24.6 正多边形与圆-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

24.6正多边形与圆 要固梳理 1.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆 2.一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半 径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角 课内基础闯关 知识点① 正多边形的概念及画法 1.下列说法正确的是 D A.正三角形不是正多边形 第4题图 第5题图 B.平行四边形是正多边形 5.如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接 C.正方形是正多边形 正六边形ABCDEF的边心距OG为( D.各角相等的多边形是正多边形 A.35 B D.3 2.如下图，AB,CD是⊙O中互相垂直的两条 c3 直径，以点A为圆心，OA长为半径画弧，与 6.如图，△PQR是⊙O的内接正 ⊙O交于E,F两点， 三角形，四边形ABCD是⊙O (1)求证：AE是⊙O的内接正六边形的 的内接正方形，BC∥QR.连接 一边； OB,OQ,OP,则∠BOQ= 第6题图 (2)请在图上继续画出这个正六边形（不写 画法，保留画图痕迹). 7.(教材第52页题8变式)如下图，⊙O是正五 边形ABCDE的外接圆，对角线AC,BD相 交于点P. (1)求∠APB的度数； (2)求证：AC=AB+BP. 知识点②正多边形的性质与计算 3.(2024天长月考)一个圆的内接正多边形中， 一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形 的边数是 A.4 B.5 C.6 D.7 4.(2024宣城一模)如图，将圆周六等分，B,D是 其中两个等分点，点A,C分别在优弧BD、劣弧 BD上，则∠BAD和∠BCD的比是 ( A.1:2 B.2:3C.2:5D.3:5 38 九年级数学HK版 课外拓展提高 到一个正n边形.求n的值. 8.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边 形，AF是⊙O的直径，连接BD,则∠CDF 的度数是 A.18° B.36° C.54° D.72 图① 图② 第8题图 第9题图 9.古代数学文化刘徽在《九章算术注》中首创 “割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆 周率.某同学在学习“割圆术”的过程中，作 了一个如图所示的圆内接正十二边形.若 ⊙O的半径为1，则这个圆的内接正十二边 形的面积为 ( ) A.1 B.3 C.元 D.2π 色综合能力提升 10.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB =AD,∠C=120°，点E在AD上，连接OD, 12.数学核心素养·推理能力已知图①、图 OE,AE,DE. ②、图③、…图@中的正多边形分别是 ⊙O的内接正多边形，点M,N分别从点 B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运 动，连接BN,AM,BN与AM相交于点P. (1)分别求出图①、图②、图③中∠APN的 第10题图 度数； (1)∠AED的度数为 (2)∠APN的度数与正多边形的边数n之 (2)当∠EOD=90°时，AE恰好为⊙O的内 接正n边形的一边，则n的值为 间的关系是 11.如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O,阅 读以下作图过程，并回答问题. 作法：如图②，先作直径AF,再以点F为圆 图② 图3 图m 心，OF的长为半径作圆弧，与⊙O交于点 M,N,连接AM,MN,AN. (1)∠ABC的度数为 (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由； (3)从点A开始，以DN的长为边长，在 ⊙O上依次截取点，再依次连接这些点，得 下册第24章 39△:∠BEF=号∠BOF=45, △BHE为等腰直角三角形，∴BH=EH=√E. 在Rt△BHF中 FH=√BF-BΠ=√(22)2-(W2)2=√6， .EF=EH+FH=√2+√6. 3.解：(1)连接CE,OA,如图 BC是⊙O的直径， .∠BEC=∠BAC=90°. ∠AEB=110°， .∠AEC=∠AEB-∠BEC=20°， .∠AOD=2∠AEC=40° .AD与⊙O相切于点A,.OA⊥AD, .∠OAD=90°，∠D=90°-∠AOD=50° (2)证明：由(1)可知，∠BAC=∠OAD=90° .∠BAO+∠OAC=∠CAD+∠OAC=90°， .∠CAD=∠BAO. .OA=OB, ∴.∠BAO=∠ABC, ∴.∠CAD=∠ABC 4.解：(1)如图，连接OE,则OE=OB ∠ABC和∠C互余，∴∠ABC+∠C=90°， ./A=90°. ⊙O切AC于点E,∴AC⊥OE ∠OEC=90°，∴∠OEC=∠A,.OE∥AB, .∠CBE=∠OEB=∠ABE=24°， .∠ABC=2∠CBE=2×24°=48°， .∴.∠C=90°-∠ABC=90°-48°=42° (2)如图，连接OP:F是BE的中点，BF=EF 由(1)，得∠CBE=∠ABE,∠OEC=∠A=90°， .ED=EF, .BF=EF=DE ∠B0F=∠FOE=∠E0C=3×180=60, .∠C=90°-∠EOC=30° AB=3,.'.BC=2AB=6. .'OC=20E=20B, .∴.BC=OB+OC=OB+2OB=6,獬得OB=2, .⊙0的半径是2. 5.解：(1)证明：连接OC,如图， 由题意，得CPF=BC,OA=OC, ∴.∠DAC=∠BAC=∠ACO,∴AD∥OC. 1311434 148 九年级数学HK版 ,AD⊥CD,.OC⊥CD. 又OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线. (2)AF十AB=2AD.理由如下： 过点C作CE⊥AB于点E,连接CF, BC,如图，则∠CDA=∠CEA=90°. ∠DAC=∠EAC, 在△DAC和△EAC中， ∠CDA=∠CEA, AC-AC, .△DAC≌△EAC(AAS),.CD=CE,AD=AE. :∠DFC+∠AFC=180°，∠AFC+∠B=180°， ∠DFC=∠B. ∠CDF=∠CEB, 在△CDF和△CEB中，∠DFC=∠B, CD=CE, △CDF≌△CEB(AAS),∴.DF=EB. .AF=AD-DF,AB=AE+BE, ..AF+AB=AD+AE=2AD. 6.解：(1)证明：连接OM,如图. ,四边形ABCD是正方形，∠A=∠B=90°. ,AB是⊙O的直径，∴AD,BC是⊙O的切线. 又EF始终与以AB为直径的⊙O相切于点M, ∴∠MOE=∠AOM.∠MOF-∠OM. ∠EOF= ∠A0M+号∠B0M=号×180°=90， .OE⊥OF. (2)tan∠OFE=5-1 2 24.6正多边形与圆 1.C 2.解：(1)证明：连接OE,如图。 由画图可知，AE=OA=OE, ∴△AOE是等边三角形，∴.∠AOE=60°， AE是⊙O的内接正六边形的一边. (2)正六边形AEGBHF如图所示. 3.B4.A5.C6.15 7.解：(1)：⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， :根据圆周角定理可知，∠ABD=之×号×360- 72,∠BAC-号×号×360-86∠APB=1s0 72°-36°=72°. (2)证明：由(1)可知，∠ABP=∠APB,∴AB=AP. :根据圆周角定理可知，∠PBC=∠PCB=子×号× 360°=36°，∴.BP=CP,.AC=AP+CP=AB+BP 8.A9.B10.(1)120°(2)12 11.解：(1)108 (2)△AMN是正三角形. 理由：连接ON,FN,如图. 由题意可知，FN=ON=OF, .△FON是等边三角形， ∠NFA=60°，∴.∠NMA=60°. 同理可知，∠ANM=60°，.∠MAN=60°， .△AMN是正三角形. (3)连接OD,如图 ∠AMN=60°，.∠AON=120°. ·∠AOD=360° 6×2=144, ∴.∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°. .360°÷24°=15，.n的值为15. 12.解：(1)在题图①中，点M,N分别从点B,C开始以 相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴.∠BAM=∠CBN, ∴.∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN= ∠ABC=60°. 同理可得，在题图②中，∠APN=∠ABC=90°；在题 图③中，∠APN=∠ABC=108° (2)n-2)·180% n 24.7弧长与扇形面积 第1课时弧长与扇形面积 1.B2D3B4.7x5.A6A7.开81 9.解：(1)证明：OB=OC,.∠BCO=∠B. ,∠B=∠D,∠BCO=∠D. (2).CD=43,∠D=30°，∠B=∠D,ABI CD, ÷∠B=30,CE=2CD=25,∠CEB=90, .BC=2CE=4√5，∠COE=2∠B=60°， .BE=√BC-CE=√/(43)2-(23)2=6， ∠OCE=30°，.∴.OC=2OE, 0E=号BE=2,0C=4, S-0%-×2x25--25, 10.C1.4r12元号或号 13.解：(1)证明：连接AF,如图. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,.∠GAE=∠B,∠EAF=∠AFB. ,AB=AF,∠B=∠AFB, ∠GAE=∠EAF,∴.GE=EF (2)过点A作AH⊥BF于点H, 如图. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,.∠C+∠B=180°. :∠C=120°，∠B=60°. :AB=AF,△ABF是等边三角形， .∠BAF=60° 又BG=4,BF=AB=合BG=2. 5w器×mX2- :sinB=A是，AH=AB·sinB=2x5=5 AB 2 Se=BF·AH=2X2X5=5, SS-5Aur -B. 14.解：(1)证明：C是BD的中点， .∠DBC=∠BAC. :AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.又CELAB, ∴·∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°， ∴∠BCE=∠BAC,∠BCE=∠DBC,∴.CF=BF. (2)连接OD,O℃，如图， BE=OE=2, .OB=BE+OE=2+2=4. 0B=0c,∠c0E-8装-， ∴.∠COE=60°. ,C是BD的中点，.∠DOC=∠COE=60°， ∴.∠AOD=180°-∠DOC-∠COE=60°， .AD-607X44x 180 3 第2课时圆锥的侧面展开图 1.B2.C3.7 4.解：设圆锥底面圆的半径OA为r. AC=3,∠ACB=120°， AB的长为120X3=2x,2r=2元，解得=1， 180 下册参考答案 149