广东省汕头市潮阳南侨中学2025-2026学年高二下学期数学期末复习试题

汕头市潮阳南侨中学高二数学期末复习试题 一、单选题 1．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（    ） A． B． C．-1 D．1 2．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 5．已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（    ）    A． B． C． D． 8．已知数列中，，则（   ） A．3 B． C． D． 二、多选题 9．已知等比数列的前项和为，公比，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为4的等比数列 10．已知圆，直线，则下列命题中正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被y轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．当直线被圆截得的弦长最小时，直线的方程为 11．已知双曲线C的一条渐近线方程为，且C过点，则（    ） A．C的焦点在y轴上 B．C的方程为 C．C的焦点到其渐近线的距离为 D．直线与C有两个公共点 三、填空题 12．已知向量，，若，则 . 13．已知曲线的焦距为4，则其离心率为 ． 14．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 四、解答题 15．如图，在中，，点D在AB边上，且． (1)求； (2)求BC的长． 16．已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 17．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)记为的前n项和，证明：． 18．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 19．已知双曲线过点，左右焦点分别为． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； 汕头市潮阳南侨中学高二数学期末复习试题答案 一、单选题 1．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（    ） A． B． C．-1 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质、等比中项的意义列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 2．圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题求出关于的对称点，据此可得答案. 【详解】由题可得圆心，半径为1，设点关于直线的对称点为，则 ，则，又圆半径也为1， 所以圆的方程为. 故选：D. 3．已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 4．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 5．已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出直线l所过定点，定点在圆内，因此当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短，由勾股定理可得结论． 【详解】直线l方程变形为， 由得，即直线l过定点， 圆心为，半径为， 定点到圆心距离为，即定点在圆内部， 所以当定点和圆心连线与直线l垂直时，弦长最短， 最短弦长为 故选： 6．“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 7．在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理即可求解. 【详解】由，得， ， 故选：A 8．已知数列中，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，利用递推公式得数列的周期，利用周期即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以数列是以3为周期的数列， 故. 故选：C. 二、多选题 9．已知等比数列的前项和为，公比，，则（    ） A． B． C． D．数列是公比为4的等比数列 【答案】ACD 【分析】首先求出，再由等比数列通项公式及求和公式判断B、C，由等比数列的定义判断D. 【详解】因为，，所以，即A正确； 易知，可知B错误； 将首项和公比代入可得，故C正确； 又，，故数列是首项为，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD 10．已知圆，直线，则下列命题中正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．圆被y轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．当直线被圆截得的弦长最小时，直线的方程为 【答案】ABC 【分析】将直线方程化为，可求得定点坐标；将代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心与定点的连线恰好与垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可求得. 【详解】由已知可得，圆心，半径. 直线方程可化为，解可得， 所以直线恒过定点，A选项正确； 将代入圆的方程有，解得，，弦长为，B项正确； 因为点到圆心的距离为，所以直线与圆恒相交，C项正确； 当圆心与定点的连线恰好与垂直时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最小.则的斜率应满足，所以，代入点斜式方程有，整理可得，，D项错误. 故选：ABC. 11．已知双曲线C的一条渐近线方程为，且C过点，则（    ） A．C的焦点在y轴上 B．C的方程为 C．C的焦点到其渐近线的距离为 D．直线与C有两个公共点 【答案】BC 【分析】根据点在直线下方即可判断A选项，根据渐近线方程和C过点求出和即可判断B选项，求出的焦点到其渐近线的距离即可判断C选项，根据直线与渐近线平行即可判断D选项. 【详解】点在直线下方， 的焦点在x轴上，A选项错误； ，解得， ，的方程为，选项正确； 的焦点到其渐近线的距离为，选项正确； 直线与渐近线平行， 直线与C有一个公共点，选项错误． 故选： 三、填空题 12．已知向量，，若，则 . 【答案】5 【分析】根据即可得出m，n的值，然后得解． 【详解】由，得，解得，， 所以 故答案为：5 13．已知曲线的焦距为4，则其离心率为 ． 【答案】 【分析】根据题意和方程可得，进而可得离心率. 【详解】由题意可知：，即， 由方程可知该双曲线方程为双曲线且，所以离心率. 故答案为：. 14．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 四、解答题 15．如图，在中，，点D在AB边上，且． (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合则，准确运算，即可求解； （2）在中，利用正弦定理求得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：由三角形的性质，可得， 因为，所以， 则 . （2）解：由，可得， 在中，利用正弦定理可得：， 即， 在中，， 由余弦定理可得，所以． 16．已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，进而可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，先得到，由裂项求和的方法，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为（）， 因为，则，，， 因为是与的等比中项， 所以， 即， 化简得， 解得或（舍） 所以. （2）由（1）知，， 所以， 所以 . 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，以及裂项相消法求数列的和，涉及等比中项的应用，属于常考题型. 17．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． (1)求和的通项公式； (2)记为的前n项和，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由等差中项列出方程求得公比即可求解； （2）由错位相减法求解即可； 【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以，所以． （2）证明：由（1）可得，① ，② ①－②得， 所以． 18．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．    (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理即得； （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得． 【详解】（1）因为，所以，， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）连接PO,OD,因为为正三角形，为中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为的中点，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系，    则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 又平面的一个法向量可取， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以，即平面与平面夹角为． 19．已知双曲线过点，左右焦点分别为． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求得，进而求得双曲线的方程. （2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得. 【详解】（1）根据题意可得， ， 所以， 故双曲线C的方程为； （2）直线的方程为， 设，由得， ， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $