精品解析：安徽省亳州市利辛县部分校联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题

利辛县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数解析式中，是二次函数解析式的为（　　） A. y＝1﹣3x2 B. y＝3x+2 C. y＝2x D. y＝ 2. 已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当 时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 3. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是2.43m B. 球不会过球网 C. 球会过球网且不会出界 D. 球会过球网且会出界 4. 如图，已知直线，直线 分别交直线 ， ，于点 ， ， ，直线 分别交直线 ， ，于点 ， ， ，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，点 是 的中点， ，则 的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，和是以点 为位似中心的位似图形， ， 两点的坐标分别为，．若点 的对应点 的坐标是，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 或 7. 在 中，若，则 的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 8. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP＋AP的最小值为（ ）． A. B. C. 3 D. 2 10. 如图，口BDEF顶点D、E、F分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若函数y＝（a＋1）x|a|＋1是二次函数，则a的值是　______ ． 12. 如图，正方形 中， 为 上一点，交 的延长线于点 ，若 ，，则 的长为__． 13. 已知点，那么直线 与 轴夹角的正弦值是__________． 14. 如图，已知在平行四边形 中，，，，点 是边 上一点，连接 ，将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ，如果点 恰好落在平行四边形 的边上，那么 的值是_____． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 如图： （1）求该抛物线的解析式； （2）根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0． 16. 如图，在平行四边形 中，对角线相交于点O，点E是 上的点，．连接 ，交 于点G． （1）求的值； （2）求证：． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上． （1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围； （2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 18. 如图，在 中， ，点 是 边的一点， ，且 ，连接 并延长，交 于 ，交 的延长线于 ． （1）若，，求 的长； （2）求证：． 19. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）写出工厂每天的利润W元与降价 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ 20. 如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，EF经过 ，分别交 于点 ， 的延长线交 的延长线于 ． （1）求证：； （2）若， ，，求 的长． 21. 已知在 中， 平分 ， 是 延长线上一点，， 是 延长线上的点，连接 ． （1）证明：； （2）如果，求证：． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与 轴交于点 ，点 的坐标为． （1）求的值及点 的坐标； （2）结合图象直接写出不等式组的解集． 23. 已知：如图 ，在正方形 中，，点 、 分别是边 、 上的动点（点 不与 、 重合），． （1）设 ，，求 关于 的函数关系式； （2）如图 ，将 沿直线 翻折后得． ①当时，求的长； ②试探究以、 、 为顶点的三角形与能否相似，如果能，求出 的长；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利辛县部分学校联考2025-2026学年上学期九年级1月月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数解析式中，是二次函数解析式的为（　　） A. y＝1﹣3x2 B. y＝3x+2 C. y＝2x D. y＝ 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的定义，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、是一次函数，故此选项不合题意； C、是一次函数，故此选项不合题意； D、是反比例函数，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟记定义，分别进行判断． 2. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当 时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当 时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 3. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是2.43m B. 球不会过球网 C. 球会过球网且不会出界 D. 球会过球网且会出界 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当 时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当 时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 4. 如图，已知直线，直线分别交直线 ， ，于点 ， ， ，直线 分别交直线 ， ，于点 ， ， ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， 故选：D． 5. 如图，已知，点 是 的中点， ，则 的长为( ) A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵点 是 的中点， ， ∴AD=2， ∵， ∴ ∴ ∴AB=， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，能够根据相似三角形列出比例式是解答本题的关键，难度不大． 6. 如图，在平面直角坐标系中，和是以点 为位似中心的位似图形， ， 两点的坐标分别为，．若点 的对应点 的坐标是，则点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是以 为位似中心的位似图形， 点的坐标为，点 的对应点 的坐标是， ∴， ∴相似比为， ∵ 点的坐标为， ∴，， ∴点 的坐标为． 故选：B． 7. 在 中，若，则 的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．先由非负数的性质得出，，根据三角函数求得 ，，然后根据三角形内角和定理，求得的度数，从而确定三角形的形状． 【详解】解： ， ，， ，， ，， ， 则 是直角三角形． 故选：D． 8. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4−x，由对称的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，证明△ADE≌△AFE（SSS），得∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， ∴∠FME＝90°， ∵tan∠ABF＝2， ∴＝2， 设BN＝x，则FN＝2x， ∴AN＝4﹣x， ∵点F是点D关于直线AE对称的点， ∴DE＝EF，DA＝AF＝4， ∵AE＝AE， ∴△ADE≌△AFE（SSS）， ∴∠D＝∠AFE＝90°， ∵AN2＋NF2＝AF2， ∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42， ∴x1＝0（舍），x2＝， ∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝， ∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°， ∴∠EFM＝∠FAN， ∴cos∠EFM＝cos∠FAN， ∴＝，即， ∴EF＝， ∴DE＝EF＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP＋AP的最小值为（ ）． A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到﹣x2＋2x＝0得B（2，0），利用配方法得到A（，3），则OA＝2，从而可判断△AOB为等边三角形，接着利用∠OAP＝30°得到PH＝AP，利用抛物线的对称性得到PO＝PB，所以OP＋AP＝PB＋PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB＋PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可． 【详解】解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图所示， 当y＝0时，﹣x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则B（2，0）， y＝﹣x2＋2x＝﹣（x﹣）2＋3，则A（，3）， ∴OA＝＝2， 而AB＝AO＝2， ∴AB＝AO＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠OAP＝30°， ∴PH＝AP， ∵AP垂直平分OB， ∴PO＝PB， ∴OP＋AP＝PB＋PH， 当H、P、B共线时，PB＋PH的值最小，最小值为BC的长， 而BC＝AB＝×2＝3， ∴OP＋AP的最小值为3，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质以及最短路径的解决方法，将转化为PB+PH，根据当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长是解决本题的关键． 10. 如图，口BDEF顶点D、E、F分别在△ABC的三边上，则下列比例式不成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为四边形BDEF是平行四边形，可判断△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可解答． 【详解】A ：在口BDEF中， ∵DE//BC， ∴，故本选项结论正确，不符合题意； B ：∵DE//BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，故本选项结论正确，不符合题意； C：在口BDEF中，BD=EF，DE=BF， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 即， ∴，故本选项结论正确，不符合题意； D：由题意可知：，，而，故本选项结论错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似三角形的对应边成比例的性质，熟练地掌握相似三角形的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若函数y＝（a＋1）x|a|＋1是二次函数，则a的值是　______ ． 【答案】１ 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，列出关于a的方程和不等式，即可求解． 【详解】根据二次函数的定义可得：，解得：a=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的最高次项的次数为2，二次项系数不等于零，是解题的关键． 12. 如图，正方形 中， 为 上一点，交 的延长线于点 ，若 ，，则 的长为__． 【答案】7 【解析】 【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=CD=6， ∴DP=AD-AP=2，∠BCD =∠ECF=90° ∵BP⊥PE， ∴∠BPE=90°， ∴∠APB+∠DPF=90°． ∵∠APB+∠ABP=90°， ∴∠ABP=∠DPF． 又∵∠A=∠D， ∴△APB∽△DFP， ∴，即， ∴ ∴ ∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF， ∴△PFD∽△EFC， ，即 ∴CE=7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键． 13. 已知点，那么直线 与 轴夹角的正弦值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正弦函数．在直角坐标系中，过 作 轴，构造直角三角形，可得直线 与 轴夹角的正弦值． 【详解】解：过 作 轴，交 轴于点 ，则， ∵， ∴， 在 中，， 直线 与 轴夹角的正弦值， 故答案为：． 14. 如图，已知在平行四边形 中，，，，点 是边 上一点，连接 ，将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ，如果点恰好落在平行四边形 的边上，那么 的值是_____． 【答案】 或 【解析】 【分析】分三种情况：如图1中，当点落在 边上时，过点 作 于 ，交 的延长线于 ．设．如图2，当点落在 边上时，如图3中，当点落在直线 上时，过点 作于点 ，根据旋转的性质和平行四边形的性质以及三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：①如图1中，当点落在 边上时，过点 作 于 ，交 的延长线于 ， 设， 在中，，， 可设，， ∴，即， 解得： ， ∴， ∵将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴； ②如图2，当点落在 边上时， ∵将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ， ∴， ∴， 在中，，， 可设，， ∴，即， 解得： ， ∴； ③如图3，当点落在直线 上时，过点 作于点 ， ∵将线段 绕着点 顺时针旋转 得到线段 ， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴此时点落在 的延长线上，不合题意舍去， 综上所述， 的值是 或 ， 故答案为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，三角函数，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 如图： （1）求该抛物线的解析式； （2）根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）当或 时，该函数值大于0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先观察函数图象，得出抛物线的顶点坐标为，故抛物线的解析式为，再将 ， 代入，进行计算，得，即可作答． （2）观察函数图象，得出抛物线与x轴的交点为与，且抛物线的开口向上，运用数形结合思想进行作答即可． 【小问1详解】 解：观察函数图象，得出抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将 ， 代入得， ∴， 即， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：观察函数图象，得出抛物线与x轴的交点为与，且抛物线的开口向上， 根据函数图像可知：当或 时，该函数值大于0． 16. 如图，在平行四边形 中，对角线相交于点O，点E是 上的点，．连接 ，交 于点G． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质以及相似三角形的判定定理． （1）由平行得到，则； （2）由相似得到，则，而平行四边形得到 ，则，那么，即可证明． 【小问1详解】 解：∵． ∴ ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴， ∴ ∴的值为； 【小问2详解】 证明：由（1）知：， ∴， ∴ ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线l:y=kx+b，点A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线l上． （1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围； （2）当a=-1，二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为-4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）a≤且a≠0；（2）m=-3或m=3；（3）或a≤-2； 【解析】 【分析】（1）点，代入 ，求出；联立与，则有，即可求解； （2）根据题意可得，，当时，有， 或 ；①在 左侧， 随 的增大而增大，时， 有最大值，； ②在对称轴 右侧， 随 最大而减小，时， 有最大值 ； （3）① 时， 时，，即； ② 时，时，，即，直线 的解析式为，抛物线与直线联立：，，则，即可求 的范围. 【详解】解：（1）点，代入 ， ， ， ； 联立与，则有， 抛物线 与直线 有交点， ， a≤且a≠0； （2）根据题意可得，， ， 抛物线开口向下，对称轴 ， 时， 有最大值， ∴当时，有， 或 ， ①在 左侧， 随 的增大而增大， 时， 有最大值 ， ； ②在对称轴 右侧， 随 最大而减小， 时， 有最大值 ； 综上所述：m=-3或m=3； （3）① 时， 时，， 即； ② 时，时，， 即， 直线 的解析式为， 抛物线与直线联立：， ， ， ， 的取值范围为或a≤-2. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键． 18. 如图，在 中， ，点 是 边的一点， ，且 ，连接 并延长，交 于 ，交 的延长线于 ． （1）若，，求 的长； （2）求证：． 【答案】（1） 的长为 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据 可证，根据线段成比例的性质可得，再证，可得，由此即可求解； （2）设，，根据题意可证，可得，根据线段成比例的性质可得，将带入计算，即可求证； 本题主要考查相似三角形的判定和性质，线段成比例的性质等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，，则， ∴， ∵ ， ∴， ∴，则，且 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 的长为 ． 【小问2详解】 解：设，， ∵ ， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，整理得，， ∴， ， ，且， ∴， ∴． 19. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）写出工厂每天的利润W元与降价 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ 【答案】（1）工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元 （2）当降价4元时，工厂每天的利润最大为9800 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据利润=（批发价−成本价−降价）×数量，列出W关于x的关系，然后代入 进行求解即可； （2）根据（1）所列的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 时，（元）， 答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为，当降价2元时，工厂每天的利润为9600元； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴ 时，W最大为9800， 答：当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元． 20. 如图，平行四边形 的对角线相交于点 ，EF经过 ，分别交 于点 ， 的延长线交 的延长线于 ． （1）求证：； （2）若， ，，求 的长． 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点 作交 于 ，根据相似三角形的性质分别求出 、 ，证明∽，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ，， ， ∴， 在和中， ， ∴≌ ， ∴； （2）解：过点 作交 于 ， 则∽， ∵ ， ∴，， ∵， ∴∽， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21. 已知在 中， 平分 ， 是 延长线上一点， ， 是 延长线上的点，连接 ． （1）证明：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明： ， ． ， ． 平分 ， ， ． （2） ， ． ，， ． 又 ， ， ． ， ． 又 ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由 ，可得，推出，根据角平分线的定义可得，即可证明； （2）由平行线的性质可得，推出，可证明，得到，结合， ，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与 轴交于点 ，点 的坐标为 ． （1）求 的值及点 的坐标； （2）结合图象直接写出不等式组的解集． 【答案】（1）；点 的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次（反比例）函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点 的坐标利用待定系数法求出 、的值；（2）根据函数图象的上下位置关系，找出不等式组的解集． （1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可求出 、的值，进而可得出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 的坐标； （2）观察函数图象的上下位置关系结合点 、 的横坐标，即可得出不等式组的解集． 【小问1详解】 将点代入中，得：， 解得：； 将点代入中，得：， 解得：， 一次函数解析式为． 当 时， ， 解得：， 点 的坐标为 ． 【小问2详解】 观察函数图象，可知：当时，一次函数图象在 轴上方且在反比例函数图象下方， 不等式组的解集为． 23. 已知：如图 ，在正方形 中，，点 、 分别是边 、 上的动点（点 不与 、 重合），． （1）设 ，，求 关于 的函数关系式； （2）如图 ，将 沿直线 翻折后得． ①当时，求的长； ②试探究以、 、 为顶点的三角形与能否相似，如果能，求出 的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①的长为或；②能， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，，进而根据勾股定理得到，整理得到； （2） 将，代入得到，即，求解后代入计算即可； 先判断出当时，与有可能相似，根据折叠的性质得到，，证明，得到，即，即可求出，即，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ，，， 在 中，由勾股定理得： ； 【小问2详解】 解： ，，， ， 整理得，解得，， ， 当时，， 当时，； 答：的长为或． ，，， 当时，与有可能相似， 如图， ∵将 沿直线 翻折后得 ∴ 垂直平分，， ∴， ， ， ∴， ∴， ， 即， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，列函数关系式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $