3, ∴.二次函数的表达式为y=x2-2x一3. (2)如图.由y=x2一2x一3，得抛物线的 对称轴为直线x=1. :P,C两点关于抛物线的对称轴对称， C(0,-3),.P(2,-3) 设Q(m,m2-2m-3). .∠OPQ=90°，.OP2+PQ=OQ, ∴.(22+32)+[(2-m)2+(-3-m2+2m 十3)2]=m2+(m2-2m-3)2, 整理，得3m2一8m十4=0， 解得m=号m=2不合题意，舍去) 加=号点Q的坐标为（号，一） .2 5.解：(1)23 (2)由(1)，得抛物线的表达式为y=-x+2x+3,.C(0,3). 431443 166 九年级数学J版 ,A(3,0),.△OAC是等腰直角三角 形.如图，过点P作PE⊥x轴，垂足 为E Ap-E器=sin6 六PE=E.9= EA 2 :AQ=3-(-1)-t=4-t, :Sa0=SaAm-Sa8=号×4X3-名X(4-)t= 含-2+6=2-2)r+4. :当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC=√32十32=3√2，AB=4,∴.0≤t≤3， ∴当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4， 1.5二次函数的应用 第1课时利用二次函数解决几何图形 问题及实物抛物线问题 1.B2253.454.1 5.解：(1)如图，以O为原点，水平方向为x y/m 轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐 标系 1 立柱的间距为吉m,OC=m】 x/m A(-号，) 设抛物线的表达式为y=a,则普=a·(一号)厂，解得a= 器地物线的表达式为y器. (2)能.理由如下： 由)可知，将x=号与=号分别代入y号，解得y 能与=品：一段捷栏所需阏筋的总长度为5×号-2 ×(篇+品)+号×6=器(m. :得<7一根长为7m的锅筋能做成一段符合要求的 栅栏. 6.C 7.解：(1)：8-6=2(m),∴抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物 线的表达式为y=a(x-2)2十3.把点A(8,0)代入，得36a十 3=0,解得a=一立“抛物线的表达式为y=一立（红-2） 十8当x=0时y=号>24，球不能射进球门 (2)设小明带球向正后方移动am,则移动后的抛物线表达式 为y=一12(x-2-a)2+3.把点(0,2.25)代入，得2.25= 一立0-2-a)2十3，解得a=-5(不符合题意，合去) 1,∴.当时他应该带球向正后方移动1m射门，才能让足球经 过点O正上方2.25m处. 8.解：(1)(40,32) (2)设抛物线的表达式为y=a(x-40)2+32. 把(80,0)代入y=a(x-40)2+32,得0=a(80-40)2+32,