1.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

第4课时二次函数y=a(x一h)2+k的图象与性质 香/但提园 1.二次函数y=a(x一h)2十k的图象可以由y=a(x-h)的图象通过上下平移得到：当k>0时，向上平移k 个单位；当k<0时，向下平移k个单位.二次函数y=a(x一h)十k的图象的平移遵循“左加右减，上加下 减”的原则 2.二次函数y=a(x一h)2十k的图象与性质： 函数 图象 开口方向顶点坐标对称轴 增减性 最值 y=a(x- h<0h=0h>0 当x>h时，y随x ,h>0 当x=h时，y h)2+k(a 的增大而增大；当 向上 :0x 有最小值，最 >0) :k<0 x≤h时，y随x 小值为及 x=h x=h x=h x=h 直线 的增大而减小 (h,k) x=h x=h x=h 当x>h时，y随x y=a(x- 算本公k>0 当x=h时，y 的增大而减小；当 h)2+k(a 0 k<0 向下 有最大值，最 x≤h时，y随x 0) h<0: h=0h>0 ) 大值为 h<0h0h>0 的增大而增大 课内基础练 -0 知识点① 二次函数y=a(x-h)2+k的图 象的平移 1.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x十 3.(2024常德安乡期末)若A(-2,a),B(1,b), 2)2-3的图象向左平移1个单位，再向上平 C(2,c)为二次函数y=(x+1)2一9的图象 移2个单位，所得图象的函数表达式为 上的三点，则a,b,c的大小关系是 ( (用“<”连接). A.y=(x+3)2-1 B.y=(x+1)2-1 4已知二次函数y=2x+1)+4. C.y=(x+3)2-5 D.y=(x+1)2-5 (1)请画出此函数的图象； 变式题将一条抛物线向右平移1个单位，再 (2)当此函数的函数值y随x的增大而减小 向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为 时，求x的取值范围. y=2x2,则原抛物线的表达式为 ( A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x-1)2+3 C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x-1)2-3 知识点②二次函数y=a(x一h)2+k的图象 与性质 2.二次函数y=(x十2)2-1的图象大致为 下册第1章 知识点③ 根据图象的顶点求二次函数的表 (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求 达式 平移后抛物线的表达式。 5.(教材第15页题3变式)在平面直角坐标系 中，某二次函数图象的顶点坐标为A(1,一4)， 且过点B(3,0).求该二次函数的表达式. 已课外拓展练 已核心素养练 22--0 6.已知二次函数y=a(x一1)2十b(a≠0)有最小值 10.数学核心素养·应用意识如下图，点P 一1，则a与b之间的大小关系是 ( (m,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上，且在 A.a<b B.a=b 抛物线C的对称轴的右侧. C.a>b D.不能确定 (1)写出抛物线C的对称轴和y的最大值， 7.已知抛物线y=a(x一h)2十k与x轴有两个 并求m的值； 交点A(一1,0)，B(3,0),抛物线y=a(x-h (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶 一m)2+k与x轴的一个交点是(4,0)，则m 片上描画出点P及C的一段，分别记为 的值是 P',C.平移该胶片，使C所在抛物线对应 8.如图，抛物线C1:y=(x十1)2 的函数表达式恰为y=一(x一3)2.求点P' 十c与抛物线C2:y=(x 移动的最短路程. 2)2+d相交于点T.过点T A 作x轴的平行线交抛物线C 于点A,交抛物线C2于点B, 第8题图 则线段AB的长度为 9.如下图，在□ABCD中，AB=4,点D的坐标 是(0,8)，以C为顶点的抛物线y=a(x-h) 十k经过x轴上的点A,B,抛物线的对称轴 与x轴相交于点H. (1)求点A,B,C的坐标； A丑B无 10 九年级数学XJ版(2)示例：共同点是顶点都在原点，开口方向都向下，对称轴 都是y轴；不同点是开口的大小不同. 8.解：(1)把A(-2,-8)代入y=ax2,得(-2)·a=-8,解得 a=一2，.此抛物线的函数表达式为y=一2x2. (2)当y=-6时，-2x2=-6,解得x=-√3，x2=√3， .此抛物线上纵坐标为一6的点的坐标为（一√3，一6）和 (3,-6). (3).点(m,n)在此抛物线上，.n=一2m2. 当x=-m时，y=-2·(-m)2=-2m2=n:当x=m时，y =一2m2=n≠-n, ∴.点（一m,n)在此抛物线上，点(，一n)不在此抛物线上. 9.D10.D11.8 12.解：(1)把(1，b)代入y=2x-3,得b=-1.再把(1，-1)代入y =ax2,得a=-1. (2)由(1)知，二次函数的表达式为y=一x -1<x<3,当x=0时，y=0,当x=3时，y=-9, ∴.当-1<x<3时，-9<y≤0. (3)当y=-2时，-x2=-2,.x=土√2， ∴.两个交点的坐标分别为（一√2，一2），（√2，一2）， .两个交点与抛物线顶点(0,0)所围成的三角形的面积为 合×2Ex2=2. 13.解：(1)将A(2,-4)代入抛物线y=a.x2,得4a=-4,解得a =一1.故抛物线的函数表达式为y=-x2.当y=一4时， 一x2=一4，解得x=士2，则点B的坐标为（一2，一4）. (2)如图，设AB与y轴交于点D,连接OA,OB, y Sm=AB0D=X4X4=8. (3)存在.AB=4,设以AB为底边的△ABC的高为h,则 之AB·h=4,即号×4h=4,解得h=2,“点C的纵坐标为 -4-2=-6或-4十2=-2.当-x2=-6时，x=±√6；当 一x2=一2时，x=士√2.故点C的坐标为（√6，-6）或 (-√6，-6)或(W2,-2)或(-√2，-2). 第3课时二次函数y=a(x一h)的图象与性质 1.A变式题y=2(x+3)22.D3.D4.A5.D 6.解：函数y=(x一1)2的图象如图所示. 43210 4343433 162 九年级数学XJ版 (1)由图象可知，当-2x≤-1时，y的取值范围是4≤y≤9， (2)由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4. 7.D8.249.y2>y1>y310.1或6 11.解：(1)(-2,0)(0,4) (2)由(1)知，A(-2,0),B(0,4),.OA=2,OB=4, ÷S6e=2X2X4=4 (3)存在.该抛物线的对称轴为直线x=一2. 设点P的坐标为（一2，n). ①当点P在x轴上方时，四边形AOBP为平行四边形，则 BP∥AO且BP=AO..AO=2,.BP=2. 又点B的坐标为(0,4)，.点P的坐标为（一2,4）； ②当点P在x轴下方时，四边形APOB为平行四边形，则 AP∥OB且AP=OB,∴.AP=OB=4,∴点P的坐标为 (-2,-4). 综上所述，点P的坐标为（一2,4）或（一2，一4） 12.解：(1)由题意可知，点A的坐标为（一1,0）. ,OB=OA,点B在y轴负半轴上， .点B的坐标为(0，一1). 将B(0,-1)代入y=a(x十1)2，得a=-1, .抛物线的表达式为y=一(x十1)2， (2)由题意可知，∠ACB不可能为90°，∠OAB=45°， .△ABC为直角三角形分两种情况： ①当∠CAB=90时，如图①. 易知点C,B关于对称轴直线x=一1对称，此时△ABC为 等腰直角三角形，C点的坐标为（一2，一1）： 图① 图② ②当∠CBA=90时，设直线BC与x轴交于点D,如图②， 则△ABD为等腰直角三角形，.D(1,0). 设直线BC的表达式为y=kx十b. 将B0,-1D,D1,0)代人，得b=-1, k+b=0, 解得=L,“直线BC的表达式为y=x一1 b=-1. 令一(x十1)2=x-1,解得1=0（不合题意，舍去），x2=一3. 当x=-3时，y=-3-1=-4,.C点的坐标为(-3， -4).综上，C点的坐标为(-2，一1)或(-3，一4). 第4课时二次函数y=a(x一h)2+k的图象与性质 1.A变式题C2.D3.a<bc 4.解：1)二次函数y=号(x十1)”+4的图象如图所示. (x+1)2+4 (2)由(1)可知，y随x的增大而减小时，x的取值范围是x≤ -1. 5.解：二次函数图象的顶点坐标为A(1,一4)，.设该二次函 数的表达式为y=a(x-1)2-4.将B(3,0)代入y=a(x 1)2-4,得0=4a-4,解得a=1,.该二次函数的表达式为y =(x-1)2-4. 6.C7.1或58.6 9.解：(1)在□ABCD中，CD∥AB,且CD=AB=4, .点C的坐标为(4,8). 抛物线的对称轴与x轴相交于点H, ..AH=BH=2. .OH=CD=4,..OA=2,0B=6, .点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(6,0) (2)平移前抛物线的表达式为y=a(x-4)十8，把A(2,0)代 入表达式中，得a(2一4)2十8=0，解得a=一2，.平移前抛 物线的表达式为y=一2(x一4)十8.设平移后抛物线的表达 式为y=一2(x一4)2+8十m,把D(0,8)代入平移后的表达 式，得8=-2(0-4)2十8十m,解得m=32, .平移后抛物线的表达式为y=一2(x一4)2十40. 10.解：(1)：抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2十4， .抛物线C的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. 将P(m,3)代入y=-(x-6)2+4,得3=-(m-6)2+4,解 得m1=5,2=7. 点P在抛物线C的对称轴的右侧，.m6,.=7. (2).平移后的抛物线的表达式为y=-(x一3)2， .平移后的顶点坐标为(3,0). ·平移前抛物线的顶点坐标为(6,4)， .胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平移4 个单位， ∴点P移动的最短路程为√3十4=5. 第5课时二次函数y=ax2十bx十c的图象与性质 1.y=(x-3)2-52.y=-x2+2变式题463.D4.D 5.C 6.解：把y=0代入y=x2一4x+3,得x2一4x十3=0，解得x1 =1,x2=3,.抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0). 把x=0代入y=x2-4x十3，得y=3, .抛物线与y轴的交点坐标为(0,3) y=x2-4x+3=(x-2)2-1, .抛物线的顶点坐标为(2，一1)，对称轴为直线x=2. 平面直角坐标系和y=x2一4x十3的图象如图所示. 321,0八N 45 2 7.D变式题C8.B9.8 10.解：(1)将B(3,0)代入y=一x2+mx十3， 得0=-32十3m十3，解得m=2, ,.y=-x2+2x十3=-(x-1)2十4， .抛物线的顶点坐标为(1,4). (2)如图，连接BC,与抛物线的对称轴1交于点P,连 接AP. 由点A,B关于对称轴l对称，得PA=PB, 此时PA十PC的值最小，即为BC的长. 设直线BC的表达式为y=kx十b. 由(1)，得当x=0时，y=-x2十2x+3=3, .C(0,3) (3k十b=0, 将B(3,0),C(0,3)代入y=kx十b,得 1b=3. 每码伦 .直线BC的表达式为y=一x十3. 由(1)可知，抛物线的对称轴为直线x=1, .p=1,此时yp=-1十3=2，∴当PA十PC的值最小时， 点P的坐标为(1,2). 11.解：(1)y=(x-2)2+3 (2).y的图象经过点(1,1)，.2-2m十m十1=1，解得m=2, y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1, ∴.y十y2=2x2-4x+3+ax2+bx十c=(a+2)x2+(b 4)x+c+3. “1十y2与y互为“反簇二次函数”， y1+y2=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1, .a十2=-2，b-4=4,c+3=-1. 解得a=-4,b=8,c=-4, .二次函数y2的表达式为y2=-4x2+8x-4. 当0≤x≤3时，y2的最小值为一16. *1.3不共线三点确定二次函数的表达式 1.C2.D3.y=-+4r-64y=-合+号+4 a-b+c=10, (a=2, 5.解：根据题意，得a十b十c=4,解得b=-3, 4a+2b+c=7, c=5, .该二次函数的表达式是y=2x2-3x十5. 6.解：(1)设二次函数y=ax2十bx十c的图象经过A,B,C三 点.把(-1，-5)，(0，-4)和(1,1)代入，得 a-b+c=-5,fa=2, c=-4,解得b=3, a+b+c=1, c=-4. 故二次函数y=2x2十3x一4的图象经过A,B,C三点. (2)设二次函数y=a1x2十bx十c1的图象经过P,Q,R三点. 把(2，一3)，(-6,9)和(4，-6)代入，得 4a1+2b+c1=-3, a1=0, 3 36a1-6b1十c1=9,解得b=-之， 16a1+4b1+c1=-6, c1=0. 故没有一个二次函数的图象经过P,Q,R三点. 7.y=-2x2+3x或y=2x-3x8D9.y=x-1 10.解：：S△o=S△c,.点O到直线AC的距离与点D到直 线AC的距离相等. 如图，连接OD,则OD∥AC .AB=AC,OA⊥BC, .OC=OB,.D是AB的中点. 点B,C在x轴上，OA=8,AB=AC =10, .OC=OB=/102-82=6,A(0,-8), .C(-6,0),B(6,0),.点D的横坐标是3 SACOA SAADC:SAODA -SAACE SAADC SAACE,B 444442 下册参考答案 163