24.4 第2课时 切线的性质与判定-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

∴△AOC是等边三角形， ∠A=60°，.∠P=∠A=60° (2)由(1)可得∠P=∠A=60°. ,CP⊥AB,AB是⊙O的直径， ..AC=AP, ∴∠ABP=∠ABC=30°，∴.∠CBP=60°， ∴△CBP是等边三角形，∴.BP=BC=CP. AC=2,.BC=5AC=25, ∴.CAP=BP+BC+CP=3BC=63、 24.4直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 1.B2.A3.A4.相切或相交5.相切6.9 7.解：(1)在Rt△ABC中，AC=3,AB=5, .BC=√JAB-AC=√5-3=4. BC>3.5,即点B到圆心C的距离大于⊙C的半径， ∴点B在⊙C外. (2)过点C作CD⊥AB于点D,如图 :2AC·BC=2ABCD, :CD=AC:BC=3X4=2.4, AB 5 ∴当⊙C与直线AB相切时，r=2.4. 8.解：如图，过点O作OE⊥AB于 点E. ,四边形ABCD是菱形，∠DAB =60°， ∴.∠OAB=30°，∠AOB=90°. 又.AB=16, 0B-AB-80A-gAB=8尽 :Saom=2OA·OB=2OE·AB, OE=0A:OB_85X8=45. AB 16 故以点O为圆心，半径为4√3时所作的圆才能与菱形 ABCD的四条边都相切. 9.C10.D11.(1)相离(2)17 12.解：不会.理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB,垂足 为D. 由题意可知，∠A=30°，∠B=45, ∴∠BCD=∠B=45°，.CD=BD. 设CD=xkm,则BD=xkm. 由∠A=30°，得AD=√3CD=√3xkm, √5x十x=2,解得x=5-1, 144 九年级数学HK版 即CD=√5-1≈0.732(km).0.732km>0.7km, .修建的这条公路不会穿过公园. 13.解：(1)点P的坐标为(2,3) 或(6,3). (2)直线OP与⊙A相交.理 由如下： 0 如图，过点A作AC⊥OP,垂足为C 由题意，得AP=PB-AB=12一4=8，OB=3, .OP=√/122+3=√/153. ∠ACP=∠OBP=90°，∠APC=∠OPB, △APCn△0PB6部，即AC=g AC AP 3√153 AC=24≈1.9<2，直线OP与⊙A相交 w/153 第2课时切线的性质与判定 1.D变式题D2.50 3.解：(1)证明：连接OC,如图. ,CE是⊙O的切线，则∠OCE=90°， ∴.∠COE+∠E=90°. ∠AOC=2∠D,2∠D+∠E=90 (2)2√5 4.D5.相切 6.解：(1)证明：连接OD,如图. D为BC的中点， ∴.∠CAD=∠BAD, OA=OD,∴.∠BAD=∠ADO, ∴.∠CAD=∠ADO. DE⊥AC,∴.∠E=90°， .∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°， ∴.∠ODE=90°， .OD⊥DE.OD是半圆O的半径， DE为半圆O的切线. (2)2 7.A8.239.6-2√3 10.解：(1)证明：连接OE,如图 ,AC为切线， OE⊥AC,则∠AEO=90°. ∠C=90°，.OE∥BC, .∠1=∠3. OB=OE,∠2=∠3，∠2=∠1. 又：BE=BE,∠EHB=∠C=90°， .△BEH≌△BEC(AAS),..BH=BC (2)在Rt△ABC中，BC=5-4=3. 设OE=r,则OA=5-r. OE∥BC,∴.△AOEp△ABC, 小船即5号=专解得 8， A0=5-r=81 25 在R△A0E中，AE=√()-(g)-, :.CE=AC-AE=4-2=2 53 11.解：(1)证明：连接OC,如图①. ,CE为⊙O的切线，.OC⊥CE, ∴.∠OCE=90°，即∠OCB+∠BCE=90°. ,OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC. OD⊥BC,.∠BOD+∠OBD=90°， ∴.∠BOD+∠OCB=90°，.∠BCE=∠BOD. 图① 图② (2)连接AC交OP于点F,如图②. AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°， AC=√AB2-BC=√132-5=12. P为AC的中点，.OF⊥AC,AF=CF=6, 0F-2-号Fp-0p-0F-号号-4 在Rt△APF中，AP=√AF+FP=√6+4 2√/13. 方法技巧专题切线的判定方法 1.解：(1)证明：如图，连接OC. :C是AD的中点，.AC=DC, .∠ABC=∠EBC. ,OB=OC,∴.∠ABC=∠OCB, ∴.∠EBC=∠OCB,∴.OC∥BE. BE⊥CE,.OC⊥CE. 又：OC是⊙O的半径，∴.CE是⊙O的切线. (2)连接AC,如图. AB是⊙O的直径，BE⊥CE, ∴.∠ACB=∠E=90. 又：∠ABC=∠CBE, .△ABC∽△CBE, 带能 亮-gBc=25 2.证明：如图，连接OF,OC ,四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AD=BC,∠ADC=90°. E是BC边的中点，AO=DO, ..AO=CE, .四边形OAEC是平行四边形，∴.AE∥OC, ∴∠DOC=∠OAF,∠FOC=∠OFA. OA=OF,∴.∠OAF=∠OFA, ∴.∠DOC=∠FOC OD=OF, 在△ODC和△OFC中， ∠DOC=∠FOC, LOC=OC, △ODC≌△OFC(SAS),.∠ODC=∠OFC=90°， 即OFI CF 又OF是⊙O的半径，∴.CF与⊙O相切. 3.解：(1)证明：如图，连接OA. ∠E=30°，.∠B=∠E=30°， ∠AOC=2∠E=60°. .AB=AD, ∠D=∠B=30°， .∠OAD=180°-∠AOC-∠D=90°，即AD⊥OA. 又OA是⊙O的半径，∴直线AD是⊙O的切线. (2)BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M, .∴.AM=EM. :∠AMO=90°，∠AOM=60°，.∠OAM=30°， 0M=20A=2×10-5, ∴.AM=√OA2-Of=√102-5=55， ∴.AE=2AM=2×5√3=10√3. 4.解：(1)证明：如图，连接OE,则OE=OD, ∠OED=∠ODE. ∠ODE=∠BDC, ∴.∠OED=∠BDC. CE=BC,∴.∠CEB=∠CBE. :∠ACB=90°， ∴.∠OEC=∠OED+∠CEB=∠BDC+∠CBE=90°， 即CE⊥OE. 又OE是⊙O的半径，∴.CE是⊙O的切线. (2)∠OEC=90°，∴.OE+CE=OC. .CD=2,BC=4,OE=OD, ..CE=BC=4,OC=OD+CD=OD+2, .OD+4=(OD+2)2,解得OD=3, AD=2X3=6,.AC=AD+CD=6+2=8. 5.证明：如图，过点O作ON⊥CM于点N,则∠ONC =90°」 :∠ACM=30°，0N=20C 下册参考答案 145第2课时切线的性质与判定 要固梳理 1.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。 2.切线的判定：经过半径外端，点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 已课内基础闯关 知识点② 切线的判定 知识点① 切线的性质 4.如图，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交 1.如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接 ⊙O于点N,以下条件不能判定PM是⊙O OM,ON.若∠N=36°，则∠O= ( 的切线的是 A.44° B.64° C.36 D.54° A.∠O+∠P=90 B.∠O+∠P=∠OMP C.OM2+PMP=OP D.N是OP的中点 第4题图 5.如图，点A,B,D在⊙O上，∠A 第1题图 变式题图 =25°，OD的延长线交直线BC 于点C,且∠OCB=40°，连接 变式题由切线的性质求角度变式为求线段长 OB.直线BC与⊙O的位置关系 如图，AB是⊙O的直径，AB=4,AC与 为 第5题图 ⊙O相切于点A,OC交⊙O于点D,连接 6.（2024合肥肥东区模拟) BD.若∠C=30°，则BD的长为 ( 如右图，AB为半圆O的 A.4 B.√3 C.2 D.2√3 直径，AC是半圆O的一 2.(2024山西)如图，已知 条弦，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC交 △ABC,以AB为直径的⊙O AC的延长线于点E.连接DA,DB. 交BC于点D,与AC相切于 (1)求证：DE是半圆O的切线； A 点A,连接OD.若∠AOD= (2)延长ED交AB的延长线于点F.若AD 第2题图 80°，则∠C的度数为 =DF,DE=√，则半圆O的半径长为 3.如右图，AB是⊙O的直径， E是BA延长线上的一点， 0 CE是⊙O的切线，C是切 点，D是BC上的一个点，连接AD,CD,AC (1)求证：2∠D+∠E=90°； (2)若CD∥AB,CD=AE,AB=4,则CE的 长为 28 九年级数学HK版 课外拓展提高 (2)若AB=5,AC=4,求CE的长. 7.如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4√2.⊙O 的半径为2，P是AB边上的动点，连接OP, 过点P作⊙O的一条切线PQ(Q为切点)， 则线段PQ的最小值为 A.25 B.√3 C.√2 D.2√2 第7题图 第8题图 8.如图，AB是⊙O的切线，切点为A,OB与 色综合能力提升 ------------------------0 ⊙O交于点E.C,D是⊙O上的两点，且CA 11.数学核心素养·推理能力AB为⊙O的 平分∠DCE,连接DE.若AB=2√3，∠B 直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC于点 30°，则DE的长为 D,E为AB延长线上的一个点，CE为⊙O 9.古代数学文化如图所示的是 C 的切线， 我国明末《崇祯历书》之《割圆勾 (1)如图①，求证：∠BCE=∠BOD: 股八线表》中所绘的割圆八线图 (2)如图②，取AC的中点P,连接OP,AP, 的简化图.在扇形AOB中， 若AB=13,BC=5,求弦AP的长. ∠AOB=90°，AC和BE都是 第9题图 ⊙O的切线，A和B是切点，BE 交OC于点E,OC交⊙O于点D,AD=CD.若 图① 图② OA=3,则CE的长为 10.如下图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB 边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相 切于点E,与边BC交于点F,过点E作 EH⊥AB于点H,连接BE. (1)求证：BH=BC; 0 下册第24章 29△