1.2 第5课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 香便囱提园 1.一般地，二次函数三ar十bx+c经过配方可化为y=a(x十力)'+c二 20/ 4a 一，其图象的对称轴为直线x= b b 4ac-b2 2a ,顶点坐标是（一 2a’4a .当x=一 名时，y达到最小值(a>0)或最大值(a<0),这个最小（大）值 为ae-b 4a 2.)当a>0时，龙物线y=a牛bm十c的开口向上，x<时y随x的增大而减小；> 2a时，y随x 的增大而增大.(2)当0<0时，抛扬线y=ar+bx十e的开0向下<一会时y随x的增大而增大：> 时，y随x的增大而减小， 2a 3.(1)a决定抛物线开口方向，a还可以决定开口大小，a越大开口就越小.(2)b和a共同决定对称轴位 置：当a与b同号(ab>0)时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号(ab<0)时，对称轴在y轴右侧.(3)c决定 抛物线与y轴的交点：抛物线与y轴交于点(0，C). 课内基础练 过点(1,1)，则a十b+1的值是 ( A.-3 B.-1C.2 D.3 知识点① 把二次函数y=ax2+bx+c化为 5.关于二次函数y=一x2+4x一5，下列说法正 y=a(x-h)2十k的形式 确的是 () 1.抛物线y=x2-6x+4化为y=a(x-h)2+k A.图象的顶点坐标为（一2，一1） 的形式是 B.图象与y轴的交点坐标为(0,5) 知识点② 二次函数y=ax2+bx+c的图 C.当x>2时，y随x的增大而减小 象的平移 D.函数值有最大值1 2.(2024株洲天元区月考)将抛物线y=一x 6.求抛物线y=x2一4x十3分别与x轴、y轴 +2x十3向左平移1个单位，再向下平移2 的交点坐标，对称轴，顶点的坐标，并在如下 个单位，则平移后的抛物线的表达式为 图示的网格中建立平面直角坐标系，画出 y=x2-4x十3的图象. 变式题把抛物线y=x2十bx十c向右平移 4个单位，再向下平移3个单位，得到抛物 线y=x2-4x十3，则b= 。C 知识点③ 二次函数y=ax2+bx+c的图象 与性质 3.抛物线y=x2+4x+3的对称轴是( A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=2 D.直线x=-2 4.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经 下册第1章 知识点④ 二次函数y=ax2+bx+c的图象 (2)若P是抛物线的对称轴1上的一个动 与系数的关系 点，当PA+PC的值最小时，求点P的 7.若二次函数y=a.x2+bx十c的图象如图所 坐标. 示，则下列选项错误的是 A.a>0 B.c>0 C.b2-4ac>0 D.a+6+c>0 第7题图 变式题由图象判断系数→由系数判断图象 已知二次函数y=ax2十bx一c(a≠0)，其中 b>0,c>0,则该函数的图象可能为( 已课外拓展练 已核心素养练 8.(2024宿迁沭阳模拟)已知抛物线y=ax2 11.数学核心素养·推理能力定义：图象的 2ax+b(a>0)上三个点的坐标分别为A(3, 顶点相同、开口大小相同、开口方向相反的 y1),B(2,y2),C(-2,y3),则y1y2,y3的大 两个二次函数互为“反簇二次函数” 小关系为 (1)已知二次函数y=一(x-2)2+3,则它 A.y3<y1<y2 B.y2<y1<y3 的“反簇二次函数”是 C.y<y3<y2 D.y<y<y3 (2)已知关于x的二次函数y1=2x2一2mx 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物 +m十1和y2=a.x2+bx十c,其中y1的图 线y=一x2经过平移得到抛物线 象经过点(1,1).若y1+y2与y1互为“反簇 y=一x2一4x,其对称轴与两段抛 二次函数”，求二次函数y2的表达式，并直 物线所围成的阴影部分的面积为 接写出当0≤x≤3时，y2的最小值. 第9题图 10.如下图，已知抛物线y=一x2十mx十3与x 轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点B的 坐标为(3,0) (1)求m的值及抛物线的顶 点坐标； 九年级数学J版(2)由(1)可知，y随x的增大而减小时，x的取值范围是x≤ -1. 5.解：二次函数图象的顶点坐标为A(1,一4)，.设该二次函 数的表达式为y=a(x-1)2-4.将B(3,0)代入y=a(x 1)2-4,得0=4a-4,解得a=1,.该二次函数的表达式为y =(x-1)2-4. 6.C7.1或58.6 9.解：(1)在□ABCD中，CD∥AB,且CD=AB=4, .点C的坐标为(4,8). 抛物线的对称轴与x轴相交于点H, ..AH=BH=2. .OH=CD=4,..OA=2,0B=6, .点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(6,0) (2)平移前抛物线的表达式为y=a(x-4)十8，把A(2,0)代 入表达式中，得a(2一4)2十8=0，解得a=一2，.平移前抛 物线的表达式为y=一2(x一4)十8.设平移后抛物线的表达 式为y=一2(x一4)2+8十m,把D(0,8)代入平移后的表达 式，得8=-2(0-4)2十8十m,解得m=32, .平移后抛物线的表达式为y=一2(x一4)2十40. 10.解：(1)：抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2十4， .抛物线C的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. 将P(m,3)代入y=-(x-6)2+4,得3=-(m-6)2+4,解 得m1=5,2=7. 点P在抛物线C的对称轴的右侧，.m6,.=7. (2).平移后的抛物线的表达式为y=-(x一3)2， .平移后的顶点坐标为(3,0). ·平移前抛物线的顶点坐标为(6,4)， .胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4 个单位， ∴点P移动的最短路程为√3十4=5. 第5课时二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 1.y=(x-3)2-52.y=-x2+2变式题463.D4.D 5.C 6.解：把y=0代入y=x2一4x+3,得x2一4x十3=0，解得x1 =1,x2=3,.抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0). 把x=0代入y=x2-4x十3，得y=3, .抛物线与y轴的交点坐标为(0,3) y=x2-4x+3=(x-2)2-1, .抛物线的顶点坐标为(2，一1)，对称轴为直线x=2. 平面直角坐标系和y=x2一4x十3的图象如图所示. 321,0八N 45 2 7.D变式题C8.B9.8 10.解：(1)将B(3,0)代入y=一x2+mx十3， 得0=-32十3m十3，解得m=2, ,.y=-x2+2x十3=-(x-1)2十4， .抛物线的顶点坐标为(1,4). (2)如图，连接BC,与抛物线的对称轴1交于点P,连 接AP. 由点A,B关于对称轴l对称，得PA=PB, 此时PA十PC的值最小，即为BC的长. 设直线BC的表达式为y=kx十b. 由(1)，得当x=0时，y=-x2十2x+3=3, .C(0,3) (3k十b=0, 将B(3,0),C(0,3)代入y=kx十b,得 1b=3. 每码伦 .直线BC的表达式为y=一x十3. 由(1)可知，抛物线的对称轴为直线x=1, .p=1,此时yp=-1十3=2，∴当PA十PC的值最小时， 点P的坐标为(1,2). 11.解：(1)y=(x-2)2+3 (2).y的图象经过点(1,1)，.2-2m十m十1=1，解得m=2, y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1, ∴.y十y2=2x2-4x+3+ax2+bx十c=(a+2)x2+(b 4)x+c+3. “1十y2与y互为“反簇二次函数”， y1+y2=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1, .a十2=-2，b-4=4,c+3=-1. 解得a=-4,b=8,c=-4, .二次函数y2的表达式为y2=-4x2+8x-4. 当0≤x≤3时，y2的最小值为一16. *1.3不共线三点确定二次函数的表达式 1.C2.D3.y=-+4r-64y=-合+号+4 a-b+c=10, (a=2, 5.解：根据题意，得a十b十c=4,解得b=-3, 4a+2b+c=7, c=5, .该二次函数的表达式是y=2x2-3x十5. 6.解：(1)设二次函数y=ax2十bx十c的图象经过A,B,C三 点.把(-1，-5)，(0，-4)和(1,1)代入，得 a-b+c=-5,fa=2, c=-4,解得b=3, a+b+c=1, c=-4. 故二次函数y=2x2十3x一4的图象经过A,B,C三点. (2)设二次函数y=a1x2十bx十c1的图象经过P,Q,R三点. 把(2，一3)，(-6,9)和(4，-6)代入，得 4a1+2b+c1=-3, a1=0, 3 36a1-6b1十c1=9,解得b=-之， 16a1+4b1+c1=-6, c1=0. 故没有一个二次函数的图象经过P,Q,R三点. 7.y=-2x2+3x或y=2x-3x8D9.y=x-1 10.解：：S△o=S△c,.点O到直线AC的距离与点D到直 线AC的距离相等. 如图，连接OD,则OD∥AC .AB=AC,OA⊥BC, .OC=OB,.D是AB的中点. 点B,C在x轴上，OA=8,AB=AC =10, .OC=OB=/102-82=6,A(0,-8), .C(-6,0),B(6,0),.点D的横坐标是3 SACOA SAADC:SAODA -SAACE SAADC SAACE,B 444442 下册参考答案 163