4.5.2 用二分法求方程的近似解-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件（人教必修一）聚焦第四章指数函数与对数函数，以“自主学习·新知感悟”导入，通过知识梳理、合作探究（如探究任务二二分法步骤）、典例研析搭建学习支架，衔接新知与应用脉络。 其亮点在于PPT支持任意编辑便于教学调整，采用“自主-合作-评价-分层练”设计，通过探究任务二推理运算培养数学思维，典例研析与课堂评价强化数学语言应用，助力学生分层进阶，提升教师教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．5　函数的应用(二) 4．5.2　用二分法求方程的近似解　　　 学习目标　1.探索用二分法求方程近似解的思路，提升数学抽象素养．(重点)　2.能借助计算工具用二分法求方程近似解，提升逻辑推理素养．(重点)　3.了解用二分法求方程近似解具有一般性，体会其中蕴含的逐步逼近与程序化思想，提升数学建模素养．(重点、难点) 　有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的． 问题1　用天平至少称几次一定可以找出这个稍轻的假币？ 提示：4次． 第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币； 第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币； 第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币； 第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币． 问题2　在这个过程中，采用了什么方式找到假币？ 提示：采用了“一分为二，逐步逼近”的方法． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P144～145，你认为二分法是如何求方程近似解的？ 提示：通过零点存在定理判断并且不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值． (2)请认真阅读教材P145，对于给出的精确度ε，为什么区间[a，b]中任意一个值都是零点的近似值？ 提示：由|a－b|<ε可知，区间内任意一个值与实际值的差都小于b－a. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)所有函数的零点都可以用二分法来求．(　　 ) (2)精确度ε就是近似值．(　　 ) (3)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任意一位．(　　 ) (4)在一定精确度下，近似值不是唯一的．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　二分法的概念 　　　我们玩过游戏：猜数字．朋友心中想一个1～100之间的整数，你每次猜测后，他会提示“大了”或“小了”． 问题3　如何用最少次数猜中数字？ 提示：(1)第一次猜50，若提示“大了”，则目标在1－49之间；若提示“小了”，则目标在51－100之间． (2)第二次根据提示选择新区间的中点(如25或75)． (3)重复，每次将剩余区间对半分，直到猜中． 问题4　按照这种方式，最多几次就可以猜中？ 提示：最多需要7次即可猜中． 逼近零点 条件 (1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上 (2)在区间端点的函数值满足 方法 不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步 ，进而得到零点近似值 连续不断 f(a)f(b)<0 一分为二 例1　(链接教材：人教A版P155习题4.5T1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是(　　 ) 解析：选ABC.运用二分法求函数的零点应满足函数图象在零点附近连续不断且零点左右两侧的函数值异号，只有D不符合条件． 类题通法 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断； (2)在该零点左右函数值异号．,只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 【迁移运用】 1.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是_______，函数的零点是_______.(用a表示) 解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b，此时由x2＋ax＋＝0，得x＝－. 答案：a2＝4b　－ 　用二分法求函数零点的近似解 利用二分法求方程近似解的步骤 温馨提示 二分法求函数零点的近似值口诀 定区间，找中点，中值计算两边看； 同号去，异号算，零点落在异号间； 周而复始怎么办？精确度上来判断． 例2　(链接教材：人教A版P146例2)证明函数f(x)＝x3－x2＋5，x∈[－2，－1]有零点，并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时，至少需要计算函数值的次数． 解：因为f(－2)＝－8－4＋5＝－7<0， f(－1)＝－1－1＋5＝3>0， 所以f(－2)·f(－1)<0，所以函数f(x)＝x3－x2＋5在区间[－2，－1]上有零点x0. 至少需要进行4次函数值的计算，理由如下： 取区间[－2，－1]的中点x1＝ eq \f(－2－1,2)＝－ eq \f(3,2)， 且f(－ eq \f(3,2))＝－ eq \f(27,8)－ eq \f(9,4)＋5＝－ eq \f(5,8)<0，所以x0∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1)). 取区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))的中点x2＝ eq \f(－\f(3,2)－1,2)＝－ eq \f(5,4)， 且f(－ eq \f(5,4))＝(－ eq \f(5,4))3－(－ eq \f(5,4))2＋5>0，所以x0∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(5,4))). 取区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(5,4)))的中点x3＝ eq \f(－\f(5,4)－\f(3,2),2)＝－ eq \f(11,8)， 且f(－ eq \f(11,8))＝(－ eq \f(11,8))3－(－ eq \f(11,8))2＋5>0，所以x0∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(11,8))). 因为0.1<－ eq \f(11,8)－(－ eq \f(3,2))<0.2， 所以区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(11,8)))的中点x4＝ eq \f(－\f(3,2)－\f(11,8),2)＝－ eq \f(23,16)，且f(－ eq \f(23,16))＝(－ eq \f(23,16))3－(－ eq \f(23,16))2＋5<0，所以x0∈[－ eq \f(23,16)，－ eq \f(11,8)].因为－ eq \f(11,8)－(－ eq \f(23,16))<0.1，所以至少需要计算4次函数值． 【迁移运用】 2.(2025·杭州高一检测)用二分法求方程x＋lg x－3＝0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是(　　 ) A．[1，2] B．[2，3] C．[3，4] D．[4，5] 解析：选B.设f(x)＝x＋lg x－3，显然函数图象是连续的， 则有f(1)＝－2<0，f(2)＝lg 2－1<0，f(3)＝lg 3>0，f(4)＝1＋lg 4>0，f(5)＝2＋lg 5>0， 所以f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，f(4)·f(5)>0， 故区间[2，3]可以作为初始区间． 　二分法思想的实际应用 例3　在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)? 解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测，…，由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域． 1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　 ) 解析：选C.根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，A、B、D都符合条件，而C不符合．因为C中图象所表示的函数零点两侧的函数值同号，因此不能用二分法求函数零点． 2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　 ) A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x 解析：选C.C中，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)＞0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧的函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值． 3．用二分法求方程ln (2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln (2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 则由表中的数据，可得方程ln (2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为(　　 ) A．1.125 B．1.312 5 C．1.437 5 D．1.468 75 解析：选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0，所以f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异．又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解． 4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]内的实根，下一个有根区间是(　　 ) A．[2，2.5] B．[2.5，3] C．[2，2.25] D．[2.75，3] 解析：选A.令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，所以f(2)f(2.5)<0，所以由函数零点存在定理可知下一个有根区间是[2，2.5]. 【基础巩固】 1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 解析：选A.由图象可知A中图象在与x轴的交点附近连续，且零点左右两侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点． 2．设h(x)＝2x＋log2(x＋1)－2，某同学用二分法求方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下： x －0.5 0.125 0.437 5 0.75 2 h(x) －2.29 －0.74 －0.12 0.49 3.58 依据此表格中的数据，得到的方程近似解x0可能是(　　 ) A．x0＝－0.125 B．x0＝0.375 C．x0＝0.525 D．x0＝1.5 解析：选C.由表格数据可知，h(0.437 5)＜0，h(0.75)＞0，又因为函数h(x)在[0.437 5，0.75]上连续，且函数h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)在区间[0.437 5，0.75]上存在一个零点，又因为0.75－0.437 5＝0.312 5＜0.5，即方程h(x)＝0的近似解(精确度为0.5)可以是区间[0.437 5，0.75]内的任意一个数，观察四个选项可知，C选项正确． 解析：选C.因为f(x)＝x2＋2x＋2＝2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 3．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　 ) A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3 C．f(x)＝x2＋2＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 解析：选D.设f(x)＝log3x－(5－x)，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(3)＝－1＜0，f(4)＝log34－1＞0，所以f(3)·f(4)＜0，由零点存在定理可知，函数f(x)在区间(3，4)上存在一个零点，故方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3，4)． 4．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间为(　　 ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选C.因为f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，由零点存在定理知，方程的根落在区间(2.5，2.75)内． 5．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间(　　 ) A．(2，2.25) B．(2.25，2.5) C．(2.5，2.75) D．(2.75，3) 解析：选C.因为区间(1，2)的长度为1，每次二等分都使长度变为原来的，3次取中间值后，区间(1，2)的长度变为＞0.1，不满足题意，4次取中间值后，区间(1，2)的长度变为＜0.1，满足题意． 6．在使用二分法计算函数f(x)＝lg x＋x－2的零点的近似值时，已知其所在区间为(1，2)，如果要求近似值的精确度为0.1，那么接下来需要计算区间中点的函数值的次数为(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 7．(2025·广东惠州期末)若用二分法求方程2x3＋3x－3＝0在初始区间(0，1)内的近似解，则第二次取区间的中点x2＝________． 答案： 解析：设f(x)＝2x3＋3x－3，则f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，f(0)·f(1)＜0，∴第一次取区间(0，1)的中点x1＝＜0，∴f·f(1)＜0，故f(x)的零点所在的区间为，第二次取区间的中点x2＝. 解析：二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，f(x)＝x－4log2x，则f(1)＝1＞0，f(3)＝3－4log23＜0，故零点所在区间为(1，3)，第二次计算f(2)的值，f(2)＝2－4log22＝－2＜0，故零点所在区间为(1，2)，所以第三次计算f的值，即x2＝. 答案： 8．(2025·上海期末)已知函数y＝f(x)的表达式为f(x)＝x－4log2x，用二分法计算此函数在区间[1，3]上零点的近似值，第一次计算f(1)，f(3)的值，第二次计算f(x1)的值，第三次计算f(x2)的值，则x2＝________． 9．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用二分法逐次计算列表如下： 端(中) 点的值 中点函数 值符号 零点所在区间 |an－bn| (1，1.5) 0.5 1.25 f(1.25)＜0 (1.25，1.5) 0.25 1.375 f(1.375)＞0 (1.25，1.375) 0.125 1.312 5 f(1.312 5)＜0 (1.312 5，1.375) 0.062 5 则函数零点的近似值为________． 解析：因为精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数零点的近似值为1.312 5. 答案：1.312 5(答案不唯一) 证明：(1)由f(0)＝－(a＋b)>0，得a＋b<0. 又f(1)＝3a＋2b－(a＋b)＝2a＋b>0， 所以a＝(2a＋b)－(a＋b)>0，因此a>0. 10．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx－(a＋b)，若f(0)>0，且f(1)>0. (1)证明a>0； (2)利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根 (2)在[0，1]内选取二等分点， 则fa＋b－(a＋b)＝－<0， ∵f(0)>0，f(1)>0， ∴函数f(x)在区间和内各有一个零点． 又f(x)最多有两个零点． 故方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实根． 解析：选B.由题意可知f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则 解得－＜m＜5. 【综合运用】 11．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是(　　 ) A． B． C．∪(5，＋∞) D． 12．已知函数f(x)＝3x2－1在区间(0，1)上有唯一零点x0，如果用二分法求这个零点(精确度ε＝0.05)的近似值，那么将区间(0，1)等分的次数至少是________，此时并规定只要零点的存在区间(a，b)满足作为零点的近似值，那么求得x0＝________． 解析：开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.05，即2n＞20，解得n≥5，故计算5次就可满足要求，所以将区间(0，1)等分的次数至少是5次．因为f(0)＜0，f(1)＞0，＜0，所以第一次得到区间为；因为所以第二次得到区间为；因为＞0，所以第三次得到区间为；因为f＜0，所以第四次得到区间为；因为＞0，所以第五次得到区间为.所以函数零点为. 答案：5　 13．已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性，并用定义证明． (2)函数g(x)＝f(x)＋log2x－2在区间(1，2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3)；若没有零点，说明理由． (参考数据：≈1.118，≈1.225，≈1.323，log21.25≈0.32，log21.5≈0.585，log21.75≈0.807) 解：(1)函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．证明如下： 令0≤x1＜x2，则x1－x2＜0， 由于f(x1)－f(x2)＝ 故函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增． (2)g(x)＝＋log2x－2是增函数． ∵g(1)＝1＋log21－2＝－1＜0， g(2)＝＋log22－2＝－1＞0， ∴函数g(x)在区间(1，2)内有且只有一个零点． ∵g(1.5)＝＋log21.5－2≈1.225＋0.585－2＝－0.19＜0， g(1.75)＝＋log21.75－2≈1.323＋0.807－2＝0.13＞0， ∴函数的零点在(1.5，1.75)． ∵1.75－1.5＝0.25＜0.3，∴g(x)零点的近似值为1.5. (函数g(x)的零点近似值取区间[1.5，1.75]中的任意一个数都可以) 【创新探索】 14．(多选)(2025·陕西宝鸡期末)用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，则下列说法正确的是(　　 ) A．函数f(x)在(1.25，1.5)上有零点 B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C．没有达到精确度，应该接着计算f(1.312 5) D．没有达到精确度，应该接着计算f(1.437 5) 解析：选AD.∵f(1.25)f(1.5)＜0，∴由函数零点存在定理知，函数f(x)在区间(1.25，1.5)有零点，而1.5－1.375＝0.125＞0.1，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)． $