集合及常用逻辑用语 讲义-2026届高三数学一轮复习

第1讲 集合及逻辑用语 【题1】已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．4 C．5 D．31 【答案】D 【详解】∵ ∴为12的正约数，又， ∴ ，4，3，2，0 ∴集合， ∴ 集合A的真子集个数为31， 故选：D. 【题2】集合，用列举法可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，可得； 所以. 故选：C 点评：通过例题1，例题2对比，在例题1中集合的一般元素代表是“”，只是一般元素“”满足的共同特征，转化为列举法表示集合； 例题2中，集合的一般元素代表为“”这个分式化简后的数才是集合的元素，转化为列举法表示； 通过例题1,2对比，注意描述法表示集合时一般元素代表和元素共同特征的区别. 【题3】集合中含有的元素个数为 A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 类型二：根据元素与集合的关系求参数 【题4】已知集合 ，且 ，则实数的值为（       ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 【答案】A 【详解】解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件； 故选：A 点评：本例考查①分类讨论思想；②回代检验 ①由于，所以在集合中，分类或者； ②求出后，切记回代检验，由于集合元素的互异性，注意检验求出的是否满足集合元素互异性这一特点. 【题5】设集合，，若，则实数______. 【答案】 【详解】解：因为， 所以，即是方程一个实数根， 所以，解得或， 当时，，此时不满足，舍； 当时，，满足条件. 故答案为： 点评：本例考查回代检验 ①由于,所以，所以是方程一个实数根，解出或； ②求出后，切记回代检验，检验的标准就是注意，只有一个公共元素“1”，多了不行，少了也不行. 【题6】已知集合，若，则实数的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，此时，满足题意； 当时，或； 若，，满足题意；若，，不满足互异性，不合题意； 实数的取值集合为. 故选：. 类型三：根据集合中元素的个数求参数 【题7】若集合只有一个元素，则实数的取值集合是_________ 【答案】 【详解】只有一个元素； 方程只有一个解； 时，，，满足题意； 时，； ； ∴实数的取值集合是. 故答案为：. 点评：本例考查：分类讨论思想，对于方程，当时，原方程为一次方程；当时，原方程为二次方程 时，，，满足题意； 时，；； 特别提醒，对于最高项系数含参数如本题，特别注意讨论，往往很多学生忽略该种情况而造成错解. 【题8】若集合不含有任何元素，则实数的取值范围是________． 【答案】## 【详解】解：因为集合不含有任何元素， 所以方程无实根， 当时，方程为，可得符合题意； 当时，方程无实根，则，解得， 综上所述，. 故答案为：. 【题9】若集合则实数的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，不等式等价于，此时不等式无解； 当时，要使原不等式无解，应满足，解得； 综上，的取值范围是． 故选：B． 类型四：,的等价应用 【题10】已知集合，. 若，求实数的取值范围. 【答案】. 因为，所以， 所以，解得. 所以实数a的取值范围为. 点评：本题考查包含关系：，由于本例中集合的范围明确，不含参数，否则，要分类讨论①;②;本例不需要分类讨论； 在解包含关系的不等式问题，往往借助数轴解题，遵循，先确定大方向，后验证个别点 ①先确定大方向：由于，所以（注意此时确定大方向，不要着急把等号等上去） ②验证个别点：采用假设相等法验证，假设，代入右端点检验，代入后检验满足，则将等号补上，此时不等式组变为： ③检验右端点，假设，代入左端点检验是否满足，检验后满足条件，补上等号，此时不等式组为： 【题11】已知集合，集合. (1)求. (2)求，求的取值范围. 【答案】(1)(2) (1)解：由，即，可得，可得集合. (2)解：因为，且集合， 又因为，即， 当时，即，可得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 点评：本题考查包含关系：，由于本例中集合的范围含参数，要分类讨论①;②;本例需要分类讨论； ①当时，即，可得，此时满足； ②当时,需要满足：，另外由于，采用先确定大方向，后验证个别点的方法； 先确定大方向： 验证左端点：假设，代入右端点检验，不符合题意，左端点不能取等； 验证右端点：假设，代入左端点检验符合，所以不等式变为： 综上可得，，即实数的取值范围. 【题12】已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2)或. (1)当时，. 因为， 所以. (2)因为，所以. 当时，解得，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，， 则解得. 综上，a的取值集合是或. 点评：本例第（2）问：，由于，故本例需分类讨论： ①；②是单元素集，即或；③ ①，即； ②是单元素集，即或，即，注意求出，回代检验或； ③，即，且（韦达定理） 类型五：利用图解决集合问题 【题13】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（       ）． A．25种 B．27种 C．29种 D．31种 【答案】C 【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种； 同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出； 所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的， 此时商品总数是（种； 分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时， 如图所示． 故选：C． 【题14】某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生， 所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为． 故选：C 【题15】向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（       ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素. 设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图， 由Venn图可知，，即，解得， 所以对A，B都赞成的学生有21人. 故选：D 【题16】已知，则是的（  ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】记集合，. 因为AB，所以是的充分不必要条件. 故选：A 点评：本例考查（1）分式不等式的解法；（2）充分必要性的推理 （1）分式不等式的解法： ①移项化零：将分式不等式右边化为0（注意不等式右边只能化为0）： ② ③ ④ ⑤ (2)“是”标志词（正序） ①充分必要性问题，在表示范围时，遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围” ②从集合的角度看，：，若,则，但（说明:集合表示的是小范围，集合表示的是大范围，遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”的原则） ③本例表示的范围：，表示的范围：，借助数轴判断发现表示的范围比小. 【题17】设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，解得， 由，得，得， 因为当时，一定成立， 而当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 点评：本例考查（1）绝对值不等式的解法；（2）充分必要性的推理 （1）绝对值不等式的解法： ① ② (2)“是”标志词（正序） ①设表示：解得；表示：得 ②借助数轴，观察表示的是小范围，表示的是大范围； ③遵循：“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”解题 【题18】“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得，则，由，可得，则，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【题19】（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由p：得且，解得或，故选项C，D是命题p的充分不必要条件， 故选：CD． 点评：本例考查（1）分式不等式的解法；（2）“的”标志词倒序结构 （1）分式不等式的解法： ①：（注意此时不等号右边是1，要先化为0），再通分： ②根据分式不等式解法解得或； （2）“的”标志词（倒叙） ①假设要选择的答案为 ②将倒叙结构调整为正序结构：是的充分不必要条件 ③根据“小范围”推出“大范围”；但“大范围”推不出“小范围”解题，分析得到表示的范围比表示的范围更小，而表示：或；观察答案，找在或范围内的小范围，即为答案. 【题20】若不等式成立的一个充分条件为，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】成立时，，由解得， 设集合，， 由依题意得，所以，解得. 故选:D． 点评：本例考查“的”标志词（倒叙） ①假设表示记为：；表示：记为： ②将倒叙结构调整为正序结构：是的充分条件 ③根据“小范围”推出“大范围”；分析得到表示的范围比表示的范围更小，得到，所以，解得. 【题21】已知，若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，因为不等式的一个必要条件为，所以得. 故选：C． 【题22】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为命题“，”为真命题， 所以有，显然选项A是充要条件， 由不一定能推出， 由不一定能推出，由一定能推出， 故选：D 【题23】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则即可得：， 综上所述：实数的取值集合是， 故选：B. 点评：本例考查的是恒成立的简单问题，主要考查不等式，恒成立，注意到最高项系数含参数需分类讨论：（1）（2）； （1）不等式化简为：，不满足恒成立；所以（舍去） （2），则原不等式为二次不等式，通过分析题意判断为：二次函数在区间上的恒成立问题：可以采用法，即：得： 【题24】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是(　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题意，， 则，解得或， 所以实数的取值范围是，故选C. 点评：本例考查的是能成立的简单问题，主要考查不等式，上有解，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论； 通过分析题意判断为：二次函数在区间上的能成立问题：可以采用法，即：得或. 【题25】命题“”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以，故选：A. 【题26】已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为命题“”是假命题， 所以该命题的否定为,是 真命题， 当时，函数有解，故成立， 当时，对应函数开口向下，显然成立， 当时，，解得 综上，实数a的取值范围是 故选：C 【题27】已知 使是真命题， 则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 使是真命题，所以在上能成立，即在上能成立， 设，开口向上，且对称轴为，所以在上的最小值为当时，，故， 故选：C. 点评：本例考查的是能成立的简单问题，主要考查不等式，上有解，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论；但是本题区间不是区间，故不能直接使用法；此时考虑更通用的方法：变量分离法：即将参数分离到不等号的一边，如本例分离后为：；在进行等价转化为：，从而构造，求上的最小值. 【题28】若命题“”是假命题，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若命题“”是假命题， 则命题“”是真命题， 当时，，所以. 故选：A. 点评：本例考查的是恒成立的简单问题，由题意：”是假命题等价转化为：”是真命题， 主要考查不等式恒成立问题，注意到最高项系数不含参数，所以不需分类讨论；但是本题区间不是区间，故不能直接使用法；此时考虑更通用的方法：变量分离法：即将参数分离到不等号的一边，等价转化为：，从而构造，求上的最大值. 同类题型演练 【题29】命题“，”为假命题，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若命题“，”为假命题， 则，为真命题， 则对恒成立， 令，，则 开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在随的增大而增大， 所以当时， 所以， 故选：A 【题30】命题“，”为真命题的充要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原命题可写为“，”， 当时，随x增大而增大，所以取 最大值为3， 所以． 故选：D 名校真题练 【练习1】设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞5}，若A∩B＝∅（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由A∩B＝∅，则2a≥a+2或，然后求解． 【解答】解：已知集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣5或x＞5}， 又A∩B＝∅， 则2a≥a+2或， 即a≥2或， 则实数a的取值范围为． 故选：A． 【练习2】已知x，y∈R，则使x＞y成立的充分条件为（　　） A． B． C．x2＞（y+1）2 D．（x﹣1）3＞y3 【答案】D 【分析】举出反例检验选项A，B，C，结合不等式性质判断D． 【解答】解：当x＝﹣2，y＝﹣2时，，但是不满足x＞y； 当y＝1，x＝0时，，即B不符合题意； 当x＝﹣7，y＝﹣1时，x2＞（y+7）2，但是不满足x＞y，不符合题意； 当（x﹣1）2＞y3时，可得x﹣1＞y，可以得出x＞y． 故选：D． 【练习3】以下五个式子中，错误的个数为（　　） ①{1}∈{0，1，2} ②{1，﹣3}＝{﹣3，1} ③{0，1，2}⊆{1，0，2} ④∅∈{0，1，2} ⑤∅∈{0}． A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①③⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出④的对错；据集合元素的三要素判断出②对错． 【解答】解：①应是{1}⊆{0，7，2}， 对于②，集合中元素的三要素有互异性， ③任何集合都是本身的子集，故{0，3，0，2}正确． ④应是∅⊆{8，1，2}． 故错误的有①④⑤． 故选：C． 【练习4】已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为不等式ax2+2x+3＞0的解集为R，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值． 【解答】解：因为命题p：∀x∈R，ax2+2x+5＞0为真命题，所以不等式ax2+3x+3＞0的解集为R． 所以：若a＝4，则不等式ax2+2x+5＞0可化为2x+4＞0⇒，不等式解集不是R； 若a≠0，则根据一元二次不等式解集的形式可知：， 综上可知：． 故选：D． 【练习5】命题，则¬p是（　　） A． B． C．或x﹣1＝0 D．或x﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案． 【解答】解：由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为或x﹣5＝0． 故选：D． 【练习6】设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k﹣1，则M∩N＝（　　） A．{x|x＝2k+1，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝6k+1，k∈Z} D．{x|x＝6k﹣1，k∈Z} 【答案】D 【分析】利用最小公倍数排除A，B，利用奇数和偶数排除C，求解即可． 【解答】解：集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，k∈Z}， 则M∩N中k前面的系数应为5，3的最小公倍数，B， 对于C，当k＝1时，k∈Z}为{x|x＝5}， 而令3k﹣1＝3，可得k不为整数，k∈Z}不含有7， 可得M∩N中不含有7，故C错误． 故选：D． 【练习7】集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，Q＝{x|x＝，k∈Z}（　　） A．S⊂P⊂Q B．S⊂P＝Q C．S＝P⊂Q D．P⊂Q⊂S 【答案】B 【分析】先化简三个集合，再根据集合的关系即可求解． 【解答】解：∵S＝{x|x＝m+，m∈Z}＝{x|x＝， P＝{x|x＝+，n∈Z}＝{x|x＝， Q＝{x|x＝，k∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}， ∴S⊂P＝Q， 故选：B． 【练习8】设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（　　） A．任意m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 【答案】A 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣5＝0有实根”的否定是：“任意m≥0，使mx3﹣mx﹣1＝0无实根”． 故选：A． 【练习9】若集合M满足：M≠∅，若a∈M，则﹣a∈M，B＝{x|x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（　　） A．A∩B B．A∪B C．A∩（∁RB） D．（∁RA）∩B 【答案】D 【分析】分别求出A∩B，A∪B，A∩（∁RB），（∁RA）∩B，利用“偶集合”的定义逐一判断即可． 【解答】解：因为 A＝{x|x＜﹣1}，所以 ， 因为﹣2∈A∩B，但 8∉A∩B， A∪B＝{x≤1}，因为﹣3∈A∪B，但 ，故B错误， ∁RB＝{x|x＞8}，所以 RB）＝⌀，不合题意， ∁RA＝{x|x⩾﹣1}，所以 RA）∩B＝{x|﹣1⩽x⩽8}， 满足对∀α∈[（∁RA）∩B]，﹣a∈[（∁RA）∩B]， ∴（∁RA）∩B 是一个“偶集合”， 故选：D． 【练习10】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（　　） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，作出韦恩图，列方程能求出结果． 【解答】解：某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人， 同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人， 同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人，已知该班学生每人至少参加了1个小组， 如图，设该班学生中同时参加了数学小组， 只参加其中一个小组的人数为y， 则（32﹣x）+（25﹣x）+（22﹣x）+x+y＝56，即y＝2x﹣23， 因为x≤22，所以y≤21． 故选：B． 【练习11】（多选）已知命题p：x2﹣5x+4≤0，则命题p成立的一个充分不必要条件是（　　） A．1≤x＜2 B．2＜x≤4 C．1≤x D．x≤4 【答案】AB 【分析】先求出p的范围，然后结合充分及必要性检验各选项即可判断． 【解答】解：由x2﹣5x+8＝（x﹣1）（x﹣4）≤6，解得1≤x≤4， 7≤x＜2和2＜x≤7都是命题p成立的充分不必要条件． 故选：AB． 【练习12】下列说法正确的是（　　） A．“”是“a＜b”的充分不必要条件 B．A∩B＝∅是A＝∅的必要不充分条件 C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b” D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件 【答案】BD 【分析】结合不等式性质检验选项A，C，D，结合集合交集运算检验选项B． 【解答】解：当a＝2，b＝﹣2时，有， 反之当a＝﹣2，b＝5时，但，所以两者既不充分也不必要； 当A＝{7}，B＝{2}时，但A≠∅， 当A＝∅时，A∩B＝∅； 当ac2＞bc6时，可得a＞b， 反之，a＞b时，则ac2＝bc2， 所以两者不是充要条件，故C错误； 若a5+b2≠0⇔a，b不同时为5⇔|a|+|b|≠0． 故选：BD． 【练习13】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为　（﹣∞，2]　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“∃x∈[，2]，不等式2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，求出“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题时λ的最小值，即可求出实数λ的取值范围． 【解答】解：若“∃x∈[，6]2﹣λx+1＜4成立”是假命题， 即“∃x∈[，2]成立”是假命题， 由x∈[，2]时，函数y＝2x+＝2，即x＝， 所以y的最小值为2； 所以实数λ的取值范围为（﹣∞，3]． 故答案为：（﹣∞，2]． 【练习14】设集合，B＝{x||x2﹣ax|≤2}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是 　　 ． 【答案】． 【分析】由题意，可得当时，不等式|x2﹣ax|≤2恒成立，设y＝|x2﹣ax|，分a＞0，a＝0，a＜0三种情况进行分类讨论，即可求得结论． 【解答】解：由A∪B＝B，可得A⊆B， 即当时，不等式|x8﹣ax|≤2恒成立， 设y＝|x2﹣ax|， （1）当a＜3时，如图， 因为，所以，矛盾； （2）当a＝0时，恒成立； （3）当a＞6时，如图， 当，即时，因为， 所以，得； 当，即时，因为， 所以，得，矛盾； 当时，由图有，则， 综上，a的取值范围是． 故答案为：． 【练习15】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}． （1）若a＝3，求A∪（∁UB）； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）解二次与一次不等式化简集合A，B，代入a＝3再次化简集合B，进而利用集合的交并补运算即可得解； （2）根据题意得到B是A的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，解之即可得解． 【解答】解：（1）由题意知A＝{x|x2+2x＜3}＝（﹣3，1）， 若a＝3，B＝{x|﹣3＜3x﹣8＜6}＝{x|0＜x＜3}， 所以∁UB＝（﹣∞，0]∪[3， 所以A∪（∁UB）＝（﹣∞，5）∪[3． （2）因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B⫋A， 因为，所以， 所以且等号不同时成立， 则a的取值范围是[﹣2，﹣3]． 【练习16】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|m﹣3≤x≤3m+3}． （1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据充分不必要条件可以得出A⫋B，再列出不等式组计算即可； （2）分B＝∅和B≠∅两种情况分类讨论集合间关系列不等式求解即可． 【解答】解：（1）由题意，x2﹣2x﹣3≤0，解得﹣2≤x≤8， ∴A＝{x|﹣2≤x≤4}． 由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B， 则且等号不能同时取到， 故实数m的取值范围为． （2）当B＝∅时，得m﹣3＞3m+3，符合题意； 当B≠∅时，得m﹣3≤3m+3， 由A∩B＝∅，得m﹣3＞2或3m+3＜﹣4， ∴或m＞4； 综上所述，实数m的取值范围为． 【练习17】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）a的值为0或，当a＝0时，元素为，当时，元素为； （3）． 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）讨论a＝0、a≠0，分别求出a值和集合中的元素； （3）讨论a＝0、a≠0，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围． 【解答】解：（1）A是空集，∴a≠0且Δ＜0，解得， ∴a的取值范围为：； （2）当a＝0时，集合， 当a≠0时，Δ＝0，解得， 综上所求，a的值为0或，元素为，当时； （3）当a＝0时，，符合题意； 当a≠0时，要使关于x的方程ax2﹣7x+2＝0有实数根，则Δ＝7﹣8a≥0，得． 综上，若集合A中至少有一个元素． 【练习18】已知集合A＝{1，2}和非空集合B＝{x|x2﹣2ax+a＝0}，C＝{x|x2﹣mx+3≥0}． （1）若命题P：“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数a的取值； （2）若“x∈C”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）a； （2）． 【分析】（1）由已知结合元素与集合关系分析B的可能情况，即可求解； （2）结合充分必要性与集合包含关系的转化即可求解． 【解答】解：（1）由题意知B⊆A， 因为集合B≠∅，所以B＝{1}或{2}或{8． 当B＝{1}时，解得a＝4； 当B＝{2}时，无解； 当B＝{2，2}时，， 综上，a＝3． （2）由题意可得，A⊆C， 所以 解得． 故实数m的取值范围是． 【练习19】已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，a∈R． （1）若a＝2，当x＞1时，求的最小值； （2）求关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＞0）的解集； （3）当a＜0时，已知A＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，B＝{x|y+a＞0}，求a的取值范围． 【答案】（1）7； （2）当a＞1时，原不等式解集为； 当0＜a＜1时，原不等式解集为； 当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠1}； （3）． 【分析】（1）利用基本不等式求解； （2）对a分情况讨论，结合二次函数的性质求解； （3）由题意可知，不等式ax2﹣（a+1）x+1+a＞0在﹣2≤x≤﹣1时恒成立，再结合二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）当a＝2时， ， 当且仅当，即x＝2时取等号， 即的最小值为5； （2）y＝ax2﹣（a+1）x+2＝（ax﹣1）（x﹣1）， 当，即0＜a＜6时或x＜1， 当，即a＞1时或x＞1， 当，即a＝1时． 综上，当a＞1时； 当0＜a＜7时，原不等式解集为； 当a＝2时，原不等式解集为{x|x≠1}； （3）不等式y+a＞0可化为ax5﹣（a+1）x+1+a＞5， 因为A⊆B， 所以不等式ax2﹣（a+1）x+8+a＞0在﹣2≤x≤﹣6时恒成立， 结合二次函数图象知，， 即， 解得， 故a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合及逻辑用语 【知识点梳理】 1.1 集合的含义： 一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．一般情况下，集合用英文大写字母表示．元素用英文小写字母表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作． 1.2元素与集合的关系： 如果是集合中元素，则属于，记作； 如果不是集合中元素，则不属于，记作． 1.3某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法： 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 或 1.4元素的性质 ①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可． ②互异性：集合中的元素是互不相同的． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的． 1.5 集合的表示法 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示， 并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法． 例如：，． 描述法（又称特征性质描述法）： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素．例如：大于的所有整数用描述法表示为． 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图． 区间表示法：设，且， 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 左闭右开区间 一类特殊的区间 1.6 子集：对于两个集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们就说集合为集合的子集，记作（或），读作 “包含于”（或“包含”）．规定：是任意集合的子集． 如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于，记作或． 1.7 真子集：如果集合，且存在元素，但，我们称集合是集合的真子集， 记作（或），读作真包含于（真包含）． 规定：是任意非空集合的真子集． 1.8 集合相等：如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，我们说集合与集合相等，记作=． 1.9 交集：对于两个给定的集合、，属于又属于的所有元素构成的集合叫做、的交集，记作“”． 集合用符号语言表示为：， 1.10 并集：对于两个给定的集合、，由两个集合所有元素构成的集合叫做与的并集，记作“”． 集合用符号语言表示为; 1.11 补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U表示． ②补集：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作“”．读作“在中的补集”． 在中的补集的数学表达式是． 1.12 命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如．其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题． 1.13 充分必要条件：如果可推出，则称是的充分条件，是的必要条件． 一般地，如果，且，则称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作，显然也是的充要条件，此时又常说“当且仅当“或“与等价”． 如果，且，则称是的充分不必要条件，称为的必要不充分条件． 1.14 全称量词：短语“所有”、 “一切”、 “每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示． 1.15 全称命题：含有全称量词的命题． 全称命题的符号：”对集合中所有，“记为：，． 1.16 存在量词：短语“有一个”、 “有些”、 “至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示． 1.17 存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题． 存在性命题的符号：“存在集合中的元素，”记为：，． 1.18 存在性命题的否定： 存在性命题 ：，；它的否定是：，． 将存在量词变为全称量词，再否定它的性质． 1.19 全称命题的否定： 全称命题 ：，；它的否定是：，． 将全称量词变为存在量词，再否定它的性质． 【类型1 描述法表示集合的正确理解】 【题1】已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．32 B．4 C．5 D．31 【题2】集合，用列举法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【题3】集合中含有的元素个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【类型2 根据元素与集合的关系求参数】 【题4】已知集合 ，且 ，则实数的值为（       ） A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3 【题5】设集合，，若，则实数______. 【题6】已知集合，若，则实数的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【类型3 根据集合中元素的个数求参数】 【题7】若集合只有一个元素，则实数的取值集合是_________ 【题8】若集合不含有任何元素，则实数的取值范围是________． 【题9】若集合则实数的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【类型4 A∪B=A，A∩B=B,的等价应用】 【题10】已知集合，. 若，求实数的取值范围. 【题11】已知集合，集合. (1)求. (2)求，求的取值范围. 【题12】已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【类型5 利用venn图解决集合问题】 【题13】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（       ）． A．25种 B．27种 C．29种 D．31种 【题14】某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题15】向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（       ） A．18 B．19 C．20 D．21 【类型6 充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比】 角度1：“是”标志词 【题16】已知，则是的（  ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【题17】设，则“”是“”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题18】“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 角度2：“的”标志词（倒叙结构） 【题19】（多选）若：，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【题20】若不等式成立的一个充分条件为，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【题21】已知，若不等式的一个必要条件为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题22】命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【类型7 存在量词命题、全称量词命题的综合应用】 角度1：法 【题23】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（       ） A． B． C． D． 【题24】若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是(　) A． B． C．或 D．或 【题25】命题“”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【题26】已知命题“”是假命题，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 角度2：分离变量法 【题27】已知 使是真命题， 则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【题28】若命题“”是假命题，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【题29】命题“，”为假命题，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【题30】命题“，”为真命题的充要条件是（       ） A． B． C． D． 名校真题练 【练习1】设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞5}， 若A∩B＝∅，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【练习2】已知x，y∈R，则使x＞y成立的充分条件为（　　） A． B． C．x2＞（y+1）2 D．（x﹣1）3＞y3 【练习3】以下五个式子中，错误的个数为（　　） ①{1}∈{0，1，2}； ②{1，﹣3}＝{﹣3，1} ；③{0，1，2}⊆{1，0，2} ④∅∈{0，1，2}；⑤∅∈{0}． A．5 B．2 C．3 D．4 【练习4】已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【练习5】命题，则¬p是（　　） A． B． C．或x﹣1＝0 D．或x﹣1＝0 【练习6】设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k﹣1，则M∩N＝（　　） A．{x|x＝2k+1，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝6k+1，k∈Z} D．{x|x＝6k﹣1，k∈Z} 【练习7】集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，Q＝{x|x＝，k∈Z}（　　） A．S⊂P⊂Q B．S⊂P＝Q C．S＝P⊂Q D．P⊂Q⊂S 【练习8】设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（　　） A．任意m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根 D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根 【练习9】若集合M满足：M≠∅，若a∈M，则﹣a∈M，B＝{x|x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（　　） A．A∩B B．A∪B C．A∩（∁RB） D．（∁RA）∩B 【练习10】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（　　） A．20 B．21 C．23 D．25 【练习11】（多选）已知命题p：x2﹣5x+4≤0，则命题p成立的一个充分不必要条件是（　　） A．1≤x＜2 B．2＜x≤4 C．1≤x D．x≤4 【练习12】（多选）下列说法正确的是（　　） A．“”是“a＜b”的充分不必要条件 B．A∩B＝∅是A＝∅的必要不充分条件 C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b” D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件 【练习13】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为　 　 ． 【练习14】设集合，B＝{x||x2﹣ax|≤2}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是　 　 ． 【练习15】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}． （1）若a＝3，求A∪（∁UB）； （2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围． 【练习16】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|m﹣3≤x≤3m+3}． （1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【练习17】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； （3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 【练习18】已知集合A＝{1，2}和非空集合B＝{x|x2﹣2ax+a＝0}，C＝{x|x2﹣mx+3≥0}． （1）若命题P：“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数a的取值； （2）若“x∈C”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围． 【练习19】已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，a∈R． （1）若a＝2，当x＞1时，求的最小值； （2）求关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＞0）的解集； （3）当a＜0时，已知A＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，B＝{x|y+a＞0}，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $