1.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

第3课时二次函数y=a(x一h)的图象与性质 香便真提园 1.二次函数y=a(x一h)2的图象可以由y=ax2的图象通过左右平移得到：当h>0时，向右平移h个单位； 当h<0时，向左平移h个单位.两个函数图象的形状、开口方向、最值相同. 2.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 h<0小y↑ h>0 当x>h时，y随x的增大 当x=h时，y y=a(x-h)2 向上 而增大；当x<h时，y随x有最小值，最 (a>0) 直线 的增大而减小 小值为0 (h,0) h<0年h>0 x=h 当x>h时，y随x的增大 当x=h时，y y=a(x-h)2 向下 而减小；当x<h时，y随x 有最大值，最 (a0) 的增大而增大 大值为0 已课内基础练 知识点① 二次函数y=ax2和y=a(x一h)2 平 之间的关系 1.将抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2(x十 4.下列抛物线中，顶点坐标是（一2,0）的是( 3)2,则这个平移过程是 A.y=-2(x+2)2 B.y=-2(x十4) A.向左平移3个单位 C.y=-(x-1)2 D.y=-3(x-2)2 B.向右平移3个单位 5.关于二次函数y=一2(x十3)，下列说法正 C.向上平移3个单位 确的是 () D.向下平移3个单位 A.其图象的开口向上 变式题若抛物线y=2x2不动，把y轴向右 B.其图象的对称轴为直线x=3 平移3个单位，则在新平面直角坐标系中抛 C.其图象的顶点坐标为(0,3) 物线的表达式为 D.当x>-3时，y随x的增大而减小 6.已知函数y=(x 2下列关于抛物线y=(x十1)y与抛物线y 1)2,请在右面的网格 7 中画出函数图象，并根 =号的法中，错误的有 6 据图象回答下列问题： ①形状相同；②开口方向相同；③都有最低 (1)当-2≤x≤-1 2 点；④顶点不同；⑤对称轴不同， 时，求y的取值范围； 432-1,01 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 (2)当0≤x≤3时，y 知识点② 二次函数y=a(x一h)2的图象 的取值范围是多少？ 与性质 3.在平面直角坐标系中，二次函数y=(x十h) 的图象可能是 下册第1章 已课外拓展练 核心素养练 7.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，则 12.数学核心素养·几何直观如下图，抛物 下列各点在抛物线y=a(x十1)2上的是 线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴负半 轴交于点B,OB=OA. A.(m,n+1) B.(m+1,n) (1)求抛物线的表达式； C.(m,n-1) D.(m-1,n) (2)连接AB,若C为抛物线上任意一点，且 8.已知抛物线y=a(x一h)2向左平移3个单 △ABC为直角三角形，求C点的坐标. 位后再沿x轴翻折得到抛物线y=一2(x 1)2,则a= ,h= 9.已知点A(-4,y1),B(-1,y2),C(1,y)都 在函数y=一(x十2)2的图象上，则y1,y2, y3之间的大小关系为 （用“>”连接). 10.已知二次函数y=一(x一h)2(h为常数)， 当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对 应的函数值y的最大值为一1，则h的值为 11.如下图，二次函数y=(x十2)2的图象与x 轴交于点A,与y轴交于点B, (1)点A的坐标为 ,点B 的坐标为 (2)连接AB,求△AOB的面积； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在一点 P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行 四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由. 九年级数学XJ版(2)示例：共同点是顶点都在原点，开口方向都向下，对称轴 都是y轴；不同点是开口的大小不同. 8.解：(1)把A(-2,-8)代入y=ax2,得(-2)·a=-8,解得 a=一2，.此抛物线的函数表达式为y=一2x2. (2)当y=-6时，-2x2=-6,解得x=-√3，x2=√3， .此抛物线上纵坐标为一6的点的坐标为（一√3，一6）和 (3,-6). (3).点(m,n)在此抛物线上，.n=一2m2. 当x=-m时，y=-2·(-m)2=-2m2=n:当x=m时，y =一2m2=n≠-n, ∴.点（一m,n)在此抛物线上，点(，一n)不在此抛物线上. 9.D10.D11.8 12.解：(1)把(1，b)代入y=2x-3,得b=-1.再把(1，-1)代入y =ax2,得a=-1. (2)由(1)知，二次函数的表达式为y=一x -1<x<3,当x=0时，y=0,当x=3时，y=-9, ∴.当-1<x<3时，-9<y≤0. (3)当y=-2时，-x2=-2,.x=土√2， ∴.两个交点的坐标分别为（一√2，一2），（√2，一2）， .两个交点与抛物线顶点(0,0)所围成的三角形的面积为 合×2Ex2=2. 13.解：(1)将A(2,-4)代入抛物线y=a.x2,得4a=-4,解得a =一1.故抛物线的函数表达式为y=-x2.当y=一4时， 一x2=一4，解得x=士2，则点B的坐标为（一2，一4）. (2)如图，设AB与y轴交于点D,连接OA,OB, y Sm=AB0D=X4X4=8. (3)存在.AB=4,设以AB为底边的△ABC的高为h,则 之AB·h=4,即号×4h=4,解得h=2,“点C的纵坐标为 -4-2=-6或-4十2=-2.当-x2=-6时，x=±√6；当 一x2=一2时，x=士√2.故点C的坐标为（√6，-6）或 (-√6，-6)或(W2,-2)或(-√2，-2). 第3课时二次函数y=a(x一h)的图象与性质 1.A变式题y=2(x+3)22.D3.D4.A5.D 6.解：函数y=(x一1)2的图象如图所示. 43210 4343433 162 九年级数学XJ版 (1)由图象可知，当-2x≤-1时，y的取值范围是4≤y≤9， (2)由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4. 7.D8.249.y2>y1>y310.1或6 11.解：(1)(-2,0)(0,4) (2)由(1)知，A(-2,0),B(0,4),.OA=2,OB=4, ÷S6e=2X2X4=4 (3)存在.该抛物线的对称轴为直线x=一2. 设点P的坐标为（一2，n). ①当点P在x轴上方时，四边形AOBP为平行四边形，则 BP∥AO且BP=AO..AO=2,.BP=2. 又点B的坐标为(0,4)，.点P的坐标为（一2,4）； ②当点P在x轴下方时，四边形APOB为平行四边形，则 AP∥OB且AP=OB,∴.AP=OB=4,∴点P的坐标为 (-2,-4). 综上所述，点P的坐标为（一2,4）或（一2，一4） 12.解：(1)由题意可知，点A的坐标为（一1,0）. ,OB=OA,点B在y轴负半轴上， .点B的坐标为(0，一1). 将B(0,-1)代入y=a(x十1)2，得a=-1, .抛物线的表达式为y=一(x十1)2， (2)由题意可知，∠ACB不可能为90°，∠OAB=45°， .△ABC为直角三角形分两种情况： ①当∠CAB=90时，如图①. 易知点C,B关于对称轴直线x=一1对称，此时△ABC为 等腰直角三角形，C点的坐标为（一2，一1）： 图① 图② ②当∠CBA=90时，设直线BC与x轴交于点D,如图②， 则△ABD为等腰直角三角形，.D(1,0). 设直线BC的表达式为y=kx十b. 将B0,-1D,D1,0)代人，得b=-1, k+b=0, 解得=L,“直线BC的表达式为y=x一1 b=-1. 令一(x十1)2=x-1,解得1=0（不合题意，舍去），x2=一3. 当x=-3时，y=-3-1=-4,.C点的坐标为(-3， -4).综上，C点的坐标为(-2，一1)或(-3，一4). 第4课时二次函数y=a(x一h)2+k的图象与性质 1.A变式题C2.D3.a<bc 4.解：1)二次函数y=号(x十1)”+4的图象如图所示. (x+1)2+4