24.1 方法技巧专题 巧用旋转进行计算与证明-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

方法技巧专题 巧用旋转进行计算与证明 题型① 利用旋转计算角度 题型② 利用旋转计算线段的长 1.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC= 45°后得到△A'OB'.若∠AOB=15°，则 4.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A'BC' ∠AOB的度数是 ( 若点C在AB上，则AA'的长为 () A.30° B.35° C.40° D.45 A.√13 B.4 C.25D.5 第1题图 第2题图 第4题图 第5题图 2.(2024芜湖镜湖区一模)如图，△ODC是由 5.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD= △OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图 60°.将菱形ABCD绕点A按逆时针方向旋 形.若点D恰好落在AB上，且∠AOC= 转得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与 105°，则∠C的度数是 ( ) CD交于点P,则DP的长是 () A.55° B.45°C.42° D.40° A.√3-1 B.√5-2 3.如下图，E是正方形ABCD内一点，连接 C.2/3-1 D.2√3-2 AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转 6.如图，在矩形ABCD中， 90°到△CBE的位置.若AE=1,BE=2,CE AB=6,BC=8.将矩形 =3,求∠BEC的度数. ABCD绕点A逆时针旋 A 转90°得到矩形AGFE, 第6题图 H是对角线AF的中点，连接DH,GH,则 线段DH的长为 () A.√/41 B.2√/10C.√21D.2√5 7.已知：如图①，△ABC中，∠ACB=90°，CA =CB=6.D是边AC上一点，且AD=4,E 是边AB上的动点，线段DE绕点D逆时针 旋转90°至DF,连接EF,CF. A(E) 图① 图② (1)如图②，当点E与点A重合时，线段BF (2)点E运动过程中，线段CF的最小值是 九年级数学HK版 题型③利用旋转确定点的坐标 题型⑤ 利用旋转进行证明 8.如图，在平面直角坐标系中，线段A1B1是将 12.（2024阜阳太和期中)如图①，E,F分别是 △ABC绕着点P(3,2)逆时针旋转一定角度 正方形ABCD的边CD,BC上的动点，且 后得到的△AB,C,的一部分，则点C的对 满足∠EAF=45°.试判断线段BF,EF,ED 应点C1的坐标是 ( 之间的数量关系，并说明理由. A 小聪同学的想法：将△DAE顺时针旋转 90°得到△BAH,然后通过证明三角形全等 可得出结论 A 请你参考小聪同学的思路回答下面的 2 D 1 问题： -4-3-2-1012345678x (1)线段BF,EF,ED之间的数量关系是 第8题图 A.（-2,3) B.(-3,2) (2)如图②，在正方形ABCD中，∠EAF= C.(-2,4) D.(-3,3) 45°，连接BD,分别交AF,AE于点M,N. 9.如图，直线y= 3x十4分 试判断线段BM,MN,ND之间的数量关 别与x轴、y轴交于A,B两 B 系，并进行证明。 B 点.把△AOB绕点A按顺时 针方向旋转90°后得到 第9题图 △AOB',则点B的坐标是 图① 图② 题型④利用旋转计算面积 10.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，点D在 AC上，AD=3,CD=2,连接BD.把线段 BD绕点D逆时针旋转90°到DE位置，连 接AE,CE,则△ACE的面积为 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B 30°，AB=4√3.以斜边AB的中点D为旋 转中心，把△ABC按逆时针方向旋转α(0 <a<120°).当点A的对应点与点C重合 时，B,C两点的对应点分别记为点E,F, EF与AB的交点为G. (1)a等于 (2)△DEG的面积为 下册第24章 7△O(B1) A2 (2)旋转中心的坐标为(2，一1). (3)如图，作点A关于x轴的对称点A',连接A'B交 x轴于点P,此时PA+PB的值最小 A(-3,2),.A′(-3，-2) 设直线A'B的表达式为y=kx+b(k≠0). 将A'(-3,-2),B(0,4)代入y=kx+b(k≠0)， 得厂3k+6=一2， 1k=2, 解得 b=4, b=4, 直线A'B的表达式为y=2x十4. 当y=0时，x=-2, 点P的坐标为(-2,0). 方法技巧专题巧用旋转进行计算与证明 1.A2.B 3.解：连接EE,如图 ,△ABE绕点B顺时针旋转90°得 到△CBE, ∴.BE=BE=2,AE=CE'=1,∠EBE =90° .△BEE为等腰直角三角形， ∴.EE=√2BE=2√2，∠BEE=45. 在△CEE中，CE=3,CE=1,EE=2√2 ,1+(2√/2)2=32，即CE2+EE2=CE, △CEE为直角三角形，.∠EEC=90, ∴.∠BEC=∠BEE+∠CEE=135°. 4.C5.A6.A7.(1)22(2)2 8.A9.(7,3)10.511.(160°(2)3y5 2 12.解：(1)BF+DE=EF (2)MN2=ND+BM 证明：如图，将△ABM绕点A逆时针 A 旋转90°得到△ADM. .四边形ABCD为正方形， .∠ABD=∠ADB=45 由旋转的性质可知，∠ABM=∠ADM=45°，AM= AM,BM=DM,∠BAM=∠DAM, .∠NDM=90°， 4343433 138 九年级数学HK版 .NM'=ND2+DM ,∠EAM=90°，∠EAF=45°， .∠EAF=∠FAM'=45. (AM-AM, 在△AMN和△AMN中，∠MAN=∠MAN, AN-AN. .△AMN≌△AM'N(SAS),..MN=MN. 又BM=DM,∴.MN=ND+BMf. 24.2圆的基本性质 第1课时圆的有关概念及点和圆的位置关系 1.C2.D3.C 4.ABAB CD EF EC,EB,EA,ED,EF ABC, ABE.ABD.ABE 5.140 6.证明：，AB,CD为⊙O的两条直径， ..OA=OB,OC=OD. ‘CE=DF ..OC-CE=OD-DF,..OE=OF. OA-OB, 在△AOF和△BOE中，∠AOF=∠BOE, OF=OE, .△AOF≌△BOE(SAS),∴.AF=BE 7.C8.D变式题6.5cm 9.解：(1)：AC=3,AC>r,.当0<r<3时，点A,B都 在圆外 (2)AC=3,BC=4, ∴.当AC<r<BC,即3<r<4时，点A在圆内，点B在 圆外. 11.C12.A13.30° 15.证明：如图，连接BD,取BD的中点 O,连接OA,OC. .∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD, B…6 0A=0C-2BD, ∴.OA=OB=OD=OC, A,B,C,D四个点在同一个圆上 16.解：如图，连接AO. 四边形ABCD是正方形， ∴.∠DC0=90°. B C O ,∠POM=45°， .∠CD0=45°， ∴.CD=CO, .BO=BC+CO=BC+CD. .BO=2AB. .MN=10,.AO=5.