24.2 应用技巧专题 垂径定理的应用-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

,OA=OB,∠AOB=90°， .∠OAB=∠OBA=45°， ∴.∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75. (2)证明：：∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，∠AEC= 75.0A=00,∠AC0=2(180-∠A00=2× (180°-30°)=75°， .∠AEC=∠ACO,.AE=AC. 同理可得BF=DB. AC=CD=BD,∴.AE=BF=CD 9.解：(1)过点A作AH⊥BC于点H,连接OB,如图①. AB-AC,.BH-CH-7BC-3, 即AH垂直平分BC,∴.点O在AH上. 在Rt△ABH中，AH=√AB-B=√5-3=4. 设⊙O的半径为r,则OB=r,OH=AH-OA=4-r 在R1△0BH中，十(4-=r,解得， 放⊙0的半径长为得 图① 图② (2)过点E作EF⊥AB于点F,延长AO交BC于点G, 如图②. 由(1)可知，OG⊥BC,AG=AH=4. BD平分∠ABC,.EG=EF. 又：SE=2BG·AE=2AB·EE, 器器号G=号4G-2×4=子 “0G=AG-0A=4-5- 0E-c-0G-是-名-景 应用技巧专题垂径定理的应用 1.解：(1)连接OD,如图.设⊙O的半径 长为r AB⊥CD,.∠OED=90°，DE=CE =CD=×8=4. 在Rt△ODE中，OE=r-2,OD=r,DE=4, .(r-2)2十42=r2, 解得r=5,即⊙O的半径长为5. (2)在Rt△BCE中，.CE=4,BE=AB-AE=8, ∴.BC=/4+8=45. OFLBCBF-CF-C-25ZOFB-90 在Rt△OBF中，OF=√OB-BF=√52-(25)2= √5，即OF的长为√5. 2.解：(1)证明：如图，过点O作OF⊥AB, 延长OF交⊙O于点E. CD是⊙O的直径， ∴.CE=DE,AE=BE, ∴CE-AE=DE-BE,即AC=BD,∴AC=BD. (2)OFLAB,∴AF=2AB=4. 设OC=OE=OA=r,则OF=OE-EF=r-2. 在Rt△AOF中，有OF2+AF=OC, 即(r-2)2+42=r2,解得r=5, .CD=2r=10. 3.证明：连接AC,如图. :直径AB垂直于弦CD于点E, ..AC=AD,.'.AC=AD. CF⊥AD,AC=CD, .'.AC=CD, AC=AD=CD,则△ACD是等边三角形， ∴∠PCD=∠ACD=30 在R△C0E中，0E=20C. ∴OE=2OB,即E为0B的中点. 4.解：(1)证明：：OD⊥AB,OE⊥AC, ∴AD-合AB,AE=2AC :AB=AC,∴，AD=AE. 又：∠ADO=∠A=∠AEO=90°， .四边形ADOE是正方形 (2)连接OA,如图 .'AC=4 cm,.'.AE=2 cm. 在Rt△AOE中，OA=√22+2=22 (cm),即⊙O的半径长是22cm. 5.解：如图，连接OD. 设⊙O的半径为r. .CD⊥OC,∴.∠DCO=90°， ∴.CD=√OD-OC=√P-OC. 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OCLAB时，OC最小，此时D,B两点重合， :CD=号AB=号XI=号，即CD的最大值为号 6.解：如图，连接AD,交MN于点P,连接PC,过点D作 下册参考答案 141 DH⊥AB于点H,连接OA,OC. 此时PA+PC最小，且PA+PC= AD.由垂径定理，得AE=BE=AB =4,CF=DF=2CD=3. .OA=OC=5, ∴.在Rt△AEO中，OE=√OA-AE=3; 在Rt△CFO中，OF=√OC-CF=4. :∠FEH=∠EHD=∠DFE=90°， .四边形HEFD为矩形， .DH-EF-OE+OF=7,EH=DF-=3. 又，AH=AE+EH=7, ∴.AD=√A+D=7√2， 即PA+PC的最小值为7√2. 7.解：设圆心为点O,过点O作OC⊥ AB于点C,交⊙O于点D,连接 OA,如图所示， 0 1 则AC=2AB=号×10=5（寸）. 设该圆材的半径为r寸. 在Rt△ACO中，OC=(r-1)寸，OA=r寸， 则有r2=52+(r-1)2,解得r=13,.2r=26. 故该圆材的直径为26寸. 8.解：(1)连接OA,如图 .'AB=24 m,OC AB, ∴AD=号AB=12m OA=OC=r..CD=8 m,..OD=(r-8)m. 在Rt△AOD中，AD+OD=OA2, 即12+(r-8)2=r2,解得r=13, 故该圆弧形拱桥所在圆的半径长为13m. (2)不能.理由如下： .r=13 m,CD=8 m,..OD=OC-CD=5 m. 构造如图所示的矩形MEFN,MN交CD于点H,连接 OM. 当EF=MN=10m时， :OCLAB,.∴OCLMN,∴MH=2MN=5m, 根据勾股定理，得OH=√OMP-M=12m, ∴.DH=OH-OD=12-5=7(m). 7<7.5,此货船不能顺利通过这座桥， 24.3圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 1.C2.9∠ADB,∠ACB∠A,∠B,∠E 3.C变式题D4.C5.D6.A变式题A 444444 142 九年级数学HK版 7.解：(I)4∠CAD=∠CBD,∠BAC=∠BDC,∠ADB =∠ACB,∠ABD=∠ACD (2)图中的相似三角形有△ABP∽△DCP,△APD ∽△BPC. 示例： 证明：根据圆周角定理可知，∠ADB=∠BCA,∠CAD =∠DBC, .△APD△BPC. 8.B9.B10.25 11.解：(1)∠D=∠A,∠D=60°，∴∠A=60°. 又∠AOB是直角， .AB是⊙C的直径，∠OBA=30°， .AB=2OA=4. (2)在Rt△OAB中，OB=OA·tanA=2×tan60°= 2,点B的坐标为(23,0). 12.解：(1)证明：ACI BD, .∠APB=∠CPD=90°， .∠ABP+∠BAP=90 .PH⊥AB,.∠BAP+∠APH=90°， .∠ABP=∠APH,.∠MPC=∠APH=∠ABP. ,AD=AD,.AD=AD,.∠ABP=∠ACD, .∠PCM=∠MPC,.PM=MC. 同理可得PM=DM, .DM=CM,.M是CD的中点. (2)PH⊥AB,BP=3,HP=√3， .BH=√BP2-HP=√6， sm∠HBP-部- ∠ABP=∠PCD,∠CPD=90°， ·sin∠PCD=E-DP_2 3CD-CD,解得CD=23. :M是CD的中点，PM=DM=CD=5, ∴.MH=HP+PM=25. 第2课时圆内接四边形 1.B2.D变式题20°3.C4.72 5.证明：EF∥AD,.∠D+∠F=180°. :四边形ABCD内接于⊙O, ∠D=∠EBC, ∴∠F+∠EBC=∠F+∠D=180° 6.证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠A=∠BCE, ·∠ABC=2∠E,∠ABC=∠E+∠BCE, ∴∠BCE=∠E,∴.∠A=∠E,∴.DA=DE, 即△ADE是等腰三角形.应用技巧专题 垂径定理的应用 题型① 利用垂径定理求边长 题型② 利用垂径定理证明 1.如下图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足 3.如下图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD 为E,AE=2,CD=8. 于点E,连接CO并延长交AD于点F,且 (1)求⊙O的半径长； CF⊥AD.证明：E是OB的中点. (2)连接BC,作OF⊥BC于点F.求OF的长， 4.如下图，在⊙O中，AB,AC为互相垂直且相 等的两条弦，OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别 为D,E. (1)求证：四边形ADOE是正方形； 2.(2024上海静安区二模)如下图，CD是⊙O (2)若AC=4cm,求⊙O的半径长. 的直径，AC,AB,BD是⊙O的弦，AB∥CD. (1)求证：AC=BD; (2)如果弦AB的长为8，它与AB组成的 形高为2，求CD的长 7金18 九年级数学HK版 题型③利用垂径定理求最值 问径几何.”小辉同学根据原文题意，画出圆 5.如下图，在⊙O中，弦AB=1,点C在AB上 材截面示意图如上图所示.已知锯口深1 移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于 寸，锯道AB=1尺(1尺=10寸)，求该圆材 点D.求CD的最大值. B 的直径 D C 6.如下图，AB,CD是半径为5的⊙O的两条 弦，AB=8,CD=6,MN是直径，AB⊥MN 8.某地有一座圆弧形拱桥，其横截面如下图所 于点E,CD⊥MN于点F,P为直线EF上 示，桥下水面宽度AB为24m,拱顶高出水 的任意一点.求PA+PC的最小值. 面8m(即CD=8m),OC⊥AB. (1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径长； (2)现有一艘宽10m,船舱高出水面7.5m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座 桥吗？请说明理由. 题型④利用垂径定理解决实际问题 7.古代数学文化《九章算术》 中记载了一个问题：“今有圆 材埋在壁中，不知大小.以锯 锯之，深一寸，锯道长一尺 下册第24章 19△