1.3 不共线三点确定二次函数的表达式-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

(2)由(1)可知，y随x的增大而减小时，x的取值范围是x≤ -1. 5.解：二次函数图象的顶点坐标为A(1,一4)，.设该二次函 数的表达式为y=a(x-1)2-4.将B(3,0)代入y=a(x 1)2-4,得0=4a-4,解得a=1,.该二次函数的表达式为y =(x-1)2-4. 6.C7.1或58.6 9.解：(1)在□ABCD中，CD∥AB,且CD=AB=4, .点C的坐标为(4,8). 抛物线的对称轴与x轴相交于点H, ..AH=BH=2. .OH=CD=4,..OA=2,0B=6, .点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(6,0) (2)平移前抛物线的表达式为y=a(x-4)十8，把A(2,0)代 入表达式中，得a(2一4)2十8=0，解得a=一2，.平移前抛 物线的表达式为y=一2(x一4)十8.设平移后抛物线的表达 式为y=一2(x一4)2+8十m,把D(0,8)代入平移后的表达 式，得8=-2(0-4)2十8十m,解得m=32, .平移后抛物线的表达式为y=一2(x一4)2十40. 10.解：(1)：抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2十4， .抛物线C的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. 将P(m,3)代入y=-(x-6)2+4,得3=-(m-6)2+4,解 得m1=5,2=7. 点P在抛物线C的对称轴的右侧，.m6,.=7. (2).平移后的抛物线的表达式为y=-(x一3)2， .平移后的顶点坐标为(3,0). ·平移前抛物线的顶点坐标为(6,4)， .胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4 个单位， ∴点P移动的最短路程为√3十4=5. 第5课时二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 1.y=(x-3)2-52.y=-x2+2变式题463.D4.D 5.C 6.解：把y=0代入y=x2一4x+3,得x2一4x十3=0，解得x1 =1,x2=3,.抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0). 把x=0代入y=x2-4x十3，得y=3, .抛物线与y轴的交点坐标为(0,3) y=x2-4x+3=(x-2)2-1, .抛物线的顶点坐标为(2，一1)，对称轴为直线x=2. 平面直角坐标系和y=x2一4x十3的图象如图所示. 321,0八N 45 2 7.D变式题C8.B9.8 10.解：(1)将B(3,0)代入y=一x2+mx十3， 得0=-32十3m十3，解得m=2, ,.y=-x2+2x十3=-(x-1)2十4， .抛物线的顶点坐标为(1,4). (2)如图，连接BC,与抛物线的对称轴1交于点P,连 接AP. 由点A,B关于对称轴l对称，得PA=PB, 此时PA十PC的值最小，即为BC的长. 设直线BC的表达式为y=kx十b. 由(1)，得当x=0时，y=-x2十2x+3=3, .C(0,3) (3k十b=0, 将B(3,0),C(0,3)代入y=kx十b,得 1b=3. 每码伦 .直线BC的表达式为y=一x十3. 由(1)可知，抛物线的对称轴为直线x=1, .p=1,此时yp=-1十3=2，∴当PA十PC的值最小时， 点P的坐标为(1,2). 11.解：(1)y=(x-2)2+3 (2).y的图象经过点(1,1)，.2-2m十m十1=1，解得m=2, y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1, ∴.y十y2=2x2-4x+3+ax2+bx十c=(a+2)x2+(b 4)x+c+3. “1十y2与y互为“反簇二次函数”， y1+y2=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1, .a十2=-2，b-4=4,c+3=-1. 解得a=-4,b=8,c=-4, .二次函数y2的表达式为y2=-4x2+8x-4. 当0≤x≤3时，y2的最小值为一16. *1.3不共线三点确定二次函数的表达式 1.C2.D3.y=-+4r-64y=-合+号+4 a-b+c=10, (a=2, 5.解：根据题意，得a十b十c=4,解得b=-3, 4a+2b+c=7, c=5, .该二次函数的表达式是y=2x2-3x十5. 6.解：(1)设二次函数y=ax2十bx十c的图象经过A,B,C三 点.把(-1，-5)，(0，-4)和(1,1)代入，得 a-b+c=-5,fa=2, c=-4,解得b=3, a+b+c=1, c=-4. 故二次函数y=2x2十3x一4的图象经过A,B,C三点. (2)设二次函数y=a1x2十bx十c1的图象经过P,Q,R三点. 把(2，一3)，(-6,9)和(4，-6)代入，得 4a1+2b+c1=-3, a1=0, 3 36a1-6b1十c1=9,解得b=-之， 16a1+4b1+c1=-6, c1=0. 故没有一个二次函数的图象经过P,Q,R三点. 7.y=-2x2+3x或y=2x-3x8D9.y=x-1 10.解：：S△o=S△c,.点O到直线AC的距离与点D到直 线AC的距离相等. 如图，连接OD,则OD∥AC .AB=AC,OA⊥BC, .OC=OB,.D是AB的中点. 点B,C在x轴上，OA=8,AB=AC =10, .OC=OB=/102-82=6,A(0,-8), .C(-6,0),B(6,0),.点D的横坐标是3 SACOA SAADC:SAODA -SAACE SAADC SAACE,B 444442 下册参考答案 163 Sam=SaE,20C.0E=AE·3,即号×6.0E 合8一OB·3,0E=号，即点E的坐标为(0，号)】 设过B,C,E三点的抛物线的函数表达式为y=ax2十bx十c (a≠0). 0=36a+6b+c, 将点B,C,E的坐标代入，得0=36a-66+c, 2 a-27' 解得b=0, 31 ÷过B.CE三点的抛物线的函数表达式为y=品-号 11.解：(1)把(-1,0)，(0，-3)，(2，-3)代入y=ax+bx+c, (a-b十c=0, a=1, 得c=-3, 解得b=一2. 4a+2b+c=-3,c=-3, .抛物线的表达式为y=x2-2x-3. 当x=-2时，d=4十4-3=5； 当x=1时，n=1一2-3=-4. (2)①画出抛物线如图①所示. ②描出点P的运动轨迹如图②所示. 设点P(,m-2m-3). 00.0P(受-0-) 设号=4，则m一20=3-一03-2x-20-是， 2 2 ∴.点P的运动轨迹的函数表达式为y=2z2-2x一之 3 5432 4321 01/2345x 图① 图② 专题一确定二次函数的表达式 1.解：当x=0时，y=2x十3=3：当y=0时，0=2x十3，解得x =一号一次函数y=2:十3的图象与x辅y轴的交点分 别为(-，0），0,3). 设二次函数的表达式为y=ax2十bx十c. 将(-1,40,0,3).(-，0）代入， a-b+c=4, a=-6, 得 c=3, 解得{b=一7， a-6+c=0, 9 c=3, ∴.二次函数的表达式为y=-6x2-7x十3 2.解：(1)y=2x2-4x+5 4334439 164 九年级数学XJ版 (2)> (3)把x=m-1代入函数表达式可得，y=2m2-8m十11.把 x=m十1代入函数表达式可得，y2=2m2十3，.y一y2= -8m+8,∴当m<1时，y>y;当m>1时，y<y2;当m= 1时，y1=y2: 3.C 4.解：(1)，二次函数图象的顶点为A(1,一3)，.设二次函数 的表达式为y=a(x-1)2-3.将C(2,0)代入表达式，得a= 3,.该二次函数的表达式为y=3(x-1)2一3=3x2一6x,即 y=3x2-6x. (2)设Q(m,0).A(1,-3),O(0,0),.QA2=(1-m)2十9 =m2-2m+10,Q03=m2,Ay=10. △AOQ是等腰三角形，∴.可分以下三种情况讨论： ①当QA=Q0时，QA2=QO3,则m2-2m+10=m,解得m =5: ②当QA=AO时，QA2=AOP,则2-2十10=10，解得m =0(不合题意，舍去)，2=2： ③当QO=AO时，QO=AO,则m2=10,解得m1=√10， m2=-/10. 综上，符合条件的点Q的坐标为(5,0)或(2,0)或(10,0)或 (-10,0). 5.y=-x2十x十2或y=x2-x-2 6,解：由题意，设二次函数的表达式为y=(-)x+2). 将(2，-3)代入，得-3=a·2×4,解得a=-令， ∴二次函数的表达式为y= 2(x-)(x+2)=- 、3 1 x+2 7.解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C .∠AOB=120°，∴.∠AOC=60°， .∠OAC=30° .OA=OB=4, ∴.OC=2,AC=2√3，B(4,0), .A(-2,2√3) 由抛物线经过点O(0,0),B(4,0),设抛物线的表达式为y= ax(x-4). 把A(-2,23)代入，得a·(-2)(-2-4)=2√3，解得a= 这条抛物线的表达式为y-r(红-)，即y= 2√3 3 8.y=-x2+6.x-9 9.解：(1)已知抛物线y=x2十bx十c经过点A(1,0),B(0,2), 六将A,B两点的坐标代入，得0=1+b+c, 2=c, 解得，3故抛物线的表达式为y=-3x十2。 c=2. (2)A(1,0),B(0,2),∴.OA=1,OB=2,可得旋转后点C的 坐标为(3,1).当x=3时，x2-3x十2=2，.抛物线y=x 一3x十2经过点(3,2)，.将原抛物线沿y轴向下平移1个单 位后经过点C,∴.平移后所得新抛物线的表达式为y=x 3x+1. 10.解：(1)由题图可知，抛物线的顶点坐标为(2,0)，.m=一2.*1.3不共线三点确定二次函数的表达式 香鱼恩提园 二次函数的表达式是y=ax2十bx十c(a≠0)，因此，要确定这个表达式就需要求出a,b,c的值.如果已知二次 函数图象上三个，点的坐标，将它们代入函数表达式，列出一个关于待定系数α，b,c的三元一次方程组，求出 a,b,c的值，就可以确定二次函数的表达式. 课内基础练 7.求该二次函数的表达式. 知识点用待定系数法求二次函数的表达式 1.已知二次函数的图象经过(0,0)，(3,0)，(1， 一4)三点，则该二次函数的表达式为( A.y=x2-3x B.y=2x2-3x C.y=2x2-6x D.y=x2-6x 2.如图所示的是某个二次函数的图象，根据图 象可知，该二次函数的表达式为 6.(教材第23页题5变式)已知三个点的坐标， A.y=x2-x-2 是否有一个二次函数，它的图象经过这三 个点？ B=号-r2 (1)A(-1,-5),B(0,-4),C(1,1): Cy=-2- 2x+1 (2)P(2,-3),Q(-6,9),R(4,-6). D.y=-x2+x+2 第2题图 第4题图 3.已知二次函数y=ax2+bx十c的图象中的 部分自变量x与所对应的函数值y如下表， 则该二次函数的表达式为 2 -3 -2 -3 易错点忽略函数图象的开口方向 4.如图，在平面直角坐标系中，一条抛物线经 7.已知抛物线经过原点和A,B两点，点A, 过格点（网格线的交点）A,B,C,其中点B的 B在x轴的同侧，点A,B的横坐标分别 坐标为(4,4)，则该抛物线的表达式为 是2,4，且A,B两点到x轴的距离均为 4,则该抛物线的表达式为 5.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=-1 时，y=10;当x=1时，y=4;当x=2时，y= 下册第1章 13 色课外拓展练 核心素养练 8.抛物线y=a.x2+bx十c与x轴的两个交点 11.数学核心素养·抽象能力已知抛物线y 坐标分别为(-1,0)，(3,0)，其形状和开口 =ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0)的自变 方向与抛物线y=一2x2相同，则该抛物线 量x与函数值y的部分对应值如下表： 的表达式为 ( … 0 2 … A.y=-2x2-x十3B.y=-2x2+4x+5 d 0-3n- 3 … C.y=-2x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6 (1)求抛物线的表达式及d,n的值 9.如图，抛物线的顶点M在y轴 (2)①请在图①中画出所求的抛物线； 上，抛物线与直线y=x+1相交 0/ ②设P为抛物线上的一个动点，OP的中点 于A,B两点，且点A在x轴上， 为P'.当点P运动时，请在图②中描出相应 点B的横坐标为2，那么抛物线 第9题图 的点P'的运动轨迹，并求出该运动轨迹的 的表达式为 函数表达式 10.如下图，在平面直角坐标系中，点A在y轴 的负半轴上，点B,C在x轴上，OA=8,AB =AC=10,点D在AB上，CD与y轴交于 点E,且满足S△cOA=S△ADc.求过B,C,E 5-4-3-2-1012345 123453 三点的抛物线的函数表达式， 图① 图② 14 九年级数学XJ版