精品解析：江苏省扬州市宝应县安宜实验学校2025-2026学年九年级上学期12月第二次纠错训练数学试题

安宜实验学校第二次纠错训练 （九年级数学） （满分150分，时间120分钟） 一、选择题： 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，30度角的余弦值为，据此可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 3. 已知一组数据：，则这组数据的众数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题出了众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据，根据这个定义即可求解． 【详解】解：在中，6出现的次数最多， 则这组数据的众数为6， 故选：D 4. 如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：设件上衣分别为，对应的裤子分别为，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中取自同一套的有种可能， ∴它们取自同一套的概率为， 故选：． 6. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理得到与之间的关系，然后根据正弦的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 则， 故选：C． 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，随的增大而增大 B. 图象与轴只有一个交点 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．先利用配方法得到，则抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，则可对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 所以C选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 所以A选项不符合题意，D选项符合题意； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为位于x轴上方， ∴抛物线与x轴有2个交点， 所以B选项不符合题意． 故选：D． 8. 已知点均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证得点M(m，y3 )是该抛物线的顶点，根据点P(-2，y1)，Q(4，y2 )均在抛物线上，可知该抛物线开口向下对称轴是直线x =m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决 【详解】∵ ∴ ∴点M(m， y3 )是该抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为x=m， ∵点P(-2， y1)， Q(4， y2)均在抛物线上，且 ∴ 解得m> 1， 故选： B． 【点睛】本题考查抛物线的图像性质，对称轴，熟练掌握抛物线的性质是关键 二、填空题： 9. 已知为锐角，若，则______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊角度的三角函数值． 根据为锐角，且，即可求出的度数． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故答案为：45． 10. 若抛物线的图像与轴有且只有一个交点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数（是常数，）与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程，决定抛物线与轴的交点个数． 根据抛物线与轴有且只有一个交点，可得方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式得到，进而求出的值． 【详解】解：抛物线的图像与轴有且只有一个交点， 方程有两个相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则得出结果． 【详解】解：向右平移2个单位长度得， 再向上平移3个单位长度得． 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移的方法． 12. 若一组数据1，2，，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是________． 【答案】 【解析】 【分析】先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：∵数据1，2，x，3，4的平均数是3， ∴ (1+2+x+3+4)÷5=3 ， 解得： x=5 ， ∴方差 S2=[(1−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2+(4−3)2]÷5=2 故答案为： 2 ． 【点睛】本题考查了平均数与方差，解题的关键在于明确平均数是所有数据的和除以数据的个数；方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数． 13. 若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了扇形的面积和弧长，圆锥的高，先利用扇形的面积求出圆心角度数，再求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面圆半径，最后根据勾股定理即可求出圆锥的高，掌握扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键． 解：设扇形的圆心角度数为，则， ∴， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为，则， ∴， ∴此圆锥的高， 故答案为：． 14. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性求得即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点关于对称轴的对称点为，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分．若，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，根据角平分线可得，又因，则，由相似三角形的判定定理得，则，结合即可求得，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：平分， ， 又， ， ，， ， 即， 又 ， ， 因线段的长是大于0的数，则， 故答案为：． 16. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，先作交格点于点，连接，然后根据平行线的性质可以得到，再根据勾股定理可以得到、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，即可求得的值，从而可以得到的值． 【详解】解：作交格点于点，连接，如图所示， ， ， 设每个小正方形的边长为， 由图可知：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，的平分线交弧ACB于点D，则AD的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明△ABC是直角三角形，设AD与BC 交于点E，过E作EF⊥AB于F，证明△AEC≌△AEF，求得AF和BF的长，再证明△FEB∽△CAB求得AE的长，最后证明△EFA∽△BDA即可求得AD的长． 【详解】解：，，， ∴ ∴△ABC是直角三角形， ∴AB是半圆的直径 设AD与BC 交于点E，过E作EF⊥AB于F，如图， ∵AD是∠CAB的平分线， ∴EC=EF 在Rt△ACE和Rt△AFE中， ∴△AEC≌△AEF ∴AF=AC=3，BF=AB-AF=5-3=2 ∵∠CBA=∠EBF，∠EFB=∠ACB ∴△FEB∽△CAB ∴ ∴ ∴AE= 连接BD，则∠ADB=90゜ ∵∠FAE=∠BAD，∠EFA=∠ADB ∴△EFA∽△BDA ∴ ∴，解得，AD=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，求出AE的长是解答此题的关键． 18. 如图所示，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点C、点D是y轴正半轴、x轴正半轴上的两个动点，，以为直径在第一象限内作半圆，与线段交于点E、F两点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、三角函数等知识点；确定最大时的位置是解题的关键． 如图：过的中点作的垂线与交于点M，连接，当直线过O点时，的值最大；利用，求出，最后利用勾股定理求出即可解答． 【详解】解：如图：过的中点作的垂线与交于点M，连接，当直线过O点时，的值最大； ∵直线分别交x轴、y轴于点A、B， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题： 19. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了特殊角三角函数的混合运算． （1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的混合运算． 【详解】解：（1）， 因式分解得， 则或， 所以，； （2） ． 20. （1）在中，，，，求和的长； （2）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】（1），；（2），，． 【解析】 【分析】本题主要是考查了应用锐角三角函数值解直角三角形． （1）利用及其正弦值和正切值，即可求出和的长； （2）利用勾股定理求出的长，再利用正余弦即可求出直角三角形的另外两个角的度数． 【详解】（1）解：在中， ，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ． 21. 如图，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等（指针停在分割线上再转一次）． （1）现随机转动该转盘一次，停止后，指针指向1的概率为__________ （2）小明和小华利用这个转盘做游戏，规则如下：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字．若两数字之和为偶数，则小明胜；否则小华胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】（1） （2） 解：如图，画树状图如下： 由树状图可得：所有的等可能的结果数有个，和为偶数的结果数有个， 所以小明胜的概率为：，小华胜的概率为：， 而，所以游戏不公平. 【解析】 【分析】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率. （1）利用概率公式直接进行计算即可； （2）先画树状图，得到所有的等可能的结果数与和为偶数的结果数，再利用概率公式计算即可. 【小问1详解】 解：随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 如图，长的楼梯的倾斜角，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角，求调整后的楼梯的长（精确到，参考数据：，，，，）． 【答案】调整后的楼梯的长约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，在中，根据的正弦可求出的值，在中，根据的正弦值即可求解，掌握三角函数的计算方法，解直角三角形的运用是解题的关键． 【详解】解：在中，, , 在中，, , 答：调整后的楼梯的长约为． 23. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 24. 已知：如图，直线l与相离，于点P，交于点A，点B是上一点，连接并延长，交直线l于点C，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练的证明圆的切线是解本题的关键； （1）连接，证明，，再证明即可； （2）设的半径为， 表示，，再利用建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的半径为，，则， ∵，， ∴， ∵，， 而， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】 25. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． （1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ （2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数） 【答案】（1）12元或10元；（2）y=﹣4（x﹣11）2+144，售价为11元时，利润最大，最大利润为144元． 【解析】 【分析】（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论； （2）根据题中等量关系为：利润=（售价﹣进价）×售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出y的最大值． 【详解】解：（1）设售价定为x元时，每天的利润为140元， 根据题意，得：（x﹣5）[32﹣4（x﹣9）]=140， 解得：x1=12、x2=10， 答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元． （2）根据题意，得：y=（x﹣5）[32﹣4（x﹣9）]=﹣4x2+88x﹣340=﹣4（x﹣11）2+144， 故当x=11时，y最大=144， 答：售价为11元时，利润最大，最大利润为144元． 【点睛】考查的是二次函数的应用，熟知利润=（售价﹣进价）×售出件数是解答此题的关键． 26. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为______度； ②若，则线段的长为______． 【答案】 探究：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 将绕点逆时针旋转， ， 在与中， ， ， ； 应用：①；② 【解析】 【分析】感知：根据和都是等腰直角三角形，得出，根据，即可得证； 探究：证明即可得证； 应用：①同理得出，得出，即可求解； ②勾股定理求得，，根据，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理，即可求解． 【详解】感知：∵和都是等腰直角三角形，， ，即； 探究：略 应用： ①是等腰直角三角形， ， 同探究可得：， ， 故答案为：； ②在中，， ，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 27. 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点． （1）求b的值及该二次函数图象的对称轴； （2）连接，求的面积； （3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标． 【答案】（1），二次函数对称轴为直线 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）直接把代入到二次函数解析式中进行求解即可； （2）如图所示，过点D作于E，交于F，求出直线的解析式为，则，再根据进行求解即可； （3）如图所示，过点M作于H，交于N，设，则，同（2）得到，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作于E，交于F， 令，则， ∴点C的坐标为； 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，则， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作于H，交于N， 设，则， ∴， 同（2）可得， ∵， ∴当时，最大，此时点． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数对称轴，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用分割思想进行求解是解题的关键． 28. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 不成立，， 证明：如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3） 或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安宜实验学校第二次纠错训练 （九年级数学） （满分150分，时间120分钟） 一、选择题： 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：，则这组数据的众数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 衣柜中挂着套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，如果，那么的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 当，随的增大而增大 B. 图象与轴只有一个交点 C. 图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 8. 已知点均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题： 9. 已知为锐角，若，则______． 10. 若抛物线的图像与轴有且只有一个交点，______． 11. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式为__________． 12. 若一组数据1，2，，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是________． 13. 若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为______． 14. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 15. 如图，在中，，平分．若，的长为__________． 16. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______． 17. 如图，在中，，，，的平分线交弧ACB于点D，则AD的长是________． 18. 如图所示，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点C、点D是y轴正半轴、x轴正半轴上的两个动点，，以为直径在第一象限内作半圆，与线段交于点E、F两点，则的最大值为________． 三、解答题： 19. （1）解方程：； （2）计算：． 20. （1）在中，，，，求和的长； （2）在中，，，，解这个直角三角形． 21. 如图，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等（指针停在分割线上再转一次）． （1）现随机转动该转盘一次，停止后，指针指向1的概率为__________ （2）小明和小华利用这个转盘做游戏，规则如下：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字．若两数字之和为偶数，则小明胜；否则小华胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 22. 如图，长的楼梯的倾斜角，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角，求调整后的楼梯的长（精确到，参考数据：，，，，）． 23. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 24. 已知：如图，直线l与相离，于点P，交于点A，点B是上一点，连接并延长，交直线l于点C，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． （1）当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ （2）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元件）之间的函数关系式，每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=（售价﹣进价）×售出件数） 26. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为______度； ②若，则线段的长为______． 27. 如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点． （1）求b的值及该二次函数图象的对称轴； （2）连接，求的面积； （3）在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标． 28. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $