1.2 第2课时 二次函数y=ax²(a>0)的图象与性质-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（湘教版）

第2课时 二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 恋里凰因园 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 当x>0时，y随x的增大 y=ax2 向下 当x=0时，y有最 (0,0) y轴 而减小；当x<0时，y随x (a0) 大值，最大值为0 的增大而增大 课内基础练 (2)(1)中的抛物线有什么共同点和不同点？ 知识点二次函数y=ax2(a<0)的图象 与性质 1.关于二次函数y=一3x的图象，下列说法 错误的是 A.它是一条抛物线 B.它的开口向下，且关于y轴对称 C.它的顶点是抛物线的最低点 D.它与y=3x2的图象关于x轴对称 2.已知点A(-1,y1),B(-√2，y2),C(-2,y3) 在二次函数y=一x2的图象上，则y,y2,y 的大小关系是 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 8.已知抛物线y=ax2经过点A(一2，一8)， C.ys>y2>y D.y2>y>ys (1)求此抛物线的函数表达式： 3.(2024邵阳期中)若抛物线y=-x2经过点 (2)求出此抛物线上纵坐标为一6的点的 A(a,b),B(a+6,b),则b的值为 ( 坐标； A.-9 B.-6 (3)若点(m,n)在此抛物线上，那么点（一m, C.-3 D.0 n)是否在此抛物线上？点(m,一n)呢？ 4.若抛物线y=ax2与抛物线y=4x2关于x 轴对称，则a的值为 5.已知点A(2,a)在函数y=-x2的图象上， 则点A关于y轴的对称点的坐标为 6.二次函数y=一x2(-2≤x≤1)的最大值为 ,最小值为 7.(教材第10页题2变式)(1)在同一平面直角 坐标系中，面出函数y=一y=一y =-2x2的图象； 下册第1章 5△ 已课外拓展练 (3)求抛物线与过点(0，一2)且平行于x轴 9.当ab>0时，y=ax2与y=a.x十b的大致图 的直线的两个交点与抛物线顶点所围成的 象可能是 三角形的面积. 色核心素养练 13.数学核心素养·运算能力如下图，抛物 10.已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m-n)(n 线y=ax2经过点A(2,-4),抛物线上纵 >0)在同一个函数的图象上，则这个函数 坐标为一4的另一个点为B. 的表达式可能是 ( (1)求点B的坐标； A.y=x B.y=-2 (2)求S△AOB; C.y=x2 D.y=-x2 (3)在抛物线上是否存在另一个点C,使得 11.如图，正方形的边长为4，以 △ABC的面积等于△AOB的面积的一半？ 正方形中心为原点建立平面 如果存在，求出点C的坐标；如果不存在， 直角坐标系，作出函数y= 请说明理由. 号x与y=-方2的图象， 第11题图 则阴影部分的面积为 12.(2024邵阳北塔区期中)抛物线y=ax2(a ≠0)与直线y=2x-3相交于点(1，b). (1)求a与b的值； (2)二次函数y=ax2中，当-1<x<3时， 求y的取值范围； 46 九年级数学XJ版参考答案 答案详解 第1章二次函数 7.解：函数y= 2x的图象如图所示. 3 1.1二次函数 1.C2.y=2x2+4x-11 3.解：一定是y关于x的二次函数的是①④：一定不是y关于 x的二次函数的是②：有可能是y关于x的二次函数的是 ③，当a≠0，a,b,c为常数时，③一定是y关于x的二次 函数 4.B变式题45.C6.16π-πx20<x<47.-18.D 5-4321 01234 9.y=-4x2+40x+2400 10.解：根据题意，得a2-2a-1=-2,解得a1=3,a2=-1. 又a十a≠0，.a≠0且a≠-1， a=3,.a2+a=12,y=12x2-3x, 二次项系数、一次项系数和常数项分别为12，一3和0. (1)当x=0时，y有最小值，最小值是0. 11.解：根据题意，得y关于x的函数表达式为y=(40 (2)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增 2x)(26-x)=2x2-92x+1040 大而减小. 40-2x>0, 8.C9.C10.D变式题-3x≤-1或1≤x311.4 :26-x>0,.自变量x的取值范围是0<x<20. 12.解：(1)将A(2,8)代入y=ax2中，得8=4a,解得a=2,则 x>0, 二次函数的表达式为y=2x,:点B(-1,k)在二次函数y 12.解：(1)410 =2x2的图象上，.k=2×(-1)2=2. (2)分以下两种情况讨论： (2)当x=-3时，y=2×(-3)2=18.:18≠9，∴这个函数 ①如图①，当0≤4时，过点Q作QF⊥BC于点F,则AB 的图象不经过点（一3,9）. -QF=6 cm. 13.解：(1)将A(2,4)代入y=ax2,得4=4a, .'BC=12 cm,PC=t cm,.BP=(12-t)cm, .a=1, :S=号BP·QF=7(12-t)6=-3t+36. ∴抛物线对应的函数表达式为y=x。 (2)存在.设点P的坐标为(，0). ②如图②，当4<t≤12时，过点Q作QM⊥BC于点M, ∴.∠QMC=90°. 由题意知，OA=√2+4=2/5. :四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,∠D=90°， 当OA=OP时，OP=25, ∴∠MCQ=∠DEC,∠QMC=∠D, ∴P(2√5,0)或P(-25,0). △aC∽ACDE,器畏 当OA=AP时，(m-2)2+4=(25)2, 解得m1=0(不合题意，舍去)，m2=4,∴P(4,0). .'CQ=(14-t)cm,CD=6 cm,EC=10 cm, 当OP=AP时，m2=(m-2)2十42， -146QM=g14-0加m 610 解得m=5,.P(5,0). 5=BpQM=×2-0是14-)=-9 3 综上，当点P的坐标为(2√5,0)或(-25,0)或(4,0)或(5， 0)时，△AOP为等腰三角形. + 第2课时二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 1.C2.A3.A4.-45.(-2,-4)6.0-4 (-3t+36(0≤t≤4)， 综上所述，S= 1品-+g4<1≤12. 7.解：1)函数y=一，y=一2t,y=一2x的图象如图 5 所示 5432 支345 B P M 2 图① 图② -3 1.2二次函数的图象与性质 -4 第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 6 1.A2.A变式题B3.C4.(0,0)y轴减小5.> -7 -8 6.a>2或0<a<3 .1 9 y-2x2 4444毛2 下册参考答案 161 (2)示例：共同点是顶点都在原点，开口方向都向下，对称轴 (1)由图象可知，当-2x≤-1时，y的取值范围是4≤y≤9. 都是y轴：不同点是开口的大小不同. (2)由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4. 8.解：(1)把A(-2,一8)代入y=ax2,得(-2)2·a=-8,解得 7.D8.249.y2>y1>y310.1或6 a=一2，.此抛物线的函数表达式为y=一2x2. 11.解：(1)(-2,0)(0,4) (2)当y=-6时，-2x=-6,解得x=一√3，x=3, (2)由(1)知，A(-2,0),B(0,4),.OA=2,OB=4, ∴.此抛物线上纵坐标为一6的点的坐标为（一√3，一6）和 ÷S=2×2X4=4 (√3，-6). (3)存在.该抛物线的对称轴为直线x=一2. (3),点(，n)在此抛物线上，.n=一2m2. 设点P的坐标为（一2，n) 当x=-m时，y=-2·（-m)2=一2m2=n:当x=m时，y ①当点P在x轴上方时，四边形AOBP为平行四边形，则 =-2m2=n≠-n, BP∥AO且BP=AO.AO=2,.BP=2. .点（一m,n)在此抛物线上，点(m,一n)不在此抛物线上. 又点B的坐标为(0,4)，.点P的坐标为(-2,4)； 9.D10.D11.8 ②当点P在x轴下方时，四边形APOB为平行四边形，则 12.解：(1)把(1，b)代入y=2x-3,得b=-1.再把(1，-1)代入y AP∥OB且AP=OB,.AP=OB=4,∴.点P的坐标为 =ax2,得a=-1. (-2,-4). (2)由(1)知，二次函数的表达式为y=一x, 综上所述，点P的坐标为（一2,4）或（一2，一4） -1<x<3,当x=0时，y=0,当x=3时，y=-9, 12.解：(1)由题意可知，点A的坐标为（一1,0）. .当-1<x<3时，-9<y≤0. ,OB=OA,点B在y轴负半轴上， (3)当y=一2时，一x2=-2,.x=士√2， .点B的坐标为(0，一1). ∴两个交点的坐标分别为（一√2，-2），（√2，-2）， 将B(0,-1)代入y=a(x+1)2,得a=-1, .两个交点与抛物线顶点(0,0)所围成的三角形的面积为 ∴抛物线的表达式为y=一(x十1). 号×22×2=2. (2)由题意可知，∠ACB不可能为90°，∠OAB=45°， 13.解：(1)将A(2,-4)代入抛物线y=ax2,得4a=-4,解得a ∴.△ABC为直角三角形分两种情况： ①当∠CAB=90°时，如图①， =一1.故抛物线的函数表达式为y=一x.当y=一4时， 易知点C,B关于对称轴直线x=一1对称，此时△ABC为 一x2=一4，解得x=士2，则点B的坐标为（一2，一4）. (2)如图，设AB与y轴交于点D,连接OA,OB, 等腰直角三角形，.C点的坐标为（一2，一1）： 图① ) ②当∠CBA=90时，设直线BC与x轴交于点D,如图②， 则△ABD为等腰直角三角形，.D(1,0). Sm=合AB0D=合X4X4=8 设直线BC的表达式为y=kx十b. b=-1, (3)存在.：AB=4,设以AB为底边的△ABC的高为h,则 将B(0,-1),D(1,0)代入，得 k+b=0, 2AB·h=4,即2X4h=4,解得h=2,∴点C的纵坐标为 解得1， 1b=-1, ∴.直线BC的表达式为y=x一1. -4-2=-6或-4+2=-2.当-x2=-6时，x=±6；当 令一(x十1)2=x-1,解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=一3. 一x2=一2时，x=士2.故点C的坐标为(6，-6)或 当x=-3时，y=-3一1=-4，.C点的坐标为（一3， (-√6，-6)或(W2,-2)或(-√2，-2). -4).综上，C点的坐标为(-2，-1)或(-3，-4). 第3课时二次函数y=a(x一h)2的图象与性质 第4课时二次函数y=a(x一h)2+k的图象与性质 1.A变式题y=2(x+3)22.D3.D4.A5.D 1.A变式题C2.D3.a<bc 6.解：函数y=(x一1)2的图象如图所示。 4.解：1)二次函数y=号(x十1)”+4的图象如图所示. (x+1)2+4 43101 162 九年级数学XJ版