【冲刺2026】江苏省中考数学一轮复习 卷2 整式与因式分解能力提升测试卷（2025中考真题及模拟试题分类提优测试卷）

卷2 整式与因式分解能力提升测试卷 （时间：60分钟 满分：100分 得分 ） 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．（2025•苏州）下列运算正确的是（　　） A．a•a3＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5 2．（2025•无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 3．（2025•徐州模拟）如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为9cm，8个纸杯的高度为14cm，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（　　） A．（n+6）cm B．（n+7）cm C．（2n+6）cm D．（2n+7）cm 4．（2025•扬州三模）已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 5．（2025•秦淮区一模）若代数式M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，则M和N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．与a的值有关 6．（2025•宿豫区一模）若xy＝﹣3，x﹣y＝5，则xy2﹣x2y的值是（　　） A．15 B．﹣15 C．2 D．﹣8 7．（2025•江宁区一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如4＝22﹣02，12＝42﹣22）．在1∼100这100个数中，“神秘数”的个数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 8．（2025•扬州模拟）如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（　　） A．245 B．246 C．254 D．255 二．填空题(每小题3分，共27分) 9．（2025•常州）计算（a2）3＝　 　 ． 10．（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝　 　 ． 11．（2025•扬州）若a2﹣2b+1＝0，则代数式2a2﹣4b+3的值是　 　 ． 12．（2025•无锡）请写出单项式a2b的一个同类项：　 　 ． 13．（2025•南通）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为　 　 Pa． 14．（2025•淮安三模）若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，则ab的值是　 　 ． 15．（2025•梁溪区三模）试写出一个含a的代数式，使a不论取什么值，这个代数式的值总是正数　 　 ． 16．（2025•海陵区三模）如果2m÷4n＝8，那么（m+2n）2﹣8mn＝　 　 ． 17．（2025•通州区二模）已知实数m，n满足mn＝3，则m2+n2＝ 　 　 ． 三．解答题（共7小题，共49分） 18．（6分）（2025•盐城）先化简，再求值：a（a+1）﹣（a+2）（a﹣2），其中a＝6． 19．（6分）（2025•常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中． 20．（6分）（2025•南通模拟）先化简，再求值： ，其中x＝3，y＝﹣1． 21．（6分）（2025•镇江一模） 先化简，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2． 22．（8分）（2025•南通）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若a2＝b2，则a＝b； （2）对于任意实数x，y，一定有x2+y2＞2xy； （3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 23．（8分）（2025•亭湖区三模）如图，老师在屏幕上展示了一个等式．按要求解答下列问题： （1）求代数式M； （2）从﹣2，﹣1，0中选一个合适的数作为x的值，代入求M的值． 24．（9分）（2025•盐城一模）代数式A＝mx+2，代数式B＝2m+1． （1）当m＝3时，若A＜B，则x的取值范围是　 　 ； （2）若m＜0，x＜2，判断代数式A与B的大小，并说明理由； （3）将“A与B的差”记为C，即C＝A﹣B．当﹣2≤x≤3时，要使C的值满足﹣3≤C≤2，直接写出m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷2 整式与因式分解能力提升测试卷 （时间：60分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C C A D C 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．（2025•苏州）下列运算正确的是（　　） A．a•a3＝a3 B．a6÷a2＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5 【分析】利用同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a•a3＝a4，则A不符合题意， a6÷a2＝a4，则B不符合题意， （ab）2＝a2b2，则C符合题意， （a3）2＝a6，则D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2025•无锡）分解因式a3﹣4a的结果是（　　） A．a（a2+4） B．a（a﹣4） C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a2﹣1） 【分析】将原式提取公因式后再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝a（a2﹣4） ＝a（a+2）（a﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 3．（2025•徐州模拟）如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为9cm，8个纸杯的高度为14cm，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（　　） A．（n+6）cm B．（n+7）cm C．（2n+6）cm D．（2n+7）cm 【分析】根据题意，可得9+（n﹣3）×1，即可． 【解答】解：由条件可得：每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：（14﹣9）÷（8﹣3）＝1cm， ∴把n个这样的杯子叠放在一起，其高度为：9+（n﹣3）×1＝（6+n）cm， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式的知识，解题的关键是根据题意，求出每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高1cm． 4．（2025•扬州三模）已知2x＝5，则2x+3的值是（　　） A．8 B．15 C．40 D．125 【分析】利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【解答】解：∵2x＝5， ∴2x+3 ＝2x×23 ＝5×8 ＝40． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则并灵活运用． 5．（2025•秦淮区一模）若代数式M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，则M和N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．与a的值有关 【分析】因为M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，所以M﹣N＝﹣2a2+4a+1﹣（﹣3a2+4a）＝a2+1，因为a2≥0，所以a2+1≥1，所以M﹣N＞0，所以M＞N． 【解答】解：因为M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a， 所以M﹣N ＝﹣2a2+4a+1﹣（﹣3a2+4a） ＝﹣2a2+4a+1+3a2﹣4a ＝a2+1， 因为a2≥0， 所以a2+1≥1， 所以M﹣N＞0， 所以M＞N． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题额关键是求出M﹣N． 6．（2025•宿豫区一模）若xy＝﹣3，x﹣y＝5，则xy2﹣x2y的值是（　　） A．15 B．﹣15 C．2 D．﹣8 【分析】先把原式提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可． 【解答】解：∵xy＝﹣3，x﹣y＝5， ∴xy2﹣x2y＝xy（y﹣x）＝﹣xy（x﹣y）＝3×5＝15． 故选：A． 【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键． 7．（2025•江宁区校级一模）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如4＝22﹣02，12＝42﹣22）．在1∼100这100个数中，“神秘数”的个数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】结合神秘数的定义，通过完全平方公式和平方差公式将其分解，找寻规律，即可得出答案． 【解答】解：设两个连续偶数为2k+2和2k， 则（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1）， 又∵2k+1是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数， ∴1～100之间的神秘数有4×1，4×3，…，4×25，共计13个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算． 8．（2025•扬州模拟）如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它是按照一定的规律编制而成的，如图2是其抽离出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，…；则第㊿个图形小正方形的个数为（　　） A．245 B．246 C．254 D．255 【分析】根据所给图形，依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形中小正方形的个数为：9＝1×5+4； 第②个图形中小正方形的个数为：14＝2×5+4； 第③个图形中小正方形的个数为：19＝3×5+4； …， 所以第n个图形中小正方形的个数为（5n+4）个， 当n＝50时， 5n+4＝254（个）， 即第㊿个图形中小正方形的个数为254个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形的个数依次增加5是解题的关键． 二．填空题（共9小题，每小题3分，共27分） 9．（2025•常州）计算（a2）3＝a6 ． 【分析】幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数） 【解答】解：（a2）3＝a2×3＝a6． 故答案为：a6 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 10．（2025•常州）分解因式：x2﹣9y2＝　（x﹣3y）（x+3y）　 ． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）． 故答案为：（x﹣3y）（x+3y）． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键． 11．（2025•扬州）若a2﹣2b+1＝0，则代数式2a2﹣4b+3的值是　1　 ． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵a2﹣2b+1＝0， ∴a2﹣2b＝﹣1， ∴当a2﹣2b＝﹣1时，原式＝2（a2﹣2b）+3＝2×（﹣1）+3＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 12．（2025•无锡）请写出单项式a2b的一个同类项：　11a2b（答案不唯一）　 ． 【分析】根据同类项的定义解答即可． 【解答】解：答案不唯一，如11a2b． 故答案为：11a2b（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题的关键． 13．（2025•南通）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为　3a Pa． 【分析】根据题意：设该砖的质量为m，其为定值，且有P•S＝mg，即P与S成反比例关系，且B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖的C面向下放在地上时，地面所受压强是3a帕． 【解答】解：设该砖的质量为m，则P•S＝mg， 即P与S成反比例关系， ∵B的面积：C的面积＝3：1， B面向下放在地上，地面所受压强为aPa， ∴把砖的C面向下放在地上时，地面所受压强为：3a帕． 故答案为：3a． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键根据压强的关系式来进行解答． 14．（2025•淮安三模）若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，则ab的值是　﹣3　 ． 【分析】由a2b+ab2＝﹣15知ab（a+b）＝﹣15，结合a+b＝5可得答案． 【解答】解：∵a2b+ab2＝﹣15， ∴ab（a+b）＝﹣15， 又∵a+b＝5， ∴ab＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查因式分解﹣提公因式法，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 15．（2025•梁溪区三模）试写出一个含a的代数式，使a不论取什么值，这个代数式的值总是正数a2+1　 ． 【分析】根据非负数的性质即可解决问题； 【解答】解：由题意：a2+1＞0， 故答案为a2+1（答案不唯一） 【点睛】本题考查非负数的性质、列代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 16．（2025•海陵区校级三模）如果2m÷4n＝8，那么（m+2n）2﹣8mn＝　9　 ． 【分析】逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得2m÷4n＝2m÷（22）n＝2m÷22n＝2m﹣2n，由题意可得m﹣2n＝3，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【解答】解：2m÷4n＝8， 2m÷（22）n＝8， 2m÷22n＝8， 2m﹣2n＝8， 2m﹣2n＝23， ∴m﹣2n＝3， ∴（m+2n）2﹣8mn＝m2+4mn+4n2﹣8mn ＝m2﹣4mn+4n2 ＝（m﹣2n）2 ＝32 ＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17．（2025•通州区二模）已知实数m，n满足mn＝3，则m2+n2＝ 　75　 ． 【分析】根据已知条件得出m+n＝3mn＝9，然后根据完全平方公式的变形计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴m+n＝3mn＝3×3＝9， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝92﹣2×3＝75， 故答案为：75． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 三．解答题（共7小题，共49分） 18．（6分）（2025•盐城）先化简，再求值：a（a+1）﹣（a+2）（a﹣2），其中a＝6． 【分析】利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【解答】解：原式＝a2+a﹣（a2﹣4） ＝a2+a﹣a2+4 ＝a+4； 当a＝6时， 原式＝6+4＝10． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 19．（6分）（2025•常州）先化简，再求值：x（x+2）+（x﹣1）2，其中． 【分析】首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【解答】解：原式＝x2+2x+x2﹣2x+1 ＝2x2+1， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 20．（6分）（2025•南通模拟）先化简，再求值：，其中x＝3，y＝﹣1． 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：原式＝4x2﹣xy﹣2y2﹣4x2﹣4xy+2y2 ＝4x2﹣4x2+2y2﹣2y2﹣4xy﹣xy ＝﹣5xy， 当x＝3，y＝﹣1时， 原式＝﹣5×3×（﹣1） ＝5×3×1 ＝15． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 21．（6分）（2025•镇江一模）先化简，再求值：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y），其中x＝﹣1，y＝2． 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（x+3y）2﹣2x（x+2y）+（x﹣3y）（x+3y） ＝x2+6xy+9y2﹣2x2﹣4xy+x2﹣9y2 ＝2xy， 当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2×（﹣1）×2＝﹣4． 【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22．（8分）（2025•南通）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若a2＝b2，则a＝b； （2）对于任意实数x，y，一定有x2+y2＞2xy； （3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【分析】（1）因为a2＝b2，所以a2＝b2＝0，即（a+b）（a﹣b）＝0，所以a+b＝0或a﹣b＝0，得a＝﹣b或a＝b，举个例子即可； （2）因为（x﹣y）2≥0，所以x2+y2﹣2xy≥0，所以x2+y2≥2xy，举例判断本题错误； （3）设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数），（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，据此可得本题正确； （4）梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但并不是平行四边形，据此解答． 【解答】解：（1）（2）（4）都是假命题．（3）是真命题． （1）是假命题，反例：当a＝2，b＝﹣2时，结论不成立； （2）是假命题，反例：当x＝y时结论不成立； （3）是真命题，证明如下： 设两个连续的正奇数为2k﹣1，2k+l（k为正整数）， （2k+1）2﹣（2k﹣1）2 ＝4k2+4k+1﹣（4k2﹣4k+1） ＝8k， ∵k为正整数， ∴8k是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍敛． （4）是假命题，反例：当四边形为等腰梯形时结论不成立． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、平行四边形的判定、命题与定理，解决本题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式解决问题． 23．（8分）（2025•亭湖区三模）如图，老师在屏幕上展示了一个等式．按要求解答下列问题： （1）求代数式M； （2）从﹣2，﹣1，0中选一个合适的数作为x的值，代入求M的值． 【分析】（1）根据运算法则进行化简即可； （2）由题意，得x≠0，x≠±1，只能选x＝﹣2，代数求值即可． 【解答】解：（1） ； （2）由题意得只能选x＝﹣2， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的意义、分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24．（9分）（2025•盐城一模）代数式A＝mx+2，代数式B＝2m+1． （1）当m＝3时，若A＜B，则x的取值范围是　　 ； （2）若m＜0，x＜2，判断代数式A与B的大小，并说明理由； （3）将“A与B的差”记为C，即C＝A﹣B．当﹣2≤x≤3时，要使C的值满足﹣3≤C≤2，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）将m＝3代入A、B的式子中，求出A＝3x+2，B＝7，利用A＜B，得出不等式3x+2＜7，求出x的取值范围； （2）因为A＝mx+2，B＝2m+1，所以A﹣B＝mx+2﹣（2m+1）＝m（x﹣2）+1，因为m＜0，x＜2，所以m（x﹣2）+1＞0，所以A﹣B＞0，得出A＞B； （3）求出C＝m（x﹣2）+1，分成m＞0、m＝0、m＜0三种情况讨论，确保﹣2≤x≤3，﹣3≤C≤2，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵A＝mx+2，B＝2m+1， ∴当m＝3时，A＝3x+2，B＝7， ∵A＜B， ∴3x+2＜7，解得：x． 故答案为：x； （2）∵A＝ mx+2，B＝2m+1， ∴A﹣B＝mx+2﹣（2m+l）＝m（x﹣2）+1， ∵m＜0，x＜2， ∴x﹣2＜0， ∴m（x﹣2）＞0， ∴m（x﹣2）+1＞0， ∴A﹣B＞0，即A＞B； （3）∵A＝ mx+2，B＝2m+1， ∴C＝A﹣B＝m（x﹣2）+1， ﹣2＜x≤3，﹣3≤C＜3， ①当m＞0时，C随着x的增大而增大， 则当x＝3时，C的最大值是m+1， 当x＝一2时，C的最小值是﹣4m+1， 可得：，解得：0＜m≤1； ②当m＝0时，C＝1，满足﹣3≤C≤2， ∴m＝0满足题意； ③当m＜0时，C随着x的增大而减小， 则当x＝﹣2时，C的最大值是﹣4m+1， 当x＝3时，C的最小值是m+1， 可得：，解得：﹣4≤m＜0； 综上所述，m的取值范围为m≤1． 【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是求出两个式子的差，再分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $