6.3 利用导数解决实际问题任务型课前导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

6.3 利用导数解决实际问题 函数最值的求法：假设函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值一定在 或 取得．由于可导函数在区间内的极值只可能在使的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使的点的值作比较，最大的就是函数在上的 ，最小的就是 ． 最优化问题：花费最少、用料最少、成本最小等问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都称为 ．因为利用导数可以求得 ，所以可以利用导数来求解最优化问题． 1.在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款金额x（单位：万元）满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款( ) A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元 2.欲制作一个容积为的圆柱形蓄水罐（无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为( ) A. B. C. D. 3.某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( ) A.900元 B.840元 C.818元 D.816元 4.某制药公司生产某种胶囊，如图，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左、右两端均为半球，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时，( ) A. B. C. D. 5.将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，( ) A.3 B.4 C. D. 6.为了应对比赛，某运动会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为150元，设较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的维修费用最低时，x的值为______. 答案及解析 温故知新·基础填空 温故——课前知识链接 极值点 区间端点 最大值 最小值 知新——课本研习梳理 最优化问题 最值 基础过关·课前自测 1.答案：B 解析：依题意，，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以当时，函数取得最大值.故选B. 2.答案：C 解析：设圆柱形蓄水罐的底面半径为r，高为h，表面积为y，则由题意有，所以.则蓄水罐的表面积.则，令，解得.当时，，当时，，故当时，表面积取得最小值，即所用的材料最省.故选C. 3.答案：D 解析：易知：箱底面积为，设箱底一边的长度为xm，则宽为m，箱子的总造价为l元，根据题意，得，72.令0，解得或(舍去).当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.故当时，l有最小值816元.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元.故选：D. 4.答案：A 解析：依题意得，，所以，故体积. 令，，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故当时，取最大值，即V取最大值.故选A. 5.答案：D 解析：由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为x，则.所以无盖方盒的容积为，. 所以，令，解得；令，解得.∴函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值即最大值，即当时方盒的容积最大.故选：D 6.答案：25 解析：由题可知池底面积为，为定值，即池底维修费用为定值，则泳池维修费用由池壁维修费用决定.又x表示较短池壁长，则，则池壁维修费用表达式为.设，，则.令，可得，则，，所以在上单调递减，在上单调递增，即.故当泳池的维修费用最低时，x的值为25. 学科网（北京）股份有限公司 $